ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divalglemnqt GIF version

Theorem divalglemnqt 11924
Description: Lemma for divalg 11928. The ๐‘„ < ๐‘‡ case involved in showing uniqueness. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglemnqt.d (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•)
divalglemnqt.r (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„ค)
divalglemnqt.s (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„ค)
divalglemnqt.q (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„ค)
divalglemnqt.t (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„ค)
divalglemnqt.0s (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐‘†)
divalglemnqt.rd (๐œ‘ โ†’ ๐‘… < ๐ท)
divalglemnqt.eq (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ ยท ๐ท) + ๐‘…) = ((๐‘‡ ยท ๐ท) + ๐‘†))
Assertion
Ref Expression
divalglemnqt (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘„ < ๐‘‡)

Proof of Theorem divalglemnqt
StepHypRef Expression
1 divalglemnqt.rd . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… < ๐ท)
21adantr 276 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘„ < ๐‘‡) โ†’ ๐‘… < ๐ท)
3 divalglemnqt.d . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•)
43adantr 276 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘„ < ๐‘‡) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•)
54nnred 8931 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘„ < ๐‘‡) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
6 divalglemnqt.r . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„ค)
76adantr 276 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘„ < ๐‘‡) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„ค)
87zred 9374 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘„ < ๐‘‡) โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
9 divalglemnqt.s . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„ค)
109adantr 276 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘„ < ๐‘‡) โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„ค)
1110zred 9374 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘„ < ๐‘‡) โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„)
125, 11readdcld 7986 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘„ < ๐‘‡) โ†’ (๐ท + ๐‘†) โˆˆ โ„)
13 divalglemnqt.0s . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐‘†)
1413adantr 276 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘„ < ๐‘‡) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘†)
155, 11addge01d 8489 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘„ < ๐‘‡) โ†’ (0 โ‰ค ๐‘† โ†” ๐ท โ‰ค (๐ท + ๐‘†)))
1614, 15mpbid 147 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘„ < ๐‘‡) โ†’ ๐ท โ‰ค (๐ท + ๐‘†))
17 divalglemnqt.q . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„ค)
1817adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘„ < ๐‘‡) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„ค)
1918zred 9374 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘„ < ๐‘‡) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„)
2019recnd 7985 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘„ < ๐‘‡) โ†’ ๐‘„ โˆˆ โ„‚)
215recnd 7985 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘„ < ๐‘‡) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
2220, 21mulcld 7977 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘„ < ๐‘‡) โ†’ (๐‘„ ยท ๐ท) โˆˆ โ„‚)
2311recnd 7985 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘„ < ๐‘‡) โ†’ ๐‘† โˆˆ โ„‚)
2422, 21, 23addassd 7979 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘„ < ๐‘‡) โ†’ (((๐‘„ ยท ๐ท) + ๐ท) + ๐‘†) = ((๐‘„ ยท ๐ท) + (๐ท + ๐‘†)))
2519, 5remulcld 7987 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘„ < ๐‘‡) โ†’ (๐‘„ ยท ๐ท) โˆˆ โ„)
2625, 5readdcld 7986 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘„ < ๐‘‡) โ†’ ((๐‘„ ยท ๐ท) + ๐ท) โˆˆ โ„)
