Theorem xpexg 4830

Description: The cross product of two sets is a set. Proposition 6.2 of [TakeutiZaring] p. 23. (Contributed by NM, 14-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
xpexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)

Proof of Theorem xpexg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xpsspw 4828	. 2 ⊢ (𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵)
2		unexg 4531	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
3		pwexg 4263	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V → 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
4		pwexg 4263	. . 3 ⊢ (𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
5	2, 3, 4	3syl 17	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V)
6		ssexg 4222	. 2 ⊢ (((𝐴 × 𝐵) ⊆ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∧ 𝒫 𝒫 (𝐴 ∪ 𝐵) ∈ V) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)
7	1, 5, 6	sylancr 414	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝐵 ∈ 𝑊) → (𝐴 × 𝐵) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2200  Vcvv 2799   ∪ cun 3195   ⊆ wss 3197  𝒫 cpw 3649   × cxp 4714

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4201  ax-pow 4257  ax-pr 4292  ax-un 4521

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-rex 2514  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3888  df-opab 4145  df-xp 4722

This theorem is referenced by:  xpex  4831  sqxpexg  4832  resiexg  5046  cnvexg  5262  coexg  5269  fex2  5488  fabexg  5509  resfunexgALT  6243  cofunexg  6244  fnexALT  6246  funexw  6247  opabex3d  6256  opabex3  6257  oprabexd  6262  ofmresex  6272  mpoexxg  6346  tposexg  6394  erex  6694  pmex  6790  mapex  6791  pmvalg  6796  elpmg  6801  fvdiagfn  6830  ixpexgg  6859  ixpsnf1o  6873  map1  6955  xpdom2  6978  xpdom3m  6981  xpen  6994  mapxpen  6997  xpfi  7082  djuex  7198  djuassen  7387  cc2lem  7440  shftfvalg  11315  climconst2  11788  prdsval  13292  prdsbaslemss  13293  pwsval  13310  pwsbas  13311  mulgnngsum  13650  releqgg  13743  eqgex  13744  eqgfval  13745  reldvdsrsrg  14041  dvdsrvald  14042  dvdsrex  14047  aprval  14231  aprap  14235  psrval  14615  psrbasg  14623  psrplusgg  14627  lmfval  14851  txbasex  14916  txopn  14924  txcn  14934  txrest  14935  blfvalps  15044  xmetxp  15166  limccnp2lem  15335  limccnp2cntop  15336  dvfvalap  15340