Theorem mulid2d 8161

Description: Identity law for multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
addcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulid2d	⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem mulid2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mullid 8140	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6000  ℂcc 7993  1c1 7996   · cmul 8000

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-resscn 8087  ax-1cn 8088  ax-icn 8090  ax-addcl 8091  ax-mulcl 8093  ax-mulcom 8096  ax-mulass 8098  ax-distr 8099  ax-1rid 8102  ax-cnre 8106

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-br 4083  df-iota 5277  df-fv 5325  df-ov 6003

This theorem is referenced by:  adddirp1d  8169  mulsubfacd  8561  mulcanapd  8804  receuap  8812  divdivdivap  8856  divcanap5  8857  subrecap  8982  ltrec  9026  recp1lt1  9042  nndivtr  9148  xp1d2m1eqxm1d2  9360  gtndiv  9538  lincmb01cmp  10195  iccf1o  10196  modqfrac  10554  qnegmod  10586  addmodid  10589  m1expcl2  10778  expgt1  10794  ltexp2a  10808  leexp2a  10809  binom3  10874  faclbnd  10958  facavg  10963  bcval5  10980  cvg1nlemcau  11490  resqrexlemover  11516  resqrexlemcalc2  11521  absimle  11590  maxabslemlub  11713  reccn2ap  11819  binom1p  11991  binom1dif  11993  fprodsplitdc  12102  fprodcl2lem  12111  efcllemp  12164  ef01bndlem  12262  efieq1re  12278  eirraplem  12283  iddvds  12310  gcdaddm  12500  rpmulgcd  12542  prmind2  12637  isprm5lem  12658  phiprm  12740  eulerthlemth  12749  fermltl  12751  hashgcdlem  12755  odzdvds  12763  powm2modprm  12770  modprm0  12772  pythagtriplem4  12786  mulgnnass  13689  dvexp  15379  dvef  15395  reeff1oleme  15440  sin0pilem1  15449  sinhalfpip  15488  sinhalfpim  15489  coshalfpip  15490  coshalfpim  15491  tangtx  15506  logdivlti  15549  binom4  15647  lgsval2lem  15683  lgsval4a  15695  lgsneg1  15698  lgsdilem  15700  lgsdir2lem4  15704  lgsdir2  15706  lgsdir  15708  lgsmulsqcoprm  15719  lgsdirnn0  15720  lgsdinn0  15721  2sqlem8  15796  qdencn  16354