Theorem xpexg 4889

Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
xpexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem xpexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsspw 4887	. 2 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)
2		unexg 4589	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
3		pwexg 4317	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V → 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
4		pwexg 4317	. . 3 ⊢ (𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
5	2, 3, 4	3syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
6		ssexg 4272	. 2 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
7	1, 5, 6	sylancr 418	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ∪ cun 3218   ⊆ wss 3220  𝒫 cpw 3688   × cxp 4772

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-opab 4193  df-xp 4780

This theorem is used by:  xpexd  4890  xpex  4891  sqxpexg  4893  resiexg  5108  cnvexg  5325  coexg  5332  fex2  5556  fabexg  5579  resfunexgALT  6337  cofunexg  6338  fnexALT  6340  funexw  6341  opabex3d  6350  opabex3  6351  oprabexd  6360  ofmresex  6370  mpoexxg  6446  tposexg  6529  erex  6831  pmex  6927  mapex  6928  pmvalg  6933  elpmg  6938  fvdiagfn  6975  ixpexgg  7004  ixpsnf1o  7018  map1  7101  xpdom2  7129  xpdom3m  7132  xpen  7145  mapxpen  7148  xpfi  7239  djuex  7383  djuassen  7573  cc2lem  7632  shftfvalg  11585  climconst2  12059  mulgnngzsum  13932  releqgg  14025  eqgex  14026  eqgfval  14027  prdsval  14175  prdsbaslemss  14176  pwsval  14206  pwsbas  14207  dvdsrvald  14402  dvdsrex  14407  aprval  14593  aprap  14600  psrval  15052  psrbasg  15067  psrplusgg  15071  lmfval  15296  txbasex  15360  txopn  15368  txcn  15378  txrest  15379  blfvalps  15488  xmetxp  15610  limccnp2lem  15779  limccnp2cntop  15780  dvfvalap  15784