ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  limccnpcntop GIF version

Theorem limccnpcntop 14548
Description: If the limit of 𝐹 at 𝐡 is 𝐢 and 𝐺 is continuous at 𝐢, then the limit of 𝐺 ∘ 𝐹 at 𝐡 is 𝐺(𝐢). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 18-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
limccnp.f (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐷)
limccnp.d (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† β„‚)
limccnpcntop.k 𝐾 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
limccnp.j 𝐽 = (𝐾 β†Ύt 𝐷)
limccnp.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
limccnp.b (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜πΆ))
Assertion
Ref Expression
limccnpcntop (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ ((𝐺 ∘ 𝐹) limβ„‚ 𝐡))

Proof of Theorem limccnpcntop
Dummy variables 𝑝 𝑧 𝑑 𝑒 𝑀 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccnp.j . . . . 5 𝐽 = (𝐾 β†Ύt 𝐷)
2 limccnpcntop.k . . . . . . 7 𝐾 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
32cntoptopon 14436 . . . . . 6 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
4 limccnp.d . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐷 βŠ† β„‚)
5 resttopon 14075 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝐷 βŠ† β„‚) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝐷) ∈ (TopOnβ€˜π·))
63, 4, 5sylancr 414 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾 β†Ύt 𝐷) ∈ (TopOnβ€˜π·))
71, 6eqeltrid 2276 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π·))
83a1i 9 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
9 limccnp.b . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜πΆ))
10 cnpf2 14111 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π·) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜πΆ)) β†’ 𝐺:π·βŸΆβ„‚)
117, 8, 9, 10syl3anc 1249 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺:π·βŸΆβ„‚)
122cntoptop 14437 . . . . 5 𝐾 ∈ Top
1312a1i 9 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
14 cnprcl2k 14110 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜π·) ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜πΆ)) β†’ 𝐢 ∈ 𝐷)
157, 13, 9, 14syl3anc 1249 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝐷)
1611, 15ffvelcdmd 5669 . 2 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
17 cnxmet 14435 . . . . . . . 8 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
18 eqid 2189 . . . . . . . . 9 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))
19 eqid 2189 . . . . . . . . 9 (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷)))
2018, 2, 19metrest 14410 . . . . . . . 8 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝐷 βŠ† β„‚) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝐷) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))))
2117, 4, 20sylancr 414 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐾 β†Ύt 𝐷) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))))
221, 21eqtrid 2234 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐽 = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))))
232a1i 9 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐾 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ )))
24 xmetres2 14283 . . . . . . 7 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝐷 βŠ† β„‚) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷)) ∈ (∞Metβ€˜π·))
2517, 4, 24sylancr 414 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷)) ∈ (∞Metβ€˜π·))
2617a1i 9 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚))
2722, 23, 25, 26, 15metcnpd 14424 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜πΆ) ↔ (𝐺:π·βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 ((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝑀) < 𝑝 β†’ ((πΊβ€˜πΆ)(abs ∘ βˆ’ )(πΊβ€˜π‘€)) < 𝑒))))
289, 27mpbid 147 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐺:π·βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 ((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝑀) < 𝑝 β†’ ((πΊβ€˜πΆ)(abs ∘ βˆ’ )(πΊβ€˜π‘€)) < 𝑒)))
2928simprd 114 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 ((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝑀) < 𝑝 β†’ ((πΊβ€˜πΆ)(abs ∘ βˆ’ )(πΊβ€˜π‘€)) < 𝑒))
