Theorem mulid2d 8176

Description: Identity law for multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
addcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulid2d	⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem mulid2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mullid 8155	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  (class class class)co 6007  ℂcc 8008  1c1 8011   · cmul 8015

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-mulcl 8108  ax-mulcom 8111  ax-mulass 8113  ax-distr 8114  ax-1rid 8117  ax-cnre 8121

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ral 2513  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-br 4084  df-iota 5278  df-fv 5326  df-ov 6010

This theorem is referenced by:  adddirp1d  8184  mulsubfacd  8576  mulcanapd  8819  receuap  8827  divdivdivap  8871  divcanap5  8872  subrecap  8997  ltrec  9041  recp1lt1  9057  nndivtr  9163  xp1d2m1eqxm1d2  9375  gtndiv  9553  lincmb01cmp  10211  iccf1o  10212  modqfrac  10571  qnegmod  10603  addmodid  10606  m1expcl2  10795  expgt1  10811  ltexp2a  10825  leexp2a  10826  binom3  10891  faclbnd  10975  facavg  10980  bcval5  10997  cvg1nlemcau  11510  resqrexlemover  11536  resqrexlemcalc2  11541  absimle  11610  maxabslemlub  11733  reccn2ap  11839  binom1p  12011  binom1dif  12013  fprodsplitdc  12122  fprodcl2lem  12131  efcllemp  12184  ef01bndlem  12282  efieq1re  12298  eirraplem  12303  iddvds  12330  gcdaddm  12520  rpmulgcd  12562  prmind2  12657  isprm5lem  12678  phiprm  12760  eulerthlemth  12769  fermltl  12771  hashgcdlem  12775  odzdvds  12783  powm2modprm  12790  modprm0  12792  pythagtriplem4  12806  mulgnnass  13709  dvexp  15400  dvef  15416  reeff1oleme  15461  sin0pilem1  15470  sinhalfpip  15509  sinhalfpim  15510  coshalfpip  15511  coshalfpim  15512  tangtx  15527  logdivlti  15570  binom4  15668  lgsval2lem  15704  lgsval4a  15716  lgsneg1  15719  lgsdilem  15721  lgsdir2lem4  15725  lgsdir2  15727  lgsdir  15729  lgsmulsqcoprm  15740  lgsdirnn0  15741  lgsdinn0  15742  2sqlem8  15817  qdencn  16455