Theorem xpexg 4846

Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
xpexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem xpexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsspw 4844	. 2 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)
2		unexg 4546	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
3		pwexg 4276	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V → 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
4		pwexg 4276	. . 3 ⊢ (𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
5	2, 3, 4	3syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
6		ssexg 4233	. 2 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
7	1, 5, 6	sylancr 414	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2202  Vcvv 2803   ∪ cun 3199   ⊆ wss 3201  𝒫 cpw 3656   × cxp 4729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-rex 2517  df-v 2805  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-opab 4156  df-xp 4737

This theorem is referenced by:  xpexd  4847  xpex  4848  sqxpexg  4849  resiexg  5064  cnvexg  5281  coexg  5288  fex2  5511  fabexg  5532  resfunexgALT  6279  cofunexg  6280  fnexALT  6282  funexw  6283  opabex3d  6292  opabex3  6293  oprabexd  6298  ofmresex  6308  mpoexxg  6384  tposexg  6467  erex  6769  pmex  6865  mapex  6866  pmvalg  6871  elpmg  6876  fvdiagfn  6905  ixpexgg  6934  ixpsnf1o  6948  map1  7030  xpdom2  7058  xpdom3m  7061  xpen  7074  mapxpen  7077  xpfi  7167  djuex  7285  djuassen  7475  cc2lem  7528  shftfvalg  11439  climconst2  11912  prdsval  13417  prdsbaslemss  13418  pwsval  13435  pwsbas  13436  mulgnngsum  13775  releqgg  13868  eqgex  13869  eqgfval  13870  dvdsrvald  14169  dvdsrex  14174  aprval  14358  aprap  14362  psrval  14742  psrbasg  14755  psrplusgg  14759  lmfval  14984  txbasex  15048  txopn  15056  txcn  15066  txrest  15067  blfvalps  15176  xmetxp  15298  limccnp2lem  15467  limccnp2cntop  15468  dvfvalap  15472