ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ringidss GIF version

Theorem ringidss 13165
Description: A subset of the multiplicative group has the multiplicative identity as its identity if the identity is in the subset. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ringidss.g 𝑀 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝐴)
ringidss.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringidss.u 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
ringidss ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → 1 = (0g𝑀))

Proof of Theorem ringidss
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2177 . 2 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
2 eqid 2177 . 2 (0g𝑀) = (0g𝑀)
3 eqid 2177 . 2 (+g𝑀) = (+g𝑀)
4 simp3 999 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → 1𝐴)
5 ringidss.g . . . . 5 𝑀 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝐴)
65a1i 9 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → 𝑀 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝐴))
7 eqid 2177 . . . . . 6 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
8 ringidss.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
97, 8mgpbasg 13089 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
1093ad2ant1 1018 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
117mgpex 13088 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ V)
12113ad2ant1 1018 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → (mulGrp‘𝑅) ∈ V)
13 simp2 998 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → 𝐴𝐵)
146, 10, 12, 13ressbas2d 12522 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → 𝐴 = (Base‘𝑀))
154, 14eleqtrd 2256 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → 1 ∈ (Base‘𝑀))
1614, 13eqsstrrd 3192 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → (Base‘𝑀) ⊆ 𝐵)
1716sselda 3155 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → 𝑦𝐵)
18 eqid 2177 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (.r𝑅)
197, 18mgpplusgg 13087 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
20193ad2ant1 1018 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
21 basfn 12514 . . . . . . . . . 10 Base Fn V
22 simp1 997 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → 𝑅 ∈ Ring)
2322elexd 2750 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → 𝑅 ∈ V)
24 funfvex 5532 . . . . . . . . . . 11 ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
2524funfni 5316 . . . . . . . . . 10 ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
2621, 23, 25sylancr 414 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → (Base‘𝑅) ∈ V)
278, 26eqeltrid 2264 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → 𝐵 ∈ V)
2827, 13ssexd 4143 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → 𝐴 ∈ V)
296, 20, 28, 12ressplusgd 12581 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → (.r𝑅) = (+g𝑀))
3029adantr 276 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (.r𝑅) = (+g𝑀))
3130oveqd 5891 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → ( 1 (.r𝑅)𝑦) = ( 1 (+g𝑀)𝑦))
32 ringidss.u . . . . . 6 1 = (1r𝑅)
338, 18, 32ringlidm 13159 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵) → ( 1 (.r𝑅)𝑦) = 𝑦)
34333ad2antl1 1159 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → ( 1 (.r𝑅)𝑦) = 𝑦)
3531, 34eqtr3d 2212 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → ( 1 (+g𝑀)𝑦) = 𝑦)
3617, 35syldan 282 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → ( 1 (+g𝑀)𝑦) = 𝑦)
3730oveqd 5891 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦(.r𝑅) 1 ) = (𝑦(+g𝑀) 1 ))
388, 18, 32ringridm 13160 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦(.r𝑅) 1 ) = 𝑦)
39383ad2antl1 1159 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦(.r𝑅) 1 ) = 𝑦)
4037, 39eqtr3d 2212 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦(+g𝑀) 1 ) = 𝑦)
4117, 40syldan 282 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑦(+g𝑀) 1 ) = 𝑦)
421, 2, 3, 15, 36, 41ismgmid2 12753 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → 1 = (0g𝑀))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  Vcvv 2737  wss 3129   Fn wfn 5211  cfv 5216  (class class class)co 5874  Basecbs 12456  s cress 12457  +gcplusg 12530  .rcmulr 12531  0gc0g 12695  mulGrpcmgp 13083  1rcur 13095  Ringcrg 13132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-ltxr 7995  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-ndx 12459  df-slot 12460  df-base 12462  df-sets 12463  df-iress 12464  df-plusg 12543  df-mulr 12544  df-0g 12697  df-mgm 12729  df-sgrp 12762  df-mnd 12772  df-mgp 13084  df-ur 13096  df-ring 13134
This theorem is referenced by:  unitgrpid  13240
  Copyright terms: Public domain W3C validator