Theorem xpexg 4833

Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
xpexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem xpexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsspw 4831	. 2 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)
2		unexg 4534	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
3		pwexg 4264	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V → 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
4		pwexg 4264	. . 3 ⊢ (𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
5	2, 3, 4	3syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
6		ssexg 4223	. 2 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
7	1, 5, 6	sylancr 414	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   ∪ cun 3195   ⊆ wss 3197  𝒫 cpw 3649   × cxp 4717

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-opab 4146  df-xp 4725

This theorem is referenced by:  xpex  4834  sqxpexg  4835  resiexg  5050  cnvexg  5266  coexg  5273  fex2  5494  fabexg  5515  resfunexgALT  6259  cofunexg  6260  fnexALT  6262  funexw  6263  opabex3d  6272  opabex3  6273  oprabexd  6278  ofmresex  6288  mpoexxg  6362  tposexg  6410  erex  6712  pmex  6808  mapex  6809  pmvalg  6814  elpmg  6819  fvdiagfn  6848  ixpexgg  6877  ixpsnf1o  6891  map1  6973  xpdom2  6998  xpdom3m  7001  xpen  7014  mapxpen  7017  xpfi  7102  djuex  7218  djuassen  7407  cc2lem  7460  shftfvalg  11337  climconst2  11810  prdsval  13314  prdsbaslemss  13315  pwsval  13332  pwsbas  13333  mulgnngsum  13672  releqgg  13765  eqgex  13766  eqgfval  13767  dvdsrvald  14065  dvdsrex  14070  aprval  14254  aprap  14258  psrval  14638  psrbasg  14646  psrplusgg  14650  lmfval  14875  txbasex  14939  txopn  14947  txcn  14957  txrest  14958  blfvalps  15067  xmetxp  15189  limccnp2lem  15358  limccnp2cntop  15359  dvfvalap  15363