Theorem xpexg 4773

Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
xpexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem xpexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsspw 4771	. 2 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)
2		unexg 4474	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
3		pwexg 4209	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V → 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
4		pwexg 4209	. . 3 ⊢ (𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
5	2, 3, 4	3syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
6		ssexg 4168	. 2 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
7	1, 5, 6	sylancr 414	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   ∪ cun 3151   ⊆ wss 3153  𝒫 cpw 3601   × cxp 4657

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-rex 2478  df-v 2762  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-opab 4091  df-xp 4665

This theorem is referenced by:  xpex  4774  sqxpexg  4775  resiexg  4987  cnvexg  5203  coexg  5210  fex2  5422  fabexg  5441  resfunexgALT  6160  cofunexg  6161  fnexALT  6163  funexw  6164  opabex3d  6173  opabex3  6174  oprabexd  6179  ofmresex  6189  mpoexxg  6263  tposexg  6311  erex  6611  pmex  6707  mapex  6708  pmvalg  6713  elpmg  6718  fvdiagfn  6747  ixpexgg  6776  ixpsnf1o  6790  map1  6866  xpdom2  6885  xpdom3m  6888  xpen  6901  mapxpen  6904  xpfi  6986  djuex  7102  djuassen  7277  cc2lem  7326  shftfvalg  10962  climconst2  11434  mulgnngsum  13197  releqgg  13290  eqgex  13291  eqgfval  13292  reldvdsrsrg  13588  dvdsrvald  13589  dvdsrex  13594  aprval  13778  aprap  13782  psrval  14152  psrbasg  14159  psrplusgg  14162  lmfval  14360  txbasex  14425  txopn  14433  txcn  14443  txrest  14444  blfvalps  14553  xmetxp  14675  limccnp2lem  14830  limccnp2cntop  14831  dvfvalap  14835