Theorem sseqtrd 3222

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseqtrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
sseqtrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sseqtrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem sseqtrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqtrd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		sseqtrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)
3	2	sseq2d 3214	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐶))
4	1, 3	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ⊆ wss 3157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-11 1520  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-in 3163  df-ss 3170

This theorem is referenced by:  sseqtrrd  3223  fssdmd  5424  resasplitss  5440  nnaword2  6581  erssxp  6624  phpm  6935  nninfninc  7198  nnnninfeq  7203  ioodisj  10085  subsubm  13185  subsubg  13403  trivsubgd  13406  trivnsgd  13423  subsubrng  13846  subrgugrp  13872  subsubrg  13877  islssmd  13991  lspun  14034  lspssp  14035  lsslsp  14061  tgcl  14384  basgen  14400  bastop1  14403  bastop2  14404  clsss2  14449  topssnei  14482  cnntr  14545  txbasval  14587  neitx  14588  cnmpt1res  14616  cnmpt2res  14617  imasnopn  14619  hmeontr  14633  tgioo  14874  reldvg  14999  dvfvalap  15001  dvbss  15005  dvcnp2cntop  15019  dvaddxxbr  15021  dvmulxxbr  15022  dvcj  15029