Theorem mulgnnass 13227

Description: Product of group multiples, for positive multiples in a semigroup. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.) (Revised by AV, 29-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgass.t	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgnnass	⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgnnass

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5925	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 · 𝑁) = (1 · 𝑁))
2	1	oveq1d 5933	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = ((1 · 𝑁) · 𝑋))
3		oveq1 5925	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) = (1 · (𝑁 · 𝑋)))
4	2, 3	eqeq12d 2208	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) ↔ ((1 · 𝑁) · 𝑋) = (1 · (𝑁 · 𝑋))))
5	4	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋))) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → ((1 · 𝑁) · 𝑋) = (1 · (𝑁 · 𝑋)))))
6		oveq1 5925	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 · 𝑁) = (𝑚 · 𝑁))
7	6	oveq1d 5933	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑚 · 𝑁) · 𝑋))
8		oveq1 5925	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) = (𝑚 · (𝑁 · 𝑋)))
9	7, 8	eqeq12d 2208	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) ↔ ((𝑚 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑚 · (𝑁 · 𝑋))))
10	9	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋))) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → ((𝑚 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑚 · (𝑁 · 𝑋)))))
11		oveq1 5925	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑛 · 𝑁) = ((𝑚 + 1) · 𝑁))
12	11	oveq1d 5933	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋))
13		oveq1 5925	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) = ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋)))
14	12, 13	eqeq12d 2208	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) ↔ (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋))))
15	14	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋))) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋)))))
16		oveq1 5925	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 · 𝑁) = (𝑀 · 𝑁))
17	16	oveq1d 5933	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋))
18		oveq1 5925	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
19	17, 18	eqeq12d 2208	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) ↔ ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
20	19	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋))) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))))
21		nncn 8990	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
22	21	mulid2d 8038	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 · 𝑁) = 𝑁)
23	22	3ad2ant1 1020	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → (1 · 𝑁) = 𝑁)
24	23	oveq1d 5933	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → ((1 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
25		sgrpmgm 12990	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ Smgrp → 𝐺 ∈ Mgm)
26		mulgass.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
27		mulgass.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = (.g‘𝐺)
28	26, 27	mulgnncl 13207	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
29	25, 28	syl3an1 1282	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
30	29	3coml 1212	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
31	26, 27	mulg1 13199	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵 → (1 · (𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
32	30, 31	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → (1 · (𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
33	24, 32	eqtr4d 2229	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → ((1 · 𝑁) · 𝑋) = (1 · (𝑁 · 𝑋)))
34		oveq1 5925	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑚 · (𝑁 · 𝑋)) → (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋)(+g‘𝐺)(𝑁 · 𝑋)) = ((𝑚 · (𝑁 · 𝑋))(+g‘𝐺)(𝑁 · 𝑋)))
35		nncn 8990	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
36	35	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp)) → 𝑚 ∈ ℂ)
37		simpr1 1005	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp)) → 𝑁 ∈ ℕ)
38	37	nncnd 8996	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp)) → 𝑁 ∈ ℂ)
39	36, 38	adddirp1d 8046	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp)) → ((𝑚 + 1) · 𝑁) = ((𝑚 · 𝑁) + 𝑁))
40	39	oveq1d 5933	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp)) → (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = (((𝑚 · 𝑁) + 𝑁) · 𝑋))
41		simpr3 1007	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp)) → 𝐺 ∈ Smgrp)
42		nnmulcl 9003	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑚 · 𝑁) ∈ ℕ)
43	42	3ad2antr1 1164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp)) → (𝑚 · 𝑁) ∈ ℕ)
44		simpr2 1006	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
45		eqid 2193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
46	26, 27, 45	mulgnndir 13221	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ ((𝑚 · 𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (((𝑚 · 𝑁) + 𝑁) · 𝑋) = (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋)(+g‘𝐺)(𝑁 · 𝑋)))
47	41, 43, 37, 44, 46	syl13anc 1251	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp)) → (((𝑚 · 𝑁) + 𝑁) · 𝑋) = (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋)(+g‘𝐺)(𝑁 · 𝑋)))
48	40, 47	eqtrd 2226	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp)) → (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋)(+g‘𝐺)(𝑁 · 𝑋)))
49	26, 27, 45	mulgnnp1 13200	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋)) = ((𝑚 · (𝑁 · 𝑋))(+g‘𝐺)(𝑁 · 𝑋)))
50	30, 49	sylan2 286	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp)) → ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋)) = ((𝑚 · (𝑁 · 𝑋))(+g‘𝐺)(𝑁 · 𝑋)))
51	48, 50	eqeq12d 2208	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp)) → ((((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋)) ↔ (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋)(+g‘𝐺)(𝑁 · 𝑋)) = ((𝑚 · (𝑁 · 𝑋))(+g‘𝐺)(𝑁 · 𝑋))))
52	34, 51	imbitrrid 156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp)) → (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑚 · (𝑁 · 𝑋)) → (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋))))
53	52	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑚 · (𝑁 · 𝑋)) → (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋)))))
54	53	a2d 26	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → ((𝑚 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑚 · (𝑁 · 𝑋))) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋)))))
55	5, 10, 15, 20, 33, 54	nnind 8998	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
56	55	3expd 1226	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝐺 ∈ Smgrp → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))))
57	56	com4r 86	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Smgrp → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))))
58	57	3imp2 1224	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  ℂcc 7870  1c1 7873   + caddc 7875   · cmul 7877  ℕcn 8982  Basecbs 12618  +_gcplusg 12695  Mgmcmgm 12937  Smgrpcsgrp 12984  ._gcmg 13189

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-inn 8983  df-2 9041  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-fz 10075  df-seqfrec 10519  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-plusg 12708  df-0g 12869  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-minusg 13076  df-mulg 13190

This theorem is referenced by:  mulgnn0ass  13228