30 simplll 533 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 ((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝑀) < 𝑝 β†’ ((πΊβ€˜πΆ)(abs ∘ βˆ’ )(πΊβ€˜π‘€)) < 𝑒)) β†’ πœ‘)
31 simplr 528 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 ((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝑀) < 𝑝 β†’ ((πΊβ€˜πΆ)(abs ∘ βˆ’ )(πΊβ€˜π‘€)) < 𝑒)) β†’ 𝑝 ∈ ℝ+)
32 limccnp.c . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡))
33 limccnp.f . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐷)
3433, 4fssd 5394 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐹:π΄βŸΆβ„‚)
3533fdmd 5388 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 = 𝐴)
36 limcrcl 14531 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) β†’ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚))
3732, 36syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝐹:dom πΉβŸΆβ„‚ ∧ dom 𝐹 βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚))
3837simp2d 1012 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ dom 𝐹 βŠ† β„‚)
3935, 38eqsstrrd 3207 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
4037simp3d 1013 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
4134, 39, 40ellimc3ap 14534 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ (𝐹 limβ„‚ 𝐡) ↔ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑝))))
4232, 41mpbid 147 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑝)))
4342simprd 114 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑝))
4443r19.21bi 2578 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑝))
4530, 31, 44syl2anc 411 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 ((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝑀) < 𝑝 β†’ ((πΊβ€˜πΆ)(abs ∘ βˆ’ )(πΊβ€˜π‘€)) < 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑝))
46 oveq2 5900 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ (𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝑀) = (𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))(πΉβ€˜π‘§)))
4746breq1d 4028 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ ((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝑀) < 𝑝 ↔ (𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))(πΉβ€˜π‘§)) < 𝑝))
48 fveq2 5531 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑀 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ (πΊβ€˜π‘€) = (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))
4948oveq2d 5908 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑀 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ ((πΊβ€˜πΆ)(abs ∘ βˆ’ )(πΊβ€˜π‘€)) = ((πΊβ€˜πΆ)(abs ∘ βˆ’ )(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§))))
5049breq1d 4028 . . . . . . . . . . . 12 (𝑀 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ (((πΊβ€˜πΆ)(abs ∘ βˆ’ )(πΊβ€˜π‘€)) < 𝑒 ↔ ((πΊβ€˜πΆ)(abs ∘ βˆ’ )(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§))) < 𝑒))
5147, 50imbi12d 234 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 = (πΉβ€˜π‘§) β†’ (((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝑀) < 𝑝 β†’ ((πΊβ€˜πΆ)(abs ∘ βˆ’ )(πΊβ€˜π‘€)) < 𝑒) ↔ ((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))(πΉβ€˜π‘§)) < 𝑝 β†’ ((πΊβ€˜πΆ)(abs ∘ βˆ’ )(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§))) < 𝑒)))
52 simpllr 534 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 ((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝑀) < 𝑝 β†’ ((πΊβ€˜πΆ)(abs ∘ βˆ’ )(πΊβ€˜π‘€)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 ((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝑀) < 𝑝 β†’ ((πΊβ€˜πΆ)(abs ∘ βˆ’ )(πΊβ€˜π‘€)) < 𝑒))
5333ad5antr 496 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 ((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝑀) < 𝑝 β†’ ((πΊβ€˜πΆ)(abs ∘ βˆ’ )(πΊβ€˜π‘€)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝐹:𝐴⟢𝐷)
54 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 ((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝑀) < 𝑝 β†’ ((πΊβ€˜πΆ)(abs ∘ βˆ’ )(πΊβ€˜π‘€)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝑧 ∈ 𝐴)
5553, 54ffvelcdmd 5669 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 ((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝑀) < 𝑝 β†’ ((πΊβ€˜πΆ)(abs ∘ βˆ’ )(πΊβ€˜π‘€)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ 𝐷)
