Theorem xpexg 4835

Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
xpexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem xpexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsspw 4833	. 2 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)
2		unexg 4535	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
3		pwexg 4265	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V → 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
4		pwexg 4265	. . 3 ⊢ (𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
5	2, 3, 4	3syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
6		ssexg 4223	. 2 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
7	1, 5, 6	sylancr 414	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   ∪ cun 3195   ⊆ wss 3197  𝒫 cpw 3649   × cxp 4718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4259  ax-pr 4294  ax-un 4525

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-opab 4146  df-xp 4726

This theorem is referenced by:  xpexd  4836  xpex  4837  sqxpexg  4838  resiexg  5053  cnvexg  5269  coexg  5276  fex2  5497  fabexg  5518  resfunexgALT  6262  cofunexg  6263  fnexALT  6265  funexw  6266  opabex3d  6275  opabex3  6276  oprabexd  6281  ofmresex  6291  mpoexxg  6367  tposexg  6415  erex  6717  pmex  6813  mapex  6814  pmvalg  6819  elpmg  6824  fvdiagfn  6853  ixpexgg  6882  ixpsnf1o  6896  map1  6978  xpdom2  7003  xpdom3m  7006  xpen  7019  mapxpen  7022  xpfi  7110  djuex  7226  djuassen  7415  cc2lem  7468  shftfvalg  11350  climconst2  11823  prdsval  13327  prdsbaslemss  13328  pwsval  13345  pwsbas  13346  mulgnngsum  13685  releqgg  13778  eqgex  13779  eqgfval  13780  dvdsrvald  14078  dvdsrex  14083  aprval  14267  aprap  14271  psrval  14651  psrbasg  14659  psrplusgg  14663  lmfval  14888  txbasex  14952  txopn  14960  txcn  14970  txrest  14971  blfvalps  15080  xmetxp  15202  limccnp2lem  15371  limccnp2cntop  15372  dvfvalap  15376