Theorem 2idlval 14779

Description: Definition of a two-sided ideal. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
2idlval.i	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
2idlval.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
2idlval.j	⊢ 𝐽 = (LIdeal‘𝑂)
2idlval.t	⊢ 𝑇 = (2Ideal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
2idlval	⊢ 𝑇 = (𝐼 ∩ 𝐽)

Proof of Theorem 2idlval

Dummy variables 𝑥 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2idlval.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (2Ideal‘𝑅)
2	1	2idlmex 14778	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑅 ∈ V)
3		elinel1 3409	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐽) → 𝑥 ∈ 𝐼)
4		2idlval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
5	4	lidlmex 14752	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → 𝑅 ∈ V)
6	3, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐽) → 𝑅 ∈ V)
7		lidlex 14750	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ V → (LIdeal‘𝑅) ∈ V)
8	4, 7	eqeltrid 2321	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝐼 ∈ V)
9		inex1g 4251	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ V → (𝐼 ∩ 𝐽) ∈ V)
10	8, 9	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝐼 ∩ 𝐽) ∈ V)
11		fveq2 5675	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (LIdeal‘𝑟) = (LIdeal‘𝑅))
12	11, 4	eqtr4di 2285	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (LIdeal‘𝑟) = 𝐼)
13		fveq2 5675	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (oppr‘𝑟) = (oppr‘𝑅))
14		2idlval.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
15	13, 14	eqtr4di 2285	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (oppr‘𝑟) = 𝑂)
16	15	fveq2d 5679	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (LIdeal‘(oppr‘𝑟)) = (LIdeal‘𝑂))
17		2idlval.j	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (LIdeal‘𝑂)
18	16, 17	eqtr4di 2285	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (LIdeal‘(oppr‘𝑟)) = 𝐽)
19	12, 18	ineq12d 3427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((LIdeal‘𝑟) ∩ (LIdeal‘(oppr‘𝑟))) = (𝐼 ∩ 𝐽))
20		df-2idl 14777	. . . . . . 7 ⊢ 2Ideal = (𝑟 ∈ V ↦ ((LIdeal‘𝑟) ∩ (LIdeal‘(oppr‘𝑟))))
21	19, 20	fvmptg 5758	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ (𝐼 ∩ 𝐽) ∈ V) → (2Ideal‘𝑅) = (𝐼 ∩ 𝐽))
22	10, 21	mpdan 421	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → (2Ideal‘𝑅) = (𝐼 ∩ 𝐽))
23	1, 22	eqtrid 2279	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝑇 = (𝐼 ∩ 𝐽))
24	23	eleq2d 2304	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝑇 ↔ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐽)))
25	2, 6, 24	pm5.21nii 712	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑇 ↔ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐽))
26	25	eqriv 2231	1 ⊢ 𝑇 = (𝐼 ∩ 𝐽)

Syntax hints:   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815   ∩ cin 3213  ‘cfv 5357  opp_rcoppr 14313  LIdealclidl 14744  2Idealc2idl 14776

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1re 8237  ax-addrcl 8240

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-id 4419  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-inn 9258  df-2 9316  df-3 9317  df-4 9318  df-5 9319  df-6 9320  df-7 9321  df-8 9322  df-ndx 13302  df-slot 13303  df-base 13305  df-sets 13306  df-iress 13307  df-mulr 13391  df-sca 13393  df-vsca 13394  df-ip 13395  df-lssm 14630  df-sra 14712  df-rgmod 14713  df-lidl 14746  df-2idl 14777

This theorem is referenced by: (None)