Theorem gt0srpr 7832

Description: Greater than zero in terms of positive reals. (Contributed by NM, 13-May-1996.)

Assertion

Ref	Expression
gt0srpr	⊢ (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ 𝐵<P 𝐴)

Proof of Theorem gt0srpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrer 7819	. . . . 5 ⊢ ~R Er (P × P)
2		erdm 6611	. . . . 5 ⊢ ( ~R Er (P × P) → dom ~R = (P × P))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ dom ~R = (P × P)
4		ltrelsr 7822	. . . . . . 7 ⊢ <R ⊆ (R × R)
5	4	brel 4716	. . . . . 6 ⊢ (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R → (0R ∈ R ∧ [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ∈ R))
6	5	simprd 114	. . . . 5 ⊢ (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ∈ R)
7		df-nr 7811	. . . . 5 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
8	6, 7	eleqtrdi 2289	. . . 4 ⊢ (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
9		ecelqsdm 6673	. . . 4 ⊢ ((dom ~R = (P × P) ∧ [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R )) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (P × P))
10	3, 8, 9	sylancr 414	. . 3 ⊢ (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (P × P))
11		opelxp 4694	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (P × P) ↔ (𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P))
12	10, 11	sylib 122	. 2 ⊢ (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R → (𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P))
13		ltrelpr 7589	. . . 4 ⊢ <P ⊆ (P × P)
14	13	brel 4716	. . 3 ⊢ (𝐵<P 𝐴 → (𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P))
15	14	ancomd 267	. 2 ⊢ (𝐵<P 𝐴 → (𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P))
16		df-0r 7815	. . . . 5 ⊢ 0R = [⟨1P, 1P⟩] ~R
17	16	breq1i 4041	. . . 4 ⊢ (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ [⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R )
18		1pr 7638	. . . . 5 ⊢ 1P ∈ P
19		ltsrprg 7831	. . . . 5 ⊢ (((1P ∈ P ∧ 1P ∈ P) ∧ (𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P)) → ([⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴)))
20	18, 18, 19	mpanl12 436	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ([⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴)))
21	17, 20	bitrid 192	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴)))
22		ltaprg 7703	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (𝐵<P 𝐴 ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴)))
23	18, 22	mp3an3 1337	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P) → (𝐵<P 𝐴 ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴)))
24	23	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐵<P 𝐴 ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴)))
25	21, 24	bitr4d 191	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ 𝐵<P 𝐴))
26	12, 15, 25	pm5.21nii 705	1 ⊢ (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ 𝐵<P 𝐴)

Syntax hints:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ⟨cop 3626   class class class wbr 4034   × cxp 4662  dom cdm 4664  (class class class)co 5925   Er wer 6598  [cec 6599   / cqs 6600  Pcnp 7375  1_Pc1p 7376   +_P cpp 7377  <_P cltp 7379   ~_R cer 7380  Rcnr 7381  0_Rc0r 7382   <_R cltr 7387

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4149  ax-sep 4152  ax-nul 4160  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-iinf 4625

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-iun 3919  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-tr 4133  df-eprel 4325  df-id 4329  df-po 4332  df-iso 4333  df-iord 4402  df-on 4404  df-suc 4407  df-iom 4628  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-f 5263  df-f1 5264  df-fo 5265  df-f1o 5266  df-fv 5267  df-ov 5928  df-oprab 5929  df-mpo 5930  df-1st 6207  df-2nd 6208  df-recs 6372  df-irdg 6437  df-1o 6483  df-2o 6484  df-oadd 6487  df-omul 6488  df-er 6601  df-ec 6603  df-qs 6607  df-ni 7388  df-pli 7389  df-mi 7390  df-lti 7391  df-plpq 7428  df-mpq 7429  df-enq 7431  df-nqqs 7432  df-plqqs 7433  df-mqqs 7434  df-1nqqs 7435  df-rq 7436  df-ltnqqs 7437  df-enq0 7508  df-nq0 7509  df-0nq0 7510  df-plq0 7511  df-mq0 7512  df-inp 7550  df-i1p 7551  df-iplp 7552  df-iltp 7554  df-enr 7810  df-nr 7811  df-ltr 7814  df-0r 7815

This theorem is referenced by:  recexgt0sr  7857  mulgt0sr  7862  srpospr  7867  prsrpos  7869