Theorem 2idlmex 14838

Description: Existence of the set a two-sided ideal is built from (when the ideal is inhabited). (Contributed by Jim Kingdon, 18-Apr-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
2idlmex.i	⊢ 𝑇 = (2Ideal‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
2idlmex	⊢ (𝑈 ∈ 𝑇 → 𝑊 ∈ V)

Proof of Theorem 2idlmex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mptrel 4908	. . . 4 ⊢ Rel (𝑟 ∈ V ↦ ((LIdeal‘𝑟) ∩ (LIdeal‘(oppr‘𝑟))))
2		df-2idl 14837	. . . . 5 ⊢ 2Ideal = (𝑟 ∈ V ↦ ((LIdeal‘𝑟) ∩ (LIdeal‘(oppr‘𝑟))))
3	2	releqi 4858	. . . 4 ⊢ (Rel 2Ideal ↔ Rel (𝑟 ∈ V ↦ ((LIdeal‘𝑟) ∩ (LIdeal‘(oppr‘𝑟)))))
4	1, 3	mpbir 146	. . 3 ⊢ Rel 2Ideal
5		2idlmex.i	. . . . 5 ⊢ 𝑇 = (2Ideal‘𝑊)
6	5	eleq2i 2305	. . . 4 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑇 ↔ 𝑈 ∈ (2Ideal‘𝑊))
7	6	biimpi 120	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑇 → 𝑈 ∈ (2Ideal‘𝑊))
8		relelfvdm 5727	. . 3 ⊢ ((Rel 2Ideal ∧ 𝑈 ∈ (2Ideal‘𝑊)) → 𝑊 ∈ dom 2Ideal)
9	4, 7, 8	sylancr 418	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑇 → 𝑊 ∈ dom 2Ideal)
10	9	elexd 2835	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑇 → 𝑊 ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ∩ cin 3219   ↦ cmpt 4192  dom cdm 4774  Rel wrel 4779  ‘cfv 5377  opp_rcoppr 14372  LIdealclidl 14804  2Idealc2idl 14836

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-xp 4780  df-rel 4781  df-dm 4784  df-iota 5337  df-fv 5385  df-2idl 14837

This theorem is used by:  2idlval  14839  2idlelb  14842  2idllidld  14843  2idlridld  14844  2idlbas  14852