Theorem limccnpcntop 12600

Description: If the limit of 𝐹 at 𝐵 is 𝐶 and 𝐺 is continuous at 𝐶, then the limit of 𝐺 ∘ 𝐹 at 𝐵 is 𝐺(𝐶). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 18-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
limccnp.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐷)
limccnp.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℂ)
limccnpcntop.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
limccnp.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝐷)
limccnp.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
limccnp.b	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
limccnpcntop	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐶) ∈ ((𝐺 ∘ 𝐹) limℂ 𝐵))

Proof of Theorem limccnpcntop

Dummy variables 𝑝 𝑧 𝑑 𝑒 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccnp.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝐷)
2		limccnpcntop.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
3	2	cntoptopon 12521	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
4		limccnp.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℂ)
5		resttopon 12183	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → (𝐾 ↾t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
6	3, 4, 5	sylancr 408	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
7	1, 6	syl5eqel 2201	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐷))
8	3	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
9		limccnp.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐶))
10		cnpf2 12218	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐷) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐶)) → 𝐺:𝐷⟶ℂ)
11	7, 8, 9, 10	syl3anc 1199	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐷⟶ℂ)
12	2	cntoptop 12522	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ Top
13	12	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
14		cnprcl2k 12217	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐷) ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐶)) → 𝐶 ∈ 𝐷)
15	7, 13, 9, 14	syl3anc 1199	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)
16	11, 15	ffvelrnd 5510	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐶) ∈ ℂ)
17		cnxmet 12520	. . . . . . . 8 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
18		eqid 2115	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))
19		eqid 2115	. . . . . . . . 9 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)))
20	18, 2, 19	metrest 12495	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → (𝐾 ↾t 𝐷) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))))
21	17, 4, 20	sylancr 408	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t 𝐷) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))))
22	1, 21	syl5eq 2159	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))))
23	2	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − )))
24		xmetres2 12368	. . . . . . 7 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ (∞Met‘𝐷))
25	17, 4, 24	sylancr 408	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ (∞Met‘𝐷))
26	17	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
27	22, 23, 25, 26, 15	metcnpd 12509	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐶) ↔ (𝐺:𝐷⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑝 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒))))
28	9, 27	mpbid 146	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺:𝐷⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑝 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)))
29	28	simprd 113	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑝 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒))
30		simplll 505	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) → 𝜑)
31		simplr 502	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) → 𝑝 ∈ ℝ+)
32		limccnp.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
33		limccnp.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐷)
34	33, 4	fssd 5243	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
35	33	fdmd 5237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
36		limcrcl 12583	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
37	32, 36	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
38	37	simp2d 977	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
39	35, 38	eqsstrrd 3100	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
40	37	simp3d 978	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
41	34, 39, 40	ellimc3ap 12586	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑝 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑝))))
42	32, 41	mpbid 146	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑝 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑝)))
43	42	simprd 113	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑝))
44	43	r19.21bi 2494	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑝))
45	30, 31, 44	syl2anc 406	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑝))
46		oveq2 5736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = (𝐹‘𝑧) → (𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) = (𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))(𝐹‘𝑧)))
47	46	breq1d 3905	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = (𝐹‘𝑧) → ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 ↔ (𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))(𝐹‘𝑧)) < 𝑝))
48		fveq2 5375	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = (𝐹‘𝑧) → (𝐺‘𝑤) = (𝐺‘(𝐹‘𝑧)))
49	48	oveq2d 5744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = (𝐹‘𝑧) → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) = ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘(𝐹‘𝑧))))
