Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  shftval GIF version

Theorem shftval 10707
 Description: Value of a sequence shifted by 𝐴. (Contributed by NM, 20-Jul-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 4-Nov-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
shftfval.1 𝐹 ∈ V
Assertion
Ref Expression
shftval ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴)‘𝐵) = (𝐹‘(𝐵𝐴)))

Proof of Theorem shftval
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 shftfval.1 . . . . 5 𝐹 ∈ V
21shftfib 10705 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴) “ {𝐵}) = (𝐹 “ {(𝐵𝐴)}))
32eleq2d 2227 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝑥 ∈ ((𝐹 shift 𝐴) “ {𝐵}) ↔ 𝑥 ∈ (𝐹 “ {(𝐵𝐴)})))
43iotabidv 5153 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (℩𝑥𝑥 ∈ ((𝐹 shift 𝐴) “ {𝐵})) = (℩𝑥𝑥 ∈ (𝐹 “ {(𝐵𝐴)})))
5 simpr 109 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐵 ∈ ℂ)
6 dffv3g 5461 . . 3 (𝐵 ∈ ℂ → ((𝐹 shift 𝐴)‘𝐵) = (℩𝑥𝑥 ∈ ((𝐹 shift 𝐴) “ {𝐵})))
75, 6syl 14 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴)‘𝐵) = (℩𝑥𝑥 ∈ ((𝐹 shift 𝐴) “ {𝐵})))
8 simpl 108 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → 𝐴 ∈ ℂ)
95, 8subcld 8169 . . 3 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐵𝐴) ∈ ℂ)
10 dffv3g 5461 . . 3 ((𝐵𝐴) ∈ ℂ → (𝐹‘(𝐵𝐴)) = (℩𝑥𝑥 ∈ (𝐹 “ {(𝐵𝐴)})))
119, 10syl 14 . 2 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐹‘(𝐵𝐴)) = (℩𝑥𝑥 ∈ (𝐹 “ {(𝐵𝐴)})))
124, 7, 113eqtr4d 2200 1 ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((𝐹 shift 𝐴)‘𝐵) = (𝐹‘(𝐵𝐴)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1335   ∈ wcel 2128  Vcvv 2712  {csn 3560   “ cima 4586  ℩cio 5130  ‘cfv 5167  (class class class)co 5818  ℂcc 7713   − cmin 8029   shift cshi 10696 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1427  ax-7 1428  ax-gen 1429  ax-ie1 1473  ax-ie2 1474  ax-8 1484  ax-10 1485  ax-11 1486  ax-i12 1487  ax-bndl 1489  ax-4 1490  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-13 2130  ax-14 2131  ax-ext 2139  ax-coll 4079  ax-sep 4082  ax-pow 4134  ax-pr 4168  ax-un 4392  ax-setind 4494  ax-resscn 7807  ax-1cn 7808  ax-icn 7810  ax-addcl 7811  ax-addrcl 7812  ax-mulcl 7813  ax-addcom 7815  ax-addass 7817  ax-distr 7819  ax-i2m1 7820  ax-0id 7823  ax-rnegex 7824  ax-cnre 7826 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1338  df-fal 1341  df-nf 1441  df-sb 1743  df-eu 2009  df-mo 2010  df-clab 2144  df-cleq 2150  df-clel 2153  df-nfc 2288  df-ne 2328  df-ral 2440  df-rex 2441  df-reu 2442  df-rab 2444  df-v 2714  df-sbc 2938  df-csb 3032  df-dif 3104  df-un 3106  df-in 3108  df-ss 3115  df-pw 3545  df-sn 3566  df-pr 3567  df-op 3569  df-uni 3773  df-iun 3851  df-br 3966  df-opab 4026  df-mpt 4027  df-id 4252  df-xp 4589  df-rel 4590  df-cnv 4591  df-co 4592  df-dm 4593  df-rn 4594  df-res 4595  df-ima 4596  df-iota 5132  df-fun 5169  df-fn 5170  df-f 5171  df-f1 5172  df-fo 5173  df-f1o 5174  df-fv 5175  df-riota 5774  df-ov 5821  df-oprab 5822  df-mpo 5823  df-sub 8031  df-shft 10697 This theorem is referenced by:  shftval2  10708  shftval4  10710  shftval5  10711  shftf  10712  shftvalg  10718  isumshft  11369
 Copyright terms: Public domain W3C validator