Theorem limccnpcntop 14829

Description: If the limit of 𝐹 at 𝐵 is 𝐶 and 𝐺 is continuous at 𝐶, then the limit of 𝐺 ∘ 𝐹 at 𝐵 is 𝐺(𝐶). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 18-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
limccnp.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐷)
limccnp.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℂ)
limccnpcntop.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
limccnp.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝐷)
limccnp.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
limccnp.b	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
limccnpcntop	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐶) ∈ ((𝐺 ∘ 𝐹) limℂ 𝐵))

Proof of Theorem limccnpcntop

Dummy variables 𝑝 𝑧 𝑑 𝑒 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccnp.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝐷)
2		limccnpcntop.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
3	2	cntoptopon 14700	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
4		limccnp.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℂ)
5		resttopon 14339	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → (𝐾 ↾t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
6	3, 4, 5	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
7	1, 6	eqeltrid 2280	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐷))
8	3	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
9		limccnp.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐶))
10		cnpf2 14375	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐷) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐶)) → 𝐺:𝐷⟶ℂ)
11	7, 8, 9, 10	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐷⟶ℂ)
12	2	cntoptop 14701	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ Top
13	12	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
14		cnprcl2k 14374	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐷) ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐶)) → 𝐶 ∈ 𝐷)
15	7, 13, 9, 14	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)
16	11, 15	ffvelcdmd 5694	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐶) ∈ ℂ)
17		cnxmet 14699	. . . . . . . 8 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
18		eqid 2193	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))
19		eqid 2193	. . . . . . . . 9 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)))
20	18, 2, 19	metrest 14674	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → (𝐾 ↾t 𝐷) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))))
21	17, 4, 20	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t 𝐷) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))))
22	1, 21	eqtrid 2238	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))))
23	2	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − )))
24		xmetres2 14547	. . . . . . 7 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ (∞Met‘𝐷))
25	17, 4, 24	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ (∞Met‘𝐷))
26	17	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
27	22, 23, 25, 26, 15	metcnpd 14688	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐶) ↔ (𝐺:𝐷⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑝 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒))))
28	9, 27	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺:𝐷⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑝 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)))
29	28	simprd 114	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑝 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒))
30		simplll 533	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) → 𝜑)
31		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) → 𝑝 ∈ ℝ+)
32		limccnp.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
33		limccnp.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐷)
34	33, 4	fssd 5416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
35	33	fdmd 5410	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
36		limcrcl 14812	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
37	32, 36	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
38	37	simp2d 1012	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
39	35, 38	eqsstrrd 3216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
40	37	simp3d 1013	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
41	34, 39, 40	ellimc3ap 14815	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑝 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑝))))
42	32, 41	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑝 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑝)))
43	42	simprd 114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑝))
44	43	r19.21bi 2582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑝))
45	30, 31, 44	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑝))
46		oveq2 5926	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = (𝐹‘𝑧) → (𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) = (𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))(𝐹‘𝑧)))
47	46	breq1d 4039	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = (𝐹‘𝑧) → ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 ↔ (𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))(𝐹‘𝑧)) < 𝑝))
48		fveq2 5554	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = (𝐹‘𝑧) → (𝐺‘𝑤) = (𝐺‘(𝐹‘𝑧)))
49	48	oveq2d 5934	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = (𝐹‘𝑧) → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) = ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘(𝐹‘𝑧))))
50	49	breq1d 4039	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = (𝐹‘𝑧) → (((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒 ↔ ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘(𝐹‘𝑧))) < 𝑒))
