ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eltg GIF version

Theorem eltg 12231
Description: Membership in a topology generated by a basis. (Contributed by NM, 16-Jul-2006.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.)
Assertion
Ref Expression
eltg (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝐴 (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴)))

Proof of Theorem eltg
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tgval 12228 . . 3 (𝐵𝑉 → (topGen‘𝐵) = {𝑥𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)})
21eleq2d 2209 . 2 (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝐴 ∈ {𝑥𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)}))
3 elex 2697 . . . 4 (𝐴 ∈ {𝑥𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)} → 𝐴 ∈ V)
43adantl 275 . . 3 ((𝐵𝑉𝐴 ∈ {𝑥𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)}) → 𝐴 ∈ V)
5 inex1g 4064 . . . . . 6 (𝐵𝑉 → (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ∈ V)
6 uniexg 4361 . . . . . 6 ((𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ∈ V → (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ∈ V)
75, 6syl 14 . . . . 5 (𝐵𝑉 (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ∈ V)
8 ssexg 4067 . . . . 5 ((𝐴 (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ∧ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ∈ V) → 𝐴 ∈ V)
97, 8sylan2 284 . . . 4 ((𝐴 (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ∧ 𝐵𝑉) → 𝐴 ∈ V)
109ancoms 266 . . 3 ((𝐵𝑉𝐴 (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴)) → 𝐴 ∈ V)
11 id 19 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴𝑥 = 𝐴)
12 pweq 3513 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → 𝒫 𝑥 = 𝒫 𝐴)
1312ineq2d 3277 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴))
1413unieqd 3747 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴))
1511, 14sseq12d 3128 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥) ↔ 𝐴 (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴)))
1615elabg 2830 . . 3 (𝐴 ∈ V → (𝐴 ∈ {𝑥𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)} ↔ 𝐴 (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴)))
174, 10, 16pm5.21nd 901 . 2 (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ {𝑥𝑥 (𝐵 ∩ 𝒫 𝑥)} ↔ 𝐴 (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴)))
182, 17bitrd 187 1 (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝐴 (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wb 104   = wceq 1331  wcel 1480  {cab 2125  Vcvv 2686  cin 3070  wss 3071  𝒫 cpw 3510   cuni 3736  cfv 5123  topGenctg 12145
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-topgen 12151
This theorem is referenced by:  eltg4i  12234  eltg3i  12235  bastg  12240  tgss  12242  eltop  12248
  Copyright terms: Public domain W3C validator