ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ringidss GIF version

Theorem ringidss 13217
Description: A subset of the multiplicative group has the multiplicative identity as its identity if the identity is in the subset. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ringidss.g 𝑀 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝐴)
ringidss.b 𝐵 = (Base‘𝑅)
ringidss.u 1 = (1r𝑅)
Assertion
Ref Expression
ringidss ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → 1 = (0g𝑀))

Proof of Theorem ringidss
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2177 . 2 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
2 eqid 2177 . 2 (0g𝑀) = (0g𝑀)
3 eqid 2177 . 2 (+g𝑀) = (+g𝑀)
4 simp3 999 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → 1𝐴)
5 ringidss.g . . . . 5 𝑀 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝐴)
65a1i 9 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → 𝑀 = ((mulGrp‘𝑅) ↾s 𝐴))
7 eqid 2177 . . . . . 6 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
8 ringidss.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝑅)
97, 8mgpbasg 13141 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
1093ad2ant1 1018 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → 𝐵 = (Base‘(mulGrp‘𝑅)))
117mgpex 13140 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring → (mulGrp‘𝑅) ∈ V)
12113ad2ant1 1018 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → (mulGrp‘𝑅) ∈ V)
13 simp2 998 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → 𝐴𝐵)
146, 10, 12, 13ressbas2d 12530 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → 𝐴 = (Base‘𝑀))
154, 14eleqtrd 2256 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → 1 ∈ (Base‘𝑀))
1614, 13eqsstrrd 3194 . . . 4 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → (Base‘𝑀) ⊆ 𝐵)
1716sselda 3157 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → 𝑦𝐵)
18 eqid 2177 . . . . . . . . 9 (.r𝑅) = (.r𝑅)
197, 18mgpplusgg 13139 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring → (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
20193ad2ant1 1018 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅)))
21 basfn 12522 . . . . . . . . . 10 Base Fn V
22 simp1 997 . . . . . . . . . . 11 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → 𝑅 ∈ Ring)
2322elexd 2752 . . . . . . . . . 10 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → 𝑅 ∈ V)
24 funfvex 5534 . . . . . . . . . . 11 ((Fun Base ∧ 𝑅 ∈ dom Base) → (Base‘𝑅) ∈ V)
2524funfni 5318 . . . . . . . . . 10 ((Base Fn V ∧ 𝑅 ∈ V) → (Base‘𝑅) ∈ V)
2621, 23, 25sylancr 414 . . . . . . . . 9 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → (Base‘𝑅) ∈ V)
278, 26eqeltrid 2264 . . . . . . . 8 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → 𝐵 ∈ V)
2827, 13ssexd 4145 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → 𝐴 ∈ V)
296, 20, 28, 12ressplusgd 12589 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → (.r𝑅) = (+g𝑀))
3029adantr 276 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (.r𝑅) = (+g𝑀))
3130oveqd 5894 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → ( 1 (.r𝑅)𝑦) = ( 1 (+g𝑀)𝑦))
32 ringidss.u . . . . . 6 1 = (1r𝑅)
338, 18, 32ringlidm 13211 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵) → ( 1 (.r𝑅)𝑦) = 𝑦)
34333ad2antl1 1159 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → ( 1 (.r𝑅)𝑦) = 𝑦)
3531, 34eqtr3d 2212 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → ( 1 (+g𝑀)𝑦) = 𝑦)
3617, 35syldan 282 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → ( 1 (+g𝑀)𝑦) = 𝑦)
3730oveqd 5894 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦(.r𝑅) 1 ) = (𝑦(+g𝑀) 1 ))
388, 18, 32ringridm 13212 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦(.r𝑅) 1 ) = 𝑦)
39383ad2antl1 1159 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦(.r𝑅) 1 ) = 𝑦)
4037, 39eqtr3d 2212 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) ∧ 𝑦𝐵) → (𝑦(+g𝑀) 1 ) = 𝑦)
4117, 40syldan 282 . 2 (((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑦(+g𝑀) 1 ) = 𝑦)
421, 2, 3, 15, 36, 41ismgmid2 12804 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝐴𝐵1𝐴) → 1 = (0g𝑀))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  w3a 978   = wceq 1353  wcel 2148  Vcvv 2739  wss 3131   Fn wfn 5213  cfv 5218  (class class class)co 5877  Basecbs 12464  s cress 12465  +gcplusg 12538  .rcmulr 12539  0gc0g 12710  mulGrpcmgp 13135  1rcur 13147  Ringcrg 13184
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltadd 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-ltxr 7999  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-sets 12471  df-iress 12472  df-plusg 12551  df-mulr 12552  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-mgp 13136  df-ur 13148  df-ring 13186
This theorem is referenced by:  unitgrpid  13292
  Copyright terms: Public domain W3C validator