Theorem 2idlmex 14459

Description: Existence of the set a two-sided ideal is built from (when the ideal is inhabited). (Contributed by Jim Kingdon, 18-Apr-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
2idlmex.i	⊢ 𝑇 = (2Ideal‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
2idlmex	⊢ (𝑈 ∈ 𝑇 → 𝑊 ∈ V)

Proof of Theorem 2idlmex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptrel 4849	. . . 4 ⊢ Rel (𝑟 ∈ V ↦ ((LIdeal‘𝑟) ∩ (LIdeal‘(oppr‘𝑟))))
2		df-2idl 14458	. . . . 5 ⊢ 2Ideal = (𝑟 ∈ V ↦ ((LIdeal‘𝑟) ∩ (LIdeal‘(oppr‘𝑟))))
3	2	releqi 4801	. . . 4 ⊢ (Rel 2Ideal ↔ Rel (𝑟 ∈ V ↦ ((LIdeal‘𝑟) ∩ (LIdeal‘(oppr‘𝑟)))))
4	1, 3	mpbir 146	. . 3 ⊢ Rel 2Ideal
5		2idlmex.i	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (2Ideal‘𝑊)
6	5	eleq2i 2296	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑇 ↔ 𝑈 ∈ (2Ideal‘𝑊))
7	6	biimpi 120	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑇 → 𝑈 ∈ (2Ideal‘𝑊))
8		relelfvdm 5658	. . 3 ⊢ ((Rel 2Ideal ∧ 𝑈 ∈ (2Ideal‘𝑊)) → 𝑊 ∈ dom 2Ideal)
9	4, 7, 8	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑇 → 𝑊 ∈ dom 2Ideal)
10	9	elexd 2813	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑇 → 𝑊 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   ∩ cin 3196   ↦ cmpt 4144  dom cdm 4718  Rel wrel 4723  ‘cfv 5317  opp_rcoppr 14025  LIdealclidl 14425  2Idealc2idl 14457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-opab 4145  df-mpt 4146  df-xp 4724  df-rel 4725  df-dm 4728  df-iota 5277  df-fv 5325  df-2idl 14458

This theorem is referenced by:  2idlval  14460  2idlelb  14463  2idllidld  14464  2idlridld  14465  2idlbas  14473