Theorem fzo0 10448

Description: Half-open sets with equal endpoints are empty. (Contributed by Stefan O'Rear, 15-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 29-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fzo0	⊢ (𝐴..^𝐴) = ∅

Proof of Theorem fzo0

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fzonel 10439	. . . 4 ⊢ ¬ 𝐴 ∈ (𝐴..^𝐴)
2		fzom 10443	. . . 4 ⊢ (∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴..^𝐴) ↔ 𝐴 ∈ (𝐴..^𝐴))
3	1, 2	mtbir 678	. . 3 ⊢ ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴..^𝐴)
4		alnex 1548	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ (𝐴..^𝐴) ↔ ¬ ∃𝑥 𝑥 ∈ (𝐴..^𝐴))
5	3, 4	mpbir 146	. 2 ⊢ ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ (𝐴..^𝐴)
6		eq0 3515	. 2 ⊢ ((𝐴..^𝐴) = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ (𝐴..^𝐴))
7	5, 6	mpbir 146	1 ⊢ (𝐴..^𝐴) = ∅

Syntax hints:  ¬ wn 3  ∀wal 1396   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2202  ∅c0 3496  (class class class)co 6028  ..^cfzo 10420

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-distr 8179  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-cnre 8186  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-ltwlin 8188  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3or 1006  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8259  df-mnf 8260  df-xr 8261  df-ltxr 8262  df-le 8263  df-sub 8395  df-neg 8396  df-inn 9187  df-n0 9446  df-z 9523  df-uz 9799  df-fz 10287  df-fzo 10421

This theorem is referenced by:  seq3f1olemp  10821  hashfzo  11130  iswrdiz  11167  iswrddm0  11184  swrd00g  11277  telfsumo  12088  fsumparts  12092  0bits  12581  bitsinv1  12584  clwwlkn1  16339  eupth2lembfi  16398