Theorem gt0srpr 8063

Description: Greater than zero in terms of positive reals. (Contributed by NM, 13-May-1996.)

Assertion

Ref	Expression
gt0srpr	⊢ (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ 𝐵<P 𝐴)

Proof of Theorem gt0srpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrer 8050	. . . . 5 ⊢ ~R Er (P × P)
2		erdm 6777	. . . . 5 ⊢ ( ~R Er (P × P) → dom ~R = (P × P))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ dom ~R = (P × P)
4		ltrelsr 8053	. . . . . . 7 ⊢ <R ⊆ (R × R)
5	4	brel 4802	. . . . . 6 ⊢ (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R → (0R ∈ R ∧ [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ∈ R))
6	5	simprd 114	. . . . 5 ⊢ (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ∈ R)
7		df-nr 8042	. . . . 5 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
8	6, 7	eleqtrdi 2325	. . . 4 ⊢ (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
9		ecelqsdm 6839	. . . 4 ⊢ ((dom ~R = (P × P) ∧ [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R )) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (P × P))
10	3, 8, 9	sylancr 414	. . 3 ⊢ (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (P × P))
11		opelxp 4779	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (P × P) ↔ (𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P))
12	10, 11	sylib 122	. 2 ⊢ (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R → (𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P))
13		ltrelpr 7820	. . . 4 ⊢ <P ⊆ (P × P)
14	13	brel 4802	. . 3 ⊢ (𝐵<P 𝐴 → (𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P))
15	14	ancomd 267	. 2 ⊢ (𝐵<P 𝐴 → (𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P))
16		df-0r 8046	. . . . 5 ⊢ 0R = [⟨1P, 1P⟩] ~R
17	16	breq1i 4116	. . . 4 ⊢ (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ [⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R )
18		1pr 7869	. . . . 5 ⊢ 1P ∈ P
19		ltsrprg 8062	. . . . 5 ⊢ (((1P ∈ P ∧ 1P ∈ P) ∧ (𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P)) → ([⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴)))
20	18, 18, 19	mpanl12 436	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ([⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴)))
21	17, 20	bitrid 192	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴)))
22		ltaprg 7934	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (𝐵<P 𝐴 ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴)))
23	18, 22	mp3an3 1363	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P) → (𝐵<P 𝐴 ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴)))
24	23	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐵<P 𝐴 ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴)))
25	21, 24	bitr4d 191	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ 𝐵<P 𝐴))
26	12, 15, 25	pm5.21nii 712	1 ⊢ (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ 𝐵<P 𝐴)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203  ⟨cop 3692   class class class wbr 4109   × cxp 4747  dom cdm 4749  (class class class)co 6050   Er wer 6764  [cec 6765   / cqs 6766  Pcnp 7606  1_Pc1p 7607   +_P cpp 7608  <_P cltp 7610   ~_R cer 7611  Rcnr 7612  0_Rc0r 7613   <_R cltr 7618

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2205  ax-14 2206  ax-ext 2214  ax-coll 4225  ax-sep 4228  ax-nul 4236  ax-pow 4287  ax-pr 4322  ax-un 4554  ax-setind 4659  ax-iinf 4710

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 843  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2083  df-mo 2084  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-ne 2413  df-ral 2525  df-rex 2526  df-reu 2527  df-rab 2529  df-v 2815  df-sbc 3043  df-csb 3139  df-dif 3213  df-un 3215  df-in 3217  df-ss 3224  df-nul 3509  df-pw 3671  df-sn 3695  df-pr 3696  df-op 3698  df-uni 3915  df-int 3950  df-iun 3993  df-br 4110  df-opab 4172  df-mpt 4173  df-tr 4209  df-eprel 4410  df-id 4414  df-po 4417  df-iso 4418  df-iord 4487  df-on 4489  df-suc 4492  df-iom 4713  df-xp 4755  df-rel 4756  df-cnv 4757  df-co 4758  df-dm 4759  df-rn 4760  df-res 4761  df-ima 4762  df-iota 5312  df-fun 5354  df-fn 5355  df-f 5356  df-f1 5357  df-fo 5358  df-f1o 5359  df-fv 5360  df-ov 6053  df-oprab 6054  df-mpo 6055  df-1st 6334  df-2nd 6335  df-recs 6536  df-irdg 6601  df-1o 6647  df-2o 6648  df-oadd 6651  df-omul 6652  df-er 6767  df-ec 6769  df-qs 6773  df-ni 7619  df-pli 7620  df-mi 7621  df-lti 7622  df-plpq 7659  df-mpq 7660  df-enq 7662  df-nqqs 7663  df-plqqs 7664  df-mqqs 7665  df-1nqqs 7666  df-rq 7667  df-ltnqqs 7668  df-enq0 7739  df-nq0 7740  df-0nq0 7741  df-plq0 7742  df-mq0 7743  df-inp 7781  df-i1p 7782  df-iplp 7783  df-iltp 7785  df-enr 8041  df-nr 8042  df-ltr 8045  df-0r 8046

This theorem is referenced by:  recexgt0sr  8088  mulgt0sr  8093  srpospr  8098  prsrpos  8100