Theorem 2idlmex 14181

Description: Existence of the set a two-sided ideal is built from (when the ideal is inhabited). (Contributed by Jim Kingdon, 18-Apr-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
2idlmex.i	⊢ 𝑇 = (2Ideal‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
2idlmex	⊢ (𝑈 ∈ 𝑇 → 𝑊 ∈ V)

Proof of Theorem 2idlmex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptrel 4804	. . . 4 ⊢ Rel (𝑟 ∈ V ↦ ((LIdeal‘𝑟) ∩ (LIdeal‘(oppr‘𝑟))))
2		df-2idl 14180	. . . . 5 ⊢ 2Ideal = (𝑟 ∈ V ↦ ((LIdeal‘𝑟) ∩ (LIdeal‘(oppr‘𝑟))))
3	2	releqi 4756	. . . 4 ⊢ (Rel 2Ideal ↔ Rel (𝑟 ∈ V ↦ ((LIdeal‘𝑟) ∩ (LIdeal‘(oppr‘𝑟)))))
4	1, 3	mpbir 146	. . 3 ⊢ Rel 2Ideal
5		2idlmex.i	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (2Ideal‘𝑊)
6	5	eleq2i 2271	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑇 ↔ 𝑈 ∈ (2Ideal‘𝑊))
7	6	biimpi 120	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑇 → 𝑈 ∈ (2Ideal‘𝑊))
8		relelfvdm 5602	. . 3 ⊢ ((Rel 2Ideal ∧ 𝑈 ∈ (2Ideal‘𝑊)) → 𝑊 ∈ dom 2Ideal)
9	4, 7, 8	sylancr 414	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑇 → 𝑊 ∈ dom 2Ideal)
10	9	elexd 2784	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑇 → 𝑊 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1372   ∈ wcel 2175  Vcvv 2771   ∩ cin 3164   ↦ cmpt 4104  dom cdm 4673  Rel wrel 4678  ‘cfv 5268  opp_rcoppr 13747  LIdealclidl 14147  2Idealc2idl 14179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-nf 1483  df-sb 1785  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ral 2488  df-rex 2489  df-v 2773  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-xp 4679  df-rel 4680  df-dm 4683  df-iota 5229  df-fv 5276  df-2idl 14180

This theorem is referenced by:  2idlval  14182  2idlelb  14185  2idllidld  14186  2idlridld  14187  2idlbas  14195