5651, 52, 55rspcdva 2861 . . . . . . . . . 10 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 ((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝑀) < 𝑝 β†’ ((πΊβ€˜πΆ)(abs ∘ βˆ’ )(πΊβ€˜π‘€)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))(πΉβ€˜π‘§)) < 𝑝 β†’ ((πΊβ€˜πΆ)(abs ∘ βˆ’ )(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§))) < 𝑒))
5715ad5antr 496 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 ((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝑀) < 𝑝 β†’ ((πΊβ€˜πΆ)(abs ∘ βˆ’ )(πΊβ€˜π‘€)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ 𝐷)
5857, 55ovresd 6033 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 ((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝑀) < 𝑝 β†’ ((πΊβ€˜πΆ)(abs ∘ βˆ’ )(πΊβ€˜π‘€)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))(πΉβ€˜π‘§)) = (𝐢(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜π‘§)))
5942simpld 112 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
6059ad5antr 496 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 ((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝑀) < 𝑝 β†’ ((πΊβ€˜πΆ)(abs ∘ βˆ’ )(πΊβ€˜π‘€)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝐢 ∈ β„‚)
614ad5antr 496 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 ((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝑀) < 𝑝 β†’ ((πΊβ€˜πΆ)(abs ∘ βˆ’ )(πΊβ€˜π‘€)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝐷 βŠ† β„‚)
6261, 55sseldd 3171 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 ((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝑀) < 𝑝 β†’ ((πΊβ€˜πΆ)(abs ∘ βˆ’ )(πΊβ€˜π‘€)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚)
63 eqid 2189 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs ∘ βˆ’ ) = (abs ∘ βˆ’ )
6463cnmetdval 14433 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐢 ∈ β„‚ ∧ (πΉβ€˜π‘§) ∈ β„‚) β†’ (𝐢(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜π‘§)) = (absβ€˜(𝐢 βˆ’ (πΉβ€˜π‘§))))
6560, 62, 64syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 ((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝑀) < 𝑝 β†’ ((πΊβ€˜πΆ)(abs ∘ βˆ’ )(πΊβ€˜π‘€)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (𝐢(abs ∘ βˆ’ )(πΉβ€˜π‘§)) = (absβ€˜(𝐢 βˆ’ (πΉβ€˜π‘§))))
6660, 62abssubd 11222 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 ((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝑀) < 𝑝 β†’ ((πΊβ€˜πΆ)(abs ∘ βˆ’ )(πΊβ€˜π‘€)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜(𝐢 βˆ’ (πΉβ€˜π‘§))) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)))
6758, 65, 663eqtrd 2226 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 ((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝑀) < 𝑝 β†’ ((πΊβ€˜πΆ)(abs ∘ βˆ’ )(πΊβ€˜π‘€)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))(πΉβ€˜π‘§)) = (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)))
6867breq1d 4028 . . . . . . . . . 10 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 ((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝑀) < 𝑝 β†’ ((πΊβ€˜πΆ)(abs ∘ βˆ’ )(πΊβ€˜π‘€)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))(πΉβ€˜π‘§)) < 𝑝 ↔ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑝))
6916ad5antr 496 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 ((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝑀) < 𝑝 β†’ ((πΊβ€˜πΆ)(abs ∘ βˆ’ )(πΊβ€˜π‘€)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ β„‚)
7011ad5antr 496 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 ((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝑀) < 𝑝 β†’ ((πΊβ€˜πΆ)(abs ∘ βˆ’ )(πΊβ€˜π‘€)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ 𝐺:π·βŸΆβ„‚)
7170, 55ffvelcdmd 5669 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 ((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝑀) < 𝑝 β†’ ((πΊβ€˜πΆ)(abs ∘ βˆ’ )(πΊβ€˜π‘€)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ β„‚)
7263cnmetdval 14433 . . . . . . . . . . . . 13 (((πΊβ€˜πΆ) ∈ β„‚ ∧ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)) ∈ β„‚) β†’ ((πΊβ€˜πΆ)(abs ∘ βˆ’ )(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§))) = (absβ€˜((πΊβ€˜πΆ) βˆ’ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))))
7369, 71, 72syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 ((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝑀) < 𝑝 β†’ ((πΊβ€˜πΆ)(abs ∘ βˆ’ )(πΊβ€˜π‘€)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜πΆ)(abs ∘ βˆ’ )(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§))) = (absβ€˜((πΊβ€˜πΆ) βˆ’ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))))
