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Theorem islss3 13471
Description: A linear subspace of a module is a subset which is a module in its own right. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
islss3.x 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
islss3.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
islss3.s 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
islss3 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ↔ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)))
Proof of Theorem islss3
Dummy variables π‘Ž 𝑏 π‘₯ 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 islss3.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 islss3.s . . . 4 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š)
31, 2lssssg 13452 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
4 islss3.x . . . . . . 7 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ)
54a1i 9 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ))
61a1i 9 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š))
7 simpl 109 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LMod)
8 simpr 110 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
95, 6, 7, 8ressbas2d 12530 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ βŠ† 𝑉) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘‹))
103, 9syldan 282 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘‹))
114a1i 9 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ))
12 eqidd 2178 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š))
13 simpr 110 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
14 simpl 109 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘Š ∈ LMod)
1511, 12, 13, 14ressplusgd 12589 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘‹))
16 eqid 2177 . . . . 5 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
174, 16ressscag 12643 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘‹))
18 eqid 2177 . . . . 5 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
194, 18ressvscag 12644 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘‹))
20 eqidd 2178 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
21 eqidd 2178 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
22 eqidd 2178 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
23 eqidd 2178 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
2416lmodring 13390 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Ring)
2524adantr 276 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Ring)
262lsssubg 13469 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š))
274subggrp 13042 . . . . 5 (π‘ˆ ∈ (SubGrpβ€˜π‘Š) β†’ 𝑋 ∈ Grp)
2826, 27syl 14 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ Grp)
29 eqid 2177 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
3016, 18, 29, 2lssvscl 13467 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž) ∈ π‘ˆ)
31303impb 1199 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž) ∈ π‘ˆ)
32 simpll 527 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
33 simpr1 1003 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
343adantr 276 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
35 simpr2 1004 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Ž ∈ π‘ˆ)
3634, 35sseldd 3158 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Ž ∈ 𝑉)
37 simpr3 1005 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑏 ∈ π‘ˆ)
3834, 37sseldd 3158 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑏 ∈ 𝑉)
39 eqid 2177 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š)
401, 39, 16, 18, 29lmodvsdi 13406 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘Ž(+gβ€˜π‘Š)𝑏)) = ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏)))
4132, 33, 36, 38, 40syl13anc 1240 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ π‘ˆ ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘Ž(+gβ€˜π‘Š)𝑏)) = ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘Ž)(+gβ€˜π‘Š)(π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏)))
42 simpll 527 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
43 simpr1 1003 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
44 simpr2 1004 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
453adantr 276 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
46 simpr3 1005 . . . . . 6 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑏 ∈ π‘ˆ)
4745, 46sseldd 3158 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ 𝑏 ∈ 𝑉)
48 eqid 2177 . . . . . 6 (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
491, 39, 16, 18, 29, 48lmodvsdir 13407 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))π‘Ž)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏) = ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏)(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏)))
5042, 43, 44, 47, 49syl13anc 1240 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((π‘₯(+gβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))π‘Ž)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏) = ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏)(+gβ€˜π‘Š)(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏)))
51 eqid 2177 . . . . . 6 (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
521, 16, 18, 29, 51lmodvsass 13408 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))π‘Ž)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏)))
5342, 43, 44, 47, 52syl13anc 1240 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑏 ∈ π‘ˆ)) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))π‘Ž)( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏) = (π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘Ž( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑏)))
543sselda 3157 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘₯ ∈ 𝑉)
55 eqid 2177 . . . . . . 7 (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
561, 16, 18, 55lmodvs1 13411 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) = π‘₯)
