Theorem elovimad 6129

Description: Elementhood of the image set of an operation value. (Contributed by Thierry Arnoux, 13-Mar-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
elovimad.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
elovimad.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
elovimad.3	⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
elovimad.4	⊢ (𝜑 → (𝐶 × 𝐷) ⊆ dom 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
elovimad	⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ (𝐹 “ (𝐶 × 𝐷)))

Proof of Theorem elovimad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 6088	. 2 ⊢ (𝐴𝐹𝐵) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
2		elovimad.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
3		elovimad.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
4	2, 3	opelxpd 4807	. . 3 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))
5		elovimad.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Fun 𝐹)
6		elovimad.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 × 𝐷) ⊆ dom 𝐹)
7	6, 4	sseldd 3249	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ dom 𝐹)
8		funfvima 5950	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ dom 𝐹) → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷) → (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ (𝐹 “ (𝐶 × 𝐷))))
9	5, 7, 8	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → (⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷) → (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ (𝐹 “ (𝐶 × 𝐷))))
10	4, 9	mpd 13	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩) ∈ (𝐹 “ (𝐶 × 𝐷)))
11	1, 10	eqeltrid 2325	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴𝐹𝐵) ∈ (𝐹 “ (𝐶 × 𝐷)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209   ⊆ wss 3220  ⟨cop 3712   × cxp 4772  dom cdm 4774   “ cima 4777  Fun wfun 5371  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-sbc 3052  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-br 4131  df-opab 4193  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-fv 5385  df-ov 6088

This theorem is used by: (None)