74 fvco3 5604 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:𝐴⟢𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘§) = (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))
7553, 54, 74syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 ((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝑀) < 𝑝 β†’ ((πΊβ€˜πΆ)(abs ∘ βˆ’ )(πΊβ€˜π‘€)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘§) = (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))
7675oveq2d 5908 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 ((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝑀) < 𝑝 β†’ ((πΊβ€˜πΆ)(abs ∘ βˆ’ )(πΊβ€˜π‘€)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜πΆ) βˆ’ ((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘§)) = ((πΊβ€˜πΆ) βˆ’ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§))))
7776fveq2d 5535 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 ((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝑀) < 𝑝 β†’ ((πΊβ€˜πΆ)(abs ∘ βˆ’ )(πΊβ€˜π‘€)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜πΆ) βˆ’ ((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘§))) = (absβ€˜((πΊβ€˜πΆ) βˆ’ (πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§)))))
7875, 71eqeltrd 2266 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 ((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝑀) < 𝑝 β†’ ((πΊβ€˜πΆ)(abs ∘ βˆ’ )(πΊβ€˜π‘€)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘§) ∈ β„‚)
7969, 78abssubd 11222 . . . . . . . . . . . 12 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 ((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝑀) < 𝑝 β†’ ((πΊβ€˜πΆ)(abs ∘ βˆ’ )(πΊβ€˜π‘€)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (absβ€˜((πΊβ€˜πΆ) βˆ’ ((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘§))) = (absβ€˜(((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))
8073, 77, 793eqtr2d 2228 . . . . . . . . . . 11 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 ((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝑀) < 𝑝 β†’ ((πΊβ€˜πΆ)(abs ∘ βˆ’ )(πΊβ€˜π‘€)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((πΊβ€˜πΆ)(abs ∘ βˆ’ )(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§))) = (absβ€˜(((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))))
8180breq1d 4028 . . . . . . . . . 10 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 ((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝑀) < 𝑝 β†’ ((πΊβ€˜πΆ)(abs ∘ βˆ’ )(πΊβ€˜π‘€)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (((πΊβ€˜πΆ)(abs ∘ βˆ’ )(πΊβ€˜(πΉβ€˜π‘§))) < 𝑒 ↔ (absβ€˜(((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) < 𝑒))
8256, 68, 813imtr3d 202 . . . . . . . . 9 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 ((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝑀) < 𝑝 β†’ ((πΊβ€˜πΆ)(abs ∘ βˆ’ )(πΊβ€˜π‘€)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ ((absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑝 β†’ (absβ€˜(((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) < 𝑒))
8382imim2d 54 . . . . . . . 8 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 ((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝑀) < 𝑝 β†’ ((πΊβ€˜πΆ)(abs ∘ βˆ’ )(πΊβ€˜π‘€)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) β†’ (((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑝) β†’ ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜(((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) < 𝑒)))
8483ralimdva 2557 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 ((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝑀) < 𝑝 β†’ ((πΊβ€˜πΆ)(abs ∘ βˆ’ )(πΊβ€˜π‘€)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑝) β†’ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜(((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) < 𝑒)))
8584reximdva 2592 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 ((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝑀) < 𝑝 β†’ ((πΊβ€˜πΆ)(abs ∘ βˆ’ )(πΊβ€˜π‘€)) < 𝑒)) β†’ (βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜((πΉβ€˜π‘§) βˆ’ 𝐢)) < 𝑝) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜(((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) < 𝑒)))