27 divalglemnqt.t . . . . . . . . . . 11 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„ค)
2827adantr 276 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘„ < ๐‘‡) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„ค)
2928zred 9374 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘„ < ๐‘‡) โ†’ ๐‘‡ โˆˆ โ„)
3029, 5remulcld 7987 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘„ < ๐‘‡) โ†’ (๐‘‡ ยท ๐ท) โˆˆ โ„)
3120, 21adddirp1d 7983 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘„ < ๐‘‡) โ†’ ((๐‘„ + 1) ยท ๐ท) = ((๐‘„ ยท ๐ท) + ๐ท))
32 peano2re 8092 . . . . . . . . . . 11 (๐‘„ โˆˆ โ„ โ†’ (๐‘„ + 1) โˆˆ โ„)
3319, 32syl 14 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘„ < ๐‘‡) โ†’ (๐‘„ + 1) โˆˆ โ„)
344nnnn0d 9228 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘„ < ๐‘‡) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„•0)
3534nn0ge0d 9231 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘„ < ๐‘‡) โ†’ 0 โ‰ค ๐ท)
36 simpr 110 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘„ < ๐‘‡) โ†’ ๐‘„ < ๐‘‡)
37 zltp1le 9306 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘„ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘‡ โˆˆ โ„ค) โ†’ (๐‘„ < ๐‘‡ โ†” (๐‘„ + 1) โ‰ค ๐‘‡))
3817, 28, 37syl2an2r 595 . . . . . . . . . . 11 ((๐œ‘ โˆง ๐‘„ < ๐‘‡) โ†’ (๐‘„ < ๐‘‡ โ†” (๐‘„ + 1) โ‰ค ๐‘‡))
3936, 38mpbid 147 . . . . . . . . . 10 ((๐œ‘ โˆง ๐‘„ < ๐‘‡) โ†’ (๐‘„ + 1) โ‰ค ๐‘‡)
4033, 29, 5, 35, 39lemul1ad 8895 . . . . . . . . 9 ((๐œ‘ โˆง ๐‘„ < ๐‘‡) โ†’ ((๐‘„ + 1) ยท ๐ท) โ‰ค (๐‘‡ ยท ๐ท))
4131, 40eqbrtrrd 4027 . . . . . . . 8 ((๐œ‘ โˆง ๐‘„ < ๐‘‡) โ†’ ((๐‘„ ยท ๐ท) + ๐ท) โ‰ค (๐‘‡ ยท ๐ท))
4226, 30, 11, 41leadd1dd 8515 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘„ < ๐‘‡) โ†’ (((๐‘„ ยท ๐ท) + ๐ท) + ๐‘†) โ‰ค ((๐‘‡ ยท ๐ท) + ๐‘†))
43 divalglemnqt.eq . . . . . . . 8 (๐œ‘ โ†’ ((๐‘„ ยท ๐ท) + ๐‘…) = ((๐‘‡ ยท ๐ท) + ๐‘†))
4443adantr 276 . . . . . . 7 ((๐œ‘ โˆง ๐‘„ < ๐‘‡) โ†’ ((๐‘„ ยท ๐ท) + ๐‘…) = ((๐‘‡ ยท ๐ท) + ๐‘†))
4542, 44breqtrrd 4031 . . . . . 6 ((๐œ‘ โˆง ๐‘„ < ๐‘‡) โ†’ (((๐‘„ ยท ๐ท) + ๐ท) + ๐‘†) โ‰ค ((๐‘„ ยท ๐ท) + ๐‘…))
4624, 45eqbrtrrd 4027 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘„ < ๐‘‡) โ†’ ((๐‘„ ยท ๐ท) + (๐ท + ๐‘†)) โ‰ค ((๐‘„ ยท ๐ท) + ๐‘…))
4712, 8, 25leadd2d 8496 . . . . 5 ((๐œ‘ โˆง ๐‘„ < ๐‘‡) โ†’ ((๐ท + ๐‘†) โ‰ค ๐‘… โ†” ((๐‘„ ยท ๐ท) + (๐ท + ๐‘†)) โ‰ค ((๐‘„ ยท ๐ท) + ๐‘…)))
4846, 47mpbird 167 . . . 4 ((๐œ‘ โˆง ๐‘„ < ๐‘‡) โ†’ (๐ท + ๐‘†) โ‰ค ๐‘…)
495, 12, 8, 16, 48letrd 8080 . . 3 ((๐œ‘ โˆง ๐‘„ < ๐‘‡) โ†’ ๐ท โ‰ค ๐‘…)
505, 8, 49lensymd 8078 . 2 ((๐œ‘ โˆง ๐‘„ < ๐‘‡) โ†’ ยฌ ๐‘… < ๐ท)
512, 50pm2.65da 661 1 (๐œ‘ โ†’ ยฌ ๐‘„ < ๐‘‡)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ยฌ wn 3   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โ†” wb 105   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148   class class class wbr 4003  (class class class)co 5874  โ„cr 7809  0cc0 7810  1c1 7811   + caddc 7813   ยท cmul 7815   < clt 7991   โ‰ค cle 7992  โ„•cn 8918  โ„คcz 9252
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-mulrcl 7909  ax-addcom 7910  ax-mulcom 7911  ax-addass 7912  ax-mulass 7913  ax-distr 7914  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-1rid 7917  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-precex 7920  ax-cnre 7921  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltwlin 7923  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-apti 7925  ax-pre-ltadd 7926  ax-pre-mulgt0 7927  ax-pre-mulext 7928
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-id 4293  df-po 4296  df-iso 4297  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7993  df-mnf 7994  df-xr 7995  df-ltxr 7996  df-le 7997  df-sub 8129  df-neg 8130  df-reap 8531  df-ap 8538  df-inn 8919  df-n0 9176  df-z 9253
This theorem is referenced by:  divalglemeunn  11925  divalglemeuneg  11927
  Copyright terms: Public domain W3C validator