Theorem mulid2d 8038

Description: Identity law for multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
addcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulid2d	⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem mulid2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mullid 8017	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  (class class class)co 5918  ℂcc 7870  1c1 7873   · cmul 7877

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-mulcl 7970  ax-mulcom 7973  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-1rid 7979  ax-cnre 7983

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ral 2477  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-br 4030  df-iota 5215  df-fv 5262  df-ov 5921

This theorem is referenced by:  adddirp1d  8046  mulsubfacd  8437  mulcanapd  8680  receuap  8688  divdivdivap  8732  divcanap5  8733  subrecap  8858  ltrec  8902  recp1lt1  8918  nndivtr  9024  xp1d2m1eqxm1d2  9235  gtndiv  9412  lincmb01cmp  10069  iccf1o  10070  modqfrac  10408  qnegmod  10440  addmodid  10443  m1expcl2  10632  expgt1  10648  ltexp2a  10662  leexp2a  10663  binom3  10728  faclbnd  10812  facavg  10817  bcval5  10834  cvg1nlemcau  11128  resqrexlemover  11154  resqrexlemcalc2  11159  absimle  11228  maxabslemlub  11351  reccn2ap  11456  binom1p  11628  binom1dif  11630  fprodsplitdc  11739  fprodcl2lem  11748  efcllemp  11801  ef01bndlem  11899  efieq1re  11915  eirraplem  11920  iddvds  11947  gcdaddm  12121  rpmulgcd  12163  prmind2  12258  isprm5lem  12279  phiprm  12361  eulerthlemth  12370  fermltl  12372  hashgcdlem  12376  odzdvds  12383  powm2modprm  12390  modprm0  12392  pythagtriplem4  12406  mulgnnass  13227  dvexp  14860  dvef  14873  reeff1oleme  14907  sin0pilem1  14916  sinhalfpip  14955  sinhalfpim  14956  coshalfpip  14957  coshalfpim  14958  tangtx  14973  logdivlti  15016  binom4  15111  lgsval2lem  15126  lgsval4a  15138  lgsneg1  15141  lgsdilem  15143  lgsdir2lem4  15147  lgsdir2  15149  lgsdir  15151  lgsmulsqcoprm  15162  lgsdirnn0  15163  lgsdinn0  15164  2sqlem8  15210  qdencn  15517