Theorem mulid2d 8048

Description: Identity law for multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
addcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulid2d	⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem mulid2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mullid 8027	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5923  ℂcc 7880  1c1 7883   · cmul 7887

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-resscn 7974  ax-1cn 7975  ax-icn 7977  ax-addcl 7978  ax-mulcl 7980  ax-mulcom 7983  ax-mulass 7985  ax-distr 7986  ax-1rid 7989  ax-cnre 7993

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5926

This theorem is referenced by:  adddirp1d  8056  mulsubfacd  8448  mulcanapd  8691  receuap  8699  divdivdivap  8743  divcanap5  8744  subrecap  8869  ltrec  8913  recp1lt1  8929  nndivtr  9035  xp1d2m1eqxm1d2  9247  gtndiv  9424  lincmb01cmp  10081  iccf1o  10082  modqfrac  10432  qnegmod  10464  addmodid  10467  m1expcl2  10656  expgt1  10672  ltexp2a  10686  leexp2a  10687  binom3  10752  faclbnd  10836  facavg  10841  bcval5  10858  cvg1nlemcau  11152  resqrexlemover  11178  resqrexlemcalc2  11183  absimle  11252  maxabslemlub  11375  reccn2ap  11481  binom1p  11653  binom1dif  11655  fprodsplitdc  11764  fprodcl2lem  11773  efcllemp  11826  ef01bndlem  11924  efieq1re  11940  eirraplem  11945  iddvds  11972  gcdaddm  12162  rpmulgcd  12204  prmind2  12299  isprm5lem  12320  phiprm  12402  eulerthlemth  12411  fermltl  12413  hashgcdlem  12417  odzdvds  12425  powm2modprm  12432  modprm0  12434  pythagtriplem4  12448  mulgnnass  13313  dvexp  14973  dvef  14989  reeff1oleme  15034  sin0pilem1  15043  sinhalfpip  15082  sinhalfpim  15083  coshalfpip  15084  coshalfpim  15085  tangtx  15100  logdivlti  15143  binom4  15241  lgsval2lem  15277  lgsval4a  15289  lgsneg1  15292  lgsdilem  15294  lgsdir2lem4  15298  lgsdir2  15300  lgsdir  15302  lgsmulsqcoprm  15313  lgsdirnn0  15314  lgsdinn0  15315  2sqlem8  15390  qdencn  15698