Theorem mulid2d 8062

Description: Identity law for multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
addcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulid2d	⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem mulid2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mullid 8041	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  (class class class)co 5925  ℂcc 7894  1c1 7897   · cmul 7901

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178  ax-resscn 7988  ax-1cn 7989  ax-icn 7991  ax-addcl 7992  ax-mulcl 7994  ax-mulcom 7997  ax-mulass 7999  ax-distr 8000  ax-1rid 8003  ax-cnre 8007

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ral 2480  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-br 4035  df-iota 5220  df-fv 5267  df-ov 5928

This theorem is referenced by:  adddirp1d  8070  mulsubfacd  8462  mulcanapd  8705  receuap  8713  divdivdivap  8757  divcanap5  8758  subrecap  8883  ltrec  8927  recp1lt1  8943  nndivtr  9049  xp1d2m1eqxm1d2  9261  gtndiv  9438  lincmb01cmp  10095  iccf1o  10096  modqfrac  10446  qnegmod  10478  addmodid  10481  m1expcl2  10670  expgt1  10686  ltexp2a  10700  leexp2a  10701  binom3  10766  faclbnd  10850  facavg  10855  bcval5  10872  cvg1nlemcau  11166  resqrexlemover  11192  resqrexlemcalc2  11197  absimle  11266  maxabslemlub  11389  reccn2ap  11495  binom1p  11667  binom1dif  11669  fprodsplitdc  11778  fprodcl2lem  11787  efcllemp  11840  ef01bndlem  11938  efieq1re  11954  eirraplem  11959  iddvds  11986  gcdaddm  12176  rpmulgcd  12218  prmind2  12313  isprm5lem  12334  phiprm  12416  eulerthlemth  12425  fermltl  12427  hashgcdlem  12431  odzdvds  12439  powm2modprm  12446  modprm0  12448  pythagtriplem4  12462  mulgnnass  13363  dvexp  15031  dvef  15047  reeff1oleme  15092  sin0pilem1  15101  sinhalfpip  15140  sinhalfpim  15141  coshalfpip  15142  coshalfpim  15143  tangtx  15158  logdivlti  15201  binom4  15299  lgsval2lem  15335  lgsval4a  15347  lgsneg1  15350  lgsdilem  15352  lgsdir2lem4  15356  lgsdir2  15358  lgsdir  15360  lgsmulsqcoprm  15371  lgsdirnn0  15372  lgsdinn0  15373  2sqlem8  15448  qdencn  15758