Theorem sseqtrd 3265

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseqtrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
sseqtrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sseqtrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem sseqtrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqtrd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		sseqtrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)
3	2	sseq2d 3257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐶))
4	1, 3	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1397   ⊆ wss 3200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-11 1554  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-in 3206  df-ss 3213

This theorem is referenced by:  sseqtrrd  3266  fssdmd  5496  resasplitss  5516  nnaword2  6682  erssxp  6725  phpm  7052  nninfninc  7322  nnnninfeq  7327  ioodisj  10228  subsubm  13571  subsubg  13789  trivsubgd  13792  trivnsgd  13809  subsubrng  14234  subrgugrp  14260  subsubrg  14265  islssmd  14379  lspun  14422  lspssp  14423  lsslsp  14449  tgcl  14794  basgen  14810  bastop1  14813  bastop2  14814  clsss2  14859  topssnei  14892  cnntr  14955  txbasval  14997  neitx  14998  cnmpt1res  15026  cnmpt2res  15027  imasnopn  15029  hmeontr  15043  tgioo  15284  reldvg  15409  dvfvalap  15411  dvbss  15415  dvcnp2cntop  15429  dvaddxxbr  15431  dvmulxxbr  15432  dvcj  15439  vtxdumgrfival  16155