Theorem sseqtrd 3195

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseqtrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
sseqtrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sseqtrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem sseqtrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqtrd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		sseqtrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)
3	2	sseq2d 3187	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐶))
4	1, 3	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ⊆ wss 3131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-11 1506  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-in 3137  df-ss 3144

This theorem is referenced by:  sseqtrrd  3196  fssdmd  5381  resasplitss  5397  nnaword2  6517  erssxp  6560  phpm  6867  nnnninfeq  7128  ioodisj  9995  subsubg  13062  trivsubgd  13065  trivnsgd  13082  subrgugrp  13366  subsubrg  13371  islssmd  13451  lspun  13493  lspssp  13494  lsslsp  13520  tgcl  13649  basgen  13665  bastop1  13668  bastop2  13669  clsss2  13714  topssnei  13747  cnntr  13810  txbasval  13852  neitx  13853  cnmpt1res  13881  cnmpt2res  13882  imasnopn  13884  hmeontr  13898  tgioo  14131  reldvg  14233  dvfvalap  14235  dvbss  14239  dvcnp2cntop  14248  dvaddxxbr  14250  dvmulxxbr  14251  dvcj  14258