ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xpexg GIF version

Theorem xpexg 4660
Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
xpexg ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem xpexg
StepHypRef Expression
1 xpsspw 4658 . 2 (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴𝐵)
2 unexg 4371 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ∈ V)
3 pwexg 4111 . . 3 ((𝐴𝐵) ∈ V → 𝒫 (𝐴𝐵) ∈ V)
4 pwexg 4111 . . 3 (𝒫 (𝐴𝐵) ∈ V → 𝒫 𝒫 (𝐴𝐵) ∈ V)
52, 3, 43syl 17 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝒫 𝒫 (𝐴𝐵) ∈ V)
6 ssexg 4074 . 2 (((𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴𝐵) ∧ 𝒫 𝒫 (𝐴𝐵) ∈ V) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
71, 5, 6sylancr 411 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wcel 1481  Vcvv 2689  cun 3073  wss 3075  𝒫 cpw 3514   × cxp 4544
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-sep 4053  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-rex 2423  df-v 2691  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-opab 3997  df-xp 4552
This theorem is referenced by:  xpex  4661  sqxpexg  4662  resiexg  4871  cnvexg  5083  coexg  5090  fex2  5298  fabexg  5317  resfunexgALT  6015  cofunexg  6016  fnexALT  6018  opabex3d  6026  opabex3  6027  oprabexd  6032  ofmresex  6042  mpoexxg  6115  tposexg  6162  erex  6460  pmex  6554  mapex  6555  pmvalg  6560  elpmg  6565  fvdiagfn  6594  ixpexgg  6623  ixpsnf1o  6637  map1  6713  xpdom2  6732  xpdom3m  6735  xpen  6746  mapxpen  6749  xpfi  6825  djuex  6935  djuassen  7089  cc2lem  7097  shftfvalg  10621  climconst2  11091  lmfval  12398  txbasex  12463  txopn  12471  txcn  12481  txrest  12482  blfvalps  12591  xmetxp  12713  limccnp2lem  12851  limccnp2cntop  12852  dvfvalap  12856
  Copyright terms: Public domain W3C validator