ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  limccnpcntop GIF version

Theorem limccnpcntop 14786
Description: If the limit of 𝐹 at 𝐵 is 𝐶 and 𝐺 is continuous at 𝐶, then the limit of 𝐺𝐹 at 𝐵 is 𝐺(𝐶). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 18-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
limccnp.f (𝜑𝐹:𝐴𝐷)
limccnp.d (𝜑𝐷 ⊆ ℂ)
limccnpcntop.k 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
limccnp.j 𝐽 = (𝐾t 𝐷)
limccnp.c (𝜑𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
limccnp.b (𝜑𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐶))
Assertion
Ref Expression
limccnpcntop (𝜑 → (𝐺𝐶) ∈ ((𝐺𝐹) lim 𝐵))

Proof of Theorem limccnpcntop
Dummy variables 𝑝 𝑧 𝑑 𝑒 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccnp.j . . . . 5 𝐽 = (𝐾t 𝐷)
2 limccnpcntop.k . . . . . . 7 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
32cntoptopon 14657 . . . . . 6 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
4 limccnp.d . . . . . 6 (𝜑𝐷 ⊆ ℂ)
5 resttopon 14296 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → (𝐾t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
63, 4, 5sylancr 414 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
71, 6eqeltrid 2276 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝐷))
83a1i 9 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
9 limccnp.b . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐶))
10 cnpf2 14332 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐷) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐶)) → 𝐺:𝐷⟶ℂ)
117, 8, 9, 10syl3anc 1249 . . 3 (𝜑𝐺:𝐷⟶ℂ)
122cntoptop 14658 . . . . 5 𝐾 ∈ Top
1312a1i 9 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ Top)
14 cnprcl2k 14331 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐷) ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐶)) → 𝐶𝐷)
157, 13, 9, 14syl3anc 1249 . . 3 (𝜑𝐶𝐷)
1611, 15ffvelcdmd 5682 . 2 (𝜑 → (𝐺𝐶) ∈ ℂ)
17 cnxmet 14656 . . . . . . . 8 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
18 eqid 2189 . . . . . . . . 9 ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))
19 eqid 2189 . . . . . . . . 9 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)))
2018, 2, 19metrest 14631 . . . . . . . 8 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → (𝐾t 𝐷) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))))
2117, 4, 20sylancr 414 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾t 𝐷) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))))
221, 21eqtrid 2234 . . . . . 6 (𝜑𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))))
232a1i 9 . . . . . 6 (𝜑𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − )))
24 xmetres2 14504 . . . . . . 7 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ (∞Met‘𝐷))
2517, 4, 24sylancr 414 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ (∞Met‘𝐷))
2617a1i 9 . . . . . 6 (𝜑 → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
2722, 23, 25, 26, 15metcnpd 14645 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐶) ↔ (𝐺:𝐷⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℝ+𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒))))
289, 27mpbid 147 . . . 4 (𝜑 → (𝐺:𝐷⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℝ+𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)))
2928simprd 114 . . 3 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℝ+𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒))
30 simplll 533 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) → 𝜑)
31 simplr 528 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) → 𝑝 ∈ ℝ+)
32 limccnp.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
33 limccnp.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝐴𝐷)
3433, 4fssd 5404 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
3533fdmd 5398 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
36 limcrcl 14769 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
3732, 36syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
3837simp2d 1012 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
3935, 38eqsstrrd 3212 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
4037simp3d 1013 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4134, 39, 40ellimc3ap 14772 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑝 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)) < 𝑝))))
4232, 41mpbid 147 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑝 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)) < 𝑝)))
