Theorem sseqtrd 3286

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseqtrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
sseqtrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sseqtrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem sseqtrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqtrd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		sseqtrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)
3	2	sseq2d 3278	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐶))
4	1, 3	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ⊆ wss 3220

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is used by:  sseqtrrd  3287  fssdmd  5551  resasplitss  5572  nnaword2  6792  erssxp  6835  phpm  7173  nninfninc  7469  nnnninfeq  7474  ioodisj  10411  subsubm  13848  subsubg  14058  trivsubgd  14061  trivnsgd  14078  subsubrng  14630  subrgugrp  14656  subsubrg  14661  islssmd  14804  lspun  14847  lspssp  14848  lsslsp  14874  tgcl  15307  basgen  15323  bastop1  15326  bastop2  15327  clsss2  15372  topssnei  15405  cnntr  15468  txbasval  15510  neitx  15511  cnmpt1res  15539  cnmpt2res  15540  imasnopn  15542  hmeontr  15556  tgioo  15797  reldvg  15922  dvfvalap  15924  dvbss  15928  dvcnp2cntop  15942  dvaddxxbr  15944  dvmulxxbr  15945  dvcj  15952  vtxdumgrfival  16761