Theorem divalglemnqt 12431

Description: Lemma for divalg 12435. The 𝑄 < 𝑇 case involved in showing uniqueness. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
divalglemnqt.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
divalglemnqt.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
divalglemnqt.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
divalglemnqt.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℤ)
divalglemnqt.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℤ)
divalglemnqt.0s	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑆)
divalglemnqt.rd	⊢ (𝜑 → 𝑅 < 𝐷)
divalglemnqt.eq	⊢ (𝜑 → ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅) = ((𝑇 · 𝐷) + 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
divalglemnqt	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 < 𝑇)

Proof of Theorem divalglemnqt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divalglemnqt.rd	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 < 𝐷)
2	1	adantr 276	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑅 < 𝐷)
3		divalglemnqt.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
4	3	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝐷 ∈ ℕ)
5	4	nnred 9123	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝐷 ∈ ℝ)
6		divalglemnqt.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
7	6	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑅 ∈ ℤ)
8	7	zred 9569	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑅 ∈ ℝ)
9		divalglemnqt.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
10	9	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑆 ∈ ℤ)
11	10	zred 9569	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑆 ∈ ℝ)
12	5, 11	readdcld 8176	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (𝐷 + 𝑆) ∈ ℝ)
13		divalglemnqt.0s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑆)
14	13	adantr 276	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 0 ≤ 𝑆)
15	5, 11	addge01d 8680	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (0 ≤ 𝑆 ↔ 𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑆)))
16	14, 15	mpbid 147	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑆))
17		divalglemnqt.q	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℤ)
18	17	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑄 ∈ ℤ)
19	18	zred 9569	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑄 ∈ ℝ)
20	19	recnd 8175	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑄 ∈ ℂ)
21	5	recnd 8175	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝐷 ∈ ℂ)
22	20, 21	mulcld 8167	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (𝑄 · 𝐷) ∈ ℂ)
23	11	recnd 8175	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑆 ∈ ℂ)
24	22, 21, 23	addassd 8169	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (((𝑄 · 𝐷) + 𝐷) + 𝑆) = ((𝑄 · 𝐷) + (𝐷 + 𝑆)))
25	19, 5	remulcld 8177	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (𝑄 · 𝐷) ∈ ℝ)
26	25, 5	readdcld 8176	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → ((𝑄 · 𝐷) + 𝐷) ∈ ℝ)
27		divalglemnqt.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℤ)
28	27	adantr 276	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑇 ∈ ℤ)
29	28	zred 9569	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑇 ∈ ℝ)
30	29, 5	remulcld 8177	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (𝑇 · 𝐷) ∈ ℝ)
31	20, 21	adddirp1d 8173	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → ((𝑄 + 1) · 𝐷) = ((𝑄 · 𝐷) + 𝐷))
32		peano2re 8282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑄 ∈ ℝ → (𝑄 + 1) ∈ ℝ)
33	19, 32	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (𝑄 + 1) ∈ ℝ)
34	4	nnnn0d 9422	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝐷 ∈ ℕ0)
35	34	nn0ge0d 9425	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 0 ≤ 𝐷)
36		simpr 110	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑄 < 𝑇)
37		zltp1le 9501	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑄 ∈ ℤ ∧ 𝑇 ∈ ℤ) → (𝑄 < 𝑇 ↔ (𝑄 + 1) ≤ 𝑇))
38	17, 28, 37	syl2an2r 597	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (𝑄 < 𝑇 ↔ (𝑄 + 1) ≤ 𝑇))
39	36, 38	mpbid 147	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (𝑄 + 1) ≤ 𝑇)
40	33, 29, 5, 35, 39	lemul1ad 9086	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → ((𝑄 + 1) · 𝐷) ≤ (𝑇 · 𝐷))
41	31, 40	eqbrtrrd 4107	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → ((𝑄 · 𝐷) + 𝐷) ≤ (𝑇 · 𝐷))
42	26, 30, 11, 41	leadd1dd 8706	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (((𝑄 · 𝐷) + 𝐷) + 𝑆) ≤ ((𝑇 · 𝐷) + 𝑆))
43		divalglemnqt.eq	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅) = ((𝑇 · 𝐷) + 𝑆))
44	43	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅) = ((𝑇 · 𝐷) + 𝑆))
45	42, 44	breqtrrd 4111	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (((𝑄 · 𝐷) + 𝐷) + 𝑆) ≤ ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅))
46	24, 45	eqbrtrrd 4107	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → ((𝑄 · 𝐷) + (𝐷 + 𝑆)) ≤ ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅))
47	12, 8, 25	leadd2d 8687	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → ((𝐷 + 𝑆) ≤ 𝑅 ↔ ((𝑄 · 𝐷) + (𝐷 + 𝑆)) ≤ ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅)))
48	46, 47	mpbird 167	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (𝐷 + 𝑆) ≤ 𝑅)
49	5, 12, 8, 16, 48	letrd 8270	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝐷 ≤ 𝑅)
50	5, 8, 49	lensymd 8268	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → ¬ 𝑅 < 𝐷)
51	2, 50	pm2.65da 665	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 < 𝑇)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   class class class wbr 4083  (class class class)co 6001  ℝcr 7998  0cc0 7999  1c1 8000   + caddc 8002   · cmul 8004   < clt 8181   ≤ cle 8182  ℕcn 9110  ℤcz 9446

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8090  ax-resscn 8091  ax-1cn 8092  ax-1re 8093  ax-icn 8094  ax-addcl 8095  ax-addrcl 8096  ax-mulcl 8097  ax-mulrcl 8098  ax-addcom 8099  ax-mulcom 8100  ax-addass 8101  ax-mulass 8102  ax-distr 8103  ax-i2m1 8104  ax-0lt1 8105  ax-1rid 8106  ax-0id 8107  ax-rnegex 8108  ax-precex 8109  ax-cnre 8110  ax-pre-ltirr 8111  ax-pre-ltwlin 8112  ax-pre-lttrn 8113  ax-pre-apti 8114  ax-pre-ltadd 8115  ax-pre-mulgt0 8116  ax-pre-mulext 8117

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-br 4084  df-opab 4146  df-id 4384  df-po 4387  df-iso 4388  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fv 5326  df-riota 5954  df-ov 6004  df-oprab 6005  df-mpo 6006  df-pnf 8183  df-mnf 8184  df-xr 8185  df-ltxr 8186  df-le 8187  df-sub 8319  df-neg 8320  df-reap 8722  df-ap 8729  df-inn 9111  df-n0 9370  df-z 9447

This theorem is referenced by:  divalglemeunn  12432  divalglemeuneg  12434