Theorem sseqtrd 3265

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseqtrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
sseqtrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sseqtrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem sseqtrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqtrd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		sseqtrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)
3	2	sseq2d 3257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐶))
4	1, 3	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ⊆ wss 3200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-11 1554  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-in 3206  df-ss 3213

This theorem is referenced by:  sseqtrrd  3266  fssdmd  5496  resasplitss  5516  nnaword2  6681  erssxp  6724  phpm  7051  nninfninc  7321  nnnninfeq  7326  ioodisj  10227  subsubm  13565  subsubg  13783  trivsubgd  13786  trivnsgd  13803  subsubrng  14227  subrgugrp  14253  subsubrg  14258  islssmd  14372  lspun  14415  lspssp  14416  lsslsp  14442  tgcl  14787  basgen  14803  bastop1  14806  bastop2  14807  clsss2  14852  topssnei  14885  cnntr  14948  txbasval  14990  neitx  14991  cnmpt1res  15019  cnmpt2res  15020  imasnopn  15022  hmeontr  15036  tgioo  15277  reldvg  15402  dvfvalap  15404  dvbss  15408  dvcnp2cntop  15422  dvaddxxbr  15424  dvmulxxbr  15425  dvcj  15432  vtxdumgrfival  16148