Theorem xpexg 4778

Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
xpexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem xpexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsspw 4776	. 2 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)
2		unexg 4479	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
3		pwexg 4214	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V → 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
4		pwexg 4214	. . 3 ⊢ (𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
5	2, 3, 4	3syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
6		ssexg 4173	. 2 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
7	1, 5, 6	sylancr 414	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2167  Vcvv 2763   ∪ cun 3155   ⊆ wss 3157  𝒫 cpw 3606   × cxp 4662

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-rex 2481  df-v 2765  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-opab 4096  df-xp 4670

This theorem is referenced by:  xpex  4779  sqxpexg  4780  resiexg  4992  cnvexg  5208  coexg  5215  fex2  5429  fabexg  5448  resfunexgALT  6174  cofunexg  6175  fnexALT  6177  funexw  6178  opabex3d  6187  opabex3  6188  oprabexd  6193  ofmresex  6203  mpoexxg  6277  tposexg  6325  erex  6625  pmex  6721  mapex  6722  pmvalg  6727  elpmg  6732  fvdiagfn  6761  ixpexgg  6790  ixpsnf1o  6804  map1  6880  xpdom2  6899  xpdom3m  6902  xpen  6915  mapxpen  6918  xpfi  7002  djuex  7118  djuassen  7300  cc2lem  7349  shftfvalg  11000  climconst2  11473  prdsval  12975  prdsbaslemss  12976  pwsval  12993  pwsbas  12994  mulgnngsum  13333  releqgg  13426  eqgex  13427  eqgfval  13428  reldvdsrsrg  13724  dvdsrvald  13725  dvdsrex  13730  aprval  13914  aprap  13918  psrval  14296  psrbasg  14303  psrplusgg  14306  lmfval  14512  txbasex  14577  txopn  14585  txcn  14595  txrest  14596  blfvalps  14705  xmetxp  14827  limccnp2lem  14996  limccnp2cntop  14997  dvfvalap  15001