Theorem 2idlbas 14712

Description: The base set of a two-sided ideal as structure. (Contributed by AV, 20-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
2idlbas.i	⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
2idlbas.j	⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
2idlbas.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐽)

Assertion

Ref	Expression
2idlbas	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐼)

Proof of Theorem 2idlbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2idlbas.b	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐽)
2		2idlbas.j	. . . 4 ⊢ 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼)
3	2	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (𝑅 ↾s 𝐼))
4		eqid 2234	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
5	4	a1i 9	. . 3 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅))
6		2idlbas.i	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅))
7		eqid 2234	. . . . 5 ⊢ (2Ideal‘𝑅) = (2Ideal‘𝑅)
8	7	2idlmex 14698	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → 𝑅 ∈ V)
9	6, 8	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
10	4, 7	2idlss 14711	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ (2Ideal‘𝑅) → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
11	6, 10	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐼 ⊆ (Base‘𝑅))
12	3, 5, 9, 11	ressbas2d 13302	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐼 = (Base‘𝐽))
13	1, 12	eqtr4id 2286	1 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐼)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815   ⊆ wss 3213  ‘cfv 5354  (class class class)co 6052  Basecbs 13233   ↾_s cress 13234  2Idealc2idl 14696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4227  ax-sep 4230  ax-pow 4289  ax-pr 4324  ax-un 4556  ax-setind 4661  ax-cnex 8223  ax-resscn 8224  ax-1cn 8225  ax-1re 8226  ax-icn 8227  ax-addcl 8228  ax-addrcl 8229  ax-mulcl 8230  ax-addcom 8232  ax-addass 8234  ax-i2m1 8237  ax-0lt1 8238  ax-0id 8240  ax-rnegex 8241  ax-pre-ltirr 8244  ax-pre-lttrn 8246  ax-pre-ltadd 8248

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3045  df-csb 3141  df-dif 3215  df-un 3217  df-in 3219  df-ss 3226  df-nul 3511  df-pw 3673  df-sn 3697  df-pr 3698  df-op 3700  df-uni 3917  df-int 3952  df-iun 3995  df-br 4112  df-opab 4174  df-mpt 4175  df-id 4416  df-xp 4757  df-rel 4758  df-cnv 4759  df-co 4760  df-dm 4761  df-rn 4762  df-res 4763  df-ima 4764  df-iota 5314  df-fun 5356  df-fn 5357  df-f 5358  df-f1 5359  df-fo 5360  df-f1o 5361  df-fv 5362  df-ov 6055  df-oprab 6056  df-mpo 6057  df-pnf 8315  df-mnf 8316  df-ltxr 8318  df-inn 9243  df-2 9301  df-3 9302  df-4 9303  df-5 9304  df-6 9305  df-7 9306  df-8 9307  df-ndx 13236  df-slot 13237  df-base 13239  df-sets 13240  df-iress 13241  df-mulr 13325  df-sca 13327  df-vsca 13328  df-ip 13329  df-lssm 14550  df-sra 14632  df-rgmod 14633  df-lidl 14666  df-2idl 14697

This theorem is referenced by:  2idlelbas  14713