4342simprd 114 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)) < 𝑝))
4443r19.21bi 2578 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)) < 𝑝))
4530, 31, 44syl2anc 411 . . . . . 6 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)) < 𝑝))
46 oveq2 5914 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = (𝐹𝑧) → (𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) = (𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))(𝐹𝑧)))
4746breq1d 4035 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = (𝐹𝑧) → ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 ↔ (𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))(𝐹𝑧)) < 𝑝))
48 fveq2 5542 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = (𝐹𝑧) → (𝐺𝑤) = (𝐺‘(𝐹𝑧)))
4948oveq2d 5922 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = (𝐹𝑧) → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) = ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘(𝐹𝑧))))
5049breq1d 4035 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = (𝐹𝑧) → (((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒 ↔ ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘(𝐹𝑧))) < 𝑒))
5147, 50imbi12d 234 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = (𝐹𝑧) → (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒) ↔ ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))(𝐹𝑧)) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘(𝐹𝑧))) < 𝑒)))
52 simpllr 534 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒))
5333ad5antr 496 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐹:𝐴𝐷)
54 simpr 110 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧𝐴)
5553, 54ffvelcdmd 5682 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ 𝐷)
5651, 52, 55rspcdva 2865 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))(𝐹𝑧)) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘(𝐹𝑧))) < 𝑒))
5715ad5antr 496 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐶𝐷)
5857, 55ovresd 6047 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))(𝐹𝑧)) = (𝐶(abs ∘ − )(𝐹𝑧)))
5942simpld 112 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
6059ad5antr 496 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
614ad5antr 496 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐷 ⊆ ℂ)
6261, 55sseldd 3176 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
63 eqid 2189 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
6463cnmetdval 14654 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑧) ∈ ℂ) → (𝐶(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) = (abs‘(𝐶 − (𝐹𝑧))))
6560, 62, 64syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐶(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) = (abs‘(𝐶 − (𝐹𝑧))))
6660, 62abssubd 11311 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (abs‘(𝐶 − (𝐹𝑧))) = (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)))
6758, 65, 663eqtrd 2226 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))(𝐹𝑧)) = (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)))
6867breq1d 4035 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))(𝐹𝑧)) < 𝑝 ↔ (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)) < 𝑝))
6916ad5antr 496 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐺𝐶) ∈ ℂ)
7011ad5antr 496 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐺:𝐷⟶ℂ)
7170, 55ffvelcdmd 5682 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐺‘(𝐹𝑧)) ∈ ℂ)
7263cnmetdval 14654 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘(𝐹𝑧)) ∈ ℂ) → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘(𝐹𝑧))) = (abs‘((𝐺𝐶) − (𝐺‘(𝐹𝑧)))))
7369, 71, 72syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘(𝐹𝑧))) = (abs‘((𝐺𝐶) − (𝐺‘(𝐹𝑧)))))
74 fvco3 5616 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:𝐴𝐷𝑧𝐴) → ((𝐺𝐹)‘𝑧) = (𝐺‘(𝐹𝑧)))
7553, 54, 74syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝐹)‘𝑧) = (𝐺‘(𝐹𝑧)))
7675oveq2d 5922 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝐶) − ((𝐺𝐹)‘𝑧)) = ((𝐺𝐶) − (𝐺‘(𝐹𝑧))))
7776fveq2d 5546 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (abs‘((𝐺𝐶) − ((𝐺𝐹)‘𝑧))) = (abs‘((𝐺𝐶) − (𝐺‘(𝐹𝑧)))))
7875, 71eqeltrd 2266 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝐹)‘𝑧) ∈ ℂ)
7969, 78abssubd 11311 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (abs‘((𝐺𝐶) − ((𝐺𝐹)‘𝑧))) = (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑧) − (𝐺𝐶))))
