Theorem mulid2d 7996

Description: Identity law for multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
addcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulid2d	⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem mulid2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mullid 7975	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  (class class class)co 5892  ℂcc 7829  1c1 7832   · cmul 7836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171  ax-resscn 7923  ax-1cn 7924  ax-icn 7926  ax-addcl 7927  ax-mulcl 7929  ax-mulcom 7932  ax-mulass 7934  ax-distr 7935  ax-1rid 7938  ax-cnre 7942

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-br 4019  df-iota 5193  df-fv 5240  df-ov 5895

This theorem is referenced by:  adddirp1d  8004  mulsubfacd  8395  mulcanapd  8638  receuap  8646  divdivdivap  8690  divcanap5  8691  subrecap  8816  ltrec  8860  recp1lt1  8876  nndivtr  8981  xp1d2m1eqxm1d2  9191  gtndiv  9368  lincmb01cmp  10023  iccf1o  10024  modqfrac  10357  qnegmod  10389  addmodid  10392  m1expcl2  10562  expgt1  10578  ltexp2a  10592  leexp2a  10593  binom3  10658  faclbnd  10741  facavg  10746  bcval5  10763  cvg1nlemcau  11013  resqrexlemover  11039  resqrexlemcalc2  11044  absimle  11113  maxabslemlub  11236  reccn2ap  11341  binom1p  11513  binom1dif  11515  fprodsplitdc  11624  fprodcl2lem  11633  efcllemp  11686  ef01bndlem  11784  efieq1re  11799  eirraplem  11804  iddvds  11831  gcdaddm  12005  rpmulgcd  12047  prmind2  12140  isprm5lem  12161  phiprm  12243  eulerthlemth  12252  fermltl  12254  hashgcdlem  12258  odzdvds  12265  powm2modprm  12272  modprm0  12274  pythagtriplem4  12288  mulgnnass  13070  dvexp  14579  dvef  14592  reeff1oleme  14597  sin0pilem1  14606  sinhalfpip  14645  sinhalfpim  14646  coshalfpip  14647  coshalfpim  14648  tangtx  14663  logdivlti  14706  binom4  14801  lgsval2lem  14815  lgsval4a  14827  lgsneg1  14830  lgsdilem  14832  lgsdir2lem4  14836  lgsdir2  14838  lgsdir  14840  lgsmulsqcoprm  14851  lgsdirnn0  14852  lgsdinn0  14853  2sqlem8  14874  qdencn  15180