Theorem 2idlval 14058

Description: Definition of a two-sided ideal. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
2idlval.i	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
2idlval.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
2idlval.j	⊢ 𝐽 = (LIdeal‘𝑂)
2idlval.t	⊢ 𝑇 = (2Ideal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
2idlval	⊢ 𝑇 = (𝐼 ∩ 𝐽)

Proof of Theorem 2idlval

Dummy variables 𝑥 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2idlval.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (2Ideal‘𝑅)
2	1	2idlmex 14057	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑅 ∈ V)
3		elinel1 3349	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐽) → 𝑥 ∈ 𝐼)
4		2idlval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
5	4	lidlmex 14031	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → 𝑅 ∈ V)
6	3, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐽) → 𝑅 ∈ V)
7		lidlex 14029	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ V → (LIdeal‘𝑅) ∈ V)
8	4, 7	eqeltrid 2283	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝐼 ∈ V)
9		inex1g 4169	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ V → (𝐼 ∩ 𝐽) ∈ V)
10	8, 9	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝐼 ∩ 𝐽) ∈ V)
11		fveq2 5558	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (LIdeal‘𝑟) = (LIdeal‘𝑅))
12	11, 4	eqtr4di 2247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (LIdeal‘𝑟) = 𝐼)
13		fveq2 5558	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (oppr‘𝑟) = (oppr‘𝑅))
14		2idlval.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
15	13, 14	eqtr4di 2247	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (oppr‘𝑟) = 𝑂)
16	15	fveq2d 5562	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (LIdeal‘(oppr‘𝑟)) = (LIdeal‘𝑂))
17		2idlval.j	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (LIdeal‘𝑂)
18	16, 17	eqtr4di 2247	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (LIdeal‘(oppr‘𝑟)) = 𝐽)
19	12, 18	ineq12d 3365	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((LIdeal‘𝑟) ∩ (LIdeal‘(oppr‘𝑟))) = (𝐼 ∩ 𝐽))
20		df-2idl 14056	. . . . . . 7 ⊢ 2Ideal = (𝑟 ∈ V ↦ ((LIdeal‘𝑟) ∩ (LIdeal‘(oppr‘𝑟))))
21	19, 20	fvmptg 5637	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ (𝐼 ∩ 𝐽) ∈ V) → (2Ideal‘𝑅) = (𝐼 ∩ 𝐽))
22	10, 21	mpdan 421	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → (2Ideal‘𝑅) = (𝐼 ∩ 𝐽))
23	1, 22	eqtrid 2241	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝑇 = (𝐼 ∩ 𝐽))
24	23	eleq2d 2266	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝑇 ↔ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐽)))
25	2, 6, 24	pm5.21nii 705	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑇 ↔ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐽))
26	25	eqriv 2193	1 ⊢ 𝑇 = (𝐼 ∩ 𝐽)

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   ∩ cin 3156  ‘cfv 5258  opp_rcoppr 13623  LIdealclidl 14023  2Idealc2idl 14055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-7 9054  df-8 9055  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-iress 12686  df-mulr 12769  df-sca 12771  df-vsca 12772  df-ip 12773  df-lssm 13909  df-sra 13991  df-rgmod 13992  df-lidl 14025  df-2idl 14056

This theorem is referenced by: (None)