Theorem islss3 14458

Description: A linear subspace of a module is a subset which is a module in its own right. (Contributed by Stefan O'Rear, 6-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 30-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
islss3.x	⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
islss3.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
islss3.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
islss3	⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)))

Proof of Theorem islss3

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑥 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		islss3.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		islss3.s	. . . 4 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑊)
3	1, 2	lssssg 14439	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ⊆ 𝑉)
4		islss3.x	. . . . . . 7 ⊢ 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈)
5	4	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈))
6	1	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑉 = (Base‘𝑊))
7		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
8		simpr 110	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 ⊆ 𝑉)
9	5, 6, 7, 8	ressbas2d 13214	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ⊆ 𝑉) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
10	3, 9	syldan 282	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
11	4	a1i 9	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈))
12		eqidd 2232	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊))
13		simpr 110	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ 𝑆)
14		simpl 109	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑊 ∈ LMod)
15	11, 12, 13, 14	ressplusgd 13275	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (+g‘𝑊) = (+g‘𝑋))
16		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
17	4, 16	ressscag 13329	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
18		eqid 2231	. . . . 5 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
19	4, 18	ressvscag 13330	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑋))
20		eqidd 2232	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊)))
21		eqidd 2232	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊)))
22		eqidd 2232	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊)))
23		eqidd 2232	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊)))
24	16	lmodring 14374	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
25	24	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (Scalar‘𝑊) ∈ Ring)
26	2	lsssubg 14456	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊))
27	4	subggrp 13827	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ (SubGrp‘𝑊) → 𝑋 ∈ Grp)
28	26, 27	syl 14	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ Grp)
29		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
30	16, 18, 29, 2	lssvscl 14454	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎) ∈ 𝑈)
31	30	3impb 1226	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎) ∈ 𝑈)
32		simpll 527	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑊 ∈ LMod)
33		simpr1 1030	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
34	3	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ⊆ 𝑉)
35		simpr2 1031	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑎 ∈ 𝑈)
36	34, 35	sseldd 3229	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑎 ∈ 𝑉)
37		simpr3 1032	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑏 ∈ 𝑈)
38	34, 37	sseldd 3229	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑏 ∈ 𝑉)
39		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊)
40	1, 39, 16, 18, 29	lmodvsdi 14390	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑉 ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑎(+g‘𝑊)𝑏)) = ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏)))
41	32, 33, 36, 38, 40	syl13anc 1276	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ 𝑈 ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑎(+g‘𝑊)𝑏)) = ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑎)(+g‘𝑊)(𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏)))
42		simpll 527	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑊 ∈ LMod)
43		simpr1 1030	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
44		simpr2 1031	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
45	3	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑈 ⊆ 𝑉)
46		simpr3 1032	. . . . . 6 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑏 ∈ 𝑈)
47	45, 46	sseldd 3229	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → 𝑏 ∈ 𝑉)
48		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (+g‘(Scalar‘𝑊)) = (+g‘(Scalar‘𝑊))
49	1, 39, 16, 18, 29, 48	lmodvsdir 14391	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → ((𝑥(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑎)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏) = ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏)(+g‘𝑊)(𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏)))
50	42, 43, 44, 47, 49	syl13anc 1276	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → ((𝑥(+g‘(Scalar‘𝑊))𝑎)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏) = ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏)(+g‘𝑊)(𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏)))
51		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (.r‘(Scalar‘𝑊)) = (.r‘(Scalar‘𝑊))
52	1, 16, 18, 29, 51	lmodvsass 14392	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑉)) → ((𝑥(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑎)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏)))
53	42, 43, 44, 47, 52	syl13anc 1276	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑏 ∈ 𝑈)) → ((𝑥(.r‘(Scalar‘𝑊))𝑎)( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏) = (𝑥( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑎( ·𝑠 ‘𝑊)𝑏)))
54	3	sselda 3228	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → 𝑥 ∈ 𝑉)
55		eqid 2231	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
56	1, 16, 18, 55	lmodvs1 14395	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) = 𝑥)
57	56	adantlr 477	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) = 𝑥)
58	54, 57	syldan 282	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → ((1r‘(Scalar‘𝑊))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑥) = 𝑥)
59	10, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 28, 31, 41, 50, 53, 58	islmodd 14372	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → 𝑋 ∈ LMod)
60	3, 59	jca 306	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ 𝑆) → (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod))
61		simprl 531	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → 𝑈 ⊆ 𝑉)
62	61, 9	syldan 282	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → 𝑈 = (Base‘𝑋))
63		basfn 13204	. . . . . . . 8 ⊢ Base Fn V
64		simprr 533	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → 𝑋 ∈ LMod)
65	64	elexd 2817	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → 𝑋 ∈ V)
66		funfvex 5665	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun Base ∧ 𝑋 ∈ dom Base) → (Base‘𝑋) ∈ V)
67	66	funfni 5439	. . . . . . . 8 ⊢ ((Base Fn V ∧ 𝑋 ∈ V) → (Base‘𝑋) ∈ V)
68	63, 65, 67	sylancr 414	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → (Base‘𝑋) ∈ V)
69	62, 68	eqeltrd 2308	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → 𝑈 ∈ V)
70	4, 16	ressscag 13329	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ V) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
71	69, 70	syldan 282	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑋))
72	71	eqcomd 2237	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑊))
73		eqidd 2232	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → (Base‘(Scalar‘𝑋)) = (Base‘(Scalar‘𝑋)))
74	1	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → 𝑉 = (Base‘𝑊))
75	4	a1i 9	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → 𝑋 = (𝑊 ↾s 𝑈))
76		eqidd 2232	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → (+g‘𝑊) = (+g‘𝑊))
77		simpl 109	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → 𝑊 ∈ LMod)
78	75, 76, 69, 77	ressplusgd 13275	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → (+g‘𝑊) = (+g‘𝑋))
79	78	eqcomd 2237	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → (+g‘𝑋) = (+g‘𝑊))
80	4, 18	ressvscag 13330	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑈 ∈ V) → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑋))
81	69, 80	syldan 282	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑋))
82	81	eqcomd 2237	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → ( ·𝑠 ‘𝑋) = ( ·𝑠 ‘𝑊))
83	2	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → 𝑆 = (LSubSp‘𝑊))
84	62, 61	eqsstrrd 3265	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → (Base‘𝑋) ⊆ 𝑉)
85		lmodgrp 14373	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ LMod → 𝑋 ∈ Grp)
86	85	ad2antll 491	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → 𝑋 ∈ Grp)
87		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑋) = (Base‘𝑋)
88		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (0g‘𝑋) = (0g‘𝑋)
89	87, 88	grpidcl 13675	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ Grp → (0g‘𝑋) ∈ (Base‘𝑋))
90		elex2 2820	. . . . 5 ⊢ ((0g‘𝑋) ∈ (Base‘𝑋) → ∃𝑗 𝑗 ∈ (Base‘𝑋))
91	86, 89, 90	3syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → ∃𝑗 𝑗 ∈ (Base‘𝑋))
92	64	adantr 276	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑋))) → 𝑋 ∈ LMod)
93		eqid 2231	. . . . . . 7 ⊢ (LSubSp‘𝑋) = (LSubSp‘𝑋)
94	87, 93	lss1 14441	. . . . . 6 ⊢ (𝑋 ∈ LMod → (Base‘𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑋))
95	92, 94	syl 14	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑋))) → (Base‘𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑋))
96		simpr 110	. . . . 5 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑋))) → (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑋)))
97		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑋) = (Scalar‘𝑋)
98		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑋)) = (Base‘(Scalar‘𝑋))
99		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑋) = (+g‘𝑋)
100		eqid 2231	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑋) = ( ·𝑠 ‘𝑋)
101	97, 98, 99, 100, 93	lssclg 14443	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ LMod ∧ (Base‘𝑋) ∈ (LSubSp‘𝑋) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑋))) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑋)𝑎)(+g‘𝑋)𝑏) ∈ (Base‘𝑋))
102	92, 95, 96, 101	syl3anc 1274	. . . 4 ⊢ (((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) ∧ (𝑥 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑋)) ∧ 𝑎 ∈ (Base‘𝑋) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑋))) → ((𝑥( ·𝑠 ‘𝑋)𝑎)(+g‘𝑋)𝑏) ∈ (Base‘𝑋))
103	72, 73, 74, 79, 82, 83, 84, 91, 102, 77	islssmd 14438	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → (Base‘𝑋) ∈ 𝑆)
104	62, 103	eqeltrd 2308	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)) → 𝑈 ∈ 𝑆)
105	60, 104	impbida 600	1 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑈 ∈ 𝑆 ↔ (𝑈 ⊆ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ LMod)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 1005   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2202  Vcvv 2803   ⊆ wss 3201   Fn wfn 5328  ‘cfv 5333  (class class class)co 6028  Basecbs 13145   ↾_s cress 13146  +_gcplusg 13223  ._rcmulr 13224  Scalarcsca 13226   ·_𝑠 cvsca 13227  0_gc0g 13402  Grpcgrp 13646  SubGrpcsubg 13817  1_rcur 14036  Ringcrg 14073  LModclmod 14366  LSubSpclss 14431

