Theorem gt0srpr 8121

Description: Greater than zero in terms of positive reals. (Contributed by NM, 13-May-1996.)

Assertion

Ref	Expression
gt0srpr	⊢ (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ 𝐵<P 𝐴)

Proof of Theorem gt0srpr

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enrer 8108	. . . . 5 ⊢ ~R Er (P × P)
2		erdm 6821	. . . . 5 ⊢ ( ~R Er (P × P) → dom ~R = (P × P))
3	1, 2	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ dom ~R = (P × P)
4		ltrelsr 8111	. . . . . . 7 ⊢ <R ⊆ (R × R)
5	4	brel 4829	. . . . . 6 ⊢ (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R → (0R ∈ R ∧ [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ∈ R))
6	5	simprd 114	. . . . 5 ⊢ (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ∈ R)
7		df-nr 8100	. . . . 5 ⊢ R = ((P × P) / ~R )
8	6, 7	eleqtrdi 2331	. . . 4 ⊢ (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R → [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R ))
9		ecelqsdm 6883	. . . 4 ⊢ ((dom ~R = (P × P) ∧ [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ∈ ((P × P) / ~R )) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (P × P))
10	3, 8, 9	sylancr 418	. . 3 ⊢ (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (P × P))
11		opelxp 4806	. . 3 ⊢ (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (P × P) ↔ (𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P))
12	10, 11	sylib 122	. 2 ⊢ (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R → (𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P))
13		ltrelpr 7878	. . . 4 ⊢ <P ⊆ (P × P)
14	13	brel 4829	. . 3 ⊢ (𝐵<P 𝐴 → (𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P))
15	14	ancomd 267	. 2 ⊢ (𝐵<P 𝐴 → (𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P))
16		df-0r 8104	. . . . 5 ⊢ 0R = [⟨1P, 1P⟩] ~R
17	16	breq1i 4138	. . . 4 ⊢ (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ [⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R )
18		1pr 7927	. . . . 5 ⊢ 1P ∈ P
19		ltsrprg 8120	. . . . 5 ⊢ (((1P ∈ P ∧ 1P ∈ P) ∧ (𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P)) → ([⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴)))
20	18, 18, 19	mpanl12 440	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → ([⟨1P, 1P⟩] ~R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴)))
21	17, 20	bitrid 192	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴)))
22		ltaprg 7992	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P ∧ 1P ∈ P) → (𝐵<P 𝐴 ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴)))
23	18, 22	mp3an3 1367	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ P ∧ 𝐴 ∈ P) → (𝐵<P 𝐴 ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴)))
24	23	ancoms 268	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (𝐵<P 𝐴 ↔ (1P +P 𝐵)<P (1P +P 𝐴)))
25	21, 24	bitr4d 191	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ P ∧ 𝐵 ∈ P) → (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ 𝐵<P 𝐴))
26	12, 15, 25	pm5.21nii 716	1 ⊢ (0R <R [⟨𝐴, 𝐵⟩] ~R ↔ 𝐵<P 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ⟨cop 3712   class class class wbr 4131   × cxp 4774  dom cdm 4776  (class class class)co 6088   Er wer 6808  [cec 6809   / cqs 6810  Pcnp 7664  1_Pc1p 7665   +_P cpp 7666  <_P cltp 7668   ~_R cer 7669  Rcnr 7670  0_Rc0r 7671   <_R cltr 7676

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-irdg 6645  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-omul 6696  df-er 6811  df-ec 6813  df-qs 6817  df-ni 7677  df-pli 7678  df-mi 7679  df-lti 7680  df-plpq 7717  df-mpq 7718  df-enq 7720  df-nqqs 7721  df-plqqs 7722  df-mqqs 7723  df-1nqqs 7724  df-rq 7725  df-ltnqqs 7726  df-enq0 7797  df-nq0 7798  df-0nq0 7799  df-plq0 7800  df-mq0 7801  df-inp 7839  df-i1p 7840  df-iplp 7841  df-iltp 7843  df-enr 8099  df-nr 8100  df-ltr 8103  df-0r 8104

This theorem is used by:  recexgt0sr  8146  mulgt0sr  8151  srpospr  8156  prsrpos  8158