Theorem 2idlelb 14061

Description: Membership in a two-sided ideal. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.) (Revised by AV, 20-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
2idlel.i	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
2idlel.o	⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
2idlel.j	⊢ 𝐽 = (LIdeal‘𝑂)
2idlel.t	⊢ 𝑇 = (2Ideal‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
2idlelb	⊢ (𝑈 ∈ 𝑇 ↔ (𝑈 ∈ 𝐼 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽))

Proof of Theorem 2idlelb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2idlel.t	. . 3 ⊢ 𝑇 = (2Ideal‘𝑅)
2	1	2idlmex 14057	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑇 → 𝑅 ∈ V)
3		2idlel.i	. . . 4 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑅)
4	3	lidlmex 14031	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑅 ∈ V)
5	4	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐼 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽) → 𝑅 ∈ V)
6		2idlel.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = (oppr‘𝑅)
7		2idlel.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (LIdeal‘𝑂)
8	3, 6, 7, 1	2idlvalg 14059	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ V → 𝑇 = (𝐼 ∩ 𝐽))
9	8	eleq2d 2266	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝑈 ∈ 𝑇 ↔ 𝑈 ∈ (𝐼 ∩ 𝐽)))
10		elin 3346	. . 3 ⊢ (𝑈 ∈ (𝐼 ∩ 𝐽) ↔ (𝑈 ∈ 𝐼 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽))
11	9, 10	bitrdi 196	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ V → (𝑈 ∈ 𝑇 ↔ (𝑈 ∈ 𝐼 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽)))
12	2, 5, 11	pm5.21nii 705	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝑇 ↔ (𝑈 ∈ 𝐼 ∧ 𝑈 ∈ 𝐽))

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   ∩ cin 3156  ‘cfv 5258  opp_rcoppr 13623  LIdealclidl 14023  2Idealc2idl 14055

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1re 7973  ax-addrcl 7976

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-7 9054  df-8 9055  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-iress 12686  df-mulr 12769  df-sca 12771  df-vsca 12772  df-ip 12773  df-lssm 13909  df-sra 13991  df-rgmod 13992  df-lidl 14025  df-2idl 14056

This theorem is referenced by:  df2idl2rng  14064  2idlelbas  14072  rng2idlsubgsubrng  14076  2idlcpblrng  14079  2idlcpbl  14080  qusrhm  14084