Theorem 2idlval 13998

Description: Definition of a two-sided ideal. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
2idlval.i	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
2idlval.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
2idlval.j	⊢ 𝐽 = (LIdeal‘𝑂)
2idlval.t	⊢ 𝑇 = (2Ideal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
2idlval	⊢ 𝑇 = (𝐼 ∩ 𝐽)

Proof of Theorem 2idlval

Dummy variables 𝑥 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2idlval.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (2Ideal‘𝑅)
2	1	2idlmex 13997	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑅 ∈ V)
3		elinel1 3345	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐽) → 𝑥 ∈ 𝐼)
4		2idlval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
5	4	lidlmex 13971	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → 𝑅 ∈ V)
6	3, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐽) → 𝑅 ∈ V)
7		lidlex 13969	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ V → (LIdeal‘𝑅) ∈ V)
8	4, 7	eqeltrid 2280	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝐼 ∈ V)
9		inex1g 4165	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ V → (𝐼 ∩ 𝐽) ∈ V)
10	8, 9	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝐼 ∩ 𝐽) ∈ V)
11		fveq2 5554	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (LIdeal‘𝑟) = (LIdeal‘𝑅))
12	11, 4	eqtr4di 2244	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (LIdeal‘𝑟) = 𝐼)
13		fveq2 5554	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (oppr‘𝑟) = (oppr‘𝑅))
14		2idlval.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
15	13, 14	eqtr4di 2244	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (oppr‘𝑟) = 𝑂)
16	15	fveq2d 5558	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (LIdeal‘(oppr‘𝑟)) = (LIdeal‘𝑂))
17		2idlval.j	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (LIdeal‘𝑂)
18	16, 17	eqtr4di 2244	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (LIdeal‘(oppr‘𝑟)) = 𝐽)
19	12, 18	ineq12d 3361	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((LIdeal‘𝑟) ∩ (LIdeal‘(oppr‘𝑟))) = (𝐼 ∩ 𝐽))
20		df-2idl 13996	. . . . . . 7 ⊢ 2Ideal = (𝑟 ∈ V ↦ ((LIdeal‘𝑟) ∩ (LIdeal‘(oppr‘𝑟))))
21	19, 20	fvmptg 5633	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ (𝐼 ∩ 𝐽) ∈ V) → (2Ideal‘𝑅) = (𝐼 ∩ 𝐽))
22	10, 21	mpdan 421	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → (2Ideal‘𝑅) = (𝐼 ∩ 𝐽))
23	1, 22	eqtrid 2238	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝑇 = (𝐼 ∩ 𝐽))
24	23	eleq2d 2263	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝑇 ↔ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐽)))
25	2, 6, 24	pm5.21nii 705	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑇 ↔ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐽))
26	25	eqriv 2190	1 ⊢ 𝑇 = (𝐼 ∩ 𝐽)

Syntax hints:   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   ∩ cin 3152  ‘cfv 5254  opp_rcoppr 13563  LIdealclidl 13963  2Idealc2idl 13995

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-5 9044  df-6 9045  df-7 9046  df-8 9047  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-iress 12626  df-mulr 12709  df-sca 12711  df-vsca 12712  df-ip 12713  df-lssm 13849  df-sra 13931  df-rgmod 13932  df-lidl 13965  df-2idl 13996

This theorem is referenced by: (None)