Theorem limccnpcntop 14415

Description: If the limit of 𝐹 at 𝐵 is 𝐶 and 𝐺 is continuous at 𝐶, then the limit of 𝐺 ∘ 𝐹 at 𝐵 is 𝐺(𝐶). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 18-Jun-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
limccnp.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐷)
limccnp.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℂ)
limccnpcntop.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
limccnp.j	⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝐷)
limccnp.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
limccnp.b	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐶))

Assertion

Ref	Expression
limccnpcntop	⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐶) ∈ ((𝐺 ∘ 𝐹) limℂ 𝐵))

Proof of Theorem limccnpcntop

Dummy variables 𝑝 𝑧 𝑑 𝑒 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccnp.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = (𝐾 ↾t 𝐷)
2		limccnpcntop.k	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
3	2	cntoptopon 14303	. . . . . 6 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
4		limccnp.d	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ⊆ ℂ)
5		resttopon 13942	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → (𝐾 ↾t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
6	3, 4, 5	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
7	1, 6	eqeltrid 2274	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘𝐷))
8	3	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
9		limccnp.b	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐶))
10		cnpf2 13978	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐷) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐶)) → 𝐺:𝐷⟶ℂ)
11	7, 8, 9, 10	syl3anc 1248	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺:𝐷⟶ℂ)
12	2	cntoptop 14304	. . . . 5 ⊢ 𝐾 ∈ Top
13	12	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
14		cnprcl2k 13977	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐷) ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐶)) → 𝐶 ∈ 𝐷)
15	7, 13, 9, 14	syl3anc 1248	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝐷)
16	11, 15	ffvelcdmd 5665	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐶) ∈ ℂ)
17		cnxmet 14302	. . . . . . . 8 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
18		eqid 2187	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))
19		eqid 2187	. . . . . . . . 9 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)))
20	18, 2, 19	metrest 14277	. . . . . . . 8 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → (𝐾 ↾t 𝐷) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))))
21	17, 4, 20	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t 𝐷) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))))
22	1, 21	eqtrid 2232	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))))
23	2	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − )))
24		xmetres2 14150	. . . . . . 7 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ (∞Met‘𝐷))
25	17, 4, 24	sylancr 414	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ (∞Met‘𝐷))
26	17	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
27	22, 23, 25, 26, 15	metcnpd 14291	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐶) ↔ (𝐺:𝐷⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑝 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒))))
28	9, 27	mpbid 147	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐺:𝐷⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑝 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)))
29	28	simprd 114	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑝 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒))
30		simplll 533	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) → 𝜑)
31		simplr 528	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) → 𝑝 ∈ ℝ+)
32		limccnp.c	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵))
33		limccnp.f	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐷)
34	33, 4	fssd 5390	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶ℂ)
35	33	fdmd 5384	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
36		limcrcl 14398	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
37	32, 36	syl 14	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
38	37	simp2d 1011	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
39	35, 38	eqsstrrd 3204	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
40	37	simp3d 1012	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
41	34, 39, 40	ellimc3ap 14401	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 limℂ 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑝 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑝))))
42	32, 41	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑝 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑝)))
43	42	simprd 114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑝))
44	43	r19.21bi 2575	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑝))
45	30, 31, 44	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑝))
46		oveq2 5896	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = (𝐹‘𝑧) → (𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) = (𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))(𝐹‘𝑧)))
47	46	breq1d 4025	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = (𝐹‘𝑧) → ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 ↔ (𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))(𝐹‘𝑧)) < 𝑝))
48		fveq2 5527	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑤 = (𝐹‘𝑧) → (𝐺‘𝑤) = (𝐺‘(𝐹‘𝑧)))
49	48	oveq2d 5904	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑤 = (𝐹‘𝑧) → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) = ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘(𝐹‘𝑧))))
50	49	breq1d 4025	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑤 = (𝐹‘𝑧) → (((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒 ↔ ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘(𝐹‘𝑧))) < 𝑒))
51	47, 50	imbi12d 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑤 = (𝐹‘𝑧) → (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒) ↔ ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))(𝐹‘𝑧)) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘(𝐹‘𝑧))) < 𝑒)))
