ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  mulgnnass GIF version

Theorem mulgnnass 13023
Description: Product of group multiples, for positive multiples in a semigroup. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.) (Revised by AV, 29-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgass.b ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
mulgass.t ยท = (.gโ€˜๐บ)
Assertion
Ref Expression
mulgnnass ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))

Proof of Theorem mulgnnass
Dummy variables ๐‘š ๐‘› are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5884 . . . . . . . 8 (๐‘› = 1 โ†’ (๐‘› ยท ๐‘) = (1 ยท ๐‘))
21oveq1d 5892 . . . . . . 7 (๐‘› = 1 โ†’ ((๐‘› ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((1 ยท ๐‘) ยท ๐‘‹))
3 oveq1 5884 . . . . . . 7 (๐‘› = 1 โ†’ (๐‘› ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) = (1 ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))
42, 3eqeq12d 2192 . . . . . 6 (๐‘› = 1 โ†’ (((๐‘› ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘› ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) โ†” ((1 ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (1 ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))))
54imbi2d 230 . . . . 5 (๐‘› = 1 โ†’ (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp) โ†’ ((๐‘› ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘› ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))) โ†” ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp) โ†’ ((1 ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (1 ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))))
6 oveq1 5884 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (๐‘› ยท ๐‘) = (๐‘š ยท ๐‘))
76oveq1d 5892 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘š โ†’ ((๐‘› ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘š ยท ๐‘) ยท ๐‘‹))
8 oveq1 5884 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (๐‘› ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) = (๐‘š ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))
97, 8eqeq12d 2192 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (((๐‘› ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘› ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) โ†” ((๐‘š ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘š ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))))
109imbi2d 230 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘š โ†’ (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp) โ†’ ((๐‘› ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘› ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))) โ†” ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp) โ†’ ((๐‘š ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘š ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))))
11 oveq1 5884 . . . . . . . 8 (๐‘› = (๐‘š + 1) โ†’ (๐‘› ยท ๐‘) = ((๐‘š + 1) ยท ๐‘))
1211oveq1d 5892 . . . . . . 7 (๐‘› = (๐‘š + 1) โ†’ ((๐‘› ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (((๐‘š + 1) ยท ๐‘) ยท ๐‘‹))
13 oveq1 5884 . . . . . . 7 (๐‘› = (๐‘š + 1) โ†’ (๐‘› ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) = ((๐‘š + 1) ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))
1412, 13eqeq12d 2192 . . . . . 6 (๐‘› = (๐‘š + 1) โ†’ (((๐‘› ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘› ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) โ†” (((๐‘š + 1) ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘š + 1) ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))))
1514imbi2d 230 . . . . 5 (๐‘› = (๐‘š + 1) โ†’ (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp) โ†’ ((๐‘› ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘› ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))) โ†” ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp) โ†’ (((๐‘š + 1) ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘š + 1) ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))))
16 oveq1 5884 . . . . . . . 8 (๐‘› = ๐‘€ โ†’ (๐‘› ยท ๐‘) = (๐‘€ ยท ๐‘))
1716oveq1d 5892 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘€ โ†’ ((๐‘› ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹))
18 oveq1 5884 . . . . . . 7 (๐‘› = ๐‘€ โ†’ (๐‘› ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))
1917, 18eqeq12d 2192 . . . . . 6 (๐‘› = ๐‘€ โ†’ (((๐‘› ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘› ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) โ†” ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))))
2019imbi2d 230 . . . . 5 (๐‘› = ๐‘€ โ†’ (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp) โ†’ ((๐‘› ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘› ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))) โ†” ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))))
21 nncn 8929 . . . . . . . . 9 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
2221mulid2d 7978 . . . . . . . 8 (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (1 ยท ๐‘) = ๐‘)
23223ad2ant1 1018 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp) โ†’ (1 ยท ๐‘) = ๐‘)
2423oveq1d 5892 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp) โ†’ ((1 ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘ ยท ๐‘‹))
25 sgrpmgm 12818 . . . . . . . . 9 (๐บ โˆˆ Smgrp โ†’ ๐บ โˆˆ Mgm)
26 mulgass.b . . . . . . . . . 10 ๐ต = (Baseโ€˜๐บ)
27 mulgass.t . . . . . . . . . 10 ยท = (.gโ€˜๐บ)
2826, 27mulgnncl 13003 . . . . . . . . 9 ((๐บ โˆˆ Mgm โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
2925, 28syl3an1 1271 . . . . . . . 8 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
30293coml 1210 . . . . . . 7 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp) โ†’ (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต)
3126, 27mulg1 12995 . . . . . . 7 ((๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต โ†’ (1 ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) = (๐‘ ยท ๐‘‹))
3230, 31syl 14 . . . . . 6 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp) โ†’ (1 ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) = (๐‘ ยท ๐‘‹))
