Theorem 2idlval 14308

Description: Definition of a two-sided ideal. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
2idlval.i	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
2idlval.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
2idlval.j	⊢ 𝐽 = (LIdeal‘𝑂)
2idlval.t	⊢ 𝑇 = (2Ideal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
2idlval	⊢ 𝑇 = (𝐼 ∩ 𝐽)

Proof of Theorem 2idlval

Dummy variables 𝑥 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2idlval.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (2Ideal‘𝑅)
2	1	2idlmex 14307	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑅 ∈ V)
3		elinel1 3360	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐽) → 𝑥 ∈ 𝐼)
4		2idlval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
5	4	lidlmex 14281	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → 𝑅 ∈ V)
6	3, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐽) → 𝑅 ∈ V)
7		lidlex 14279	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ V → (LIdeal‘𝑅) ∈ V)
8	4, 7	eqeltrid 2293	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝐼 ∈ V)
9		inex1g 4184	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ V → (𝐼 ∩ 𝐽) ∈ V)
10	8, 9	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝐼 ∩ 𝐽) ∈ V)
11		fveq2 5583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (LIdeal‘𝑟) = (LIdeal‘𝑅))
12	11, 4	eqtr4di 2257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (LIdeal‘𝑟) = 𝐼)
13		fveq2 5583	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (oppr‘𝑟) = (oppr‘𝑅))
14		2idlval.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
15	13, 14	eqtr4di 2257	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (oppr‘𝑟) = 𝑂)
16	15	fveq2d 5587	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (LIdeal‘(oppr‘𝑟)) = (LIdeal‘𝑂))
17		2idlval.j	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (LIdeal‘𝑂)
18	16, 17	eqtr4di 2257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (LIdeal‘(oppr‘𝑟)) = 𝐽)
19	12, 18	ineq12d 3376	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((LIdeal‘𝑟) ∩ (LIdeal‘(oppr‘𝑟))) = (𝐼 ∩ 𝐽))
20		df-2idl 14306	. . . . . . 7 ⊢ 2Ideal = (𝑟 ∈ V ↦ ((LIdeal‘𝑟) ∩ (LIdeal‘(oppr‘𝑟))))
21	19, 20	fvmptg 5662	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ (𝐼 ∩ 𝐽) ∈ V) → (2Ideal‘𝑅) = (𝐼 ∩ 𝐽))
22	10, 21	mpdan 421	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → (2Ideal‘𝑅) = (𝐼 ∩ 𝐽))
23	1, 22	eqtrid 2251	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝑇 = (𝐼 ∩ 𝐽))
24	23	eleq2d 2276	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝑇 ↔ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐽)))
25	2, 6, 24	pm5.21nii 706	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑇 ↔ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐽))
26	25	eqriv 2203	1 ⊢ 𝑇 = (𝐼 ∩ 𝐽)

Syntax hints:   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773   ∩ cin 3166  ‘cfv 5276  opp_rcoppr 13873  LIdealclidl 14273  2Idealc2idl 14305

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4163  ax-sep 4166  ax-pow 4222  ax-pr 4257  ax-un 4484  ax-setind 4589  ax-cnex 8023  ax-resscn 8024  ax-1re 8026  ax-addrcl 8029

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3000  df-csb 3095  df-dif 3169  df-un 3171  df-in 3173  df-ss 3180  df-pw 3619  df-sn 3640  df-pr 3641  df-op 3643  df-uni 3853  df-int 3888  df-iun 3931  df-br 4048  df-opab 4110  df-mpt 4111  df-id 4344  df-xp 4685  df-rel 4686  df-cnv 4687  df-co 4688  df-dm 4689  df-rn 4690  df-res 4691  df-ima 4692  df-iota 5237  df-fun 5278  df-fn 5279  df-f 5280  df-f1 5281  df-fo 5282  df-f1o 5283  df-fv 5284  df-ov 5954  df-oprab 5955  df-mpo 5956  df-inn 9044  df-2 9102  df-3 9103  df-4 9104  df-5 9105  df-6 9106  df-7 9107  df-8 9108  df-ndx 12879  df-slot 12880  df-base 12882  df-sets 12883  df-iress 12884  df-mulr 12967  df-sca 12969  df-vsca 12970  df-ip 12971  df-lssm 14159  df-sra 14241  df-rgmod 14242  df-lidl 14275  df-2idl 14306

This theorem is referenced by: (None)