Theorem mulid2d 7567

Description: Identity law for multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
addcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulid2d	⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem mulid2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulid2 7547	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1290   ∈ wcel 1439  (class class class)co 5666  ℂcc 7409  1c1 7412   · cmul 7416

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 666  ax-5 1382  ax-7 1383  ax-gen 1384  ax-ie1 1428  ax-ie2 1429  ax-8 1441  ax-10 1442  ax-11 1443  ax-i12 1444  ax-bndl 1445  ax-4 1446  ax-17 1465  ax-i9 1469  ax-ial 1473  ax-i5r 1474  ax-ext 2071  ax-resscn 7498  ax-1cn 7499  ax-icn 7501  ax-addcl 7502  ax-mulcl 7504  ax-mulcom 7507  ax-mulass 7509  ax-distr 7510  ax-1rid 7513  ax-cnre 7517

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 927  df-tru 1293  df-nf 1396  df-sb 1694  df-clab 2076  df-cleq 2082  df-clel 2085  df-nfc 2218  df-ral 2365  df-rex 2366  df-v 2622  df-un 3004  df-in 3006  df-ss 3013  df-sn 3456  df-pr 3457  df-op 3459  df-uni 3660  df-br 3852  df-iota 4993  df-fv 5036  df-ov 5669

This theorem is referenced by:  adddirp1d  7575  mulsubfacd  7957  mulcanapd  8191  receuap  8199  divdivdivap  8241  divcanap5  8242  ltrec  8405  recp1lt1  8421  nndivtr  8525  xp1d2m1eqxm1d2  8729  gtndiv  8902  lincmb01cmp  9481  iccf1o  9482  modqfrac  9805  qnegmod  9837  addmodid  9840  m1expcl2  10038  expgt1  10054  ltexp2a  10068  leexp2a  10069  binom3  10132  faclbnd  10210  facavg  10215  ibcval5  10232  cvg1nlemcau  10478  resqrexlemover  10504  resqrexlemcalc2  10509  absimle  10578  maxabslemlub  10701  binom1p  10940  binom1dif  10942  efcllemp  11009  ef01bndlem  11108  efieq1re  11122  eirraplem  11125  iddvds  11148  gcdaddm  11314  rpmulgcd  11354  prmind2  11441  phiprm  11538  hashgcdlem  11542  qdencn  12187