Theorem limccnpcntop 15776

Description: If the limit of 𝐹 at 𝐵 is 𝐶 and 𝐺 is continuous at 𝐶, then the limit of 𝐺 ∘ 𝐹 at 𝐵 is 𝐺(𝐶). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 18-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
limccnp.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐷)
limccnp.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℂ)
limccnpcntop.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
limccnp.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝐷)
limccnp.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
limccnp.b	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
limccnpcntop	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐶) ∈ ((𝐺 ∘ 𝐹) limℂ 𝐵))

Proof of Theorem limccnpcntop

Dummy variables 𝑝 𝑧 𝑑 𝑒 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccnp.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝐷)
2		limccnpcntop.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
3	2	cntoptopon 15633	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
4		limccnp.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℂ)
5		resttopon 15272	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → (𝐾 ↾t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
6	3, 4, 5	sylancr 418	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
7	1, 6	eqeltrid 2325	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐷))
8	3	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
9		limccnp.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐶))
10		cnpf2 15308	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐷) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐶)) → 𝐺:𝐷⟶ℂ)
11	7, 8, 9, 10	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐷⟶ℂ)
12	2	cntoptop 15634	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ Top
13	12	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
14		cnprcl2k 15307	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐷) ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐶)) → 𝐶 ∈ 𝐷)
15	7, 13, 9, 14	syl3anc 1278	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)
16	11, 15	ffvelcdmd 5844	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐶) ∈ ℂ)
17		cnxmet 15632	. . . . . . . 8 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
18		eqid 2238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))
19		eqid 2238	. . . . . . . . 9 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)))
20	18, 2, 19	metrest 15607	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → (𝐾 ↾t 𝐷) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))))
21	17, 4, 20	sylancr 418	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t 𝐷) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))))
22	1, 21	eqtrid 2283	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))))
23	2	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − )))
24		xmetres2 15480	. . . . . . 7 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ (∞Met‘𝐷))
25	17, 4, 24	sylancr 418	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ (∞Met‘𝐷))
26	17	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
27	22, 23, 25, 26, 15	metcnpd 15621	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐶) ↔ (𝐺:𝐷⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑝 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒))))
28	9, 27	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺:𝐷⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑝 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)))
29	28	simprd 114	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑝 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒))
30		simplll 539	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) → 𝜑)
31		simplr 533	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) → 𝑝 ∈ ℝ+)
32		limccnp.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
33		limccnp.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐷)
34	33, 4	fssd 5547	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
35	33	fdmd 5540	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
36		limcrcl 15759	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
37	32, 36	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
38	37	simp2d 1041	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
39	35, 38	eqsstrrd 3285	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
40	37	simp3d 1042	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
41	34, 39, 40	ellimc3ap 15762	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑝 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑝))))
42	32, 41	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑝 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑝)))
43	42	simprd 114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑝))
44	43	r19.21bi 2638	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑝))
45	30, 31, 44	syl2anc 415	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑝))
46		oveq2 6093	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = (𝐹‘𝑧) → (𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) = (𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))(𝐹‘𝑧)))
47	46	breq1d 4140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = (𝐹‘𝑧) → ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 ↔ (𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))(𝐹‘𝑧)) < 𝑝))
48		fveq2 5695	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = (𝐹‘𝑧) → (𝐺‘𝑤) = (𝐺‘(𝐹‘𝑧)))
49	48	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = (𝐹‘𝑧) → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) = ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘(𝐹‘𝑧))))
50	49	breq1d 4140	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = (𝐹‘𝑧) → (((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒 ↔ ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘(𝐹‘𝑧))) < 𝑒))
51	47, 50	imbi12d 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = (𝐹‘𝑧) → (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒) ↔ ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))(𝐹‘𝑧)) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘(𝐹‘𝑧))) < 𝑒)))
52		simpllr 540	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒))
53	33	ad5antr 500	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐹:𝐴⟶𝐷)
54		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
55	53, 54	ffvelcdmd 5844	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝐷)
56	51, 52, 55	rspcdva 2934	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))(𝐹‘𝑧)) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘(𝐹‘𝑧))) < 𝑒))
57	15	ad5antr 500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐷)
58	57, 55	ovresd 6230	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))(𝐹‘𝑧)) = (𝐶(abs ∘ − )(𝐹‘𝑧)))
59	42	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
60	59	ad5antr 500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
61	4	ad5antr 500	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐷 ⊆ ℂ)
62	61, 55	sseldd 3249	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
63		eqid 2238	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
64	63	cnmetdval 15630	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ) → (𝐶(abs ∘ − )(𝐹‘𝑧)) = (abs‘(𝐶 − (𝐹‘𝑧))))
65	60, 62, 64	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐶(abs ∘ − )(𝐹‘𝑧)) = (abs‘(𝐶 − (𝐹‘𝑧))))
66	60, 62	abssubd 11959	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐶 − (𝐹‘𝑧))) = (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)))
67	58, 65, 66	3eqtrd 2275	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))(𝐹‘𝑧)) = (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)))
68	67	breq1d 4140	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))(𝐹‘𝑧)) < 𝑝 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑝))
69	16	ad5antr 500	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝐶) ∈ ℂ)
70	11	ad5antr 500	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐺:𝐷⟶ℂ)
71	70, 55	ffvelcdmd 5844	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐺‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℂ)
72	63	cnmetdval 15630	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺‘𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℂ) → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘(𝐹‘𝑧))) = (abs‘((𝐺‘𝐶) − (𝐺‘(𝐹‘𝑧)))))
73	69, 71, 72	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘(𝐹‘𝑧))) = (abs‘((𝐺‘𝐶) − (𝐺‘(𝐹‘𝑧)))))
74		fvco3 5776	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) = (𝐺‘(𝐹‘𝑧)))
75	53, 54, 74	syl2anc 415	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) = (𝐺‘(𝐹‘𝑧)))
76	75	oveq2d 6101	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝐶) − ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧)) = ((𝐺‘𝐶) − (𝐺‘(𝐹‘𝑧))))
77	76	fveq2d 5699	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐺‘𝐶) − ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧))) = (abs‘((𝐺‘𝐶) − (𝐺‘(𝐹‘𝑧)))))
78	75, 71	eqeltrd 2315	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ ℂ)
79	69, 78	abssubd 11959	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐺‘𝐶) − ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧))) = (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))))
80	73, 77, 79	3eqtr2d 2277	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘(𝐹‘𝑧))) = (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))))
81	80	breq1d 4140	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘(𝐹‘𝑧))) < 𝑒 ↔ (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))) < 𝑒))
82	56, 68, 81	3imtr3d 202	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑝 → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))) < 𝑒))
83	82	imim2d 54	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑝) → ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))) < 𝑒)))
84	83	ralimdva 2617	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑝) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))) < 𝑒)))
85	84	reximdva 2652	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) → (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑝) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))) < 𝑒)))
86	45, 85	mpd 13	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))) < 𝑒))
87	86	rexlimdva2 2671	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑝 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))) < 𝑒)))
88	87	ralimdva 2617	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑝 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))) < 𝑒)))
89	29, 88	mpd 13	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))) < 𝑒))
90		fco 5552	. . . 4 ⊢ ((𝐺:𝐷⟶ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐷) → (𝐺 ∘ 𝐹):𝐴⟶ℂ)
91	11, 33, 90	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘ 𝐹):𝐴⟶ℂ)
92	91, 39, 40	ellimc3ap 15762	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝐶) ∈ ((𝐺 ∘ 𝐹) limℂ 𝐵) ↔ ((𝐺‘𝐶) ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))) < 𝑒))))
93	16, 89, 92	mpbir2and 957	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐶) ∈ ((𝐺 ∘ 𝐹) limℂ 𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 1009   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4130   × cxp 4772  dom cdm 4774   ↾ cres 4776   ∘ ccom 4778  ⟶wf 5373  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℂcc 8177   < clt 8360   − cmin 8497   # cap 8909  ℝ⁺crp 10054  abscabs 11763   ↾_t crest 13593  ∞Metcxmet 14873  MetOpencmopn 14878  Topctop 15098  TopOnctopon 15111   CnP ccnp 15287   lim_ℂ climc 15755

