Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  divalglemnqt GIF version

Theorem divalglemnqt 11673
 Description: Lemma for divalg 11677. The 𝑄 < 𝑇 case involved in showing uniqueness. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Dec-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
divalglemnqt.d (𝜑𝐷 ∈ ℕ)
divalglemnqt.r (𝜑𝑅 ∈ ℤ)
divalglemnqt.s (𝜑𝑆 ∈ ℤ)
divalglemnqt.q (𝜑𝑄 ∈ ℤ)
divalglemnqt.t (𝜑𝑇 ∈ ℤ)
divalglemnqt.0s (𝜑 → 0 ≤ 𝑆)
divalglemnqt.rd (𝜑𝑅 < 𝐷)
divalglemnqt.eq (𝜑 → ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅) = ((𝑇 · 𝐷) + 𝑆))
Assertion
Ref Expression
divalglemnqt (𝜑 → ¬ 𝑄 < 𝑇)

Proof of Theorem divalglemnqt
StepHypRef Expression
1 divalglemnqt.rd . . 3 (𝜑𝑅 < 𝐷)
21adantr 274 . 2 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → 𝑅 < 𝐷)
3 divalglemnqt.d . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ ℕ)
43adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → 𝐷 ∈ ℕ)
54nnred 8777 . . 3 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → 𝐷 ∈ ℝ)
6 divalglemnqt.r . . . . 5 (𝜑𝑅 ∈ ℤ)
76adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → 𝑅 ∈ ℤ)
87zred 9217 . . 3 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → 𝑅 ∈ ℝ)
9 divalglemnqt.s . . . . . . 7 (𝜑𝑆 ∈ ℤ)
109adantr 274 . . . . . 6 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → 𝑆 ∈ ℤ)
1110zred 9217 . . . . 5 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → 𝑆 ∈ ℝ)
125, 11readdcld 7839 . . . 4 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → (𝐷 + 𝑆) ∈ ℝ)
13 divalglemnqt.0s . . . . . 6 (𝜑 → 0 ≤ 𝑆)
1413adantr 274 . . . . 5 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → 0 ≤ 𝑆)
155, 11addge01d 8339 . . . . 5 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → (0 ≤ 𝑆𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑆)))
1614, 15mpbid 146 . . . 4 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → 𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑆))
17 divalglemnqt.q . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑄 ∈ ℤ)
1817adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → 𝑄 ∈ ℤ)
1918zred 9217 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → 𝑄 ∈ ℝ)
2019recnd 7838 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → 𝑄 ∈ ℂ)
215recnd 7838 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → 𝐷 ∈ ℂ)
2220, 21mulcld 7830 . . . . . . 7 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → (𝑄 · 𝐷) ∈ ℂ)
2311recnd 7838 . . . . . . 7 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → 𝑆 ∈ ℂ)
2422, 21, 23addassd 7832 . . . . . 6 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → (((𝑄 · 𝐷) + 𝐷) + 𝑆) = ((𝑄 · 𝐷) + (𝐷 + 𝑆)))
2519, 5remulcld 7840 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → (𝑄 · 𝐷) ∈ ℝ)
2625, 5readdcld 7839 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → ((𝑄 · 𝐷) + 𝐷) ∈ ℝ)
27 divalglemnqt.t . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ∈ ℤ)
2827adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → 𝑇 ∈ ℤ)
2928zred 9217 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → 𝑇 ∈ ℝ)
3029, 5remulcld 7840 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → (𝑇 · 𝐷) ∈ ℝ)
3120, 21adddirp1d 7836 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → ((𝑄 + 1) · 𝐷) = ((𝑄 · 𝐷) + 𝐷))
32 peano2re 7942 . . . . . . . . . . 11 (𝑄 ∈ ℝ → (𝑄 + 1) ∈ ℝ)
3319, 32syl 14 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → (𝑄 + 1) ∈ ℝ)
