ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  xpexg GIF version

Theorem xpexg 4520
Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
xpexg ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem xpexg
StepHypRef Expression
1 xpsspw 4518 . 2 (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴𝐵)
2 unexg 4242 . . 3 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴𝐵) ∈ V)
3 pwexg 3990 . . 3 ((𝐴𝐵) ∈ V → 𝒫 (𝐴𝐵) ∈ V)
4 pwexg 3990 . . 3 (𝒫 (𝐴𝐵) ∈ V → 𝒫 𝒫 (𝐴𝐵) ∈ V)
52, 3, 43syl 17 . 2 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → 𝒫 𝒫 (𝐴𝐵) ∈ V)
6 ssexg 3953 . 2 (((𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴𝐵) ∧ 𝒫 𝒫 (𝐴𝐵) ∈ V) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
71, 5, 6sylancr 405 1 ((𝐴𝑉𝐵𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102  wcel 1436  Vcvv 2615  cun 2986  wss 2988  𝒫 cpw 3415   × cxp 4409
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-io 663  ax-5 1379  ax-7 1380  ax-gen 1381  ax-ie1 1425  ax-ie2 1426  ax-8 1438  ax-10 1439  ax-11 1440  ax-i12 1441  ax-bndl 1442  ax-4 1443  ax-13 1447  ax-14 1448  ax-17 1462  ax-i9 1466  ax-ial 1470  ax-i5r 1471  ax-ext 2067  ax-sep 3932  ax-pow 3984  ax-pr 4010  ax-un 4234
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 924  df-tru 1290  df-nf 1393  df-sb 1690  df-clab 2072  df-cleq 2078  df-clel 2081  df-nfc 2214  df-rex 2361  df-v 2617  df-un 2992  df-in 2994  df-ss 3001  df-pw 3417  df-sn 3437  df-pr 3438  df-op 3440  df-uni 3637  df-opab 3875  df-xp 4417
This theorem is referenced by:  xpex  4521  resiexg  4724  cnvexg  4934  coexg  4941  fex2  5143  fabexg  5161  resfunexgALT  5838  cofunexg  5839  fnexALT  5841  opabex3d  5849  opabex3  5850  oprabexd  5855  ofmresex  5865  mpt2exxg  5934  tposexg  5977  erex  6268  pmex  6362  mapex  6363  pmvalg  6368  elpmg  6373  fvdiagfn  6402  map1  6481  xpdom2  6499  xpdom3m  6502  xpen  6513  mapxpen  6516  xpfi  6590  djuex  6680  shftfvalg  10149  climconst2  10574
  Copyright terms: Public domain W3C validator