Theorem divalglemnqt 11879

Description: Lemma for divalg 11883. The 𝑄 < 𝑇 case involved in showing uniqueness. (Contributed by Jim Kingdon, 4-Dec-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
divalglemnqt.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
divalglemnqt.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
divalglemnqt.s	⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
divalglemnqt.q	⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℤ)
divalglemnqt.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℤ)
divalglemnqt.0s	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑆)
divalglemnqt.rd	⊢ (𝜑 → 𝑅 < 𝐷)
divalglemnqt.eq	⊢ (𝜑 → ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅) = ((𝑇 · 𝐷) + 𝑆))

Assertion

Ref	Expression
divalglemnqt	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 < 𝑇)

Proof of Theorem divalglemnqt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		divalglemnqt.rd	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 < 𝐷)
2	1	adantr 274	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑅 < 𝐷)
3		divalglemnqt.d	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℕ)
4	3	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝐷 ∈ ℕ)
5	4	nnred 8891	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝐷 ∈ ℝ)
6		divalglemnqt.r	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ ℤ)
7	6	adantr 274	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑅 ∈ ℤ)
8	7	zred 9334	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑅 ∈ ℝ)
9		divalglemnqt.s	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ∈ ℤ)
10	9	adantr 274	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑆 ∈ ℤ)
11	10	zred 9334	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑆 ∈ ℝ)
12	5, 11	readdcld 7949	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (𝐷 + 𝑆) ∈ ℝ)
13		divalglemnqt.0s	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝑆)
14	13	adantr 274	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 0 ≤ 𝑆)
15	5, 11	addge01d 8452	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (0 ≤ 𝑆 ↔ 𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑆)))
16	14, 15	mpbid 146	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝐷 ≤ (𝐷 + 𝑆))
17		divalglemnqt.q	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑄 ∈ ℤ)
18	17	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑄 ∈ ℤ)
19	18	zred 9334	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑄 ∈ ℝ)
20	19	recnd 7948	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑄 ∈ ℂ)
21	5	recnd 7948	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝐷 ∈ ℂ)
22	20, 21	mulcld 7940	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (𝑄 · 𝐷) ∈ ℂ)
23	11	recnd 7948	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑆 ∈ ℂ)
24	22, 21, 23	addassd 7942	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (((𝑄 · 𝐷) + 𝐷) + 𝑆) = ((𝑄 · 𝐷) + (𝐷 + 𝑆)))
25	19, 5	remulcld 7950	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (𝑄 · 𝐷) ∈ ℝ)
26	25, 5	readdcld 7949	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → ((𝑄 · 𝐷) + 𝐷) ∈ ℝ)
27		divalglemnqt.t	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℤ)
28	27	adantr 274	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑇 ∈ ℤ)
29	28	zred 9334	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑇 ∈ ℝ)
30	29, 5	remulcld 7950	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (𝑇 · 𝐷) ∈ ℝ)
31	20, 21	adddirp1d 7946	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → ((𝑄 + 1) · 𝐷) = ((𝑄 · 𝐷) + 𝐷))
32		peano2re 8055	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑄 ∈ ℝ → (𝑄 + 1) ∈ ℝ)
33	19, 32	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (𝑄 + 1) ∈ ℝ)
34	4	nnnn0d 9188	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝐷 ∈ ℕ0)
35	34	nn0ge0d 9191	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 0 ≤ 𝐷)
36		simpr 109	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝑄 < 𝑇)
37		zltp1le 9266	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑄 ∈ ℤ ∧ 𝑇 ∈ ℤ) → (𝑄 < 𝑇 ↔ (𝑄 + 1) ≤ 𝑇))
38	17, 28, 37	syl2an2r 590	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (𝑄 < 𝑇 ↔ (𝑄 + 1) ≤ 𝑇))
39	36, 38	mpbid 146	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (𝑄 + 1) ≤ 𝑇)
40	33, 29, 5, 35, 39	lemul1ad 8855	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → ((𝑄 + 1) · 𝐷) ≤ (𝑇 · 𝐷))
41	31, 40	eqbrtrrd 4013	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → ((𝑄 · 𝐷) + 𝐷) ≤ (𝑇 · 𝐷))
42	26, 30, 11, 41	leadd1dd 8478	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (((𝑄 · 𝐷) + 𝐷) + 𝑆) ≤ ((𝑇 · 𝐷) + 𝑆))
43		divalglemnqt.eq	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅) = ((𝑇 · 𝐷) + 𝑆))
44	43	adantr 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅) = ((𝑇 · 𝐷) + 𝑆))
45	42, 44	breqtrrd 4017	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (((𝑄 · 𝐷) + 𝐷) + 𝑆) ≤ ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅))
46	24, 45	eqbrtrrd 4013	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → ((𝑄 · 𝐷) + (𝐷 + 𝑆)) ≤ ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅))
47	12, 8, 25	leadd2d 8459	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → ((𝐷 + 𝑆) ≤ 𝑅 ↔ ((𝑄 · 𝐷) + (𝐷 + 𝑆)) ≤ ((𝑄 · 𝐷) + 𝑅)))
48	46, 47	mpbird 166	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → (𝐷 + 𝑆) ≤ 𝑅)
49	5, 12, 8, 16, 48	letrd 8043	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → 𝐷 ≤ 𝑅)
50	5, 8, 49	lensymd 8041	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑄 < 𝑇) → ¬ 𝑅 < 𝐷)
51	2, 50	pm2.65da 656	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑄 < 𝑇)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1348   ∈ wcel 2141   class class class wbr 3989  (class class class)co 5853  ℝcr 7773  0cc0 7774  1c1 7775   + caddc 7777   · cmul 7779   < clt 7954   ≤ cle 7955  ℕcn 8878  ℤcz 9212

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-sep 4107  ax-pow 4160  ax-pr 4194  ax-un 4418  ax-setind 4521  ax-cnex 7865  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-1re 7868  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-addrcl 7871  ax-mulcl 7872  ax-mulrcl 7873  ax-addcom 7874  ax-mulcom 7875  ax-addass 7876  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-i2m1 7879  ax-0lt1 7880  ax-1rid 7881  ax-0id 7882  ax-rnegex 7883  ax-precex 7884  ax-cnre 7885  ax-pre-ltirr 7886  ax-pre-ltwlin 7887  ax-pre-lttrn 7888  ax-pre-apti 7889  ax-pre-ltadd 7890  ax-pre-mulgt0 7891  ax-pre-mulext 7892

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-pw 3568  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-int 3832  df-br 3990  df-opab 4051  df-id 4278  df-po 4281  df-iso 4282  df-xp 4617  df-rel 4618  df-cnv 4619  df-co 4620  df-dm 4621  df-iota 5160  df-fun 5200  df-fv 5206  df-riota 5809  df-ov 5856  df-oprab 5857  df-mpo 5858  df-pnf 7956  df-mnf 7957  df-xr 7958  df-ltxr 7959  df-le 7960  df-sub 8092  df-neg 8093  df-reap 8494  df-ap 8501  df-inn 8879  df-n0 9136  df-z 9213

This theorem is referenced by:  divalglemeunn  11880  divalglemeuneg  11882