Theorem mulgnnass 13962

Description: Product of group multiples, for positive multiples in a semigroup. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Dec-2014.) (Revised by AV, 29-Aug-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
mulgass.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mulgass.t	⊢ · = (.g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mulgnnass	⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))

Proof of Theorem mulgnnass

Dummy variables 𝑚 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 6092	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 · 𝑁) = (1 · 𝑁))
2	1	oveq1d 6100	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 1 → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = ((1 · 𝑁) · 𝑋))
3		oveq1 6092	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 1 → (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) = (1 · (𝑁 · 𝑋)))
4	2, 3	eqeq12d 2253	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 1 → (((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) ↔ ((1 · 𝑁) · 𝑋) = (1 · (𝑁 · 𝑋))))
5	4	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 1 → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋))) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → ((1 · 𝑁) · 𝑋) = (1 · (𝑁 · 𝑋)))))
6		oveq1 6092	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 · 𝑁) = (𝑚 · 𝑁))
7	6	oveq1d 6100	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑚 · 𝑁) · 𝑋))
8		oveq1 6092	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) = (𝑚 · (𝑁 · 𝑋)))
9	7, 8	eqeq12d 2253	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) ↔ ((𝑚 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑚 · (𝑁 · 𝑋))))
10	9	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑚 → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋))) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → ((𝑚 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑚 · (𝑁 · 𝑋)))))
11		oveq1 6092	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑛 · 𝑁) = ((𝑚 + 1) · 𝑁))
12	11	oveq1d 6100	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋))
13		oveq1 6092	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) = ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋)))
14	12, 13	eqeq12d 2253	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) ↔ (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋))))
15	14	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = (𝑚 + 1) → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋))) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋)))))
16		oveq1 6092	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 · 𝑁) = (𝑀 · 𝑁))
17	16	oveq1d 6100	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋))
18		oveq1 6092	. . . . . . 7 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))
19	17, 18	eqeq12d 2253	. . . . . 6 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋)) ↔ ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
20	19	imbi2d 230	. . . . 5 ⊢ (𝑛 = 𝑀 → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → ((𝑛 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑛 · (𝑁 · 𝑋))) ↔ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))))
21		nncn 9313	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → 𝑁 ∈ ℂ)
22	21	mullidd 8344	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ → (1 · 𝑁) = 𝑁)
23	22	3ad2ant1 1049	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → (1 · 𝑁) = 𝑁)
24	23	oveq1d 6100	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → ((1 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑁 · 𝑋))
25		sgrpmgm 13724	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐺 ∈ Smgrp → 𝐺 ∈ Mgm)
26		mulgass.b	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
27		mulgass.t	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = (.g‘𝐺)
28	26, 27	mulgnncl 13942	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐺 ∈ Mgm ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
29	25, 28	syl3an1 1311	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
30	29	3coml 1241	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵)
31	26, 27	mulg1 13934	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵 → (1 · (𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
32	30, 31	syl 14	. . . . . 6 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → (1 · (𝑁 · 𝑋)) = (𝑁 · 𝑋))
33	24, 32	eqtr4d 2274	. . . . 5 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → ((1 · 𝑁) · 𝑋) = (1 · (𝑁 · 𝑋)))
34		oveq1 6092	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑚 · (𝑁 · 𝑋)) → (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋)(+g‘𝐺)(𝑁 · 𝑋)) = ((𝑚 · (𝑁 · 𝑋))(+g‘𝐺)(𝑁 · 𝑋)))
35		nncn 9313	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → 𝑚 ∈ ℂ)
36	35	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp)) → 𝑚 ∈ ℂ)
37		simpr1 1034	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp)) → 𝑁 ∈ ℕ)
38	37	nncnd 9319	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp)) → 𝑁 ∈ ℂ)
39	36, 38	adddirp1d 8352	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp)) → ((𝑚 + 1) · 𝑁) = ((𝑚 · 𝑁) + 𝑁))
40	39	oveq1d 6100	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp)) → (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = (((𝑚 · 𝑁) + 𝑁) · 𝑋))
41		simpr3 1036	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp)) → 𝐺 ∈ Smgrp)
42		nnmulcl 9326	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ) → (𝑚 · 𝑁) ∈ ℕ)
43	42	3ad2antr1 1193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp)) → (𝑚 · 𝑁) ∈ ℕ)
44		simpr2 1035	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
45		eqid 2238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
46	26, 27, 45	mulgnndir 13956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ ((𝑚 · 𝑁) ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → (((𝑚 · 𝑁) + 𝑁) · 𝑋) = (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋)(+g‘𝐺)(𝑁 · 𝑋)))
47	41, 43, 37, 44, 46	syl13anc 1280	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp)) → (((𝑚 · 𝑁) + 𝑁) · 𝑋) = (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋)(+g‘𝐺)(𝑁 · 𝑋)))
48	40, 47	eqtrd 2271	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp)) → (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋)(+g‘𝐺)(𝑁 · 𝑋)))
49	26, 27, 45	mulgnnp1 13935	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 · 𝑋) ∈ 𝐵) → ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋)) = ((𝑚 · (𝑁 · 𝑋))(+g‘𝐺)(𝑁 · 𝑋)))
50	30, 49	sylan2 286	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp)) → ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋)) = ((𝑚 · (𝑁 · 𝑋))(+g‘𝐺)(𝑁 · 𝑋)))
51	48, 50	eqeq12d 2253	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp)) → ((((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋)) ↔ (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋)(+g‘𝐺)(𝑁 · 𝑋)) = ((𝑚 · (𝑁 · 𝑋))(+g‘𝐺)(𝑁 · 𝑋))))
52	34, 51	imbitrrid 156	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑚 ∈ ℕ ∧ (𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp)) → (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑚 · (𝑁 · 𝑋)) → (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋))))
53	52	ex 115	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → (((𝑚 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑚 · (𝑁 · 𝑋)) → (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋)))))
54	53	a2d 26	. . . . 5 ⊢ (𝑚 ∈ ℕ → (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → ((𝑚 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑚 · (𝑁 · 𝑋))) → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → (((𝑚 + 1) · 𝑁) · 𝑋) = ((𝑚 + 1) · (𝑁 · 𝑋)))))
55	5, 10, 15, 20, 33, 54	nnind 9321	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝐺 ∈ Smgrp) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))
56	55	3expd 1255	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ 𝐵 → (𝐺 ∈ Smgrp → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))))
57	56	com4r 86	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Smgrp → (𝑀 ∈ ℕ → (𝑁 ∈ ℕ → (𝑋 ∈ 𝐵 → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋))))))
58	57	3imp2 1253	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑀 ∈ ℕ ∧ 𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝑋 ∈ 𝐵)) → ((𝑀 · 𝑁) · 𝑋) = (𝑀 · (𝑁 · 𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℂcc 8177  1c1 8180   + caddc 8182   · cmul 8184  ℕcn 9305  Basecbs 13354  +_gcplusg 13433  Mgmcmgm 13676  Smgrpcsgrp 13718  ._gcmg 13924

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-ltadd 8295

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-inn 9306  df-2 9364  df-n0 9566  df-z 9647  df-uz 9924  df-fz 10414  df-seqfrec 10887  df-ndx 13357  df-slot 13358  df-base 13360  df-plusg 13446  df-0g 13614  df-mgm 13678  df-sgrp 13719  df-minusg 13811  df-mulg 13925

This theorem is used by:  mulgnn0ass  13963