50	49	breq1d 3905	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = (𝐹‘𝑧) → (((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒 ↔ ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘(𝐹‘𝑧))) < 𝑒))
51	47, 50	imbi12d 233	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = (𝐹‘𝑧) → (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒) ↔ ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))(𝐹‘𝑧)) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘(𝐹‘𝑧))) < 𝑒)))
52		simpllr 506	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒))
53	33	ad5antr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐹:𝐴⟶𝐷)
54		simpr 109	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
55	53, 54	ffvelrnd 5510	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝐷)
56	51, 52, 55	rspcdva 2765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))(𝐹‘𝑧)) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘(𝐹‘𝑧))) < 𝑒))
57	15	ad5antr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐷)
58	57, 55	ovresd 5865	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))(𝐹‘𝑧)) = (𝐶(abs ∘ − )(𝐹‘𝑧)))
59	42	simpld 111	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
60	59	ad5antr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
61	4	ad5antr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐷 ⊆ ℂ)
62	61, 55	sseldd 3064	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
63		eqid 2115	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
64	63	cnmetdval 12518	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ) → (𝐶(abs ∘ − )(𝐹‘𝑧)) = (abs‘(𝐶 − (𝐹‘𝑧))))
65	60, 62, 64	syl2anc 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐶(abs ∘ − )(𝐹‘𝑧)) = (abs‘(𝐶 − (𝐹‘𝑧))))
66	60, 62	abssubd 10857	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐶 − (𝐹‘𝑧))) = (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)))
67	58, 65, 66	3eqtrd 2151	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))(𝐹‘𝑧)) = (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)))
68	67	breq1d 3905	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))(𝐹‘𝑧)) < 𝑝 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑝))
69	16	ad5antr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝐶) ∈ ℂ)
70	11	ad5antr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐺:𝐷⟶ℂ)
71	70, 55	ffvelrnd 5510	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐺‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℂ)
72	63	cnmetdval 12518	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺‘𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℂ) → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘(𝐹‘𝑧))) = (abs‘((𝐺‘𝐶) − (𝐺‘(𝐹‘𝑧)))))
73	69, 71, 72	syl2anc 406	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘(𝐹‘𝑧))) = (abs‘((𝐺‘𝐶) − (𝐺‘(𝐹‘𝑧)))))
74		fvco3 5446	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) = (𝐺‘(𝐹‘𝑧)))
75	53, 54, 74	syl2anc 406	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) = (𝐺‘(𝐹‘𝑧)))
76	75	oveq2d 5744	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝐶) − ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧)) = ((𝐺‘𝐶) − (𝐺‘(𝐹‘𝑧))))
77	76	fveq2d 5379	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐺‘𝐶) − ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧))) = (abs‘((𝐺‘𝐶) − (𝐺‘(𝐹‘𝑧)))))
78	75, 71	eqeltrd 2191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ ℂ)
79	69, 78	abssubd 10857	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐺‘𝐶) − ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧))) = (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))))
80	73, 77, 79	3eqtr2d 2153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘(𝐹‘𝑧))) = (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))))
81	80	breq1d 3905	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘(𝐹‘𝑧))) < 𝑒 ↔ (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))) < 𝑒))
82	56, 68, 81	3imtr3d 201	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑝 → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))) < 𝑒))
83	82	imim2d 54	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑝) → ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))) < 𝑒)))
84	83	ralimdva 2473	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑝) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))) < 𝑒)))
85	84	reximdva 2508	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) → (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑝) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))) < 𝑒)))
86	45, 85	mpd 13	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))) < 𝑒))
87	86	rexlimdva2 2526	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑝 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))) < 𝑒)))
88	87	ralimdva 2473	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑝 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))) < 𝑒)))
89	29, 88	mpd 13	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))) < 𝑒))
90		fco 5246	. . . 4 ⊢ ((𝐺:𝐷⟶ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐷) → (𝐺 ∘ 𝐹):𝐴⟶ℂ)
91	11, 33, 90	syl2anc 406	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘ 𝐹):𝐴⟶ℂ)
92	91, 39, 40	ellimc3ap 12586	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝐶) ∈ ((𝐺 ∘ 𝐹) limℂ 𝐵) ↔ ((𝐺‘𝐶) ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))) < 𝑒))))
93	16, 89, 92	mpbir2and 911	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐶) ∈ ((𝐺 ∘ 𝐹) limℂ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 945   = wceq 1314   ∈ wcel 1463  ∀wral 2390  ∃wrex 2391   ⊆ wss 3037   class class class wbr 3895   × cxp 4497  dom cdm 4499   ↾ cres 4501   ∘ ccom 4503  ⟶wf 5077  ‘cfv 5081  (class class class)co 5728  ℂcc 7545   < clt 7724   − cmin 7856   # cap 8261  ℝ⁺crp 9343  abscabs 10661   ↾_t crest 11963  ∞Metcxmet 11992  MetOpencmopn 11997  Topctop 12007  TopOnctopon 12020   CnP ccnp 12198   lim_ℂ climc 12579

