Theorem 2idlridld 14339

Description: A two-sided ideal is a right ideal. (Contributed by Thierry Arnoux, 9-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
2idllidld.1	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
2idlridld.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
2idlridld	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑂))

Proof of Theorem 2idlridld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2idllidld.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
2		eqid 2206	. . . . 5 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
3	2	2idlmex 14333	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → 𝑅 ∈ V)
4		eqid 2206	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑅) = (LIdeal‘𝑅)
5		2idlridld.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
6		eqid 2206	. . . . 5 ⊢ (LIdeal‘𝑂) = (LIdeal‘𝑂)
7	4, 5, 6, 2	2idlvalg 14335	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → (2Ideal‘𝑅) = ((LIdeal‘𝑅) ∩ (LIdeal‘𝑂)))
8	1, 3, 7	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (2Ideal‘𝑅) = ((LIdeal‘𝑅) ∩ (LIdeal‘𝑂)))
9	1, 8	eleqtrd 2285	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ ((LIdeal‘𝑅) ∩ (LIdeal‘𝑂)))
10	9	elin2d 3367	1 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (LIdeal‘𝑂))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773   ∩ cin 3169  ‘cfv 5279  opp_rcoppr 13899  LIdealclidl 14299  2Idealc2idl 14331

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4166  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260  ax-un 4487  ax-setind 4592  ax-cnex 8031  ax-resscn 8032  ax-1re 8034  ax-addrcl 8037

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3003  df-csb 3098  df-dif 3172  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-uni 3856  df-int 3891  df-iun 3934  df-br 4051  df-opab 4113  df-mpt 4114  df-id 4347  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-ima 4695  df-iota 5240  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283  df-f1 5284  df-fo 5285  df-f1o 5286  df-fv 5287  df-ov 5959  df-oprab 5960  df-mpo 5961  df-inn 9052  df-2 9110  df-3 9111  df-4 9112  df-5 9113  df-6 9114  df-7 9115  df-8 9116  df-ndx 12905  df-slot 12906  df-base 12908  df-sets 12909  df-iress 12910  df-mulr 12993  df-sca 12995  df-vsca 12996  df-ip 12997  df-lssm 14185  df-sra 14267  df-rgmod 14268  df-lidl 14301  df-2idl 14332

This theorem is referenced by: (None)