Theorem sseqtrd 3217

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseqtrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
sseqtrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sseqtrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem sseqtrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqtrd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		sseqtrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)
3	2	sseq2d 3209	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐶))
4	1, 3	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ⊆ wss 3153

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-11 1517  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-in 3159  df-ss 3166

This theorem is referenced by:  sseqtrrd  3218  fssdmd  5417  resasplitss  5433  nnaword2  6567  erssxp  6610  phpm  6921  nninfninc  7182  nnnninfeq  7187  ioodisj  10059  subsubm  13055  subsubg  13267  trivsubgd  13270  trivnsgd  13287  subsubrng  13710  subrgugrp  13736  subsubrg  13741  islssmd  13855  lspun  13898  lspssp  13899  lsslsp  13925  tgcl  14232  basgen  14248  bastop1  14251  bastop2  14252  clsss2  14297  topssnei  14330  cnntr  14393  txbasval  14435  neitx  14436  cnmpt1res  14464  cnmpt2res  14465  imasnopn  14467  hmeontr  14481  tgioo  14714  reldvg  14833  dvfvalap  14835  dvbss  14839  dvcnp2cntop  14848  dvaddxxbr  14850  dvmulxxbr  14851  dvcj  14858