Theorem xpexg 4794

Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
xpexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem xpexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsspw 4792	. 2 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)
2		unexg 4495	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
3		pwexg 4229	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V → 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
4		pwexg 4229	. . 3 ⊢ (𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
5	2, 3, 4	3syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
6		ssexg 4188	. 2 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
7	1, 5, 6	sylancr 414	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2177  Vcvv 2773   ∪ cun 3166   ⊆ wss 3168  𝒫 cpw 3618   × cxp 4678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4167  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-rex 2491  df-v 2775  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-opab 4111  df-xp 4686

This theorem is referenced by:  xpex  4795  sqxpexg  4796  resiexg  5010  cnvexg  5226  coexg  5233  fex2  5451  fabexg  5472  resfunexgALT  6203  cofunexg  6204  fnexALT  6206  funexw  6207  opabex3d  6216  opabex3  6217  oprabexd  6222  ofmresex  6232  mpoexxg  6306  tposexg  6354  erex  6654  pmex  6750  mapex  6751  pmvalg  6756  elpmg  6761  fvdiagfn  6790  ixpexgg  6819  ixpsnf1o  6833  map1  6915  xpdom2  6938  xpdom3m  6941  xpen  6954  mapxpen  6957  xpfi  7041  djuex  7157  djuassen  7342  cc2lem  7391  shftfvalg  11179  climconst2  11652  prdsval  13155  prdsbaslemss  13156  pwsval  13173  pwsbas  13174  mulgnngsum  13513  releqgg  13606  eqgex  13607  eqgfval  13608  reldvdsrsrg  13904  dvdsrvald  13905  dvdsrex  13910  aprval  14094  aprap  14098  psrval  14478  psrbasg  14486  psrplusgg  14490  lmfval  14714  txbasex  14779  txopn  14787  txcn  14797  txrest  14798  blfvalps  14907  xmetxp  15029  limccnp2lem  15198  limccnp2cntop  15199  dvfvalap  15203