Theorem xpexg 4869

Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
xpexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem xpexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsspw 4867	. 2 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)
2		unexg 4569	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
3		pwexg 4298	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V → 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
4		pwexg 4298	. . 3 ⊢ (𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
5	2, 3, 4	3syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
6		ssexg 4254	. 2 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
7	1, 5, 6	sylancr 414	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815   ∪ cun 3212   ⊆ wss 3214  𝒫 cpw 3674   × cxp 4752

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2207  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4233  ax-pow 4292  ax-pr 4327  ax-un 4559

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-rex 2528  df-v 2817  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-pw 3676  df-sn 3700  df-pr 3701  df-op 3703  df-uni 3920  df-opab 4177  df-xp 4760

This theorem is referenced by:  xpexd  4870  xpex  4871  sqxpexg  4873  resiexg  5088  cnvexg  5305  coexg  5312  fex2  5536  fabexg  5559  resfunexgALT  6310  cofunexg  6311  fnexALT  6313  funexw  6314  opabex3d  6323  opabex3  6324  oprabexd  6333  ofmresex  6343  mpoexxg  6419  tposexg  6502  erex  6804  pmex  6900  mapex  6901  pmvalg  6906  elpmg  6911  fvdiagfn  6941  ixpexgg  6970  ixpsnf1o  6984  map1  7067  xpdom2  7095  xpdom3m  7098  xpen  7111  mapxpen  7114  xpfi  7205  djuex  7347  djuassen  7537  cc2lem  7596  shftfvalg  11528  climconst2  12001  prdsval  13570  prdsbaslemss  13571  pwsval  13588  pwsbas  13589  mulgnngsum  13928  releqgg  14021  eqgex  14022  eqgfval  14023  dvdsrvald  14323  dvdsrex  14328  aprval  14514  aprap  14521  psrval  14926  psrbasg  14941  psrplusgg  14945  lmfval  15170  txbasex  15234  txopn  15242  txcn  15252  txrest  15253  blfvalps  15362  xmetxp  15484  limccnp2lem  15653  limccnp2cntop  15654  dvfvalap  15658