Theorem climcncf 15298

Description: Image of a limit under a continuous map. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
climcncf.1	⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
climcncf.2	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
climcncf.4	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵))
climcncf.5	⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑍⟶𝐴)
climcncf.6	⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐷)
climcncf.7	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
climcncf	⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) ⇝ (𝐹‘𝐷))

Proof of Theorem climcncf

Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑥 𝑘 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		climcncf.1	. 2 ⊢ 𝑍 = (ℤ≥‘𝑀)
2		climcncf.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
3		climcncf.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝐴)
4		climcncf.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵))
5		cncff 15291	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
6	4, 5	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
7	6	ffvelcdmda 5778	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝐵)
8		cncfrss2 15290	. . . . 5 ⊢ (𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) → 𝐵 ⊆ ℂ)
9	4, 8	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ ℂ)
10	9	sselda 3225	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ 𝐵) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
11	7, 10	syldan 282	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
12		climcncf.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ⇝ 𝐷)
13		climcncf.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝑍⟶𝐴)
14		zex 9478	. . . . . 6 ⊢ ℤ ∈ V
15		uzssz 9766	. . . . . 6 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ⊆ ℤ
16	14, 15	ssexi 4225	. . . . 5 ⊢ (ℤ≥‘𝑀) ∈ V
17	1, 16	eqeltri 2302	. . . 4 ⊢ 𝑍 ∈ V
18		fex 5878	. . . 4 ⊢ ((𝐺:𝑍⟶𝐴 ∧ 𝑍 ∈ V) → 𝐺 ∈ V)
19	13, 17, 18	sylancl 413	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ V)
20		coexg 5279	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ∧ 𝐺 ∈ V) → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ V)
21	4, 19, 20	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) ∈ V)
22		cncfi 15292	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ∧ 𝐷 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐷))) < 𝑥))
23	22	3expia 1229	. . . 4 ⊢ ((𝐹 ∈ (𝐴–cn→𝐵) ∧ 𝐷 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ ℝ+ → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐷))) < 𝑥)))
24	4, 3, 23	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ ℝ+ → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐷))) < 𝑥)))
25	24	imp 124	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ℝ+) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((abs‘(𝑧 − 𝐷)) < 𝑦 → (abs‘((𝐹‘𝑧) − (𝐹‘𝐷))) < 𝑥))
26	13	ffvelcdmda 5778	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → (𝐺‘𝑘) ∈ 𝐴)
27		fvco3 5713	. . 3 ⊢ ((𝐺:𝑍⟶𝐴 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑘) = (𝐹‘(𝐺‘𝑘)))
28	13, 27	sylan 283	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → ((𝐹 ∘ 𝐺)‘𝑘) = (𝐹‘(𝐺‘𝑘)))
29	1, 2, 3, 11, 12, 21, 25, 26, 28	climcn1 11859	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ∘ 𝐺) ⇝ (𝐹‘𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  ∀wral 2508  ∃wrex 2509  Vcvv 2800   ⊆ wss 3198   class class class wbr 4086   ∘ ccom 4727  ⟶wf 5320  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  ℂcc 8020   < clt 8204   − cmin 8340  ℤcz 9469  ℤ_≥cuz 9745  ℝ⁺crp 9878  abscabs 11548   ⇝ cli 11829  –cn→ccncf 15284

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4202  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8113  ax-resscn 8114  ax-1cn 8115  ax-1re 8116  ax-icn 8117  ax-addcl 8118  ax-addrcl 8119  ax-mulcl 8120  ax-mulrcl 8121  ax-addcom 8122  ax-mulcom 8123  ax-addass 8124  ax-mulass 8125  ax-distr 8126  ax-i2m1 8127  ax-0lt1 8128  ax-1rid 8129  ax-0id 8130  ax-rnegex 8131  ax-precex 8132  ax-cnre 8133  ax-pre-ltirr 8134  ax-pre-ltwlin 8135  ax-pre-lttrn 8136  ax-pre-apti 8137  ax-pre-ltadd 8138  ax-pre-mulgt0 8139  ax-pre-mulext 8140

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 840  df-3or 1003  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-csb 3126  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-if 3604  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-iun 3970  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-po 4391  df-iso 4392  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-ima 4736  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331  df-fv 5332  df-riota 5966  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-map 6814  df-pnf 8206  df-mnf 8207  df-xr 8208  df-ltxr 8209  df-le 8210  df-sub 8342  df-neg 8343  df-reap 8745  df-ap 8752  df-div 8843  df-inn 9134  df-2 9192  df-n0 9393  df-z 9470  df-uz 9746  df-cj 11393  df-re 11394  df-im 11395  df-rsqrt 11549  df-abs 11550  df-clim 11830  df-cncf 15285

This theorem is referenced by: (None)