Theorem 2lgsoddprmlem3d 15637

Description: Lemma 4 for 2lgsoddprmlem3 15638. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgsoddprmlem3d	⊢ (((7↑2) − 1) / 8) = (2 · 3)

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6cn 9131	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℂ
2		8cn 9135	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℂ
3		8re 9134	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ
4		8pos 9152	. . . 4 ⊢ 0 < 8
5	3, 4	gt0ap0ii 8714	. . 3 ⊢ 8 # 0
6	1, 2, 5	divcanap4i 8845	. 2 ⊢ ((6 · 8) / 8) = 6
7	1, 2	mulcli 8090	. . . 4 ⊢ (6 · 8) ∈ ℂ
8		ax-1cn 8031	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		4p3e7 9194	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 3) = 7
10	9	eqcomi 2210	. . . . . 6 ⊢ 7 = (4 + 3)
11	10	oveq1i 5964	. . . . 5 ⊢ (7↑2) = ((4 + 3)↑2)
12		4cn 9127	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
13		3cn 9124	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
14	12, 13	binom2i 10806	. . . . . 6 ⊢ ((4 + 3)↑2) = (((4↑2) + (2 · (4 · 3))) + (3↑2))
15		sq4e2t8 10795	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
16		2cn 9120	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		4t2e8 9208	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (4 · 2) = 8
18	12, 16, 17	mulcomli 8092	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 4) = 8
19	18	oveq1i 5964	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 4) · 3) = (8 · 3)
20	16, 12, 13	mulassi 8094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 4) · 3) = (2 · (4 · 3))
21	2, 13	mulcomi 8091	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 · 3) = (3 · 8)
22	19, 20, 21	3eqtr3i 2235	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · (4 · 3)) = (3 · 8)
23	15, 22	oveq12i 5966	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4↑2) + (2 · (4 · 3))) = ((2 · 8) + (3 · 8))
24	16, 13, 2	adddiri 8096	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 + 3) · 8) = ((2 · 8) + (3 · 8))
25		3p2e5 9191	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 + 2) = 5
26	13, 16, 25	addcomli 8230	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 + 3) = 5
27	26	oveq1i 5964	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 + 3) · 8) = (5 · 8)
28	23, 24, 27	3eqtr2i 2233	. . . . . . . 8 ⊢ ((4↑2) + (2 · (4 · 3))) = (5 · 8)
29		sq3 10794	. . . . . . . . 9 ⊢ (3↑2) = 9
30		df-9 9115	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 = (8 + 1)
31	29, 30	eqtri 2227	. . . . . . . 8 ⊢ (3↑2) = (8 + 1)
32	28, 31	oveq12i 5966	. . . . . . 7 ⊢ (((4↑2) + (2 · (4 · 3))) + (3↑2)) = ((5 · 8) + (8 + 1))
33		5cn 9129	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
34	33, 2	mulcli 8090	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 8) ∈ ℂ
35	34, 2, 8	addassi 8093	. . . . . . 7 ⊢ (((5 · 8) + 8) + 1) = ((5 · 8) + (8 + 1))
36		df-6 9112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 6 = (5 + 1)
37	36	oveq1i 5964	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 · 8) = ((5 + 1) · 8)
38	33	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 ∈ ℂ → 5 ∈ ℂ)
39		id 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 ∈ ℂ → 8 ∈ ℂ)
40	38, 39	adddirp1d 8112	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 ∈ ℂ → ((5 + 1) · 8) = ((5 · 8) + 8))
41	2, 40	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((5 + 1) · 8) = ((5 · 8) + 8)
42	37, 41	eqtri 2227	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 · 8) = ((5 · 8) + 8)
43	42	eqcomi 2210	. . . . . . . 8 ⊢ ((5 · 8) + 8) = (6 · 8)
44	43	oveq1i 5964	. . . . . . 7 ⊢ (((5 · 8) + 8) + 1) = ((6 · 8) + 1)
45	32, 35, 44	3eqtr2i 2233	. . . . . 6 ⊢ (((4↑2) + (2 · (4 · 3))) + (3↑2)) = ((6 · 8) + 1)
46	14, 45	eqtri 2227	. . . . 5 ⊢ ((4 + 3)↑2) = ((6 · 8) + 1)
47	11, 46	eqtri 2227	. . . 4 ⊢ (7↑2) = ((6 · 8) + 1)
48	7, 8, 47	mvrraddi 8302	. . 3 ⊢ ((7↑2) − 1) = (6 · 8)
49	48	oveq1i 5964	. 2 ⊢ (((7↑2) − 1) / 8) = ((6 · 8) / 8)
50		3t2e6 9206	. . 3 ⊢ (3 · 2) = 6
51	13, 16, 50	mulcomli 8092	. 2 ⊢ (2 · 3) = 6
52	6, 49, 51	3eqtr4i 2237	1 ⊢ (((7↑2) − 1) / 8) = (2 · 3)

Syntax hints:   = wceq 1373   ∈ wcel 2177  (class class class)co 5954  ℂcc 7936  1c1 7939   + caddc 7941   · cmul 7943   − cmin 8256   / cdiv 8758  2c2 9100  3c3 9101  4c4 9102  5c5 9103  6c6 9104  7c7 9105  8c8 9106  9c9 9107  ↑cexp 10696

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-coll 4164  ax-sep 4167  ax-nul 4175  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485  ax-setind 4590  ax-iinf 4641  ax-cnex 8029  ax-resscn 8030  ax-1cn 8031  ax-1re 8032  ax-icn 8033  ax-addcl 8034  ax-addrcl 8035  ax-mulcl 8036  ax-mulrcl 8037  ax-addcom 8038  ax-mulcom 8039  ax-addass 8040  ax-mulass 8041  ax-distr 8042  ax-i2m1 8043  ax-0lt1 8044  ax-1rid 8045  ax-0id 8046  ax-rnegex 8047  ax-precex 8048  ax-cnre 8049  ax-pre-ltirr 8050  ax-pre-ltwlin 8051  ax-pre-lttrn 8052  ax-pre-apti 8053  ax-pre-ltadd 8054  ax-pre-mulgt0 8055  ax-pre-mulext 8056

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 837  df-3or 982  df-3an 983  df-tru 1376  df-fal 1379  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ne 2378  df-nel 2473  df-ral 2490  df-rex 2491  df-reu 2492  df-rmo 2493  df-rab 2494  df-v 2775  df-sbc 3001  df-csb 3096  df-dif 3170  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-nul 3463  df-if 3574  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-int 3889  df-iun 3932  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-tr 4148  df-id 4345  df-po 4348  df-iso 4349  df-iord 4418  df-on 4420  df-ilim 4421  df-suc 4423  df-iom 4644  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-rn 4691  df-res 4692  df-ima 4693  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fn 5280  df-f 5281  df-f1 5282  df-fo 5283  df-f1o 5284  df-fv 5285  df-riota 5909  df-ov 5957  df-oprab 5958  df-mpo 5959  df-1st 6236  df-2nd 6237  df-recs 6401  df-frec 6487  df-pnf 8122  df-mnf 8123  df-xr 8124  df-ltxr 8125  df-le 8126  df-sub 8258  df-neg 8259  df-reap 8661  df-ap 8668  df-div 8759  df-inn 9050  df-2 9108  df-3 9109  df-4 9110  df-5 9111  df-6 9112  df-7 9113  df-8 9114  df-9 9115  df-n0 9309  df-z 9386  df-uz 9662  df-seqfrec 10606  df-exp 10697

This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem3  15638