5756adantlr 477 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ 𝑉) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) = π‘₯)
5854, 57syldan 282 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ ((1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))( ·𝑠 β€˜π‘Š)π‘₯) = π‘₯)
5910, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 28, 31, 41, 50, 53, 58islmodd 13388 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ 𝑋 ∈ LMod)
603, 59jca 306 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ 𝑆) β†’ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod))
61 simprl 529 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ π‘ˆ βŠ† 𝑉)
6261, 9syldan 282 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜π‘‹))
63 basfn 12522 . . . . . . . 8 Base Fn V
64 simprr 531 . . . . . . . . 9 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ 𝑋 ∈ LMod)
6564elexd 2752 . . . . . . . 8 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ 𝑋 ∈ V)
66 funfvex 5534 . . . . . . . . 9 ((Fun Base ∧ 𝑋 ∈ dom Base) β†’ (Baseβ€˜π‘‹) ∈ V)
6766funfni 5318 . . . . . . . 8 ((Base Fn V ∧ 𝑋 ∈ V) β†’ (Baseβ€˜π‘‹) ∈ V)
6863, 65, 67sylancr 414 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ (Baseβ€˜π‘‹) ∈ V)
6962, 68eqeltrd 2254 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ π‘ˆ ∈ V)
704, 16ressscag 12643 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ V) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘‹))
7169, 70syldan 282 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘‹))
7271eqcomd 2183 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ (Scalarβ€˜π‘‹) = (Scalarβ€˜π‘Š))
73 eqidd 2178 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)))
741a1i 9 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š))
754a1i 9 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ 𝑋 = (π‘Š β†Ύs π‘ˆ))
76 eqidd 2178 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘Š))
77 simpl 109 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ π‘Š ∈ LMod)
7875, 76, 69, 77ressplusgd 12589 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ (+gβ€˜π‘Š) = (+gβ€˜π‘‹))
7978eqcomd 2183 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ (+gβ€˜π‘‹) = (+gβ€˜π‘Š))
804, 18ressvscag 12644 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ π‘ˆ ∈ V) β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘‹))
8169, 80syldan 282 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘‹))
8281eqcomd 2183 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ ( ·𝑠 β€˜π‘‹) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š))
832a1i 9 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ 𝑆 = (LSubSpβ€˜π‘Š))
8462, 61eqsstrrd 3194 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ (Baseβ€˜π‘‹) βŠ† 𝑉)
85 lmodgrp 13389 . . . . . 6 (𝑋 ∈ LMod β†’ 𝑋 ∈ Grp)
8685ad2antll 491 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ 𝑋 ∈ Grp)
87 eqid 2177 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘‹) = (Baseβ€˜π‘‹)
88 eqid 2177 . . . . . 6 (0gβ€˜π‘‹) = (0gβ€˜π‘‹)
8987, 88grpidcl 12909 . . . . 5 (𝑋 ∈ Grp β†’ (0gβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘‹))
90 elex2 2755 . . . . 5 ((0gβ€˜π‘‹) ∈ (Baseβ€˜π‘‹) β†’ βˆƒπ‘— 𝑗 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))
9186, 89, 903syl 17 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ βˆƒπ‘— 𝑗 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))
9264adantr 276 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ 𝑋 ∈ LMod)
93 eqid 2177 . . . . . . 7 (LSubSpβ€˜π‘‹) = (LSubSpβ€˜π‘‹)
9487, 93lss1 13454 . . . . . 6 (𝑋 ∈ LMod β†’ (Baseβ€˜π‘‹) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‹))
9592, 94syl 14 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ (Baseβ€˜π‘‹) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‹))
96 simpr 110 . . . . 5 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‹)))
97 eqid 2177 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘‹) = (Scalarβ€˜π‘‹)
98 eqid 2177 . . . . . 6 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹))
99 eqid 2177 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘‹) = (+gβ€˜π‘‹)
100 eqid 2177 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜π‘‹) = ( ·𝑠 β€˜π‘‹)
10197, 98, 99, 100, 93lssclg 13456 . . . . 5 ((𝑋 ∈ LMod ∧ (Baseβ€˜π‘‹) ∈ (LSubSpβ€˜π‘‹) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘‹)π‘Ž)(+gβ€˜π‘‹)𝑏) ∈ (Baseβ€˜π‘‹))
10292, 95, 96, 101syl3anc 1238 . . . 4 (((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) ∧ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘‹)) ∧ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘‹) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜π‘‹))) β†’ ((π‘₯( ·𝑠 β€˜π‘‹)π‘Ž)(+gβ€˜π‘‹)𝑏) ∈ (Baseβ€˜π‘‹))
10372, 73, 74, 79, 82, 83, 84, 91, 102, 77islssmd 13451 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ (Baseβ€˜π‘‹) ∈ 𝑆)
10462, 103eqeltrd 2254 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) β†’ π‘ˆ ∈ 𝑆)
10560, 104impbida 596 1 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘ˆ ∈ 𝑆 ↔ (π‘ˆ βŠ† 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 978   = wceq 1353  βˆƒwex 1492   ∈ wcel 2148  Vcvv 2739   βŠ† wss 3131   Fn wfn 5213  β€˜cfv 5218  (class class class)co 5877  Basecbs 12464   β†Ύs cress 12465  +gcplusg 12538  .rcmulr 12539  Scalarcsca 12541   ·𝑠 cvsca 12542  0gc0g 12710  Grpcgrp 12882  SubGrpcsubg 13032  1rcur 13147  Ringcrg 13184  LModclmod 13382  LSubSpclss 13447
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-ltxr 7999  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-5 8983  df-6 8984  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-sets 12471  df-iress 12472  df-plusg 12551  df-mulr 12552  df-sca 12554  df-vsca 12555  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-grp 12885  df-minusg 12886  df-sbg 12887  df-subg 13035  df-mgp 13136  df-ur 13148  df-ring 13186  df-lmod 13384  df-lssm 13448
This theorem is referenced by:  lsslmod  13472  lsslss  13473
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