Theorem sseqtrd 3222

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseqtrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
sseqtrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sseqtrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem sseqtrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqtrd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		sseqtrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)
3	2	sseq2d 3214	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐶))
4	1, 3	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ⊆ wss 3157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-11 1520  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-ext 2178

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1475  df-sb 1777  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-in 3163  df-ss 3170

This theorem is referenced by:  sseqtrrd  3223  fssdmd  5424  resasplitss  5440  nnaword2  6581  erssxp  6624  phpm  6935  nninfninc  7198  nnnninfeq  7203  ioodisj  10087  subsubm  13187  subsubg  13405  trivsubgd  13408  trivnsgd  13425  subsubrng  13848  subrgugrp  13874  subsubrg  13879  islssmd  13993  lspun  14036  lspssp  14037  lsslsp  14063  tgcl  14408  basgen  14424  bastop1  14427  bastop2  14428  clsss2  14473  topssnei  14506  cnntr  14569  txbasval  14611  neitx  14612  cnmpt1res  14640  cnmpt2res  14641  imasnopn  14643  hmeontr  14657  tgioo  14898  reldvg  15023  dvfvalap  15025  dvbss  15029  dvcnp2cntop  15043  dvaddxxbr  15045  dvmulxxbr  15046  dvcj  15053