Theorem xpexg 4863

Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
xpexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem xpexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsspw 4861	. 2 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)
2		unexg 4563	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
3		pwexg 4292	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V → 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
4		pwexg 4292	. . 3 ⊢ (𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
5	2, 3, 4	3syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
6		ssexg 4248	. 2 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
7	1, 5, 6	sylancr 414	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2203  Vcvv 2812   ∪ cun 3208   ⊆ wss 3210  𝒫 cpw 3668   × cxp 4746

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-sep 4227  ax-pow 4286  ax-pr 4321  ax-un 4553

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-rex 2526  df-v 2814  df-un 3214  df-in 3216  df-ss 3223  df-pw 3670  df-sn 3694  df-pr 3695  df-op 3697  df-uni 3914  df-opab 4171  df-xp 4754

This theorem is referenced by:  xpexd  4864  xpex  4865  sqxpexg  4867  resiexg  5082  cnvexg  5299  coexg  5306  fex2  5530  fabexg  5553  resfunexgALT  6300  cofunexg  6301  fnexALT  6303  funexw  6304  opabex3d  6313  opabex3  6314  oprabexd  6319  ofmresex  6329  mpoexxg  6405  tposexg  6488  erex  6790  pmex  6886  mapex  6887  pmvalg  6892  elpmg  6897  fvdiagfn  6927  ixpexgg  6956  ixpsnf1o  6970  map1  7053  xpdom2  7081  xpdom3m  7084  xpen  7097  mapxpen  7100  xpfi  7191  djuex  7333  djuassen  7523  cc2lem  7579  shftfvalg  11499  climconst2  11972  prdsval  13478  prdsbaslemss  13479  pwsval  13496  pwsbas  13497  mulgnngsum  13836  releqgg  13929  eqgex  13930  eqgfval  13931  dvdsrvald  14230  dvdsrex  14235  aprval  14420  aprap  14424  psrval  14806  psrbasg  14821  psrplusgg  14825  lmfval  15050  txbasex  15114  txopn  15122  txcn  15132  txrest  15133  blfvalps  15242  xmetxp  15364  limccnp2lem  15533  limccnp2cntop  15534  dvfvalap  15538