Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  limccnpcntop GIF version

Theorem limccnpcntop 12850
 Description: If the limit of 𝐹 at 𝐵 is 𝐶 and 𝐺 is continuous at 𝐶, then the limit of 𝐺 ∘ 𝐹 at 𝐵 is 𝐺(𝐶). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 18-Jun-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
limccnp.f (𝜑𝐹:𝐴𝐷)
limccnp.d (𝜑𝐷 ⊆ ℂ)
limccnpcntop.k 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
limccnp.j 𝐽 = (𝐾t 𝐷)
limccnp.c (𝜑𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
limccnp.b (𝜑𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐶))
Assertion
Ref Expression
limccnpcntop (𝜑 → (𝐺𝐶) ∈ ((𝐺𝐹) lim 𝐵))

Proof of Theorem limccnpcntop
Dummy variables 𝑝 𝑧 𝑑 𝑒 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccnp.j . . . . 5 𝐽 = (𝐾t 𝐷)
2 limccnpcntop.k . . . . . . 7 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
32cntoptopon 12738 . . . . . 6 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
4 limccnp.d . . . . . 6 (𝜑𝐷 ⊆ ℂ)
5 resttopon 12377 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → (𝐾t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
63, 4, 5sylancr 411 . . . . 5 (𝜑 → (𝐾t 𝐷) ∈ (TopOn‘𝐷))
71, 6eqeltrid 2227 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘𝐷))
83a1i 9 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
9 limccnp.b . . . 4 (𝜑𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐶))
10 cnpf2 12413 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐷) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐶)) → 𝐺:𝐷⟶ℂ)
117, 8, 9, 10syl3anc 1217 . . 3 (𝜑𝐺:𝐷⟶ℂ)
122cntoptop 12739 . . . . 5 𝐾 ∈ Top
1312a1i 9 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ Top)
14 cnprcl2k 12412 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘𝐷) ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐶)) → 𝐶𝐷)
157, 13, 9, 14syl3anc 1217 . . 3 (𝜑𝐶𝐷)
1611, 15ffvelrnd 5563 . 2 (𝜑 → (𝐺𝐶) ∈ ℂ)
17 cnxmet 12737 . . . . . . . 8 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
18 eqid 2140 . . . . . . . . 9 ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))
19 eqid 2140 . . . . . . . . 9 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)))
2018, 2, 19metrest 12712 . . . . . . . 8 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → (𝐾t 𝐷) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))))
2117, 4, 20sylancr 411 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾t 𝐷) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))))
221, 21syl5eq 2185 . . . . . 6 (𝜑𝐽 = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))))
232a1i 9 . . . . . 6 (𝜑𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − )))
24 xmetres2 12585 . . . . . . 7 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝐷 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ (∞Met‘𝐷))
2517, 4, 24sylancr 411 . . . . . 6 (𝜑 → ((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷)) ∈ (∞Met‘𝐷))
2617a1i 9 . . . . . 6 (𝜑 → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
2722, 23, 25, 26, 15metcnpd 12726 . . . . 5 (𝜑 → (𝐺 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘𝐶) ↔ (𝐺:𝐷⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℝ+𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒))))
289, 27mpbid 146 . . . 4 (𝜑 → (𝐺:𝐷⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℝ+𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)))
2928simprd 113 . . 3 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℝ+𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒))
30 simplll 523 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) → 𝜑)
31 simplr 520 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) → 𝑝 ∈ ℝ+)
32 limccnp.c . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐵))
33 limccnp.f . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝐹:𝐴𝐷)
3433, 4fssd 5292 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐹:𝐴⟶ℂ)
3533fdmd 5286 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom 𝐹 = 𝐴)
36 limcrcl 12833 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐵) → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
3732, 36syl 14 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝐹:dom 𝐹⟶ℂ ∧ dom 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
3837simp2d 995 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → dom 𝐹 ⊆ ℂ)
3935, 38eqsstrrd 3138 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
4037simp3d 996 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
4134, 39, 40ellimc3ap 12836 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶 ∈ (𝐹 lim 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑝 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)) < 𝑝))))