344nnnn0d 9074 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → 𝐷 ∈ ℕ0)
3534nn0ge0d 9077 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → 0 ≤ 𝐷)
36 simpr 109 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → 𝑄 < 𝑇)
37 zltp1le 9152 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑄 ∈ ℤ ∧ 𝑇 ∈ ℤ) → (𝑄 < 𝑇 ↔ (𝑄 + 1) ≤ 𝑇))
3817, 28, 37syl2an2r 585 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → (𝑄 < 𝑇 ↔ (𝑄 + 1) ≤ 𝑇))
3936, 38mpbid 146 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → (𝑄 + 1) ≤ 𝑇)
4033, 29, 5, 35, 39lemul1ad 8741 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → ((𝑄 + 1) · 𝐷) ≤ (𝑇 · 𝐷))
4131, 40eqbrtrrd 3961 . . . . . . . 8 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → ((𝑄 · 𝐷) + 𝐷) ≤ (𝑇 · 𝐷))
4226, 30, 11, 41leadd1dd 8365 . . . . . . 7 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → (((𝑄 · 𝐷) + 𝐷) + 𝑆) ≤ ((𝑇 · 𝐷) + 𝑆))
43 divalglemnqt.eq . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅) = ((𝑇 · 𝐷) + 𝑆))
4443adantr 274 . . . . . . 7 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅) = ((𝑇 · 𝐷) + 𝑆))
4542, 44breqtrrd 3965 . . . . . 6 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → (((𝑄 · 𝐷) + 𝐷) + 𝑆) ≤ ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅))
4624, 45eqbrtrrd 3961 . . . . 5 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → ((𝑄 · 𝐷) + (𝐷 + 𝑆)) ≤ ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅))
4712, 8, 25leadd2d 8346 . . . . 5 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → ((𝐷 + 𝑆) ≤ 𝑅 ↔ ((𝑄 · 𝐷) + (𝐷 + 𝑆)) ≤ ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅)))
4846, 47mpbird 166 . . . 4 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → (𝐷 + 𝑆) ≤ 𝑅)
495, 12, 8, 16, 48letrd 7930 . . 3 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → 𝐷𝑅)
505, 8, 49lensymd 7928 . 2 ((𝜑𝑄 < 𝑇) → ¬ 𝑅 < 𝐷)
512, 50pm2.65da 651 1 (𝜑 → ¬ 𝑄 < 𝑇)
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 1481   class class class wbr 3938  (class class class)co 5783  ℝcr 7663  0cc0 7664  1c1 7665   + caddc 7667   · cmul 7669   < clt 7844   ≤ cle 7845  ℕcn 8764  ℤcz 9098 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4055  ax-pow 4107  ax-pr 4140  ax-un 4364  ax-setind 4461  ax-cnex 7755  ax-resscn 7756  ax-1cn 7757  ax-1re 7758  ax-icn 7759  ax-addcl 7760  ax-addrcl 7761  ax-mulcl 7762  ax-mulrcl 7763  ax-addcom 7764  ax-mulcom 7765  ax-addass 7766  ax-mulass 7767  ax-distr 7768  ax-i2m1 7769  ax-0lt1 7770  ax-1rid 7771  ax-0id 7772  ax-rnegex 7773  ax-precex 7774  ax-cnre 7775  ax-pre-ltirr 7776  ax-pre-ltwlin 7777  ax-pre-lttrn 7778  ax-pre-apti 7779  ax-pre-ltadd 7780  ax-pre-mulgt0 7781  ax-pre-mulext 7782 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2692  df-sbc 2915  df-dif 3079  df-un 3081  df-in 3083  df-ss 3090  df-pw 3518  df-sn 3539  df-pr 3540  df-op 3542  df-uni 3746  df-int 3781  df-br 3939  df-opab 3999  df-id 4224  df-po 4227  df-iso 4228  df-xp 4554  df-rel 4555  df-cnv 4556  df-co 4557  df-dm 4558  df-iota 5097  df-fun 5134  df-fv 5140  df-riota 5739  df-ov 5786  df-oprab 5787  df-mpo 5788  df-pnf 7846  df-mnf 7847  df-xr 7848  df-ltxr 7849  df-le 7850  df-sub 7979  df-neg 7980  df-reap 8381  df-ap 8388  df-inn 8765  df-n0 9022  df-z 9099 This theorem is referenced by:  divalglemeunn  11674  divalglemeuneg  11676
 Copyright terms: Public domain W3C validator