Theorem mulid2d 7896

Description: Identity law for multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
addcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulid2d	⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem mulid2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulid2 7876	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  (class class class)co 5824  ℂcc 7730  1c1 7733   · cmul 7737

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2139  ax-resscn 7824  ax-1cn 7825  ax-icn 7827  ax-addcl 7828  ax-mulcl 7830  ax-mulcom 7833  ax-mulass 7835  ax-distr 7836  ax-1rid 7839  ax-cnre 7843

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-nf 1441  df-sb 1743  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ral 2440  df-rex 2441  df-v 2714  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-br 3966  df-iota 5135  df-fv 5178  df-ov 5827

This theorem is referenced by:  adddirp1d  7904  mulsubfacd  8293  mulcanapd  8535  receuap  8543  divdivdivap  8586  divcanap5  8587  subrecap  8711  ltrec  8754  recp1lt1  8770  nndivtr  8875  xp1d2m1eqxm1d2  9085  gtndiv  9259  lincmb01cmp  9907  iccf1o  9908  modqfrac  10236  qnegmod  10268  addmodid  10271  m1expcl2  10441  expgt1  10457  ltexp2a  10471  leexp2a  10472  binom3  10535  faclbnd  10615  facavg  10620  bcval5  10637  cvg1nlemcau  10884  resqrexlemover  10910  resqrexlemcalc2  10915  absimle  10984  maxabslemlub  11107  reccn2ap  11210  binom1p  11382  binom1dif  11384  fprodsplitdc  11493  fprodcl2lem  11502  efcllemp  11555  ef01bndlem  11653  efieq1re  11668  eirraplem  11673  iddvds  11699  gcdaddm  11867  rpmulgcd  11909  prmind2  11996  phiprm  12097  eulerthlemth  12106  fermltl  12108  hashgcdlem  12112  odzdvds  12119  dvexp  13075  dvef  13088  reeff1oleme  13093  sin0pilem1  13102  sinhalfpip  13141  sinhalfpim  13142  coshalfpip  13143  coshalfpim  13144  tangtx  13159  logdivlti  13202  binom4  13296  qdencn  13598