Theorem 2idlridld 14642

Description: A two-sided ideal is a right ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
2idllidld.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
2idlridld.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
2idlridld	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑂))

Proof of Theorem 2idlridld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2idllidld.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
2		eqid 2232	. . . . 5 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
3	2	2idlmex 14636	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → 𝑅 ∈ V)
4		eqid 2232	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
5		2idlridld.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
6		eqid 2232	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑂) = (LIdeal‘𝑂)
7	4, 5, 6, 2	2idlvalg 14638	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → (2Ideal‘𝑅) = ((LIdeal‘𝑅) ∩ (LIdeal‘𝑂)))
8	1, 3, 7	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2Ideal‘𝑅) = ((LIdeal‘𝑅) ∩ (LIdeal‘𝑂)))
9	1, 8	eleqtrd 2311	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ((LIdeal‘𝑅) ∩ (LIdeal‘𝑂)))
10	9	elin2d 3408	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑂))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  Vcvv 2812   ∩ cin 3209  ‘cfv 5351  opp_rcoppr 14200  LIdealclidl 14602  2Idealc2idl 14634

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4224  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553  ax-setind 4658  ax-cnex 8214  ax-resscn 8215  ax-1re 8217  ax-addrcl 8220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2814  df-sbc 3042  df-csb 3138  df-dif 3212  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-int 3949  df-iun 3992  df-br 4109  df-opab 4171  df-mpt 4172  df-id 4413  df-xp 4754  df-rel 4755  df-cnv 4756  df-co 4757  df-dm 4758  df-rn 4759  df-res 4760  df-ima 4761  df-iota 5311  df-fun 5353  df-fn 5354  df-f 5355  df-f1 5356  df-fo 5357  df-f1o 5358  df-fv 5359  df-ov 6052  df-oprab 6053  df-mpo 6054  df-inn 9234  df-2 9292  df-3 9293  df-4 9294  df-5 9295  df-6 9296  df-7 9297  df-8 9298  df-ndx 13204  df-slot 13205  df-base 13207  df-sets 13208  df-iress 13209  df-mulr 13293  df-sca 13295  df-vsca 13296  df-ip 13297  df-lssm 14488  df-sra 14570  df-rgmod 14571  df-lidl 14604  df-2idl 14635

This theorem is referenced by: (None)