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Theorem mulgnnass 12893
Description: Product of group multiples, for positive multiples in a semigroup. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.) (Revised by AV, 29-Aug-2021.)
Hypotheses
Ref Expression
mulgass.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgass.t · = (.g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mulgnnass ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgnnass
Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq1 5875 . . . . . . . 8 (𝑛 = 1 → (𝑛 · 𝑁) = (1 · 𝑁))
21oveq1d 5883 . . . . . . 7 (𝑛 = 1 → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = ((1 · 𝑁) · 𝑋))
3 oveq1 5875 . . . . . . 7 (𝑛 = 1 → (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) = (1 · (𝑁 · 𝑋)))
42, 3eqeq12d 2192 . . . . . 6 (𝑛 = 1 → (((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) ↔ ((1 · 𝑁) · 𝑋) = (1 · (𝑁 · 𝑋))))
54imbi2d 230 . . . . 5 (𝑛 = 1 → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp) → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋))) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp) → ((1 · 𝑁) · 𝑋) = (1 · (𝑁 · 𝑋)))))
6 oveq1 5875 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 · 𝑁) = (𝑚 · 𝑁))
76oveq1d 5883 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑚 · 𝑁) · 𝑋))
8 oveq1 5875 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) = (𝑚 · (𝑁 · 𝑋)))
97, 8eqeq12d 2192 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑚 → (((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) ↔ ((𝑚 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑚 · (𝑁 · 𝑋))))
109imbi2d 230 . . . . 5 (𝑛 = 𝑚 → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp) → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋))) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp) → ((𝑚 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑚 · (𝑁 · 𝑋)))))
11 oveq1 5875 . . . . . . . 8 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑛 · 𝑁) = ((𝑚 + 1) · 𝑁))
1211oveq1d 5883 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋))
13 oveq1 5875 . . . . . . 7 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) = ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋)))
1412, 13eqeq12d 2192 . . . . . 6 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) ↔ (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋))))
1514imbi2d 230 . . . . 5 (𝑛 = (𝑚 + 1) → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp) → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋))) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp) → (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋)))))
16 oveq1 5875 . . . . . . . 8 (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 · 𝑁) = (𝑀 · 𝑁))
1716oveq1d 5883 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑀 → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋))
18 oveq1 5875 . . . . . . 7 (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
1917, 18eqeq12d 2192 . . . . . 6 (𝑛 = 𝑀 → (((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) ↔ ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
2019imbi2d 230 . . . . 5 (𝑛 = 𝑀 → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp) → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋))) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))))
21 nncn 8903 . . . . . . . . 9 (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
2221mulid2d 7953 . . . . . . . 8 (𝑁 ∈ ℕ → (1 · 𝑁) = 𝑁)
23223ad2ant1 1018 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp) → (1 · 𝑁) = 𝑁)
2423oveq1d 5883 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp) → ((1 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
25 sgrpmgm 12692 . . . . . . . . 9 (𝐺 ∈ Smgrp → 𝐺 ∈ Mgm)
26 mulgass.b . . . . . . . . . 10 𝐵 = (Base‘𝐺)
27 mulgass.t . . . . . . . . . 10 · = (.g𝐺)
2826, 27mulgnncl 12874 . . . . . . . . 9 ((𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
2925, 28syl3an1 1271 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
30293coml 1210 . . . . . . 7 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
3126, 27mulg1 12866 . . . . . . 7 ((𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵 → (1 · (𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
3230, 31syl 14 . . . . . 6 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp) → (1 · (𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
3324, 32eqtr4d 2213 . . . . 5 ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp) → ((1 · 𝑁) · 𝑋) = (1 · (𝑁 · 𝑋)))
34 oveq1 5875 . . . . . . . 8 (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑚 · (𝑁 · 𝑋)) → (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋)(+g𝐺)(𝑁 · 𝑋)) = ((𝑚 · (𝑁 · 𝑋))(+g𝐺)(𝑁 · 𝑋)))
35 nncn 8903 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
3635adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp)) → 𝑚 ∈ ℂ)
