Theorem sseqtrd 3276

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseqtrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
sseqtrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sseqtrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem sseqtrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqtrd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		sseqtrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)
3	2	sseq2d 3268	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐶))
4	1, 3	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ⊆ wss 3211

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-11 1555  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-in 3217  df-ss 3224

This theorem is referenced by:  sseqtrrd  3277  fssdmd  5523  resasplitss  5544  nnaword2  6747  erssxp  6790  phpm  7120  nninfninc  7414  nnnninfeq  7419  ioodisj  10326  subsubm  13696  subsubg  13914  trivsubgd  13917  trivnsgd  13934  subsubrng  14359  subrgugrp  14385  subsubrg  14390  islssmd  14507  lspun  14550  lspssp  14551  lsslsp  14577  tgcl  14929  basgen  14945  bastop1  14948  bastop2  14949  clsss2  14994  topssnei  15027  cnntr  15090  txbasval  15132  neitx  15133  cnmpt1res  15161  cnmpt2res  15162  imasnopn  15164  hmeontr  15178  tgioo  15419  reldvg  15544  dvfvalap  15546  dvbss  15550  dvcnp2cntop  15564  dvaddxxbr  15566  dvmulxxbr  15567  dvcj  15574  vtxdumgrfival  16293