Theorem mulid2d 8091

Description: Identity law for multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
addcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulid2d	⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem mulid2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mullid 8070	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1373   ∈ wcel 2176  (class class class)co 5944  ℂcc 7923  1c1 7926   · cmul 7930

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187  ax-resscn 8017  ax-1cn 8018  ax-icn 8020  ax-addcl 8021  ax-mulcl 8023  ax-mulcom 8026  ax-mulass 8028  ax-distr 8029  ax-1rid 8032  ax-cnre 8036

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-ral 2489  df-rex 2490  df-v 2774  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-sn 3639  df-pr 3640  df-op 3642  df-uni 3851  df-br 4045  df-iota 5232  df-fv 5279  df-ov 5947

This theorem is referenced by:  adddirp1d  8099  mulsubfacd  8491  mulcanapd  8734  receuap  8742  divdivdivap  8786  divcanap5  8787  subrecap  8912  ltrec  8956  recp1lt1  8972  nndivtr  9078  xp1d2m1eqxm1d2  9290  gtndiv  9468  lincmb01cmp  10125  iccf1o  10126  modqfrac  10482  qnegmod  10514  addmodid  10517  m1expcl2  10706  expgt1  10722  ltexp2a  10736  leexp2a  10737  binom3  10802  faclbnd  10886  facavg  10891  bcval5  10908  cvg1nlemcau  11295  resqrexlemover  11321  resqrexlemcalc2  11326  absimle  11395  maxabslemlub  11518  reccn2ap  11624  binom1p  11796  binom1dif  11798  fprodsplitdc  11907  fprodcl2lem  11916  efcllemp  11969  ef01bndlem  12067  efieq1re  12083  eirraplem  12088  iddvds  12115  gcdaddm  12305  rpmulgcd  12347  prmind2  12442  isprm5lem  12463  phiprm  12545  eulerthlemth  12554  fermltl  12556  hashgcdlem  12560  odzdvds  12568  powm2modprm  12575  modprm0  12577  pythagtriplem4  12591  mulgnnass  13493  dvexp  15183  dvef  15199  reeff1oleme  15244  sin0pilem1  15253  sinhalfpip  15292  sinhalfpim  15293  coshalfpip  15294  coshalfpim  15295  tangtx  15310  logdivlti  15353  binom4  15451  lgsval2lem  15487  lgsval4a  15499  lgsneg1  15502  lgsdilem  15504  lgsdir2lem4  15508  lgsdir2  15510  lgsdir  15512  lgsmulsqcoprm  15523  lgsdirnn0  15524  lgsdinn0  15525  2sqlem8  15600  qdencn  15966