Theorem snid 3740

Description: A set is a member of its singleton. Part of Theorem 7.6 of [Quine] p. 49. (Contributed by NM, 31-Dec-1993.)

Hypothesis

Ref	Expression
snid.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
snid	⊢ 𝐴 ∈ {𝐴}

Proof of Theorem snid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snid.1	. 2 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		snidb 3739	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ V ↔ 𝐴 ∈ {𝐴})
3	1, 2	mpbi 145	1 ⊢ 𝐴 ∈ {𝐴}

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821  {csn 3709

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823  df-sn 3715

This theorem is used by:  vsnid  3741  exsnrex  3751  rabsnt  3786  sneqr  3885  undifexmid  4332  exmidexmid  4335  ss1o0el1  4336  exmidundif  4345  exmidundifim  4346  exmid1stab  4347  unipw  4359  intid  4366  ordtriexmidlem2  4669  ordtriexmid  4670  ontriexmidim  4671  ordtri2orexmid  4672  regexmidlem1  4682  0elsucexmid  4714  ordpwsucexmid  4719  opthprc  4828  fsn  5883  fsn2  5885  fvsn  5913  fvsnun1  5915  acexmidlema  6079  acexmidlemb  6080  acexmidlemab  6082  brtpos0  6527  mapsn  6977  mapsncnv  6982  0elixp  7016  en1  7091  djulclr  7396  djurclr  7397  djulcl  7398  djurcl  7399  djuf1olem  7400  exmidonfinlem  7552  elreal2  8204  1exp  11027  hashinfuni  11239  wrdexb  11339  0bits  12752  ennnfonelemhom  13365  dvef  15965  wlkl1loop  16816  djucllem  17045  bj-d0clsepcl  17168  idjudju  17264