3324, 32eqtr4d 2213 . . . . 5 ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp) โ†’ ((1 ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (1 ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))
34 oveq1 5884 . . . . . . . 8 (((๐‘š ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘š ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) โ†’ (((๐‘š ยท ๐‘) ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)(๐‘ ยท ๐‘‹)) = ((๐‘š ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))(+gโ€˜๐บ)(๐‘ ยท ๐‘‹)))
35 nncn 8929 . . . . . . . . . . . . 13 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
3635adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp)) โ†’ ๐‘š โˆˆ โ„‚)
37 simpr1 1003 . . . . . . . . . . . . 13 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„•)
3837nncnd 8935 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp)) โ†’ ๐‘ โˆˆ โ„‚)
3936, 38adddirp1d 7986 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp)) โ†’ ((๐‘š + 1) ยท ๐‘) = ((๐‘š ยท ๐‘) + ๐‘))
4039oveq1d 5892 . . . . . . . . . 10 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp)) โ†’ (((๐‘š + 1) ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (((๐‘š ยท ๐‘) + ๐‘) ยท ๐‘‹))
41 simpr3 1005 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp)) โ†’ ๐บ โˆˆ Smgrp)
42 nnmulcl 8942 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„•) โ†’ (๐‘š ยท ๐‘) โˆˆ โ„•)
43423ad2antr1 1162 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp)) โ†’ (๐‘š ยท ๐‘) โˆˆ โ„•)
44 simpr2 1004 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp)) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)
45 eqid 2177 . . . . . . . . . . . 12 (+gโ€˜๐บ) = (+gโ€˜๐บ)
4626, 27, 45mulgnndir 13017 . . . . . . . . . . 11 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง ((๐‘š ยท ๐‘) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ (((๐‘š ยท ๐‘) + ๐‘) ยท ๐‘‹) = (((๐‘š ยท ๐‘) ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)(๐‘ ยท ๐‘‹)))
4741, 43, 37, 44, 46syl13anc 1240 . . . . . . . . . 10 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp)) โ†’ (((๐‘š ยท ๐‘) + ๐‘) ยท ๐‘‹) = (((๐‘š ยท ๐‘) ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)(๐‘ ยท ๐‘‹)))
4840, 47eqtrd 2210 . . . . . . . . 9 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp)) โ†’ (((๐‘š + 1) ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (((๐‘š ยท ๐‘) ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)(๐‘ ยท ๐‘‹)))
4926, 27, 45mulgnnp1 12996 . . . . . . . . . 10 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ ยท ๐‘‹) โˆˆ ๐ต) โ†’ ((๐‘š + 1) ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) = ((๐‘š ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))(+gโ€˜๐บ)(๐‘ ยท ๐‘‹)))
5030, 49sylan2 286 . . . . . . . . 9 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp)) โ†’ ((๐‘š + 1) ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) = ((๐‘š ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))(+gโ€˜๐บ)(๐‘ ยท ๐‘‹)))
5148, 50eqeq12d 2192 . . . . . . . 8 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp)) โ†’ ((((๐‘š + 1) ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘š + 1) ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) โ†” (((๐‘š ยท ๐‘) ยท ๐‘‹)(+gโ€˜๐บ)(๐‘ ยท ๐‘‹)) = ((๐‘š ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))(+gโ€˜๐บ)(๐‘ ยท ๐‘‹))))
5234, 51imbitrrid 156 . . . . . . 7 ((๐‘š โˆˆ โ„• โˆง (๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp)) โ†’ (((๐‘š ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘š ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) โ†’ (((๐‘š + 1) ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘š + 1) ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))))
5352ex 115 . . . . . 6 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp) โ†’ (((๐‘š ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘š ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)) โ†’ (((๐‘š + 1) ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘š + 1) ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))))
5453a2d 26 . . . . 5 (๐‘š โˆˆ โ„• โ†’ (((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp) โ†’ ((๐‘š ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘š ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))) โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp) โ†’ (((๐‘š + 1) ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = ((๐‘š + 1) ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))))
555, 10, 15, 20, 33, 54nnind 8937 . . . 4 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ ((๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต โˆง ๐บ โˆˆ Smgrp) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))))
56553expd 1224 . . 3 (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ (๐บ โˆˆ Smgrp โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))))))
5756com4r 86 . 2 (๐บ โˆˆ Smgrp โ†’ (๐‘€ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘ โˆˆ โ„• โ†’ (๐‘‹ โˆˆ ๐ต โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹))))))
58573imp2 1222 1 ((๐บ โˆˆ Smgrp โˆง (๐‘€ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘ โˆˆ โ„• โˆง ๐‘‹ โˆˆ ๐ต)) โ†’ ((๐‘€ ยท ๐‘) ยท ๐‘‹) = (๐‘€ ยท (๐‘ ยท ๐‘‹)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 104   โˆง w3a 978   = wceq 1353   โˆˆ wcel 2148  โ€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  โ„‚cc 7811  1c1 7814   + caddc 7816   ยท cmul 7818  โ„•cn 8921  Basecbs 12464  +gcplusg 12538  Mgmcmgm 12778  Smgrpcsgrp 12812  .gcmg 12988
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-inn 8922  df-2 8980  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-fz 10011  df-seqfrec 10448  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-plusg 12551  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-minusg 12886  df-mulg 12989
This theorem is referenced by:  mulgnn0ass  13024
  Copyright terms: Public domain W3C validator