Theorem mulid2d 8188

Description: Identity law for multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
addcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulid2d	⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem mulid2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mullid 8167	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6013  ℂcc 8020  1c1 8023   · cmul 8027

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-mulcl 8120  ax-mulcom 8123  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-1rid 8129  ax-cnre 8133

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2802  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-br 4087  df-iota 5284  df-fv 5332  df-ov 6016

This theorem is referenced by:  adddirp1d  8196  mulsubfacd  8588  mulcanapd  8831  receuap  8839  divdivdivap  8883  divcanap5  8884  subrecap  9009  ltrec  9053  recp1lt1  9069  nndivtr  9175  xp1d2m1eqxm1d2  9387  gtndiv  9565  lincmb01cmp  10228  iccf1o  10229  modqfrac  10589  qnegmod  10621  addmodid  10624  m1expcl2  10813  expgt1  10829  ltexp2a  10843  leexp2a  10844  binom3  10909  faclbnd  10993  facavg  10998  bcval5  11015  cvg1nlemcau  11535  resqrexlemover  11561  resqrexlemcalc2  11566  absimle  11635  maxabslemlub  11758  reccn2ap  11864  binom1p  12036  binom1dif  12038  fprodsplitdc  12147  fprodcl2lem  12156  efcllemp  12209  ef01bndlem  12307  efieq1re  12323  eirraplem  12328  iddvds  12355  gcdaddm  12545  rpmulgcd  12587  prmind2  12682  isprm5lem  12703  phiprm  12785  eulerthlemth  12794  fermltl  12796  hashgcdlem  12800  odzdvds  12808  powm2modprm  12815  modprm0  12817  pythagtriplem4  12831  mulgnnass  13734  dvexp  15425  dvef  15441  reeff1oleme  15486  sin0pilem1  15495  sinhalfpip  15534  sinhalfpim  15535  coshalfpip  15536  coshalfpim  15537  tangtx  15552  logdivlti  15595  binom4  15693  lgsval2lem  15729  lgsval4a  15741  lgsneg1  15744  lgsdilem  15746  lgsdir2lem4  15750  lgsdir2  15752  lgsdir  15754  lgsmulsqcoprm  15765  lgsdirnn0  15766  lgsdinn0  15767  2sqlem8  15842  qdencn  16567