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4003  ax-sep 4006  ax-nul 4014  ax-pow 4058  ax-pr 4091  ax-un 4315  ax-setind 4412  ax-iinf 4462  ax-cnex 7636  ax-resscn 7637  ax-1cn 7638  ax-1re 7639  ax-icn 7640  ax-addcl 7641  ax-addrcl 7642  ax-mulcl 7643  ax-mulrcl 7644  ax-addcom 7645  ax-mulcom 7646  ax-addass 7647  ax-mulass 7648  ax-distr 7649  ax-i2m1 7650  ax-0lt1 7651  ax-1rid 7652  ax-0id 7653  ax-rnegex 7654  ax-precex 7655  ax-cnre 7656  ax-pre-ltirr 7657  ax-pre-ltwlin 7658  ax-pre-lttrn 7659  ax-pre-apti 7660  ax-pre-ltadd 7661  ax-pre-mulgt0 7662  ax-pre-mulext 7663  ax-arch 7664  ax-caucvg 7665

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 799  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2244  df-ne 2283  df-nel 2378  df-ral 2395  df-rex 2396  df-reu 2397  df-rmo 2398  df-rab 2399  df-v 2659  df-sbc 2879  df-csb 2972  df-dif 3039  df-un 3041  df-in 3043  df-ss 3050  df-nul 3330  df-if 3441  df-pw 3478  df-sn 3499  df-pr 3500  df-op 3502  df-uni 3703  df-int 3738  df-iun 3781  df-br 3896  df-opab 3950  df-mpt 3951  df-tr 3987  df-id 4175  df-po 4178  df-iso 4179  df-iord 4248  df-on 4250  df-ilim 4251  df-suc 4253  df-iom 4465  df-xp 4505  df-rel 4506  df-cnv 4507  df-co 4508  df-dm 4509  df-rn 4510  df-res 4511  df-ima 4512  df-iota 5046  df-fun 5083  df-fn 5084  df-f 5085  df-f1 5086  df-fo 5087  df-f1o 5088  df-fv 5089  df-isom 5090  df-riota 5684  df-ov 5731  df-oprab 5732  df-mpo 5733  df-1st 5992  df-2nd 5993  df-recs 6156  df-frec 6242  df-map 6498  df-pm 6499  df-sup 6823  df-inf 6824  df-pnf 7726  df-mnf 7727  df-xr 7728  df-ltxr 7729  df-le 7730  df-sub 7858  df-neg 7859  df-reap 8255  df-ap 8262  df-div 8346  df-inn 8631  df-2 8689  df-3 8690  df-4 8691  df-n0 8882  df-z 8959  df-uz 9229  df-q 9314  df-rp 9344  df-xneg 9452  df-xadd 9453  df-seqfrec 10112  df-exp 10186  df-cj 10507  df-re 10508  df-im 10509  df-rsqrt 10662  df-abs 10663  df-rest 11965  df-topgen 11984  df-psmet 11999  df-xmet 12000  df-met 12001  df-bl 12002  df-mopn 12003  df-top 12008  df-topon 12021  df-bases 12053  df-cnp 12201  df-limced 12581

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