Theorem 2idllidld 14585

Description: A two-sided ideal is a left ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)

Hypothesis

Ref	Expression
2idllidld.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))

Assertion

Ref	Expression
2idllidld	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))

Proof of Theorem 2idllidld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2idllidld.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
2		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
3	2	2idlmex 14580	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → 𝑅 ∈ V)
4		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
5		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (oppr‘𝑅) = (oppr‘𝑅)
6		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘(oppr‘𝑅)) = (LIdeal‘(oppr‘𝑅))
7	4, 5, 6, 2	2idlvalg 14582	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → (2Ideal‘𝑅) = ((LIdeal‘𝑅) ∩ (LIdeal‘(oppr‘𝑅))))
8	1, 3, 7	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2Ideal‘𝑅) = ((LIdeal‘𝑅) ∩ (LIdeal‘(oppr‘𝑅))))
9	1, 8	eleqtrd 2310	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ((LIdeal‘𝑅) ∩ (LIdeal‘(oppr‘𝑅))))
10	9	elin1d 3398	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  Vcvv 2803   ∩ cin 3200  ‘cfv 5333  opp_rcoppr 14144  LIdealclidl 14546  2Idealc2idl 14578

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1re 8169  ax-addrcl 8172

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-7 9249  df-8 9250  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-sets 13152  df-iress 13153  df-mulr 13237  df-sca 13239  df-vsca 13240  df-ip 13241  df-lssm 14432  df-sra 14514  df-rgmod 14515  df-lidl 14548  df-2idl 14579

This theorem is referenced by:  df2idl2  14588  2idlss  14593  qusmul2  14608