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-coll 4209  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536  ax-setind 4641  ax-cnex 8166  ax-resscn 8167  ax-1cn 8168  ax-1re 8169  ax-icn 8170  ax-addcl 8171  ax-addrcl 8172  ax-mulcl 8173  ax-addcom 8175  ax-addass 8177  ax-i2m1 8180  ax-0lt1 8181  ax-0id 8183  ax-rnegex 8184  ax-pre-ltirr 8187  ax-pre-lttrn 8189  ax-pre-ltadd 8191

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ne 2404  df-nel 2499  df-ral 2516  df-rex 2517  df-reu 2518  df-rmo 2519  df-rab 2520  df-v 2805  df-sbc 3033  df-csb 3129  df-dif 3203  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-nul 3497  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-int 3934  df-iun 3977  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-rn 4742  df-res 4743  df-ima 4744  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fn 5336  df-f 5337  df-f1 5338  df-fo 5339  df-f1o 5340  df-fv 5341  df-riota 5981  df-ov 6031  df-oprab 6032  df-mpo 6033  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-pnf 8258  df-mnf 8259  df-ltxr 8261  df-inn 9186  df-2 9244  df-3 9245  df-4 9246  df-5 9247  df-6 9248  df-ndx 13148  df-slot 13149  df-base 13151  df-sets 13152  df-iress 13153  df-plusg 13236  df-mulr 13237  df-sca 13239  df-vsca 13240  df-0g 13404  df-mgm 13502  df-sgrp 13548  df-mnd 13563  df-grp 13649  df-minusg 13650  df-sbg 13651  df-subg 13820  df-mgp 13998  df-ur 14037  df-ring 14075  df-lmod 14368  df-lssm 14432

This theorem is referenced by:  lsslmod  14459  lsslss  14460