Theorem mulid2d 8241

Description: Identity law for multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
addcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulid2d	⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem mulid2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mullid 8220	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ∈ wcel 2202  (class class class)co 6028  ℂcc 8073  1c1 8076   · cmul 8080

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-mulcl 8173  ax-mulcom 8176  ax-mulass 8178  ax-distr 8179  ax-1rid 8182  ax-cnre 8186

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-iota 5293  df-fv 5341  df-ov 6031

This theorem is referenced by:  adddirp1d  8249  mulsubfacd  8641  mulcanapd  8884  receuap  8892  divdivdivap  8936  divcanap5  8937  subrecap  9062  ltrec  9106  recp1lt1  9122  nndivtr  9228  xp1d2m1eqxm1d2  9440  gtndiv  9620  lincmb01cmp  10283  iccf1o  10284  modqfrac  10645  qnegmod  10677  addmodid  10680  m1expcl2  10869  expgt1  10885  ltexp2a  10899  leexp2a  10900  binom3  10965  faclbnd  11049  facavg  11054  bcval5  11071  cvg1nlemcau  11607  resqrexlemover  11633  resqrexlemcalc2  11638  absimle  11707  maxabslemlub  11830  reccn2ap  11936  binom1p  12109  binom1dif  12111  fprodsplitdc  12220  fprodcl2lem  12229  efcllemp  12282  ef01bndlem  12380  efieq1re  12396  eirraplem  12401  iddvds  12428  gcdaddm  12618  rpmulgcd  12660  prmind2  12755  isprm5lem  12776  phiprm  12858  eulerthlemth  12867  fermltl  12869  hashgcdlem  12873  odzdvds  12881  powm2modprm  12888  modprm0  12890  pythagtriplem4  12904  mulgnnass  13807  dvexp  15505  dvef  15521  reeff1oleme  15566  sin0pilem1  15575  sinhalfpip  15614  sinhalfpim  15615  coshalfpip  15616  coshalfpim  15617  tangtx  15632  logdivlti  15675  binom4  15773  lgsval2lem  15812  lgsval4a  15824  lgsneg1  15827  lgsdilem  15829  lgsdir2lem4  15833  lgsdir2  15835  lgsdir  15837  lgsmulsqcoprm  15848  lgsdirnn0  15849  lgsdinn0  15850  2sqlem8  15925  qdencn  16738