Theorem divalglemnqt 12480

Description: Lemma for divalg 12484. The 𝑄 < 𝑇 case involved in showing uniqueness. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
divalglemnqt.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
divalglemnqt.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
divalglemnqt.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
divalglemnqt.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℤ)
divalglemnqt.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℤ)
divalglemnqt.0s	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑆)
divalglemnqt.rd	⊢ (𝜑 → 𝑅 < 𝐷)
divalglemnqt.eq	⊢ (𝜑 → ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅) = ((𝑇 · 𝐷) + 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
divalglemnqt	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 < 𝑇)

Proof of Theorem divalglemnqt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divalglemnqt.rd	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 < 𝐷)
2	1	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑅 < 𝐷)
3		divalglemnqt.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
4	3	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝐷 ∈ ℕ)
5	4	nnred 9155	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝐷 ∈ ℝ)
6		divalglemnqt.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
7	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑅 ∈ ℤ)
8	7	zred 9601	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑅 ∈ ℝ)
9		divalglemnqt.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
10	9	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑆 ∈ ℤ)
11	10	zred 9601	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑆 ∈ ℝ)
12	5, 11	readdcld 8208	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (𝐷 + 𝑆) ∈ ℝ)
13		divalglemnqt.0s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑆)
14	13	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 0 ≤ 𝑆)
15	5, 11	addge01d 8712	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (0 ≤ 𝑆 ↔ 𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑆)))
16	14, 15	mpbid 147	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑆))
17		divalglemnqt.q	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℤ)
18	17	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑄 ∈ ℤ)
19	18	zred 9601	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑄 ∈ ℝ)
20	19	recnd 8207	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑄 ∈ ℂ)
21	5	recnd 8207	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝐷 ∈ ℂ)
22	20, 21	mulcld 8199	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (𝑄 · 𝐷) ∈ ℂ)
23	11	recnd 8207	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑆 ∈ ℂ)
24	22, 21, 23	addassd 8201	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (((𝑄 · 𝐷) + 𝐷) + 𝑆) = ((𝑄 · 𝐷) + (𝐷 + 𝑆)))
25	19, 5	remulcld 8209	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (𝑄 · 𝐷) ∈ ℝ)
26	25, 5	readdcld 8208	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → ((𝑄 · 𝐷) + 𝐷) ∈ ℝ)
27		divalglemnqt.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℤ)
28	27	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑇 ∈ ℤ)
29	28	zred 9601	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑇 ∈ ℝ)
30	29, 5	remulcld 8209	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (𝑇 · 𝐷) ∈ ℝ)
31	20, 21	adddirp1d 8205	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → ((𝑄 + 1) · 𝐷) = ((𝑄 · 𝐷) + 𝐷))
32		peano2re 8314	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑄 ∈ ℝ → (𝑄 + 1) ∈ ℝ)
33	19, 32	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (𝑄 + 1) ∈ ℝ)
34	4	nnnn0d 9454	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝐷 ∈ ℕ0)
35	34	nn0ge0d 9457	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 0 ≤ 𝐷)
36		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑄 < 𝑇)
37		zltp1le 9533	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑄 ∈ ℤ ∧ 𝑇 ∈ ℤ) → (𝑄 < 𝑇 ↔ (𝑄 + 1) ≤ 𝑇))
38	17, 28, 37	syl2an2r 599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (𝑄 < 𝑇 ↔ (𝑄 + 1) ≤ 𝑇))
39	36, 38	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (𝑄 + 1) ≤ 𝑇)
40	33, 29, 5, 35, 39	lemul1ad 9118	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → ((𝑄 + 1) · 𝐷) ≤ (𝑇 · 𝐷))
41	31, 40	eqbrtrrd 4112	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → ((𝑄 · 𝐷) + 𝐷) ≤ (𝑇 · 𝐷))
42	26, 30, 11, 41	leadd1dd 8738	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (((𝑄 · 𝐷) + 𝐷) + 𝑆) ≤ ((𝑇 · 𝐷) + 𝑆))
43		divalglemnqt.eq	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅) = ((𝑇 · 𝐷) + 𝑆))
44	43	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅) = ((𝑇 · 𝐷) + 𝑆))
45	42, 44	breqtrrd 4116	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (((𝑄 · 𝐷) + 𝐷) + 𝑆) ≤ ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅))
46	24, 45	eqbrtrrd 4112	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → ((𝑄 · 𝐷) + (𝐷 + 𝑆)) ≤ ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅))
47	12, 8, 25	leadd2d 8719	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → ((𝐷 + 𝑆) ≤ 𝑅 ↔ ((𝑄 · 𝐷) + (𝐷 + 𝑆)) ≤ ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅)))
48	46, 47	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (𝐷 + 𝑆) ≤ 𝑅)
49	5, 12, 8, 16, 48	letrd 8302	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝐷 ≤ 𝑅)
50	5, 8, 49	lensymd 8300	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → ¬ 𝑅 < 𝐷)
51	2, 50	pm2.65da 667	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 < 𝑇)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202   class class class wbr 4088  (class class class)co 6017  ℝcr 8030  0cc0 8031  1c1 8032   + caddc 8034   · cmul 8036   < clt 8213   ≤ cle 8214  ℕcn 9142  ℤcz 9478

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-cnex 8122  ax-resscn 8123  ax-1cn 8124  ax-1re 8125  ax-icn 8126  ax-addcl 8127  ax-addrcl 8128  ax-mulcl 8129  ax-mulrcl 8130  ax-addcom 8131  ax-mulcom 8132  ax-addass 8133  ax-mulass 8134  ax-distr 8135  ax-i2m1 8136  ax-0lt1 8137  ax-1rid 8138  ax-0id 8139  ax-rnegex 8140  ax-precex 8141  ax-cnre 8142  ax-pre-ltirr 8143  ax-pre-ltwlin 8144  ax-pre-lttrn 8145  ax-pre-apti 8146  ax-pre-ltadd 8147  ax-pre-mulgt0 8148  ax-pre-mulext 8149

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-nel 2498  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-br 4089  df-opab 4151  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fv 5334  df-riota 5970  df-ov 6020  df-oprab 6021  df-mpo 6022  df-pnf 8215  df-mnf 8216  df-xr 8217  df-ltxr 8218  df-le 8219  df-sub 8351  df-neg 8352  df-reap 8754  df-ap 8761  df-inn 9143  df-n0 9402  df-z 9479

This theorem is referenced by:  divalglemeunn  12481  divalglemeuneg  12483