Theorem cnfldmulg 14142

Description: The group multiple function in the field of complex numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
cnfldmulg	⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝐴 · 𝐵))

Proof of Theorem cnfldmulg

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq1 5930	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = (0(.g‘ℂfld)𝐵))
2		oveq1 5930	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝑥 · 𝐵) = (0 · 𝐵))
3	1, 2	eqeq12d 2211	. . 3 ⊢ (𝑥 = 0 → ((𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑥 · 𝐵) ↔ (0(.g‘ℂfld)𝐵) = (0 · 𝐵)))
4		oveq1 5930	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑦(.g‘ℂfld)𝐵))
5		oveq1 5930	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 · 𝐵) = (𝑦 · 𝐵))
6	4, 5	eqeq12d 2211	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑥 · 𝐵) ↔ (𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑦 · 𝐵)))
7		oveq1 5930	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = ((𝑦 + 1)(.g‘ℂfld)𝐵))
8		oveq1 5930	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 · 𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵))
9	7, 8	eqeq12d 2211	. . 3 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑥 · 𝐵) ↔ ((𝑦 + 1)(.g‘ℂfld)𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵)))
10		oveq1 5930	. . . 4 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = (-𝑦(.g‘ℂfld)𝐵))
11		oveq1 5930	. . . 4 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → (𝑥 · 𝐵) = (-𝑦 · 𝐵))
12	10, 11	eqeq12d 2211	. . 3 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → ((𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑥 · 𝐵) ↔ (-𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (-𝑦 · 𝐵)))
13		oveq1 5930	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝐴(.g‘ℂfld)𝐵))
14		oveq1 5930	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 · 𝐵) = (𝐴 · 𝐵))
15	13, 14	eqeq12d 2211	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑥 · 𝐵) ↔ (𝐴(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝐴 · 𝐵)))
16		cnfldbas 14126	. . . . 5 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
17		cnfld0 14137	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
18		eqid 2196	. . . . 5 ⊢ (.g‘ℂfld) = (.g‘ℂfld)
19	16, 17, 18	mulg0 13265	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (0(.g‘ℂfld)𝐵) = 0)
20		mul02 8415	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (0 · 𝐵) = 0)
21	19, 20	eqtr4d 2232	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (0(.g‘ℂfld)𝐵) = (0 · 𝐵))
22		oveq1 5930	. . . . 5 ⊢ ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) + 𝐵) = ((𝑦 · 𝐵) + 𝐵))
23		cnring 14136	. . . . . . . 8 ⊢ ℂfld ∈ Ring
24		ringmnd 13572	. . . . . . . 8 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ ℂfld ∈ Mnd
26		cnfldadd 14128	. . . . . . . 8 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
27	16, 18, 26	mulgnn0p1 13273	. . . . . . 7 ⊢ ((ℂfld ∈ Mnd ∧ 𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1)(.g‘ℂfld)𝐵) = ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) + 𝐵))
28	25, 27	mp3an1 1335	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1)(.g‘ℂfld)𝐵) = ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) + 𝐵))
29		nn0cn 9261	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ0 → 𝑦 ∈ ℂ)
30	29	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
31		simpr 110	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
32	30, 31	adddirp1d 8055	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑦 + 1) · 𝐵) = ((𝑦 · 𝐵) + 𝐵))
33	28, 32	eqeq12d 2211	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((𝑦 + 1)(.g‘ℂfld)𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵) ↔ ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) + 𝐵) = ((𝑦 · 𝐵) + 𝐵)))
34	22, 33	imbitrrid 156	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ0 ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → ((𝑦 + 1)(.g‘ℂfld)𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵)))
35	34	expcom 116	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℕ0 → ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → ((𝑦 + 1)(.g‘ℂfld)𝐵) = ((𝑦 + 1) · 𝐵))))
36		fveq2 5559	. . . . 5 ⊢ ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → ((invg‘ℂfld)‘(𝑦(.g‘ℂfld)𝐵)) = ((invg‘ℂfld)‘(𝑦 · 𝐵)))
37		eqid 2196	. . . . . . 7 ⊢ (invg‘ℂfld) = (invg‘ℂfld)
38	16, 18, 37	mulgnegnn 13272	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = ((invg‘ℂfld)‘(𝑦(.g‘ℂfld)𝐵)))
39		nncn 9000	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℂ)
40		mulneg1 8423	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝑦 · 𝐵) = -(𝑦 · 𝐵))
41	39, 40	sylan 283	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝑦 · 𝐵) = -(𝑦 · 𝐵))
42		mulcl 8008	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑦 · 𝐵) ∈ ℂ)
43	39, 42	sylan 283	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑦 · 𝐵) ∈ ℂ)
44		cnfldneg 14139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 · 𝐵) ∈ ℂ → ((invg‘ℂfld)‘(𝑦 · 𝐵)) = -(𝑦 · 𝐵))
45	43, 44	syl 14	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((invg‘ℂfld)‘(𝑦 · 𝐵)) = -(𝑦 · 𝐵))
46	41, 45	eqtr4d 2232	. . . . . 6 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (-𝑦 · 𝐵) = ((invg‘ℂfld)‘(𝑦 · 𝐵)))
47	38, 46	eqeq12d 2211	. . . . 5 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((-𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (-𝑦 · 𝐵) ↔ ((invg‘ℂfld)‘(𝑦(.g‘ℂfld)𝐵)) = ((invg‘ℂfld)‘(𝑦 · 𝐵))))
48	36, 47	imbitrrid 156	. . . 4 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → (-𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (-𝑦 · 𝐵)))
49	48	expcom 116	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝑦 ∈ ℕ → ((𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝑦 · 𝐵) → (-𝑦(.g‘ℂfld)𝐵) = (-𝑦 · 𝐵))))
50	3, 6, 9, 12, 15, 21, 35, 49	zindd 9446	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (𝐴 ∈ ℤ → (𝐴(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝐴 · 𝐵)))
51	50	impcom 125	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℤ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴(.g‘ℂfld)𝐵) = (𝐴 · 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ‘cfv 5259  (class class class)co 5923  ℂcc 7879  0cc0 7881  1c1 7882   + caddc 7884   · cmul 7886  -cneg 8200  ℕcn 8992  ℕ₀cn0 9251  ℤcz 9328  Mndcmnd 13067  inv_gcminusg 13143  ._gcmg 13259  Ringcrg 13562  ℂ_fldccnfld 14122