37 simpr1 1003 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp)) → 𝑁 ∈ ℕ)
3837nncnd 8909 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp)) → 𝑁 ∈ ℂ)
3936, 38adddirp1d 7961 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp)) → ((𝑚 + 1) · 𝑁) = ((𝑚 · 𝑁) + 𝑁))
4039oveq1d 5883 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp)) → (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = (((𝑚 · 𝑁) + 𝑁) · 𝑋))
41 simpr3 1005 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp)) → 𝐺 ∈ Smgrp)
42 nnmulcl 8916 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑚 · 𝑁) ∈ ℕ)
43423ad2antr1 1162 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp)) → (𝑚 · 𝑁) ∈ ℕ)
44 simpr2 1004 . . . . . . . . . . 11 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp)) → 𝑋𝐵)
45 eqid 2177 . . . . . . . . . . . 12 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4626, 27, 45mulgnndir 12887 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ ((𝑚 · 𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → (((𝑚 · 𝑁) + 𝑁) · 𝑋) = (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋)(+g𝐺)(𝑁 · 𝑋)))
4741, 43, 37, 44, 46syl13anc 1240 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp)) → (((𝑚 · 𝑁) + 𝑁) · 𝑋) = (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋)(+g𝐺)(𝑁 · 𝑋)))
4840, 47eqtrd 2210 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp)) → (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋)(+g𝐺)(𝑁 · 𝑋)))
4926, 27, 45mulgnnp1 12867 . . . . . . . . . 10 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋)) = ((𝑚 · (𝑁 · 𝑋))(+g𝐺)(𝑁 · 𝑋)))
5030, 49sylan2 286 . . . . . . . . 9 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp)) → ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋)) = ((𝑚 · (𝑁 · 𝑋))(+g𝐺)(𝑁 · 𝑋)))
5148, 50eqeq12d 2192 . . . . . . . 8 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp)) → ((((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋)) ↔ (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋)(+g𝐺)(𝑁 · 𝑋)) = ((𝑚 · (𝑁 · 𝑋))(+g𝐺)(𝑁 · 𝑋))))
5234, 51syl5ibr 156 . . . . . . 7 ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp)) → (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑚 · (𝑁 · 𝑋)) → (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋))))
5352ex 115 . . . . . 6 (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp) → (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑚 · (𝑁 · 𝑋)) → (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋)))))
5453a2d 26 . . . . 5 (𝑚 ∈ ℕ → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp) → ((𝑚 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑚 · (𝑁 · 𝑋))) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp) → (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋)))))
555, 10, 15, 20, 33, 54nnind 8911 . . . 4 (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵𝐺 ∈ Smgrp) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
56553expd 1224 . . 3 (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋𝐵 → (𝐺 ∈ Smgrp → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))))
5756com4r 86 . 2 (𝐺 ∈ Smgrp → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋𝐵 → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))))
58573imp2 1222 1 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋𝐵)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  cfv 5211  (class class class)co 5868  cc 7787  1c1 7790   + caddc 7792   · cmul 7794  cn 8895  Basecbs 12432  +gcplusg 12505  Mgmcmgm 12652  Smgrpcsgrp 12686  .gcmg 12859
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4205  ax-un 4429  ax-setind 4532  ax-iinf 4583  ax-cnex 7880  ax-resscn 7881  ax-1cn 7882  ax-1re 7883  ax-icn 7884  ax-addcl 7885  ax-addrcl 7886  ax-mulcl 7887  ax-addcom 7889  ax-mulcom 7890  ax-addass 7891  ax-mulass 7892  ax-distr 7893  ax-i2m1 7894  ax-0lt1 7895  ax-1rid 7896  ax-0id 7897  ax-rnegex 7898  ax-cnre 7900  ax-pre-ltirr 7901  ax-pre-ltwlin 7902  ax-pre-lttrn 7903  ax-pre-ltadd 7905
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4289  df-iord 4362  df-on 4364  df-ilim 4365  df-suc 4367  df-iom 4586  df-xp 4628  df-rel 4629  df-cnv 4630  df-co 4631  df-dm 4632  df-rn 4633  df-res 4634  df-ima 4635  df-iota 5173  df-fun 5213  df-fn 5214  df-f 5215  df-f1 5216  df-fo 5217  df-f1o 5218  df-fv 5219  df-riota 5824  df-ov 5871  df-oprab 5872  df-mpo 5873  df-1st 6134  df-2nd 6135  df-recs 6299  df-frec 6385  df-pnf 7971  df-mnf 7972  df-xr 7973  df-ltxr 7974  df-le 7975  df-sub 8107  df-neg 8108  df-inn 8896  df-2 8954  df-n0 9153  df-z 9230  df-uz 9505  df-fz 9983  df-seqfrec 10419  df-ndx 12435  df-slot 12436  df-base 12438  df-plusg 12518  df-0g 12642  df-mgm 12654  df-sgrp 12687  df-minusg 12758  df-mulg 12860
This theorem is referenced by:  mulgnn0ass  12894
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