Theorem 2lgsoddprmlem3d 16095

Description: Lemma 4 for 2lgsoddprmlem3 16096. (Contributed by AV, 20-Jul-2021.)

Assertion

Ref	Expression
2lgsoddprmlem3d	⊢ (((7↑2) − 1) / 8) = (2 · 3)

Proof of Theorem 2lgsoddprmlem3d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		6cn 9336	. . 3 ⊢ 6 ∈ ℂ
2		8cn 9340	. . 3 ⊢ 8 ∈ ℂ
3		8re 9339	. . . 4 ⊢ 8 ∈ ℝ
4		8pos 9357	. . . 4 ⊢ 0 < 8
5	3, 4	gt0ap0ii 8919	. . 3 ⊢ 8 # 0
6	1, 2, 5	divcanap4i 9050	. 2 ⊢ ((6 · 8) / 8) = 6
7	1, 2	mulcli 8295	. . . 4 ⊢ (6 · 8) ∈ ℂ
8		ax-1cn 8236	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
9		4p3e7 9399	. . . . . . 7 ⊢ (4 + 3) = 7
10	9	eqcomi 2238	. . . . . 6 ⊢ 7 = (4 + 3)
11	10	oveq1i 6068	. . . . 5 ⊢ (7↑2) = ((4 + 3)↑2)
12		4cn 9332	. . . . . . 7 ⊢ 4 ∈ ℂ
13		3cn 9329	. . . . . . 7 ⊢ 3 ∈ ℂ
14	12, 13	binom2i 11034	. . . . . 6 ⊢ ((4 + 3)↑2) = (((4↑2) + (2 · (4 · 3))) + (3↑2))
15		sq4e2t8 11023	. . . . . . . . . 10 ⊢ (4↑2) = (2 · 8)
16		2cn 9325	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 2 ∈ ℂ
17		4t2e8 9413	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (4 · 2) = 8
18	12, 16, 17	mulcomli 8297	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (2 · 4) = 8
19	18	oveq1i 6068	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 4) · 3) = (8 · 3)
20	16, 12, 13	mulassi 8299	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((2 · 4) · 3) = (2 · (4 · 3))
21	2, 13	mulcomi 8296	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 · 3) = (3 · 8)
22	19, 20, 21	3eqtr3i 2263	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 · (4 · 3)) = (3 · 8)
23	15, 22	oveq12i 6070	. . . . . . . . 9 ⊢ ((4↑2) + (2 · (4 · 3))) = ((2 · 8) + (3 · 8))
24	16, 13, 2	adddiri 8301	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 + 3) · 8) = ((2 · 8) + (3 · 8))
25		3p2e5 9396	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (3 + 2) = 5
26	13, 16, 25	addcomli 8434	. . . . . . . . . 10 ⊢ (2 + 3) = 5
27	26	oveq1i 6068	. . . . . . . . 9 ⊢ ((2 + 3) · 8) = (5 · 8)
28	23, 24, 27	3eqtr2i 2261	. . . . . . . 8 ⊢ ((4↑2) + (2 · (4 · 3))) = (5 · 8)
29		sq3 11022	. . . . . . . . 9 ⊢ (3↑2) = 9
30		df-9 9320	. . . . . . . . 9 ⊢ 9 = (8 + 1)
31	29, 30	eqtri 2255	. . . . . . . 8 ⊢ (3↑2) = (8 + 1)
32	28, 31	oveq12i 6070	. . . . . . 7 ⊢ (((4↑2) + (2 · (4 · 3))) + (3↑2)) = ((5 · 8) + (8 + 1))
33		5cn 9334	. . . . . . . . 9 ⊢ 5 ∈ ℂ
34	33, 2	mulcli 8295	. . . . . . . 8 ⊢ (5 · 8) ∈ ℂ
35	34, 2, 8	addassi 8298	. . . . . . 7 ⊢ (((5 · 8) + 8) + 1) = ((5 · 8) + (8 + 1))
36		df-6 9317	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 6 = (5 + 1)
37	36	oveq1i 6068	. . . . . . . . . 10 ⊢ (6 · 8) = ((5 + 1) · 8)
38	33	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 ∈ ℂ → 5 ∈ ℂ)
39		id 19	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (8 ∈ ℂ → 8 ∈ ℂ)
40	38, 39	adddirp1d 8316	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (8 ∈ ℂ → ((5 + 1) · 8) = ((5 · 8) + 8))
41	2, 40	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((5 + 1) · 8) = ((5 · 8) + 8)
42	37, 41	eqtri 2255	. . . . . . . . 9 ⊢ (6 · 8) = ((5 · 8) + 8)
43	42	eqcomi 2238	. . . . . . . 8 ⊢ ((5 · 8) + 8) = (6 · 8)
44	43	oveq1i 6068	. . . . . . 7 ⊢ (((5 · 8) + 8) + 1) = ((6 · 8) + 1)
45	32, 35, 44	3eqtr2i 2261	. . . . . 6 ⊢ (((4↑2) + (2 · (4 · 3))) + (3↑2)) = ((6 · 8) + 1)
46	14, 45	eqtri 2255	. . . . 5 ⊢ ((4 + 3)↑2) = ((6 · 8) + 1)
47	11, 46	eqtri 2255	. . . 4 ⊢ (7↑2) = ((6 · 8) + 1)
48	7, 8, 47	mvrraddi 8506	. . 3 ⊢ ((7↑2) − 1) = (6 · 8)
49	48	oveq1i 6068	. 2 ⊢ (((7↑2) − 1) / 8) = ((6 · 8) / 8)
50		3t2e6 9411	. . 3 ⊢ (3 · 2) = 6
51	13, 16, 50	mulcomli 8297	. 2 ⊢ (2 · 3) = 6
52	6, 49, 51	3eqtr4i 2265	1 ⊢ (((7↑2) − 1) / 8) = (2 · 3)

