Theorem mulid2d 7989

Description: Identity law for multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
addcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulid2d	⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem mulid2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mullid 7968	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  (class class class)co 5888  ℂcc 7822  1c1 7825   · cmul 7829

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-ext 2169  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-mulcl 7922  ax-mulcom 7925  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-1rid 7931  ax-cnre 7935

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-nf 1471  df-sb 1773  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ral 2470  df-rex 2471  df-v 2751  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-br 4016  df-iota 5190  df-fv 5236  df-ov 5891

This theorem is referenced by:  adddirp1d  7997  mulsubfacd  8388  mulcanapd  8631  receuap  8639  divdivdivap  8683  divcanap5  8684  subrecap  8809  ltrec  8853  recp1lt1  8869  nndivtr  8974  xp1d2m1eqxm1d2  9184  gtndiv  9361  lincmb01cmp  10016  iccf1o  10017  modqfrac  10350  qnegmod  10382  addmodid  10385  m1expcl2  10555  expgt1  10571  ltexp2a  10585  leexp2a  10586  binom3  10651  faclbnd  10734  facavg  10739  bcval5  10756  cvg1nlemcau  11006  resqrexlemover  11032  resqrexlemcalc2  11037  absimle  11106  maxabslemlub  11229  reccn2ap  11334  binom1p  11506  binom1dif  11508  fprodsplitdc  11617  fprodcl2lem  11626  efcllemp  11679  ef01bndlem  11777  efieq1re  11792  eirraplem  11797  iddvds  11824  gcdaddm  11998  rpmulgcd  12040  prmind2  12133  isprm5lem  12154  phiprm  12236  eulerthlemth  12245  fermltl  12247  hashgcdlem  12251  odzdvds  12258  powm2modprm  12265  modprm0  12267  pythagtriplem4  12281  mulgnnass  13049  dvexp  14446  dvef  14459  reeff1oleme  14464  sin0pilem1  14473  sinhalfpip  14512  sinhalfpim  14513  coshalfpip  14514  coshalfpim  14515  tangtx  14530  logdivlti  14573  binom4  14668  lgsval2lem  14682  lgsval4a  14694  lgsneg1  14697  lgsdilem  14699  lgsdir2lem4  14703  lgsdir2  14705  lgsdir  14707  lgsmulsqcoprm  14718  lgsdirnn0  14719  lgsdinn0  14720  2sqlem8  14741  qdencn  15047