Theorem sseqtrd 3218

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseqtrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
sseqtrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sseqtrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem sseqtrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqtrd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		sseqtrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)
3	2	sseq2d 3210	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐶))
4	1, 3	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ⊆ wss 3154

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-11 1517  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2175

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-in 3160  df-ss 3167

This theorem is referenced by:  sseqtrrd  3219  fssdmd  5418  resasplitss  5434  nnaword2  6569  erssxp  6612  phpm  6923  nninfninc  7184  nnnninfeq  7189  ioodisj  10062  subsubm  13058  subsubg  13270  trivsubgd  13273  trivnsgd  13290  subsubrng  13713  subrgugrp  13739  subsubrg  13744  islssmd  13858  lspun  13901  lspssp  13902  lsslsp  13928  tgcl  14243  basgen  14259  bastop1  14262  bastop2  14263  clsss2  14308  topssnei  14341  cnntr  14404  txbasval  14446  neitx  14447  cnmpt1res  14475  cnmpt2res  14476  imasnopn  14478  hmeontr  14492  tgioo  14733  reldvg  14858  dvfvalap  14860  dvbss  14864  dvcnp2cntop  14878  dvaddxxbr  14880  dvmulxxbr  14881  dvcj  14888