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-mulrcl 7980  ax-addcom 7981  ax-mulcom 7982  ax-addass 7983  ax-mulass 7984  ax-distr 7985  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-1rid 7988  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-precex 7991  ax-cnre 7992  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-ltwlin 7994  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-apti 7996  ax-pre-ltadd 7997  ax-pre-mulgt0 7998  ax-addf 8003  ax-mulf 8004

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-if 3563  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-tp 3631  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-id 4329  df-iord 4402  df-on 4404  df-ilim 4405  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-1st 6199  df-2nd 6200  df-recs 6364  df-frec 6450  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-xr 8067  df-ltxr 8068  df-le 8069  df-sub 8201  df-neg 8202  df-reap 8604  df-inn 8993  df-2 9051  df-3 9052  df-4 9053  df-5 9054  df-6 9055  df-7 9056  df-8 9057  df-9 9058  df-n0 9252  df-z 9329  df-dec 9460  df-uz 9604  df-rp 9731  df-fz 10086  df-seqfrec 10542  df-cj 11009  df-abs 11166  df-struct 12690  df-ndx 12691  df-slot 12692  df-base 12694  df-sets 12695  df-plusg 12778  df-mulr 12779  df-starv 12780  df-tset 12784  df-ple 12785  df-ds 12787  df-unif 12788  df-0g 12939  df-topgen 12941  df-mgm 13009  df-sgrp 13055  df-mnd 13068  df-grp 13145  df-minusg 13146  df-mulg 13260  df-cmn 13426  df-mgp 13487  df-ring 13564  df-cring 13565  df-bl 14112  df-mopn 14113  df-fg 14115  df-metu 14116  df-cnfld 14123

This theorem is referenced by:  zsssubrg  14151  zringmulg  14164  mulgrhm2  14176