Syntax hints:   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  (class class class)co 6058  ℂcc 8141  1c1 8144   + caddc 8146   · cmul 8148   − cmin 8460   / cdiv 8963  2c2 9305  3c3 9306  4c4 9307  5c5 9308  6c6 9309  7c7 9310  8c8 9311  9c9 9312  ↑cexp 10924

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-coll 4230  ax-sep 4233  ax-nul 4241  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559  ax-setind 4664  ax-iinf 4715  ax-cnex 8234  ax-resscn 8235  ax-1cn 8236  ax-1re 8237  ax-icn 8238  ax-addcl 8239  ax-addrcl 8240  ax-mulcl 8241  ax-mulrcl 8242  ax-addcom 8243  ax-mulcom 8244  ax-addass 8245  ax-mulass 8246  ax-distr 8247  ax-i2m1 8248  ax-0lt1 8249  ax-1rid 8250  ax-0id 8251  ax-rnegex 8252  ax-precex 8253  ax-cnre 8254  ax-pre-ltirr 8255  ax-pre-ltwlin 8256  ax-pre-lttrn 8257  ax-pre-apti 8258  ax-pre-ltadd 8259  ax-pre-mulgt0 8260  ax-pre-mulext 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-reu 2529  df-rmo 2530  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-if 3625  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-int 3955  df-iun 3998  df-br 4115  df-opab 4177  df-mpt 4178  df-tr 4214  df-id 4419  df-po 4422  df-iso 4423  df-iord 4492  df-on 4494  df-ilim 4495  df-suc 4497  df-iom 4718  df-xp 4760  df-rel 4761  df-cnv 4762  df-co 4763  df-dm 4764  df-rn 4765  df-res 4766  df-ima 4767  df-iota 5317  df-fun 5359  df-fn 5360  df-f 5361  df-f1 5362  df-fo 5363  df-f1o 5364  df-fv 5365  df-riota 6011  df-ov 6061  df-oprab 6062  df-mpo 6063  df-1st 6347  df-2nd 6348  df-recs 6549  df-frec 6635  df-pnf 8326  df-mnf 8327  df-xr 8328  df-ltxr 8329  df-le 8330  df-sub 8462  df-neg 8463  df-reap 8866  df-ap 8873  df-div 8964  df-inn 9255  df-2 9313  df-3 9314  df-4 9315  df-5 9316  df-6 9317  df-7 9318  df-8 9319  df-9 9320  df-n0 9514  df-z 9595  df-uz 9872  df-seqfrec 10834  df-exp 10925

This theorem is referenced by:  2lgsoddprmlem3  16096