Theorem divalglemnqt 11857

Description: Lemma for divalg 11861. The 𝑄 < 𝑇 case involved in showing uniqueness. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
divalglemnqt.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
divalglemnqt.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
divalglemnqt.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
divalglemnqt.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℤ)
divalglemnqt.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℤ)
divalglemnqt.0s	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑆)
divalglemnqt.rd	⊢ (𝜑 → 𝑅 < 𝐷)
divalglemnqt.eq	⊢ (𝜑 → ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅) = ((𝑇 · 𝐷) + 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
divalglemnqt	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 < 𝑇)

Proof of Theorem divalglemnqt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divalglemnqt.rd	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 < 𝐷)
2	1	adantr 274	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑅 < 𝐷)
3		divalglemnqt.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
4	3	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝐷 ∈ ℕ)
5	4	nnred 8870	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝐷 ∈ ℝ)
6		divalglemnqt.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
7	6	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑅 ∈ ℤ)
8	7	zred 9313	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑅 ∈ ℝ)
9		divalglemnqt.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
10	9	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑆 ∈ ℤ)
11	10	zred 9313	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑆 ∈ ℝ)
12	5, 11	readdcld 7928	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (𝐷 + 𝑆) ∈ ℝ)
13		divalglemnqt.0s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑆)
14	13	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 0 ≤ 𝑆)
15	5, 11	addge01d 8431	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (0 ≤ 𝑆 ↔ 𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑆)))
16	14, 15	mpbid 146	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑆))
17		divalglemnqt.q	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℤ)
18	17	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑄 ∈ ℤ)
19	18	zred 9313	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑄 ∈ ℝ)
20	19	recnd 7927	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑄 ∈ ℂ)
21	5	recnd 7927	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝐷 ∈ ℂ)
22	20, 21	mulcld 7919	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (𝑄 · 𝐷) ∈ ℂ)
23	11	recnd 7927	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑆 ∈ ℂ)
24	22, 21, 23	addassd 7921	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (((𝑄 · 𝐷) + 𝐷) + 𝑆) = ((𝑄 · 𝐷) + (𝐷 + 𝑆)))
25	19, 5	remulcld 7929	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (𝑄 · 𝐷) ∈ ℝ)
26	25, 5	readdcld 7928	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → ((𝑄 · 𝐷) + 𝐷) ∈ ℝ)
27		divalglemnqt.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℤ)
28	27	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑇 ∈ ℤ)
29	28	zred 9313	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑇 ∈ ℝ)
30	29, 5	remulcld 7929	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (𝑇 · 𝐷) ∈ ℝ)
31	20, 21	adddirp1d 7925	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → ((𝑄 + 1) · 𝐷) = ((𝑄 · 𝐷) + 𝐷))
32		peano2re 8034	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑄 ∈ ℝ → (𝑄 + 1) ∈ ℝ)
33	19, 32	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (𝑄 + 1) ∈ ℝ)
34	4	nnnn0d 9167	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝐷 ∈ ℕ0)
35	34	nn0ge0d 9170	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 0 ≤ 𝐷)
36		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑄 < 𝑇)
37		zltp1le 9245	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑄 ∈ ℤ ∧ 𝑇 ∈ ℤ) → (𝑄 < 𝑇 ↔ (𝑄 + 1) ≤ 𝑇))
38	17, 28, 37	syl2an2r 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (𝑄 < 𝑇 ↔ (𝑄 + 1) ≤ 𝑇))
39	36, 38	mpbid 146	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (𝑄 + 1) ≤ 𝑇)
40	33, 29, 5, 35, 39	lemul1ad 8834	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → ((𝑄 + 1) · 𝐷) ≤ (𝑇 · 𝐷))
41	31, 40	eqbrtrrd 4006	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → ((𝑄 · 𝐷) + 𝐷) ≤ (𝑇 · 𝐷))
42	26, 30, 11, 41	leadd1dd 8457	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (((𝑄 · 𝐷) + 𝐷) + 𝑆) ≤ ((𝑇 · 𝐷) + 𝑆))
43		divalglemnqt.eq	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅) = ((𝑇 · 𝐷) + 𝑆))
44	43	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅) = ((𝑇 · 𝐷) + 𝑆))
45	42, 44	breqtrrd 4010	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (((𝑄 · 𝐷) + 𝐷) + 𝑆) ≤ ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅))
46	24, 45	eqbrtrrd 4006	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → ((𝑄 · 𝐷) + (𝐷 + 𝑆)) ≤ ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅))
47	12, 8, 25	leadd2d 8438	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → ((𝐷 + 𝑆) ≤ 𝑅 ↔ ((𝑄 · 𝐷) + (𝐷 + 𝑆)) ≤ ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅)))
48	46, 47	mpbird 166	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (𝐷 + 𝑆) ≤ 𝑅)
49	5, 12, 8, 16, 48	letrd 8022	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝐷 ≤ 𝑅)
50	5, 8, 49	lensymd 8020	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → ¬ 𝑅 < 𝐷)
51	2, 50	pm2.65da 651	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 < 𝑇)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1343   ∈ wcel 2136   class class class wbr 3982  (class class class)co 5842  ℝcr 7752  0cc0 7753  1c1 7754   + caddc 7756   · cmul 7758   < clt 7933   ≤ cle 7934  ℕcn 8857  ℤcz 9191

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411  ax-setind 4514  ax-cnex 7844  ax-resscn 7845  ax-1cn 7846  ax-1re 7847  ax-icn 7848  ax-addcl 7849  ax-addrcl 7850  ax-mulcl 7851  ax-mulrcl 7852  ax-addcom 7853  ax-mulcom 7854  ax-addass 7855  ax-mulass 7856  ax-distr 7857  ax-i2m1 7858  ax-0lt1 7859  ax-1rid 7860  ax-0id 7861  ax-rnegex 7862  ax-precex 7863  ax-cnre 7864  ax-pre-ltirr 7865  ax-pre-ltwlin 7866  ax-pre-lttrn 7867  ax-pre-apti 7868  ax-pre-ltadd 7869  ax-pre-mulgt0 7870  ax-pre-mulext 7871

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1346  df-fal 1349  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ne 2337  df-nel 2432  df-ral 2449  df-rex 2450  df-reu 2451  df-rab 2453  df-v 2728  df-sbc 2952  df-dif 3118  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-int 3825  df-br 3983  df-opab 4044  df-id 4271  df-po 4274  df-iso 4275  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-riota 5798  df-ov 5845  df-oprab 5846  df-mpo 5847  df-pnf 7935  df-mnf 7936  df-xr 7937  df-ltxr 7938  df-le 7939  df-sub 8071  df-neg 8072  df-reap 8473  df-ap 8480  df-inn 8858  df-n0 9115  df-z 9192

This theorem is referenced by:  divalglemeunn  11858  divalglemeuneg  11860