8073, 77, 793eqtr2d 2228 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘(𝐹𝑧))) = (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑧) − (𝐺𝐶))))
8180breq1d 4035 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘(𝐹𝑧))) < 𝑒 ↔ (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑧) − (𝐺𝐶))) < 𝑒))
8256, 68, 813imtr3d 202 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)) < 𝑝 → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑧) − (𝐺𝐶))) < 𝑒))
8382imim2d 54 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)) < 𝑝) → ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑧) − (𝐺𝐶))) < 𝑒)))
8483ralimdva 2557 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (∀𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)) < 𝑝) → ∀𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑧) − (𝐺𝐶))) < 𝑒)))
8584reximdva 2592 . . . . . 6 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) → (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)) < 𝑝) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑧) − (𝐺𝐶))) < 𝑒)))
8645, 85mpd 13 . . . . 5 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑧) − (𝐺𝐶))) < 𝑒))
8786rexlimdva2 2610 . . . 4 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑝 ∈ ℝ+𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑧) − (𝐺𝐶))) < 𝑒)))
8887ralimdva 2557 . . 3 (𝜑 → (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℝ+𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑧) − (𝐺𝐶))) < 𝑒)))
8929, 88mpd 13 . 2 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑧) − (𝐺𝐶))) < 𝑒))
90 fco 5407 . . . 4 ((𝐺:𝐷⟶ℂ ∧ 𝐹:𝐴𝐷) → (𝐺𝐹):𝐴⟶ℂ)
9111, 33, 90syl2anc 411 . . 3 (𝜑 → (𝐺𝐹):𝐴⟶ℂ)
9291, 39, 40ellimc3ap 14772 . 2 (𝜑 → ((𝐺𝐶) ∈ ((𝐺𝐹) lim 𝐵) ↔ ((𝐺𝐶) ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑧) − (𝐺𝐶))) < 𝑒))))
9316, 89, 92mpbir2and 946 1 (𝜑 → (𝐺𝐶) ∈ ((𝐺𝐹) lim 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  w3a 980   = wceq 1364  wcel 2160  wral 2468  wrex 2469  wss 3149   class class class wbr 4025   × cxp 4649  dom cdm 4651  cres 4653  ccom 4655  wf 5238  cfv 5242  (class class class)co 5906  cc 7856   < clt 8040  cmin 8176   # cap 8586  +crp 9705  abscabs 11115  t crest 12824  ∞Metcxmet 13996  MetOpencmopn 14001  Topctop 14122  TopOnctopon 14135   CnP ccnp 14311   lim climc 14765
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2162  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-coll 4140  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4199  ax-pr 4234  ax-un 4458  ax-setind 4561  ax-iinf 4612  ax-cnex 7949  ax-resscn 7950  ax-1cn 7951  ax-1re 7952  ax-icn 7953  ax-addcl 7954  ax-addrcl 7955  ax-mulcl 7956  ax-mulrcl 7957  ax-addcom 7958  ax-mulcom 7959  ax-addass 7960  ax-mulass 7961  ax-distr 7962  ax-i2m1 7963  ax-0lt1 7964  ax-1rid 7965  ax-0id 7966  ax-rnegex 7967  ax-precex 7968  ax-cnre 7969  ax-pre-ltirr 7970  ax-pre-ltwlin 7971  ax-pre-lttrn 7972  ax-pre-apti 7973  ax-pre-ltadd 7974  ax-pre-mulgt0 7975  ax-pre-mulext 7976  ax-arch 7977  ax-caucvg 7978
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ne 2361  df-nel 2456  df-ral 2473  df-rex 2474  df-reu 2475  df-rmo 2476  df-rab 2477  df-v 2758  df-sbc 2982  df-csb 3077  df-dif 3151  df-un 3153  df-in 3155  df-ss 3162  df-nul 3443  df-if 3554  df-pw 3599  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3832  df-int 3867  df-iun 3910  df-br 4026  df-opab 4087  df-mpt 4088  df-tr 4124  df-id 4318  df-po 4321  df-iso 4322  df-iord 4391  df-on 4393  df-ilim 4394  df-suc 4396  df-iom 4615  df-xp 4657  df-rel 4658  df-cnv 4659  df-co 4660  df-dm 4661  df-rn 4662  df-res 4663  df-ima 4664  df-iota 5203  df-fun 5244  df-fn 5245  df-f 5246  df-f1 5247  df-fo 5248  df-f1o 5249  df-fv 5250  df-isom 5251  df-riota 5861  df-ov 5909  df-oprab 5910  df-mpo 5911  df-1st 6180  df-2nd 6181  df-recs 6345  df-frec 6431  df-map 6691  df-pm 6692  df-sup 7029  df-inf 7030  df-pnf 8042  df-mnf 8043  df-xr 8044  df-ltxr 8045  df-le 8046  df-sub 8178  df-neg 8179  df-reap 8580  df-ap 8587  df-div 8678  df-inn 8969  df-2 9027  df-3 9028  df-4 9029  df-n0 9227  df-z 9304  df-uz 9579  df-q 9671  df-rp 9706  df-xneg 9824  df-xadd 9825  df-seqfrec 10505  df-exp 10584  df-cj 10960  df-re 10961  df-im 10962  df-rsqrt 11116  df-abs 11117  df-rest 12826  df-topgen 12845  df-psmet 14003  df-xmet 14004  df-met 14005  df-bl 14006  df-mopn 14007  df-top 14123  df-topon 14136  df-bases 14168  df-cnp 14314  df-limced 14767
This theorem is referenced by:  dvcjbr  14814
  Copyright terms: Public domain W3C validator