Theorem opelxpd 4809

Description: Ordered pair membership in a Cartesian product, deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 3-Mar-2021.)

Hypotheses

Ref	Expression
opelxpd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
opelxpd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
opelxpd	⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))

Proof of Theorem opelxpd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐶)
2		opelxpd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝐷)
3		opelxpi 4808	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))
4	1, 2, 3	syl2anc 415	1 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2209  ⟨cop 3712   × cxp 4774

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ral 2533  df-rex 2534  df-v 2823  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-opab 4194  df-xp 4782

This theorem is used by:  opabssxpd  4813  elovimad  6132  suplocsrlemb  8179  seqvalcd  10918  ctiunctlemfo  13387  strslfv2d  13452  imasaddfnlemg  13693  imasaddflemg  13695  txcnp  15514  upxp  15515  txcnmpt  15516  uptx  15517  txdis1cn  15521  txlm  15522  lmcn2  15523  txhmeo  15562  comet  15742  txmetcnp  15761  dvaddxxbr  15944  dvmulxxbr  15945  dvcoapbr  15950  mpodvdsmulf1o  16301  wlkelvv  16812  idjudju  17269