Theorem xpexg 4891

Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
xpexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem xpexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsspw 4889	. 2 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)
2		unexg 4591	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
3		pwexg 4319	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V → 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
4		pwexg 4319	. . 3 ⊢ (𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
5	2, 3, 4	3syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
6		ssexg 4274	. 2 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
7	1, 5, 6	sylancr 418	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ∪ cun 3218   ⊆ wss 3220  𝒫 cpw 3688   × cxp 4774

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-opab 4194  df-xp 4782

This theorem is used by:  xpexd  4892  xpex  4893  sqxpexg  4895  resiexg  5111  cnvexg  5328  coexg  5335  fex2  5559  fabexg  5582  resfunexgALT  6341  cofunexg  6342  fnexALT  6344  funexw  6345  opabex3d  6354  opabex3  6355  oprabexd  6364  ofmresex  6374  mpoexxg  6450  tposexg  6533  erex  6835  pmex  6931  mapex  6932  pmvalg  6937  elpmg  6942  fvdiagfn  6980  ixpexgg  7009  ixpsnf1o  7023  map1  7106  xpdom2  7134  xpdom3m  7137  xpen  7150  mapxpen  7153  xpfi  7244  djuex  7390  djuassen  7580  cc2lem  7639  shftfvalg  11606  climconst2  12083  mulgnngzsum  13990  releqgg  14083  eqgex  14084  eqgfval  14085  prdsval  14281  prdsbaslemss  14282  pwsval  14312  pwsbas  14313  dvdsrvald  14510  dvdsrex  14515  aprval  14701  aprap  14708  psrval  15162  psrbasg  15183  psrplusgg  15187  psrlidmfi  15204  lmfval  15431  txbasex  15495  txopn  15503  txcn  15513  txrest  15514  blfvalps  15623  xmetxp  15745  limccnp2lem  15914  limccnp2cntop  15915  dvfvalap  15919