Theorem xpexg 4838

Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
xpexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem xpexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsspw 4836	. 2 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)
2		unexg 4538	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
3		pwexg 4268	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V → 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
4		pwexg 4268	. . 3 ⊢ (𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
5	2, 3, 4	3syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
6		ssexg 4226	. 2 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
7	1, 5, 6	sylancr 414	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200  Vcvv 2800   ∪ cun 3196   ⊆ wss 3198  𝒫 cpw 3650   × cxp 4721

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-rex 2514  df-v 2802  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-opab 4149  df-xp 4729

This theorem is referenced by:  xpexd  4839  xpex  4840  sqxpexg  4841  resiexg  5056  cnvexg  5272  coexg  5279  fex2  5500  fabexg  5521  resfunexgALT  6265  cofunexg  6266  fnexALT  6268  funexw  6269  opabex3d  6278  opabex3  6279  oprabexd  6284  ofmresex  6294  mpoexxg  6370  tposexg  6419  erex  6721  pmex  6817  mapex  6818  pmvalg  6823  elpmg  6828  fvdiagfn  6857  ixpexgg  6886  ixpsnf1o  6900  map1  6982  xpdom2  7010  xpdom3m  7013  xpen  7026  mapxpen  7029  xpfi  7119  djuex  7236  djuassen  7425  cc2lem  7478  shftfvalg  11372  climconst2  11845  prdsval  13349  prdsbaslemss  13350  pwsval  13367  pwsbas  13368  mulgnngsum  13707  releqgg  13800  eqgex  13801  eqgfval  13802  dvdsrvald  14100  dvdsrex  14105  aprval  14289  aprap  14293  psrval  14673  psrbasg  14681  psrplusgg  14685  lmfval  14910  txbasex  14974  txopn  14982  txcn  14992  txrest  14993  blfvalps  15102  xmetxp  15224  limccnp2lem  15393  limccnp2cntop  15394  dvfvalap  15398