Theorem xpexg 4741

Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
xpexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem xpexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsspw 4739	. 2 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)
2		unexg 4444	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
3		pwexg 4181	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V → 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
4		pwexg 4181	. . 3 ⊢ (𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
5	2, 3, 4	3syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
6		ssexg 4143	. 2 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
7	1, 5, 6	sylancr 414	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2148  Vcvv 2738   ∪ cun 3128   ⊆ wss 3130  𝒫 cpw 3576   × cxp 4625

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-rex 2461  df-v 2740  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-opab 4066  df-xp 4633

This theorem is referenced by:  xpex  4742  sqxpexg  4743  resiexg  4953  cnvexg  5167  coexg  5174  fex2  5385  fabexg  5404  resfunexgALT  6109  cofunexg  6110  fnexALT  6112  funexw  6113  opabex3d  6122  opabex3  6123  oprabexd  6128  ofmresex  6138  mpoexxg  6211  tposexg  6259  erex  6559  pmex  6653  mapex  6654  pmvalg  6659  elpmg  6664  fvdiagfn  6693  ixpexgg  6722  ixpsnf1o  6736  map1  6812  xpdom2  6831  xpdom3m  6834  xpen  6845  mapxpen  6848  xpfi  6929  djuex  7042  djuassen  7216  cc2lem  7265  shftfvalg  10827  climconst2  11299  releqgg  13080  eqgfval  13081  reldvdsrsrg  13261  dvdsrvald  13262  dvdsrex  13267  aprval  13372  aprap  13376  lmfval  13695  txbasex  13760  txopn  13768  txcn  13778  txrest  13779  blfvalps  13888  xmetxp  14010  limccnp2lem  14148  limccnp2cntop  14149  dvfvalap  14153