Theorem gt0srpr 7968

Description: Greater than zero in terms of positive reals. (Contributed by NM, 13-May-1996.)

Assertion

Ref	Expression
gt0srpr	⊢ (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ 𝐵<P 𝐴)

Proof of Theorem gt0srpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrer 7955	. . . . 5 ⊢ ~R Er (P × P)
2		erdm 6712	. . . . 5 ⊢ ( ~R Er (P × P) → dom ~R = (P × P))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ dom ~R = (P × P)
4		ltrelsr 7958	. . . . . . 7 ⊢ <R ⊆ (R × R)
5	4	brel 4778	. . . . . 6 ⊢ (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R → (0R ∈ R ∧ [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ∈ R))
6	5	simprd 114	. . . . 5 ⊢ (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ∈ R)
7		df-nr 7947	. . . . 5 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
8	6, 7	eleqtrdi 2324	. . . 4 ⊢ (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
9		ecelqsdm 6774	. . . 4 ⊢ ((dom ~R = (P × P) ∧ [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R )) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (P × P))
10	3, 8, 9	sylancr 414	. . 3 ⊢ (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (P × P))
11		opelxp 4755	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (P × P) ↔ (𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P))
12	10, 11	sylib 122	. 2 ⊢ (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R → (𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P))
13		ltrelpr 7725	. . . 4 ⊢ <P ⊆ (P × P)
14	13	brel 4778	. . 3 ⊢ (𝐵<P 𝐴 → (𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P))
15	14	ancomd 267	. 2 ⊢ (𝐵<P 𝐴 → (𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P))
16		df-0r 7951	. . . . 5 ⊢ 0R = [⟨1P, 1P⟩] ~R
17	16	breq1i 4095	. . . 4 ⊢ (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ [⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R )
18		1pr 7774	. . . . 5 ⊢ 1P ∈ P
19		ltsrprg 7967	. . . . 5 ⊢ (((1P ∈ P ∧ 1P ∈ P) ∧ (𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P)) → ([⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴)))
20	18, 18, 19	mpanl12 436	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ([⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴)))
21	17, 20	bitrid 192	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴)))
22		ltaprg 7839	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (𝐵<P 𝐴 ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴)))
23	18, 22	mp3an3 1362	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P) → (𝐵<P 𝐴 ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴)))
24	23	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐵<P 𝐴 ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴)))
25	21, 24	bitr4d 191	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ 𝐵<P 𝐴))
26	12, 15, 25	pm5.21nii 711	1 ⊢ (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ 𝐵<P 𝐴)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202  ⟨cop 3672   class class class wbr 4088   × cxp 4723  dom cdm 4725  (class class class)co 6018   Er wer 6699  [cec 6700   / cqs 6701  Pcnp 7511  1_Pc1p 7512   +_P cpp 7513  <_P cltp 7515   ~_R cer 7516  Rcnr 7517  0_Rc0r 7518   <_R cltr 7523

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4204  ax-sep 4207  ax-nul 4215  ax-pow 4264  ax-pr 4299  ax-un 4530  ax-setind 4635  ax-iinf 4686

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 842  df-3or 1005  df-3an 1006  df-tru 1400  df-fal 1403  df-nf 1509  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-ne 2403  df-ral 2515  df-rex 2516  df-reu 2517  df-rab 2519  df-v 2804  df-sbc 3032  df-csb 3128  df-dif 3202  df-un 3204  df-in 3206  df-ss 3213  df-nul 3495  df-pw 3654  df-sn 3675  df-pr 3676  df-op 3678  df-uni 3894  df-int 3929  df-iun 3972  df-br 4089  df-opab 4151  df-mpt 4152  df-tr 4188  df-eprel 4386  df-id 4390  df-po 4393  df-iso 4394  df-iord 4463  df-on 4465  df-suc 4468  df-iom 4689  df-xp 4731  df-rel 4732  df-cnv 4733  df-co 4734  df-dm 4735  df-rn 4736  df-res 4737  df-ima 4738  df-iota 5286  df-fun 5328  df-fn 5329  df-f 5330  df-f1 5331  df-fo 5332  df-f1o 5333  df-fv 5334  df-ov 6021  df-oprab 6022  df-mpo 6023  df-1st 6303  df-2nd 6304  df-recs 6471  df-irdg 6536  df-1o 6582  df-2o 6583  df-oadd 6586  df-omul 6587  df-er 6702  df-ec 6704  df-qs 6708  df-ni 7524  df-pli 7525  df-mi 7526  df-lti 7527  df-plpq 7564  df-mpq 7565  df-enq 7567  df-nqqs 7568  df-plqqs 7569  df-mqqs 7570  df-1nqqs 7571  df-rq 7572  df-ltnqqs 7573  df-enq0 7644  df-nq0 7645  df-0nq0 7646  df-plq0 7647  df-mq0 7648  df-inp 7686  df-i1p 7687  df-iplp 7688  df-iltp 7690  df-enr 7946  df-nr 7947  df-ltr 7950  df-0r 7951

This theorem is referenced by:  recexgt0sr  7993  mulgt0sr  7998  srpospr  8003  prsrpos  8005