4232, 41mpbid 146 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑝 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)) < 𝑝)))
4342simprd 113 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑝 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)) < 𝑝))
4443r19.21bi 2523 . . . . . . 7 ((𝜑𝑝 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)) < 𝑝))
4530, 31, 44syl2anc 409 . . . . . 6 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)) < 𝑝))
46 oveq2 5789 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = (𝐹𝑧) → (𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) = (𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))(𝐹𝑧)))
4746breq1d 3946 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = (𝐹𝑧) → ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 ↔ (𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))(𝐹𝑧)) < 𝑝))
48 fveq2 5428 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑤 = (𝐹𝑧) → (𝐺𝑤) = (𝐺‘(𝐹𝑧)))
4948oveq2d 5797 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑤 = (𝐹𝑧) → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) = ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘(𝐹𝑧))))
5049breq1d 3946 . . . . . . . . . . . 12 (𝑤 = (𝐹𝑧) → (((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒 ↔ ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘(𝐹𝑧))) < 𝑒))
5147, 50imbi12d 233 . . . . . . . . . . 11 (𝑤 = (𝐹𝑧) → (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒) ↔ ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))(𝐹𝑧)) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘(𝐹𝑧))) < 𝑒)))
52 simpllr 524 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒))
5333ad5antr 488 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐹:𝐴𝐷)
54 simpr 109 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → 𝑧𝐴)
5553, 54ffvelrnd 5563 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ 𝐷)
5651, 52, 55rspcdva 2797 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))(𝐹𝑧)) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘(𝐹𝑧))) < 𝑒))
5715ad5antr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐶𝐷)
5857, 55ovresd 5918 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))(𝐹𝑧)) = (𝐶(abs ∘ − )(𝐹𝑧)))
5942simpld 111 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
6059ad5antr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐶 ∈ ℂ)
614ad5antr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐷 ⊆ ℂ)
6261, 55sseldd 3102 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐹𝑧) ∈ ℂ)
63 eqid 2140 . . . . . . . . . . . . . 14 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
6463cnmetdval 12735 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ (𝐹𝑧) ∈ ℂ) → (𝐶(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) = (abs‘(𝐶 − (𝐹𝑧))))
6560, 62, 64syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐶(abs ∘ − )(𝐹𝑧)) = (abs‘(𝐶 − (𝐹𝑧))))
6660, 62abssubd 10996 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (abs‘(𝐶 − (𝐹𝑧))) = (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)))
6758, 65, 663eqtrd 2177 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))(𝐹𝑧)) = (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)))
6867breq1d 3946 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))(𝐹𝑧)) < 𝑝 ↔ (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)) < 𝑝))
6916ad5antr 488 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐺𝐶) ∈ ℂ)
7011ad5antr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → 𝐺:𝐷⟶ℂ)
7170, 55ffvelrnd 5563 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (𝐺‘(𝐹𝑧)) ∈ ℂ)
7263cnmetdval 12735 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐺𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐺‘(𝐹𝑧)) ∈ ℂ) → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘(𝐹𝑧))) = (abs‘((𝐺𝐶) − (𝐺‘(𝐹𝑧)))))
7369, 71, 72syl2anc 409 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘(𝐹𝑧))) = (abs‘((𝐺𝐶) − (𝐺‘(𝐹𝑧)))))
74 fvco3 5499 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝐹:𝐴𝐷𝑧𝐴) → ((𝐺𝐹)‘𝑧) = (𝐺‘(𝐹𝑧)))
7553, 54, 74syl2anc 409 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝐹)‘𝑧) = (𝐺‘(𝐹𝑧)))
7675oveq2d 5797 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝐶) − ((𝐺𝐹)‘𝑧)) = ((𝐺𝐶) − (𝐺‘(𝐹𝑧))))
7776fveq2d 5432 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (abs‘((𝐺𝐶) − ((𝐺𝐹)‘𝑧))) = (abs‘((𝐺𝐶) − (𝐺‘(𝐹𝑧)))))
7875, 71eqeltrd 2217 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝐹)‘𝑧) ∈ ℂ)
7969, 78abssubd 10996 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (abs‘((𝐺𝐶) − ((𝐺𝐹)‘𝑧))) = (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑧) − (𝐺𝐶))))
8073, 77, 793eqtr2d 2179 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘(𝐹𝑧))) = (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑧) − (𝐺𝐶))))
