Theorem xpexg 4740

Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
xpexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem xpexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsspw 4738	. 2 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)
2		unexg 4443	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
3		pwexg 4180	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V → 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
4		pwexg 4180	. . 3 ⊢ (𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
5	2, 3, 4	3syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
6		ssexg 4142	. 2 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
7	1, 5, 6	sylancr 414	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2148  Vcvv 2737   ∪ cun 3127   ⊆ wss 3129  𝒫 cpw 3575   × cxp 4624

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-rex 2461  df-v 2739  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-opab 4065  df-xp 4632

This theorem is referenced by:  xpex  4741  sqxpexg  4742  resiexg  4952  cnvexg  5166  coexg  5173  fex2  5384  fabexg  5403  resfunexgALT  6108  cofunexg  6109  fnexALT  6111  funexw  6112  opabex3d  6121  opabex3  6122  oprabexd  6127  ofmresex  6137  mpoexxg  6210  tposexg  6258  erex  6558  pmex  6652  mapex  6653  pmvalg  6658  elpmg  6663  fvdiagfn  6692  ixpexgg  6721  ixpsnf1o  6735  map1  6811  xpdom2  6830  xpdom3m  6833  xpen  6844  mapxpen  6847  xpfi  6928  djuex  7041  djuassen  7215  cc2lem  7264  shftfvalg  10826  climconst2  11298  releqgg  13078  eqgfval  13079  reldvdsrsrg  13259  dvdsrvald  13260  dvdsrex  13265  aprval  13370  aprap  13374  lmfval  13662  txbasex  13727  txopn  13735  txcn  13745  txrest  13746  blfvalps  13855  xmetxp  13977  limccnp2lem  14115  limccnp2cntop  14116  dvfvalap  14120