Theorem mulid2d 7978

Description: Identity law for multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
addcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulid2d	⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Proof of Theorem mulid2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mullid 7957	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 · 𝐴) = 𝐴)
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝜑 → (1 · 𝐴) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  (class class class)co 5877  ℂcc 7811  1c1 7814   · cmul 7818

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-mulcl 7911  ax-mulcom 7914  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-1rid 7920  ax-cnre 7924

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ral 2460  df-rex 2461  df-v 2741  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-iota 5180  df-fv 5226  df-ov 5880

This theorem is referenced by:  adddirp1d  7986  mulsubfacd  8377  mulcanapd  8620  receuap  8628  divdivdivap  8672  divcanap5  8673  subrecap  8798  ltrec  8842  recp1lt1  8858  nndivtr  8963  xp1d2m1eqxm1d2  9173  gtndiv  9350  lincmb01cmp  10005  iccf1o  10006  modqfrac  10339  qnegmod  10371  addmodid  10374  m1expcl2  10544  expgt1  10560  ltexp2a  10574  leexp2a  10575  binom3  10640  faclbnd  10723  facavg  10728  bcval5  10745  cvg1nlemcau  10995  resqrexlemover  11021  resqrexlemcalc2  11026  absimle  11095  maxabslemlub  11218  reccn2ap  11323  binom1p  11495  binom1dif  11497  fprodsplitdc  11606  fprodcl2lem  11615  efcllemp  11668  ef01bndlem  11766  efieq1re  11781  eirraplem  11786  iddvds  11813  gcdaddm  11987  rpmulgcd  12029  prmind2  12122  isprm5lem  12143  phiprm  12225  eulerthlemth  12234  fermltl  12236  hashgcdlem  12240  odzdvds  12247  powm2modprm  12254  modprm0  12256  pythagtriplem4  12270  mulgnnass  13023  dvexp  14260  dvef  14273  reeff1oleme  14278  sin0pilem1  14287  sinhalfpip  14326  sinhalfpim  14327  coshalfpip  14328  coshalfpim  14329  tangtx  14344  logdivlti  14387  binom4  14482  lgsval2lem  14496  lgsval4a  14508  lgsneg1  14511  lgsdilem  14513  lgsdir2lem4  14517  lgsdir2  14519  lgsdir  14521  lgsmulsqcoprm  14532  lgsdirnn0  14533  lgsdinn0  14534  2sqlem8  14555  qdencn  14860