ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  2idlval GIF version

Theorem 2idlval 14519
Description: Definition of a two-sided ideal. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
2idlval.i 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
2idlval.o 𝑂 = (oppr𝑅)
2idlval.j 𝐽 = (LIdeal‘𝑂)
2idlval.t 𝑇 = (2Ideal‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
2idlval 𝑇 = (𝐼𝐽)

Proof of Theorem 2idlval
Dummy variables 𝑥 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2idlval.t . . . 4 𝑇 = (2Ideal‘𝑅)
212idlmex 14518 . . 3 (𝑥𝑇𝑅 ∈ V)
3 elinel1 3393 . . . 4 (𝑥 ∈ (𝐼𝐽) → 𝑥𝐼)
4 2idlval.i . . . . 5 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
54lidlmex 14492 . . . 4 (𝑥𝐼𝑅 ∈ V)
63, 5syl 14 . . 3 (𝑥 ∈ (𝐼𝐽) → 𝑅 ∈ V)
7 lidlex 14490 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ V → (LIdeal‘𝑅) ∈ V)
84, 7eqeltrid 2318 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ V → 𝐼 ∈ V)
9 inex1g 4225 . . . . . . 7 (𝐼 ∈ V → (𝐼𝐽) ∈ V)
108, 9syl 14 . . . . . 6 (𝑅 ∈ V → (𝐼𝐽) ∈ V)
11 fveq2 5639 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑅 → (LIdeal‘𝑟) = (LIdeal‘𝑅))
1211, 4eqtr4di 2282 . . . . . . . 8 (𝑟 = 𝑅 → (LIdeal‘𝑟) = 𝐼)
13 fveq2 5639 . . . . . . . . . . 11 (𝑟 = 𝑅 → (oppr𝑟) = (oppr𝑅))
14 2idlval.o . . . . . . . . . . 11 𝑂 = (oppr𝑅)
1513, 14eqtr4di 2282 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑅 → (oppr𝑟) = 𝑂)
1615fveq2d 5643 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑅 → (LIdeal‘(oppr𝑟)) = (LIdeal‘𝑂))
17 2idlval.j . . . . . . . . 9 𝐽 = (LIdeal‘𝑂)
1816, 17eqtr4di 2282 . . . . . . . 8 (𝑟 = 𝑅 → (LIdeal‘(oppr𝑟)) = 𝐽)
1912, 18ineq12d 3409 . . . . . . 7 (𝑟 = 𝑅 → ((LIdeal‘𝑟) ∩ (LIdeal‘(oppr𝑟))) = (𝐼𝐽))
20 df-2idl 14517 . . . . . . 7 2Ideal = (𝑟 ∈ V ↦ ((LIdeal‘𝑟) ∩ (LIdeal‘(oppr𝑟))))
2119, 20fvmptg 5722 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ V ∧ (𝐼𝐽) ∈ V) → (2Ideal‘𝑅) = (𝐼𝐽))
2210, 21mpdan 421 . . . . 5 (𝑅 ∈ V → (2Ideal‘𝑅) = (𝐼𝐽))
231, 22eqtrid 2276 . . . 4 (𝑅 ∈ V → 𝑇 = (𝐼𝐽))
2423eleq2d 2301 . . 3 (𝑅 ∈ V → (𝑥𝑇𝑥 ∈ (𝐼𝐽)))
252, 6, 24pm5.21nii 711 . 2 (𝑥𝑇𝑥 ∈ (𝐼𝐽))
2625eqriv 2228 1 𝑇 = (𝐼𝐽)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   = wceq 1397  wcel 2202  Vcvv 2802  cin 3199  cfv 5326  opprcoppr 14083  LIdealclidl 14484  2Idealc2idl 14516
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8123  ax-resscn 8124  ax-1re 8126  ax-addrcl 8129
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-id 4390  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-inn 9144  df-2 9202  df-3 9203  df-4 9204  df-5 9205  df-6 9206  df-7 9207  df-8 9208  df-ndx 13087  df-slot 13088  df-base 13090  df-sets 13091  df-iress 13092  df-mulr 13176  df-sca 13178  df-vsca 13179  df-ip 13180  df-lssm 14370  df-sra 14452  df-rgmod 14453  df-lidl 14486  df-2idl 14517
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator