ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fzouzdisj GIF version

Theorem fzouzdisj 9844
Description: A half-open integer range does not overlap the upper integer range starting at the endpoint of the first range. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Sep-2016.)
Assertion
Ref Expression
fzouzdisj ((𝐴..^𝐵) ∩ (ℤ𝐵)) = ∅

Proof of Theorem fzouzdisj
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eq0 3345 . 2 (((𝐴..^𝐵) ∩ (ℤ𝐵)) = ∅ ↔ ∀𝑥 ¬ 𝑥 ∈ ((𝐴..^𝐵) ∩ (ℤ𝐵)))
2 elfzolt2 9820 . . . . 5 (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) → 𝑥 < 𝐵)
32adantr 272 . . . 4 ((𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝐵)) → 𝑥 < 𝐵)
4 eluzle 9234 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (ℤ𝐵) → 𝐵𝑥)
54adantl 273 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝐵)) → 𝐵𝑥)
6 eluzel2 9227 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ (ℤ𝐵) → 𝐵 ∈ ℤ)
76adantl 273 . . . . . . 7 ((𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝐵)) → 𝐵 ∈ ℤ)
87zred 9071 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝐵)) → 𝐵 ∈ ℝ)
9 eluzelre 9232 . . . . . . 7 (𝑥 ∈ (ℤ𝐵) → 𝑥 ∈ ℝ)
109adantl 273 . . . . . 6 ((𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝐵)) → 𝑥 ∈ ℝ)
118, 10lenltd 7797 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝐵)) → (𝐵𝑥 ↔ ¬ 𝑥 < 𝐵))
125, 11mpbid 146 . . . 4 ((𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝐵)) → ¬ 𝑥 < 𝐵)
133, 12pm2.65i 611 . . 3 ¬ (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝐵))
14 elin 3223 . . 3 (𝑥 ∈ ((𝐴..^𝐵) ∩ (ℤ𝐵)) ↔ (𝑥 ∈ (𝐴..^𝐵) ∧ 𝑥 ∈ (ℤ𝐵)))
1513, 14mtbir 643 . 2 ¬ 𝑥 ∈ ((𝐴..^𝐵) ∩ (ℤ𝐵))
161, 15mpgbir 1410 1 ((𝐴..^𝐵) ∩ (ℤ𝐵)) = ∅
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wa 103   = wceq 1312  wcel 1461  cin 3034  c0 3327   class class class wbr 3893  cfv 5079  (class class class)co 5726  cr 7540   < clt 7718  cle 7719  cz 8952  cuz 9222  ..^cfzo 9806
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1404  ax-7 1405  ax-gen 1406  ax-ie1 1450  ax-ie2 1451  ax-8 1463  ax-10 1464  ax-11 1465  ax-i12 1466  ax-bndl 1467  ax-4 1468  ax-13 1472  ax-14 1473  ax-17 1487  ax-i9 1491  ax-ial 1495  ax-i5r 1496  ax-ext 2095  ax-sep 4004  ax-pow 4056  ax-pr 4089  ax-un 4313  ax-setind 4410  ax-cnex 7630  ax-resscn 7631  ax-1cn 7632  ax-1re 7633  ax-icn 7634  ax-addcl 7635  ax-addrcl 7636  ax-mulcl 7637  ax-addcom 7639  ax-addass 7641  ax-distr 7643  ax-i2m1 7644  ax-0lt1 7645  ax-0id 7647  ax-rnegex 7648  ax-cnre 7650  ax-pre-ltirr 7651  ax-pre-ltwlin 7652  ax-pre-lttrn 7653  ax-pre-ltadd 7655
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3or 944  df-3an 945  df-tru 1315  df-fal 1318  df-nf 1418  df-sb 1717  df-eu 1976  df-mo 1977  df-clab 2100  df-cleq 2106  df-clel 2109  df-nfc 2242  df-ne 2281  df-nel 2376  df-ral 2393  df-rex 2394  df-reu 2395  df-rab 2397  df-v 2657  df-sbc 2877  df-csb 2970  df-dif 3037  df-un 3039  df-in 3041  df-ss 3048  df-nul 3328  df-pw 3476  df-sn 3497  df-pr 3498  df-op 3500  df-uni 3701  df-int 3736  df-iun 3779  df-br 3894  df-opab 3948  df-mpt 3949  df-id 4173  df-xp 4503  df-rel 4504  df-cnv 4505  df-co 4506  df-dm 4507  df-rn 4508  df-res 4509  df-ima 4510  df-iota 5044  df-fun 5081  df-fn 5082  df-f 5083  df-fv 5087  df-riota 5682  df-ov 5729  df-oprab 5730  df-mpo 5731  df-1st 5990  df-2nd 5991  df-pnf 7720  df-mnf 7721  df-xr 7722  df-ltxr 7723  df-le 7724  df-sub 7852  df-neg 7853  df-inn 8625  df-n0 8876  df-z 8953  df-uz 9223  df-fz 9678  df-fzo 9807
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator