Theorem 2idllidld 14843

Description: A two-sided ideal is a left ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
2idllidld.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
2idllidld	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))

Proof of Theorem 2idllidld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2idllidld.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
2		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
3	2	2idlmex 14838	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → 𝑅 ∈ V)
4		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
5		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
6		eqid 2238	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)) = (LIdeal‘(oppr‘𝑅))
7	4, 5, 6, 2	2idlvalg 14840	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → (2Ideal‘𝑅) = ((LIdeal‘𝑅) ∩ (LIdeal‘(oppr‘𝑅))))
8	1, 3, 7	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2Ideal‘𝑅) = ((LIdeal‘𝑅) ∩ (LIdeal‘(oppr‘𝑅))))
9	1, 8	eleqtrd 2317	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ((LIdeal‘𝑅) ∩ (LIdeal‘(oppr‘𝑅))))
10	9	elin1d 3418	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ∩ cin 3219  ‘cfv 5377  opp_rcoppr 14372  LIdealclidl 14804  2Idealc2idl 14836

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-5 9366  df-6 9367  df-7 9368  df-8 9369  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-sets 13359  df-iress 13360  df-mulr 13445  df-sca 13447  df-vsca 13448  df-ip 13449  df-lssm 14690  df-sra 14772  df-rgmod 14773  df-lidl 14806  df-2idl 14837

This theorem is used by:  df2idl2  14846  2idlss  14851  qusmul2  14866