Theorem 2idlmex 14057

Description: Existence of the set a two-sided ideal is built from (when the ideal is inhabited). (Contributed by Jim Kingdon, 18-Apr-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
2idlmex.i	⊢ 𝑇 = (2Ideal‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
2idlmex	⊢ (𝑈 ∈ 𝑇 → 𝑊 ∈ V)

Proof of Theorem 2idlmex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptrel 4794	. . . 4 ⊢ Rel (𝑟 ∈ V ↦ ((LIdeal‘𝑟) ∩ (LIdeal‘(oppr‘𝑟))))
2		df-2idl 14056	. . . . 5 ⊢ 2Ideal = (𝑟 ∈ V ↦ ((LIdeal‘𝑟) ∩ (LIdeal‘(oppr‘𝑟))))
3	2	releqi 4746	. . . 4 ⊢ (Rel 2Ideal ↔ Rel (𝑟 ∈ V ↦ ((LIdeal‘𝑟) ∩ (LIdeal‘(oppr‘𝑟)))))
4	1, 3	mpbir 146	. . 3 ⊢ Rel 2Ideal
5		2idlmex.i	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (2Ideal‘𝑊)
6	5	eleq2i 2263	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑇 ↔ 𝑈 ∈ (2Ideal‘𝑊))
7	6	biimpi 120	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑇 → 𝑈 ∈ (2Ideal‘𝑊))
8		relelfvdm 5590	. . 3 ⊢ ((Rel 2Ideal ∧ 𝑈 ∈ (2Ideal‘𝑊)) → 𝑊 ∈ dom 2Ideal)
9	4, 7, 8	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑇 → 𝑊 ∈ dom 2Ideal)
10	9	elexd 2776	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑇 → 𝑊 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   ∩ cin 3156   ↦ cmpt 4094  dom cdm 4663  Rel wrel 4668  ‘cfv 5258  opp_rcoppr 13623  LIdealclidl 14023  2Idealc2idl 14055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-xp 4669  df-rel 4670  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fv 5266  df-2idl 14056

This theorem is referenced by:  2idlval  14058  2idlelb  14061  2idllidld  14062  2idlridld  14063  2idlbas  14071