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1cn 8272  ax-1re 8273  ax-icn 8274  ax-addcl 8275  ax-addrcl 8276  ax-mulcl 8277  ax-mulrcl 8278  ax-addcom 8279  ax-mulcom 8280  ax-addass 8281  ax-mulass 8282  ax-distr 8283  ax-i2m1 8284  ax-0lt1 8285  ax-1rid 8286  ax-0id 8287  ax-rnegex 8288  ax-precex 8289  ax-cnre 8290  ax-pre-ltirr 8291  ax-pre-ltwlin 8292  ax-pre-lttrn 8293  ax-pre-apti 8294  ax-pre-ltadd 8295  ax-pre-mulgt0 8296  ax-pre-mulext 8297  ax-arch 8298  ax-caucvg 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-isom 5386  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-map 6924  df-pm 6925  df-sup 7324  df-inf 7325  df-pnf 8362  df-mnf 8363  df-xr 8364  df-ltxr 8365  df-le 8366  df-sub 8499  df-neg 8500  df-reap 8903  df-ap 8910  df-div 9003  df-inn 9305  df-2 9363  df-3 9364  df-4 9365  df-n0 9564  df-z 9645  df-uz 9922  df-q 10020  df-rp 10055  df-xneg 10174  df-xadd 10175  df-seqfrec 10885  df-exp 10976  df-cj 11607  df-re 11608  df-im 11609  df-rsqrt 11764  df-abs 11765  df-rest 13595  df-topgen 13614  df-psmet 14880  df-xmet 14881  df-met 14882  df-bl 14883  df-mopn 14884  df-top 15099  df-topon 15112  df-bases 15144  df-cnp 15290  df-limced 15757

This theorem is used by:  dvcjbr  15809