Theorem xpexg 4887

Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
xpexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem xpexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsspw 4885	. 2 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)
2		unexg 4587	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
3		pwexg 4315	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V → 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
4		pwexg 4315	. . 3 ⊢ (𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
5	2, 3, 4	3syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
6		ssexg 4270	. 2 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
7	1, 5, 6	sylancr 418	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ∪ cun 3218   ⊆ wss 3220  𝒫 cpw 3688   × cxp 4770

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-opab 4191  df-xp 4778

This theorem is referenced by:  xpexd  4888  xpex  4889  sqxpexg  4891  resiexg  5106  cnvexg  5323  coexg  5330  fex2  5554  fabexg  5577  resfunexgALT  6331  cofunexg  6332  fnexALT  6334  funexw  6335  opabex3d  6344  opabex3  6345  oprabexd  6354  ofmresex  6364  mpoexxg  6440  tposexg  6523  erex  6825  pmex  6921  mapex  6922  pmvalg  6927  elpmg  6932  fvdiagfn  6969  ixpexgg  6998  ixpsnf1o  7012  map1  7095  xpdom2  7123  xpdom3m  7126  xpen  7139  mapxpen  7142  xpfi  7233  djuex  7377  djuassen  7567  cc2lem  7626  shftfvalg  11566  climconst2  12040  mulgnngzsum  13913  releqgg  14006  eqgex  14007  eqgfval  14008  prdsval  14156  prdsbaslemss  14157  pwsval  14187  pwsbas  14188  dvdsrvald  14383  dvdsrex  14388  aprval  14574  aprap  14581  psrval  15033  psrbasg  15048  psrplusgg  15052  lmfval  15277  txbasex  15341  txopn  15349  txcn  15359  txrest  15360  blfvalps  15469  xmetxp  15591  limccnp2lem  15760  limccnp2cntop  15761  dvfvalap  15765