Theorem 2idlval 14822

Description: Definition of a two-sided ideal. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
2idlval.i	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
2idlval.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
2idlval.j	⊢ 𝐽 = (LIdeal‘𝑂)
2idlval.t	⊢ 𝑇 = (2Ideal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
2idlval	⊢ 𝑇 = (𝐼 ∩ 𝐽)

Proof of Theorem 2idlval

Dummy variables 𝑥 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2idlval.t	. . . 4 ⊢ 𝑇 = (2Ideal‘𝑅)
2	1	2idlmex 14821	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑇 → 𝑅 ∈ V)
3		elinel1 3415	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐽) → 𝑥 ∈ 𝐼)
4		2idlval.i	. . . . 5 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
5	4	lidlmex 14795	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐼 → 𝑅 ∈ V)
6	3, 5	syl 14	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐽) → 𝑅 ∈ V)
7		lidlex 14793	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ V → (LIdeal‘𝑅) ∈ V)
8	4, 7	eqeltrid 2325	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝐼 ∈ V)
9		inex1g 4267	. . . . . . 7 ⊢ (𝐼 ∈ V → (𝐼 ∩ 𝐽) ∈ V)
10	8, 9	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝐼 ∩ 𝐽) ∈ V)
11		fveq2 5693	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (LIdeal‘𝑟) = (LIdeal‘𝑅))
12	11, 4	eqtr4di 2289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (LIdeal‘𝑟) = 𝐼)
13		fveq2 5693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (oppr‘𝑟) = (oppr‘𝑅))
14		2idlval.o	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
15	13, 14	eqtr4di 2289	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (oppr‘𝑟) = 𝑂)
16	15	fveq2d 5697	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (LIdeal‘(oppr‘𝑟)) = (LIdeal‘𝑂))
17		2idlval.j	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐽 = (LIdeal‘𝑂)
18	16, 17	eqtr4di 2289	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (LIdeal‘(oppr‘𝑟)) = 𝐽)
19	12, 18	ineq12d 3433	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((LIdeal‘𝑟) ∩ (LIdeal‘(oppr‘𝑟))) = (𝐼 ∩ 𝐽))
20		df-2idl 14820	. . . . . . 7 ⊢ 2Ideal = (𝑟 ∈ V ↦ ((LIdeal‘𝑟) ∩ (LIdeal‘(oppr‘𝑟))))
21	19, 20	fvmptg 5778	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ V ∧ (𝐼 ∩ 𝐽) ∈ V) → (2Ideal‘𝑅) = (𝐼 ∩ 𝐽))
22	10, 21	mpdan 425	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ V → (2Ideal‘𝑅) = (𝐼 ∩ 𝐽))
23	1, 22	eqtrid 2283	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝑇 = (𝐼 ∩ 𝐽))
24	23	eleq2d 2308	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝑥 ∈ 𝑇 ↔ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐽)))
25	2, 6, 24	pm5.21nii 716	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑇 ↔ 𝑥 ∈ (𝐼 ∩ 𝐽))
26	25	eqriv 2235	1 ⊢ 𝑇 = (𝐼 ∩ 𝐽)

Syntax hints:   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ∩ cin 3219  ‘cfv 5375  opp_rcoppr 14355  LIdealclidl 14787  2Idealc2idl 14819

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4244  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1re 8267  ax-addrcl 8270

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-iun 4012  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-f 5379  df-f1 5380  df-fo 5381  df-f1o 5382  df-fv 5383  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-4 9348  df-5 9349  df-6 9350  df-7 9351  df-8 9352  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-sets 13342  df-iress 13343  df-mulr 13428  df-sca 13430  df-vsca 13431  df-ip 13432  df-lssm 14673  df-sra 14755  df-rgmod 14756  df-lidl 14789  df-2idl 14820

This theorem is referenced by: (None)