ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ixpssmapg GIF version

Theorem ixpssmapg 6552
Description: An infinite Cartesian product is a subset of set exponentiation. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
ixpssmapg (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉X𝑥𝐴 𝐵 ⊆ ( 𝑥𝐴 𝐵𝑚 𝐴))
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem ixpssmapg
Dummy variable 𝑓 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ixpfn 6528 . . . . . . 7 (𝑓X𝑥𝐴 𝐵𝑓 Fn 𝐴)
2 fndm 5158 . . . . . . . 8 (𝑓 Fn 𝐴 → dom 𝑓 = 𝐴)
3 vex 2644 . . . . . . . . 9 𝑓 ∈ V
43dmex 4741 . . . . . . . 8 dom 𝑓 ∈ V
52, 4syl6eqelr 2191 . . . . . . 7 (𝑓 Fn 𝐴𝐴 ∈ V)
61, 5syl 14 . . . . . 6 (𝑓X𝑥𝐴 𝐵𝐴 ∈ V)
7 id 19 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉 → ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉)
8 iunexg 5948 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑉) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
96, 7, 8syl2anr 286 . . . . 5 ((∀𝑥𝐴 𝐵𝑉𝑓X𝑥𝐴 𝐵) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
10 ixpssmap2g 6551 . . . . 5 ( 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V → X𝑥𝐴 𝐵 ⊆ ( 𝑥𝐴 𝐵𝑚 𝐴))
119, 10syl 14 . . . 4 ((∀𝑥𝐴 𝐵𝑉𝑓X𝑥𝐴 𝐵) → X𝑥𝐴 𝐵 ⊆ ( 𝑥𝐴 𝐵𝑚 𝐴))
12 simpr 109 . . . 4 ((∀𝑥𝐴 𝐵𝑉𝑓X𝑥𝐴 𝐵) → 𝑓X𝑥𝐴 𝐵)
1311, 12sseldd 3048 . . 3 ((∀𝑥𝐴 𝐵𝑉𝑓X𝑥𝐴 𝐵) → 𝑓 ∈ ( 𝑥𝐴 𝐵𝑚 𝐴))
1413ex 114 . 2 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉 → (𝑓X𝑥𝐴 𝐵𝑓 ∈ ( 𝑥𝐴 𝐵𝑚 𝐴)))
1514ssrdv 3053 1 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑉X𝑥𝐴 𝐵 ⊆ ( 𝑥𝐴 𝐵𝑚 𝐴))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wcel 1448  wral 2375  Vcvv 2641  wss 3021   ciun 3760  dom cdm 4477   Fn wfn 5054  (class class class)co 5706  𝑚 cmap 6472  Xcixp 6522
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 584  ax-in2 585  ax-io 671  ax-5 1391  ax-7 1392  ax-gen 1393  ax-ie1 1437  ax-ie2 1438  ax-8 1450  ax-10 1451  ax-11 1452  ax-i12 1453  ax-bndl 1454  ax-4 1455  ax-13 1459  ax-14 1460  ax-17 1474  ax-i9 1478  ax-ial 1482  ax-i5r 1483  ax-ext 2082  ax-coll 3983  ax-sep 3986  ax-pow 4038  ax-pr 4069  ax-un 4293  ax-setind 4390
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 932  df-tru 1302  df-fal 1305  df-nf 1405  df-sb 1704  df-eu 1963  df-mo 1964  df-clab 2087  df-cleq 2093  df-clel 2096  df-nfc 2229  df-ne 2268  df-ral 2380  df-rex 2381  df-reu 2382  df-rab 2384  df-v 2643  df-sbc 2863  df-csb 2956  df-dif 3023  df-un 3025  df-in 3027  df-ss 3034  df-pw 3459  df-sn 3480  df-pr 3481  df-op 3483  df-uni 3684  df-iun 3762  df-br 3876  df-opab 3930  df-mpt 3931  df-id 4153  df-xp 4483  df-rel 4484  df-cnv 4485  df-co 4486  df-dm 4487  df-rn 4488  df-res 4489  df-ima 4490  df-iota 5024  df-fun 5061  df-fn 5062  df-f 5063  df-f1 5064  df-fo 5065  df-f1o 5066  df-fv 5067  df-ov 5709  df-oprab 5710  df-mpo 5711  df-map 6474  df-ixp 6523
This theorem is referenced by:  ixpssmap  6556
  Copyright terms: Public domain W3C validator