8645, 85mpd 13 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 ((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝑀) < 𝑝 β†’ ((πΊβ€˜πΆ)(abs ∘ βˆ’ )(πΊβ€˜π‘€)) < 𝑒)) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜(((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) < 𝑒))
8786rexlimdva2 2610 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ (βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 ((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝑀) < 𝑝 β†’ ((πΊβ€˜πΆ)(abs ∘ βˆ’ )(πΊβ€˜π‘€)) < 𝑒) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜(((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) < 𝑒)))
8887ralimdva 2557 . . 3 (πœ‘ β†’ (βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘€ ∈ 𝐷 ((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝐷 Γ— 𝐷))𝑀) < 𝑝 β†’ ((πΊβ€˜πΆ)(abs ∘ βˆ’ )(πΊβ€˜π‘€)) < 𝑒) β†’ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜(((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) < 𝑒)))
8929, 88mpd 13 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜(((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) < 𝑒))
90 fco 5397 . . . 4 ((𝐺:π·βŸΆβ„‚ ∧ 𝐹:𝐴⟢𝐷) β†’ (𝐺 ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„‚)
9111, 33, 90syl2anc 411 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐺 ∘ 𝐹):π΄βŸΆβ„‚)
9291, 39, 40ellimc3ap 14534 . 2 (πœ‘ β†’ ((πΊβ€˜πΆ) ∈ ((𝐺 ∘ 𝐹) limβ„‚ 𝐡) ↔ ((πΊβ€˜πΆ) ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘§ ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐡 ∧ (absβ€˜(𝑧 βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜(((𝐺 ∘ 𝐹)β€˜π‘§) βˆ’ (πΊβ€˜πΆ))) < 𝑒))))
9316, 89, 92mpbir2and 946 1 (πœ‘ β†’ (πΊβ€˜πΆ) ∈ ((𝐺 ∘ 𝐹) limβ„‚ 𝐡))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2160  βˆ€wral 2468  βˆƒwrex 2469   βŠ† wss 3144   class class class wbr 4018   Γ— cxp 4639  dom cdm 4641   β†Ύ cres 4643   ∘ ccom 4645  βŸΆwf 5228  β€˜cfv 5232  (class class class)co 5892  β„‚cc 7829   < clt 8012   βˆ’ cmin 8148   # cap 8558  β„+crp 9673  abscabs 11026   β†Ύt crest 12717  βˆžMetcxmet 13817  MetOpencmopn 13822  Topctop 13901  TopOnctopon 13914   CnP ccnp 14090   limβ„‚ climc 14527
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4133  ax-sep 4136  ax-nul 4144  ax-pow 4189  ax-pr 4224  ax-un 4448  ax-setind 4551  ax-iinf 4602  ax-cnex 7922  ax-resscn 7923  ax-1cn 7924  ax-1re 7925  ax-icn 7926  ax-addcl 7927  ax-addrcl 7928  ax-mulcl 7929  ax-mulrcl 7930  ax-addcom 7931  ax-mulcom 7932  ax-addass 7933  ax-mulass 7934  ax-distr 7935  ax-i2m1 7936  ax-0lt1 7937  ax-1rid 7938  ax-0id 7939  ax-rnegex 7940  ax-precex 7941  ax-cnre 7942  ax-pre-ltirr 7943  ax-pre-ltwlin 7944  ax-pre-lttrn 7945  ax-pre-apti 7946  ax-pre-ltadd 7947  ax-pre-mulgt0 7948  ax-pre-mulext 7949  ax-arch 7950  ax-caucvg 7951
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2754  df-sbc 2978  df-csb 3073  df-dif 3146  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-nul 3438  df-if 3550  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-uni 3825  df-int 3860  df-iun 3903  df-br 4019  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4117  df-id 4308  df-po 4311  df-iso 4312  df-iord 4381  df-on 4383  df-ilim 4384  df-suc 4386  df-iom 4605  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-ima 4654  df-iota 5193  df-fun 5234  df-fn 5235  df-f 5236  df-f1 5237  df-fo 5238  df-f1o 5239  df-fv 5240  df-isom 5241  df-riota 5848  df-ov 5895  df-oprab 5896  df-mpo 5897  df-1st 6160  df-2nd 6161  df-recs 6325  df-frec 6411  df-map 6669  df-pm 6670  df-sup 7003  df-inf 7004  df-pnf 8014  df-mnf 8015  df-xr 8016  df-ltxr 8017  df-le 8018  df-sub 8150  df-neg 8151  df-reap 8552  df-ap 8559  df-div 8650  df-inn 8940  df-2 8998  df-3 8999  df-4 9000  df-n0 9197  df-z 9274  df-uz 9549  df-q 9640  df-rp 9674  df-xneg 9792  df-xadd 9793  df-seqfrec 10466  df-exp 10540  df-cj 10871  df-re 10872  df-im 10873  df-rsqrt 11027  df-abs 11028  df-rest 12719  df-topgen 12738  df-psmet 13824  df-xmet 13825  df-met 13826  df-bl 13827  df-mopn 13828  df-top 13902  df-topon 13915  df-bases 13947  df-cnp 14093  df-limced 14529
This theorem is referenced by:  dvcjbr  14576
  Copyright terms: Public domain W3C validator