Theorem 2idlbas 14500

Description: The base set of a two-sided ideal as structure. (Contributed by AV, 20-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
2idlbas.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
2idlbas.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
2idlbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
2idlbas	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐼)

Proof of Theorem 2idlbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2idlbas.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐽)
2		2idlbas.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼))
4		eqid 2229	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5	4	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
6		2idlbas.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
7		eqid 2229	. . . . 5 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
8	7	2idlmex 14486	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → 𝑅 ∈ V)
9	6, 8	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
10	4, 7	2idlss 14499	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
11	6, 10	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
12	3, 5, 9, 11	ressbas2d 13122	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (Base‘𝐽))
13	1, 12	eqtr4id 2281	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   ⊆ wss 3197  ‘cfv 5321  (class class class)co 6010  Basecbs 13053   ↾_s cress 13054  2Idealc2idl 14484

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525  ax-setind 4630  ax-cnex 8106  ax-resscn 8107  ax-1cn 8108  ax-1re 8109  ax-icn 8110  ax-addcl 8111  ax-addrcl 8112  ax-mulcl 8113  ax-addcom 8115  ax-addass 8117  ax-i2m1 8120  ax-0lt1 8121  ax-0id 8123  ax-rnegex 8124  ax-pre-ltirr 8127  ax-pre-lttrn 8129  ax-pre-ltadd 8131

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4385  df-xp 4726  df-rel 4727  df-cnv 4728  df-co 4729  df-dm 4730  df-rn 4731  df-res 4732  df-ima 4733  df-iota 5281  df-fun 5323  df-fn 5324  df-f 5325  df-f1 5326  df-fo 5327  df-f1o 5328  df-fv 5329  df-ov 6013  df-oprab 6014  df-mpo 6015  df-pnf 8199  df-mnf 8200  df-ltxr 8202  df-inn 9127  df-2 9185  df-3 9186  df-4 9187  df-5 9188  df-6 9189  df-7 9190  df-8 9191  df-ndx 13056  df-slot 13057  df-base 13059  df-sets 13060  df-iress 13061  df-mulr 13145  df-sca 13147  df-vsca 13148  df-ip 13149  df-lssm 14338  df-sra 14420  df-rgmod 14421  df-lidl 14454  df-2idl 14485

This theorem is referenced by:  2idlelbas  14501