51	47, 50	imbi12d 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = (𝐹‘𝑧) → (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒) ↔ ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))(𝐹‘𝑧)) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘(𝐹‘𝑧))) < 𝑒)))
52		simpllr 534	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒))
53	33	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐹:𝐴⟶𝐷)
54		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
55	53, 54	ffvelcdmd 5694	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝐷)
56	51, 52, 55	rspcdva 2869	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))(𝐹‘𝑧)) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘(𝐹‘𝑧))) < 𝑒))
57	15	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐷)
58	57, 55	ovresd 6059	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))(𝐹‘𝑧)) = (𝐶(abs ∘ − )(𝐹‘𝑧)))
59	42	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
60	59	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
61	4	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐷 ⊆ ℂ)
62	61, 55	sseldd 3180	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
63		eqid 2193	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
64	63	cnmetdval 14697	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ) → (𝐶(abs ∘ − )(𝐹‘𝑧)) = (abs‘(𝐶 − (𝐹‘𝑧))))
65	60, 62, 64	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐶(abs ∘ − )(𝐹‘𝑧)) = (abs‘(𝐶 − (𝐹‘𝑧))))
66	60, 62	abssubd 11337	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐶 − (𝐹‘𝑧))) = (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)))
67	58, 65, 66	3eqtrd 2230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))(𝐹‘𝑧)) = (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)))
68	67	breq1d 4039	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))(𝐹‘𝑧)) < 𝑝 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑝))
69	16	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝐶) ∈ ℂ)
70	11	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐺:𝐷⟶ℂ)
71	70, 55	ffvelcdmd 5694	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐺‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℂ)
72	63	cnmetdval 14697	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺‘𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℂ) → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘(𝐹‘𝑧))) = (abs‘((𝐺‘𝐶) − (𝐺‘(𝐹‘𝑧)))))
73	69, 71, 72	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘(𝐹‘𝑧))) = (abs‘((𝐺‘𝐶) − (𝐺‘(𝐹‘𝑧)))))
74		fvco3 5628	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) = (𝐺‘(𝐹‘𝑧)))
75	53, 54, 74	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) = (𝐺‘(𝐹‘𝑧)))
76	75	oveq2d 5934	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝐶) − ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧)) = ((𝐺‘𝐶) − (𝐺‘(𝐹‘𝑧))))
77	76	fveq2d 5558	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐺‘𝐶) − ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧))) = (abs‘((𝐺‘𝐶) − (𝐺‘(𝐹‘𝑧)))))
78	75, 71	eqeltrd 2270	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ ℂ)
79	69, 78	abssubd 11337	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐺‘𝐶) − ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧))) = (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))))
80	73, 77, 79	3eqtr2d 2232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘(𝐹‘𝑧))) = (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))))
81	80	breq1d 4039	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘(𝐹‘𝑧))) < 𝑒 ↔ (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))) < 𝑒))
82	56, 68, 81	3imtr3d 202	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑝 → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))) < 𝑒))
83	82	imim2d 54	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑝) → ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))) < 𝑒)))
84	83	ralimdva 2561	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑝) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))) < 𝑒)))
85	84	reximdva 2596	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) → (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑝) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))) < 𝑒)))
86	45, 85	mpd 13	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))) < 𝑒))
87	86	rexlimdva2 2614	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑝 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))) < 𝑒)))
88	87	ralimdva 2561	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑝 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))) < 𝑒)))
89	29, 88	mpd 13	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))) < 𝑒))
90		fco 5419	. . . 4 ⊢ ((𝐺:𝐷⟶ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐷) → (𝐺 ∘ 𝐹):𝐴⟶ℂ)
91	11, 33, 90	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘ 𝐹):𝐴⟶ℂ)
92	91, 39, 40	ellimc3ap 14815	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝐶) ∈ ((𝐺 ∘ 𝐹) limℂ 𝐵) ↔ ((𝐺‘𝐶) ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))) < 𝑒))))
93	16, 89, 92	mpbir2and 946	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐶) ∈ ((𝐺 ∘ 𝐹) limℂ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  ∃wrex 2473   ⊆ wss 3153   class class class wbr 4029   × cxp 4657  dom cdm 4659   ↾ cres 4661   ∘ ccom 4663  ⟶wf 5250  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  ℂcc 7870   < clt 8054   − cmin 8190   # cap 8600  ℝ⁺crp 9719  abscabs 11141   ↾_t crest 12850  ∞Metcxmet 14032  MetOpencmopn 14037  Topctop 14165  TopOnctopon 14178   CnP ccnp 14354   lim_ℂ climc 14808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-map 6704  df-pm 6705  df-sup 7043  df-inf 7044  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-xneg 9838  df-xadd 9839  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-rest 12852  df-topgen 12871  df-psmet 14039  df-xmet 14040  df-met 14041  df-bl 14042  df-mopn 14043  df-top 14166  df-topon 14179  df-bases 14211  df-cnp 14357  df-limced 14810

This theorem is referenced by:  dvcjbr  14857