Theorem mulid2d 8040

Description: Identity law for multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
addcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulid2d	⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem mulid2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mullid 8019	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  (class class class)co 5919  ℂcc 7872  1c1 7875   · cmul 7879

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175  ax-resscn 7966  ax-1cn 7967  ax-icn 7969  ax-addcl 7970  ax-mulcl 7972  ax-mulcom 7975  ax-mulass 7977  ax-distr 7978  ax-1rid 7981  ax-cnre 7985

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-sn 3625  df-pr 3626  df-op 3628  df-uni 3837  df-br 4031  df-iota 5216  df-fv 5263  df-ov 5922

This theorem is referenced by:  adddirp1d  8048  mulsubfacd  8439  mulcanapd  8682  receuap  8690  divdivdivap  8734  divcanap5  8735  subrecap  8860  ltrec  8904  recp1lt1  8920  nndivtr  9026  xp1d2m1eqxm1d2  9238  gtndiv  9415  lincmb01cmp  10072  iccf1o  10073  modqfrac  10411  qnegmod  10443  addmodid  10446  m1expcl2  10635  expgt1  10651  ltexp2a  10665  leexp2a  10666  binom3  10731  faclbnd  10815  facavg  10820  bcval5  10837  cvg1nlemcau  11131  resqrexlemover  11157  resqrexlemcalc2  11162  absimle  11231  maxabslemlub  11354  reccn2ap  11459  binom1p  11631  binom1dif  11633  fprodsplitdc  11742  fprodcl2lem  11751  efcllemp  11804  ef01bndlem  11902  efieq1re  11918  eirraplem  11923  iddvds  11950  gcdaddm  12124  rpmulgcd  12166  prmind2  12261  isprm5lem  12282  phiprm  12364  eulerthlemth  12373  fermltl  12375  hashgcdlem  12379  odzdvds  12386  powm2modprm  12393  modprm0  12395  pythagtriplem4  12409  mulgnnass  13230  dvexp  14890  dvef  14906  reeff1oleme  14948  sin0pilem1  14957  sinhalfpip  14996  sinhalfpim  14997  coshalfpip  14998  coshalfpim  14999  tangtx  15014  logdivlti  15057  binom4  15152  lgsval2lem  15167  lgsval4a  15179  lgsneg1  15182  lgsdilem  15184  lgsdir2lem4  15188  lgsdir2  15190  lgsdir  15192  lgsmulsqcoprm  15203  lgsdirnn0  15204  lgsdinn0  15205  2sqlem8  15280  qdencn  15587