52		simpllr 534	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒))
53	33	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐹:𝐴⟶𝐷)
54		simpr 110	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝑧 ∈ 𝐴)
55	53, 54	ffvelcdmd 5665	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) ∈ 𝐷)
56	51, 52, 55	rspcdva 2858	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))(𝐹‘𝑧)) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘(𝐹‘𝑧))) < 𝑒))
57	15	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐷)
58	57, 55	ovresd 6028	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))(𝐹‘𝑧)) = (𝐶(abs ∘ − )(𝐹‘𝑧)))
59	42	simpld 112	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
60	59	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
61	4	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐷 ⊆ ℂ)
62	61, 55	sseldd 3168	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ)
63		eqid 2187	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
64	63	cnmetdval 14300	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐹‘𝑧) ∈ ℂ) → (𝐶(abs ∘ − )(𝐹‘𝑧)) = (abs‘(𝐶 − (𝐹‘𝑧))))
65	60, 62, 64	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐶(abs ∘ − )(𝐹‘𝑧)) = (abs‘(𝐶 − (𝐹‘𝑧))))
66	60, 62	abssubd 11215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (abs‘(𝐶 − (𝐹‘𝑧))) = (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)))
67	58, 65, 66	3eqtrd 2224	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))(𝐹‘𝑧)) = (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)))
68	67	breq1d 4025	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))(𝐹‘𝑧)) < 𝑝 ↔ (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑝))
69	16	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝐶) ∈ ℂ)
70	11	ad5antr 496	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → 𝐺:𝐷⟶ℂ)
71	70, 55	ffvelcdmd 5665	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝐺‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℂ)
72	63	cnmetdval 14300	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐺‘𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘(𝐹‘𝑧)) ∈ ℂ) → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘(𝐹‘𝑧))) = (abs‘((𝐺‘𝐶) − (𝐺‘(𝐹‘𝑧)))))
73	69, 71, 72	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘(𝐹‘𝑧))) = (abs‘((𝐺‘𝐶) − (𝐺‘(𝐹‘𝑧)))))
74		fvco3 5600	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐷 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) = (𝐺‘(𝐹‘𝑧)))
75	53, 54, 74	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) = (𝐺‘(𝐹‘𝑧)))
76	75	oveq2d 5904	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝐶) − ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧)) = ((𝐺‘𝐶) − (𝐺‘(𝐹‘𝑧))))
77	76	fveq2d 5531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐺‘𝐶) − ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧))) = (abs‘((𝐺‘𝐶) − (𝐺‘(𝐹‘𝑧)))))
78	75, 71	eqeltrd 2264	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) ∈ ℂ)
79	69, 78	abssubd 11215	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (abs‘((𝐺‘𝐶) − ((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧))) = (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))))
80	73, 77, 79	3eqtr2d 2226	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘(𝐹‘𝑧))) = (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))))
81	80	breq1d 4025	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘(𝐹‘𝑧))) < 𝑒 ↔ (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))) < 𝑒))
82	56, 68, 81	3imtr3d 202	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → ((abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑝 → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))) < 𝑒))
83	82	imim2d 54	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑝) → ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))) < 𝑒)))
84	83	ralimdva 2554	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑝) → ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))) < 𝑒)))
85	84	reximdva 2589	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) → (∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹‘𝑧) − 𝐶)) < 𝑝) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))) < 𝑒)))
86	45, 85	mpd 13	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))) < 𝑒))
87	86	rexlimdva2 2607	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑝 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))) < 𝑒)))
88	87	ralimdva 2554	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑝 ∈ ℝ+ ∀𝑤 ∈ 𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺‘𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘𝑤)) < 𝑒) → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))) < 𝑒)))
89	29, 88	mpd 13	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))) < 𝑒))
90		fco 5393	. . . 4 ⊢ ((𝐺:𝐷⟶ℂ ∧ 𝐹:𝐴⟶𝐷) → (𝐺 ∘ 𝐹):𝐴⟶ℂ)
91	11, 33, 90	syl2anc 411	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ∘ 𝐹):𝐴⟶ℂ)
92	91, 39, 40	ellimc3ap 14401	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐺‘𝐶) ∈ ((𝐺 ∘ 𝐹) limℂ 𝐵) ↔ ((𝐺‘𝐶) ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑧 ∈ 𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐺 ∘ 𝐹)‘𝑧) − (𝐺‘𝐶))) < 𝑒))))
93	16, 89, 92	mpbir2and 945	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺‘𝐶) ∈ ((𝐺 ∘ 𝐹) limℂ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 979   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  ∀wral 2465  ∃wrex 2466   ⊆ wss 3141   class class class wbr 4015   × cxp 4636  dom cdm 4638   ↾ cres 4640   ∘ ccom 4642  ⟶wf 5224  ‘cfv 5228  (class class class)co 5888  ℂcc 7822   < clt 8005   − cmin 8141   # cap 8551  ℝ⁺crp 9666  abscabs 11019   ↾_t crest 12705  ∞Metcxmet 13697  MetOpencmopn 13702  Topctop 13768  TopOnctopon 13781   CnP ccnp 13957   lim_ℂ climc 14394

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943  ax-caucvg 7944

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-frec 6405  df-map 6663  df-pm 6664  df-sup 6996  df-inf 6997  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-q 9633  df-rp 9667  df-xneg 9785  df-xadd 9786  df-seqfrec 10459  df-exp 10533  df-cj 10864  df-re 10865  df-im 10866  df-rsqrt 11020  df-abs 11021  df-rest 12707  df-topgen 12726  df-psmet 13704  df-xmet 13705  df-met 13706  df-bl 13707  df-mopn 13708  df-top 13769  df-topon 13782  df-bases 13814  df-cnp 13960  df-limced 14396

This theorem is referenced by:  dvcjbr  14443