Theorem gt0srpr 7808

Description: Greater than zero in terms of positive reals. (Contributed by NM, 13-May-1996.)

Assertion

Ref	Expression
gt0srpr	⊢ (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ 𝐵<P 𝐴)

Proof of Theorem gt0srpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrer 7795	. . . . 5 ⊢ ~R Er (P × P)
2		erdm 6597	. . . . 5 ⊢ ( ~R Er (P × P) → dom ~R = (P × P))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ dom ~R = (P × P)
4		ltrelsr 7798	. . . . . . 7 ⊢ <R ⊆ (R × R)
5	4	brel 4711	. . . . . 6 ⊢ (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R → (0R ∈ R ∧ [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ∈ R))
6	5	simprd 114	. . . . 5 ⊢ (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ∈ R)
7		df-nr 7787	. . . . 5 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
8	6, 7	eleqtrdi 2286	. . . 4 ⊢ (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
9		ecelqsdm 6659	. . . 4 ⊢ ((dom ~R = (P × P) ∧ [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R )) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (P × P))
10	3, 8, 9	sylancr 414	. . 3 ⊢ (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (P × P))
11		opelxp 4689	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (P × P) ↔ (𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P))
12	10, 11	sylib 122	. 2 ⊢ (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R → (𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P))
13		ltrelpr 7565	. . . 4 ⊢ <P ⊆ (P × P)
14	13	brel 4711	. . 3 ⊢ (𝐵<P 𝐴 → (𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P))
15	14	ancomd 267	. 2 ⊢ (𝐵<P 𝐴 → (𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P))
16		df-0r 7791	. . . . 5 ⊢ 0R = [⟨1P, 1P⟩] ~R
17	16	breq1i 4036	. . . 4 ⊢ (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ [⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R )
18		1pr 7614	. . . . 5 ⊢ 1P ∈ P
19		ltsrprg 7807	. . . . 5 ⊢ (((1P ∈ P ∧ 1P ∈ P) ∧ (𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P)) → ([⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴)))
20	18, 18, 19	mpanl12 436	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ([⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴)))
21	17, 20	bitrid 192	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴)))
22		ltaprg 7679	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (𝐵<P 𝐴 ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴)))
23	18, 22	mp3an3 1337	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P) → (𝐵<P 𝐴 ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴)))
24	23	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐵<P 𝐴 ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴)))
25	21, 24	bitr4d 191	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ 𝐵<P 𝐴))
26	12, 15, 25	pm5.21nii 705	1 ⊢ (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ 𝐵<P 𝐴)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ⟨cop 3621   class class class wbr 4029   × cxp 4657  dom cdm 4659  (class class class)co 5918   Er wer 6584  [cec 6585   / cqs 6586  Pcnp 7351  1_Pc1p 7352   +_P cpp 7353  <_P cltp 7355   ~_R cer 7356  Rcnr 7357  0_Rc0r 7358   <_R cltr 7363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-eprel 4320  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-irdg 6423  df-1o 6469  df-2o 6470  df-oadd 6473  df-omul 6474  df-er 6587  df-ec 6589  df-qs 6593  df-ni 7364  df-pli 7365  df-mi 7366  df-lti 7367  df-plpq 7404  df-mpq 7405  df-enq 7407  df-nqqs 7408  df-plqqs 7409  df-mqqs 7410  df-1nqqs 7411  df-rq 7412  df-ltnqqs 7413  df-enq0 7484  df-nq0 7485  df-0nq0 7486  df-plq0 7487  df-mq0 7488  df-inp 7526  df-i1p 7527  df-iplp 7528  df-iltp 7530  df-enr 7786  df-nr 7787  df-ltr 7790  df-0r 7791

This theorem is referenced by:  recexgt0sr  7833  mulgt0sr  7838  srpospr  7843  prsrpos  7845