Theorem 2idlelb 14004

Description: Membership in a two-sided ideal. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by AV, 20-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
2idlel.i	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
2idlel.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
2idlel.j	⊢ 𝐽 = (LIdeal‘𝑂)
2idlel.t	⊢ 𝑇 = (2Ideal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
2idlelb	⊢ (𝑈 ∈ 𝑇 ↔ (𝑈 ∈ 𝐼 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽))

Proof of Theorem 2idlelb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2idlel.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (2Ideal‘𝑅)
2	1	2idlmex 14000	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑇 → 𝑅 ∈ V)
3		2idlel.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
4	3	lidlmex 13974	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑅 ∈ V)
5	4	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐼 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽) → 𝑅 ∈ V)
6		2idlel.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
7		2idlel.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (LIdeal‘𝑂)
8	3, 6, 7, 1	2idlvalg 14002	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝑇 = (𝐼 ∩ 𝐽))
9	8	eleq2d 2263	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝑈 ∈ 𝑇 ↔ 𝑈 ∈ (𝐼 ∩ 𝐽)))
10		elin 3343	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (𝐼 ∩ 𝐽) ↔ (𝑈 ∈ 𝐼 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽))
11	9, 10	bitrdi 196	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝑈 ∈ 𝑇 ↔ (𝑈 ∈ 𝐼 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽)))
12	2, 5, 11	pm5.21nii 705	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑇 ↔ (𝑈 ∈ 𝐼 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   ∩ cin 3153  ‘cfv 5255  opp_rcoppr 13566  LIdealclidl 13966  2Idealc2idl 13998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4145  ax-sep 4148  ax-pow 4204  ax-pr 4239  ax-un 4465  ax-setind 4570  ax-cnex 7965  ax-resscn 7966  ax-1re 7968  ax-addrcl 7971

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2987  df-csb 3082  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pw 3604  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-int 3872  df-iun 3915  df-br 4031  df-opab 4092  df-mpt 4093  df-id 4325  df-xp 4666  df-rel 4667  df-cnv 4668  df-co 4669  df-dm 4670  df-rn 4671  df-res 4672  df-ima 4673  df-iota 5216  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5922  df-oprab 5923  df-mpo 5924  df-inn 8985  df-2 9043  df-3 9044  df-4 9045  df-5 9046  df-6 9047  df-7 9048  df-8 9049  df-ndx 12624  df-slot 12625  df-base 12627  df-sets 12628  df-iress 12629  df-mulr 12712  df-sca 12714  df-vsca 12715  df-ip 12716  df-lssm 13852  df-sra 13934  df-rgmod 13935  df-lidl 13968  df-2idl 13999

This theorem is referenced by:  df2idl2rng  14007  2idlelbas  14015  rng2idlsubgsubrng  14019  2idlcpblrng  14022  2idlcpbl  14023  qusrhm  14027