Theorem mulid2d 7938

Description: Identity law for multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
addcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulid2d	⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem mulid2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulid2 7918	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1348   ∈ wcel 2141  (class class class)co 5853  ℂcc 7772  1c1 7775   · cmul 7779

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-ext 2152  ax-resscn 7866  ax-1cn 7867  ax-icn 7869  ax-addcl 7870  ax-mulcl 7872  ax-mulcom 7875  ax-mulass 7877  ax-distr 7878  ax-1rid 7881  ax-cnre 7885

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 975  df-tru 1351  df-nf 1454  df-sb 1756  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ral 2453  df-rex 2454  df-v 2732  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-sn 3589  df-pr 3590  df-op 3592  df-uni 3797  df-br 3990  df-iota 5160  df-fv 5206  df-ov 5856

This theorem is referenced by:  adddirp1d  7946  mulsubfacd  8337  mulcanapd  8579  receuap  8587  divdivdivap  8630  divcanap5  8631  subrecap  8756  ltrec  8799  recp1lt1  8815  nndivtr  8920  xp1d2m1eqxm1d2  9130  gtndiv  9307  lincmb01cmp  9960  iccf1o  9961  modqfrac  10293  qnegmod  10325  addmodid  10328  m1expcl2  10498  expgt1  10514  ltexp2a  10528  leexp2a  10529  binom3  10593  faclbnd  10675  facavg  10680  bcval5  10697  cvg1nlemcau  10948  resqrexlemover  10974  resqrexlemcalc2  10979  absimle  11048  maxabslemlub  11171  reccn2ap  11276  binom1p  11448  binom1dif  11450  fprodsplitdc  11559  fprodcl2lem  11568  efcllemp  11621  ef01bndlem  11719  efieq1re  11734  eirraplem  11739  iddvds  11766  gcdaddm  11939  rpmulgcd  11981  prmind2  12074  isprm5lem  12095  phiprm  12177  eulerthlemth  12186  fermltl  12188  hashgcdlem  12192  odzdvds  12199  powm2modprm  12206  modprm0  12208  pythagtriplem4  12222  dvexp  13469  dvef  13482  reeff1oleme  13487  sin0pilem1  13496  sinhalfpip  13535  sinhalfpim  13536  coshalfpip  13537  coshalfpim  13538  tangtx  13553  logdivlti  13596  binom4  13691  lgsval2lem  13705  lgsval4a  13717  lgsneg1  13720  lgsdilem  13722  lgsdir2lem4  13726  lgsdir2  13728  lgsdir  13730  lgsmulsqcoprm  13741  lgsdirnn0  13742  lgsdinn0  13743  2sqlem8  13753  qdencn  14059