Theorem divalglemnqt 12085

Description: Lemma for divalg 12089. The 𝑄 < 𝑇 case involved in showing uniqueness. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
divalglemnqt.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
divalglemnqt.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
divalglemnqt.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
divalglemnqt.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℤ)
divalglemnqt.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℤ)
divalglemnqt.0s	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑆)
divalglemnqt.rd	⊢ (𝜑 → 𝑅 < 𝐷)
divalglemnqt.eq	⊢ (𝜑 → ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅) = ((𝑇 · 𝐷) + 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
divalglemnqt	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 < 𝑇)

Proof of Theorem divalglemnqt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divalglemnqt.rd	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 < 𝐷)
2	1	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑅 < 𝐷)
3		divalglemnqt.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
4	3	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝐷 ∈ ℕ)
5	4	nnred 9003	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝐷 ∈ ℝ)
6		divalglemnqt.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
7	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑅 ∈ ℤ)
8	7	zred 9448	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑅 ∈ ℝ)
9		divalglemnqt.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
10	9	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑆 ∈ ℤ)
11	10	zred 9448	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑆 ∈ ℝ)
12	5, 11	readdcld 8056	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (𝐷 + 𝑆) ∈ ℝ)
13		divalglemnqt.0s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑆)
14	13	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 0 ≤ 𝑆)
15	5, 11	addge01d 8560	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (0 ≤ 𝑆 ↔ 𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑆)))
16	14, 15	mpbid 147	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑆))
17		divalglemnqt.q	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℤ)
18	17	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑄 ∈ ℤ)
19	18	zred 9448	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑄 ∈ ℝ)
20	19	recnd 8055	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑄 ∈ ℂ)
21	5	recnd 8055	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝐷 ∈ ℂ)
22	20, 21	mulcld 8047	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (𝑄 · 𝐷) ∈ ℂ)
23	11	recnd 8055	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑆 ∈ ℂ)
24	22, 21, 23	addassd 8049	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (((𝑄 · 𝐷) + 𝐷) + 𝑆) = ((𝑄 · 𝐷) + (𝐷 + 𝑆)))
25	19, 5	remulcld 8057	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (𝑄 · 𝐷) ∈ ℝ)
26	25, 5	readdcld 8056	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → ((𝑄 · 𝐷) + 𝐷) ∈ ℝ)
27		divalglemnqt.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℤ)
28	27	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑇 ∈ ℤ)
29	28	zred 9448	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑇 ∈ ℝ)
30	29, 5	remulcld 8057	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (𝑇 · 𝐷) ∈ ℝ)
31	20, 21	adddirp1d 8053	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → ((𝑄 + 1) · 𝐷) = ((𝑄 · 𝐷) + 𝐷))
32		peano2re 8162	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑄 ∈ ℝ → (𝑄 + 1) ∈ ℝ)
33	19, 32	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (𝑄 + 1) ∈ ℝ)
34	4	nnnn0d 9302	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝐷 ∈ ℕ0)
35	34	nn0ge0d 9305	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 0 ≤ 𝐷)
36		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑄 < 𝑇)
37		zltp1le 9380	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑄 ∈ ℤ ∧ 𝑇 ∈ ℤ) → (𝑄 < 𝑇 ↔ (𝑄 + 1) ≤ 𝑇))
38	17, 28, 37	syl2an2r 595	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (𝑄 < 𝑇 ↔ (𝑄 + 1) ≤ 𝑇))
39	36, 38	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (𝑄 + 1) ≤ 𝑇)
40	33, 29, 5, 35, 39	lemul1ad 8966	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → ((𝑄 + 1) · 𝐷) ≤ (𝑇 · 𝐷))
41	31, 40	eqbrtrrd 4057	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → ((𝑄 · 𝐷) + 𝐷) ≤ (𝑇 · 𝐷))
42	26, 30, 11, 41	leadd1dd 8586	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (((𝑄 · 𝐷) + 𝐷) + 𝑆) ≤ ((𝑇 · 𝐷) + 𝑆))
43		divalglemnqt.eq	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅) = ((𝑇 · 𝐷) + 𝑆))
44	43	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅) = ((𝑇 · 𝐷) + 𝑆))
45	42, 44	breqtrrd 4061	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (((𝑄 · 𝐷) + 𝐷) + 𝑆) ≤ ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅))
46	24, 45	eqbrtrrd 4057	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → ((𝑄 · 𝐷) + (𝐷 + 𝑆)) ≤ ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅))
47	12, 8, 25	leadd2d 8567	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → ((𝐷 + 𝑆) ≤ 𝑅 ↔ ((𝑄 · 𝐷) + (𝐷 + 𝑆)) ≤ ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅)))
48	46, 47	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (𝐷 + 𝑆) ≤ 𝑅)
49	5, 12, 8, 16, 48	letrd 8150	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝐷 ≤ 𝑅)
50	5, 8, 49	lensymd 8148	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → ¬ 𝑅 < 𝐷)
51	2, 50	pm2.65da 662	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 < 𝑇)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   class class class wbr 4033  (class class class)co 5922  ℝcr 7878  0cc0 7879  1c1 7880   + caddc 7882   · cmul 7884   < clt 8061   ≤ cle 8062  ℕcn 8990  ℤcz 9326

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-inn 8991  df-n0 9250  df-z 9327

This theorem is referenced by:  divalglemeunn  12086  divalglemeuneg  12088