8180breq1d 3946 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺‘(𝐹𝑧))) < 𝑒 ↔ (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑧) − (𝐺𝐶))) < 𝑒))
8256, 68, 813imtr3d 201 . . . . . . . . 9 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → ((abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)) < 𝑝 → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑧) − (𝐺𝐶))) < 𝑒))
8382imim2d 54 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) ∧ 𝑧𝐴) → (((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)) < 𝑝) → ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑧) − (𝐺𝐶))) < 𝑒)))
8483ralimdva 2502 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ+) → (∀𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)) < 𝑝) → ∀𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑧) − (𝐺𝐶))) < 𝑒)))
8584reximdva 2537 . . . . . 6 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) → (∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝐹𝑧) − 𝐶)) < 𝑝) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑧) − (𝐺𝐶))) < 𝑒)))
8645, 85mpd 13 . . . . 5 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ 𝑝 ∈ ℝ+) ∧ ∀𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑧) − (𝐺𝐶))) < 𝑒))
8786rexlimdva2 2555 . . . 4 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → (∃𝑝 ∈ ℝ+𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑧) − (𝐺𝐶))) < 𝑒)))
8887ralimdva 2502 . . 3 (𝜑 → (∀𝑒 ∈ ℝ+𝑝 ∈ ℝ+𝑤𝐷 ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑤) < 𝑝 → ((𝐺𝐶)(abs ∘ − )(𝐺𝑤)) < 𝑒) → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑧) − (𝐺𝐶))) < 𝑒)))
8929, 88mpd 13 . 2 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑧) − (𝐺𝐶))) < 𝑒))
90 fco 5295 . . . 4 ((𝐺:𝐷⟶ℂ ∧ 𝐹:𝐴𝐷) → (𝐺𝐹):𝐴⟶ℂ)
9111, 33, 90syl2anc 409 . . 3 (𝜑 → (𝐺𝐹):𝐴⟶ℂ)
9291, 39, 40ellimc3ap 12836 . 2 (𝜑 → ((𝐺𝐶) ∈ ((𝐺𝐹) lim 𝐵) ↔ ((𝐺𝐶) ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑧𝐴 ((𝑧 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑧𝐵)) < 𝑑) → (abs‘(((𝐺𝐹)‘𝑧) − (𝐺𝐶))) < 𝑒))))
9316, 89, 92mpbir2and 929 1 (𝜑 → (𝐺𝐶) ∈ ((𝐺𝐹) lim 𝐵))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 963   = wceq 1332   ∈ wcel 1481  ∀wral 2417  ∃wrex 2418   ⊆ wss 3075   class class class wbr 3936   × cxp 4544  dom cdm 4546   ↾ cres 4548   ∘ ccom 4550  ⟶wf 5126  ‘cfv 5130  (class class class)co 5781  ℂcc 7641   < clt 7823   − cmin 7956   # cap 8366  ℝ+crp 9469  abscabs 10800   ↾t crest 12157  ∞Metcxmet 12186  MetOpencmopn 12191  Topctop 12201  TopOnctopon 12214   CnP ccnp 12392   limℂ climc 12829 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4050  ax-sep 4053  ax-nul 4061  ax-pow 4105  ax-pr 4138  ax-un 4362  ax-setind 4459  ax-iinf 4509  ax-cnex 7734  ax-resscn 7735  ax-1cn 7736  ax-1re 7737  ax-icn 7738  ax-addcl 7739  ax-addrcl 7740  ax-mulcl 7741  ax-mulrcl 7742  ax-addcom 7743  ax-mulcom 7744  ax-addass 7745  ax-mulass 7746  ax-distr 7747  ax-i2m1 7748  ax-0lt1 7749  ax-1rid 7750  ax-0id 7751  ax-rnegex 7752  ax-precex 7753  ax-cnre 7754  ax-pre-ltirr 7755  ax-pre-ltwlin 7756  ax-pre-lttrn 7757  ax-pre-apti 7758  ax-pre-ltadd 7759  ax-pre-mulgt0 7760  ax-pre-mulext 7761  ax-arch 7762  ax-caucvg 7763 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 817  df-dc 821  df-3or 964  df-3an 965  df-tru 1335  df-fal 1338  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ne 2310  df-nel 2405  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rmo 2425  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2913  df-csb 3007  df-dif 3077  df-un 3079  df-in 3081  df-ss 3088  df-nul 3368  df-if 3479  df-pw 3516  df-sn 3537  df-pr 3538  df-op 3540  df-uni 3744  df-int 3779  df-iun 3822  df-br 3937  df-opab 3997  df-mpt 3998  df-tr 4034  df-id 4222  df-po 4225  df-iso 4226  df-iord 4295  df-on 4297  df-ilim 4298  df-suc 4300  df-iom 4512  df-xp 4552  df-rel 4553  df-cnv 4554  df-co 4555  df-dm 4556  df-rn 4557  df-res 4558  df-ima 4559  df-iota 5095  df-fun 5132  df-fn 5133  df-f 5134  df-f1 5135  df-fo 5136  df-f1o 5137  df-fv 5138  df-isom 5139  df-riota 5737  df-ov 5784  df-oprab 5785  df-mpo 5786  df-1st 6045  df-2nd 6046  df-recs 6209  df-frec 6295  df-map 6551  df-pm 6552  df-sup 6878  df-inf 6879  df-pnf 7825  df-mnf 7826  df-xr 7827  df-ltxr 7828  df-le 7829  df-sub 7958  df-neg 7959  df-reap 8360  df-ap 8367  df-div 8456  df-inn 8744  df-2 8802  df-3 8803  df-4 8804  df-n0 9001  df-z 9078  df-uz 9350  df-q 9438  df-rp 9470  df-xneg 9588  df-xadd 9589  df-seqfrec 10249  df-exp 10323  df-cj 10645  df-re 10646  df-im 10647  df-rsqrt 10801  df-abs 10802  df-rest 12159  df-topgen 12178  df-psmet 12193  df-xmet 12194  df-met 12195  df-bl 12196  df-mopn 12197  df-top 12202  df-topon 12215  df-bases 12247  df-cnp 12395  df-limced 12831 This theorem is referenced by:  dvcjbr  12878
 Copyright terms: Public domain W3C validator