Theorem xpexg 4840

Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
xpexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem xpexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsspw 4838	. 2 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)
2		unexg 4540	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
3		pwexg 4270	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V → 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
4		pwexg 4270	. . 3 ⊢ (𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
5	2, 3, 4	3syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
6		ssexg 4228	. 2 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
7	1, 5, 6	sylancr 414	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2202  Vcvv 2802   ∪ cun 3198   ⊆ wss 3200  𝒫 cpw 3652   × cxp 4723

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4207  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1006  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-rex 2516  df-v 2804  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-opab 4151  df-xp 4731

This theorem is referenced by:  xpexd  4841  xpex  4842  sqxpexg  4843  resiexg  5058  cnvexg  5274  coexg  5281  fex2  5503  fabexg  5524  resfunexgALT  6270  cofunexg  6271  fnexALT  6273  funexw  6274  opabex3d  6283  opabex3  6284  oprabexd  6289  ofmresex  6299  mpoexxg  6375  tposexg  6424  erex  6726  pmex  6822  mapex  6823  pmvalg  6828  elpmg  6833  fvdiagfn  6862  ixpexgg  6891  ixpsnf1o  6905  map1  6987  xpdom2  7015  xpdom3m  7018  xpen  7031  mapxpen  7034  xpfi  7124  djuex  7242  djuassen  7432  cc2lem  7485  shftfvalg  11383  climconst2  11856  prdsval  13361  prdsbaslemss  13362  pwsval  13379  pwsbas  13380  mulgnngsum  13719  releqgg  13812  eqgex  13813  eqgfval  13814  dvdsrvald  14113  dvdsrex  14118  aprval  14302  aprap  14306  psrval  14686  psrbasg  14694  psrplusgg  14698  lmfval  14923  txbasex  14987  txopn  14995  txcn  15005  txrest  15006  blfvalps  15115  xmetxp  15237  limccnp2lem  15406  limccnp2cntop  15407  dvfvalap  15411