Theorem sseqtrd 3286

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseqtrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
sseqtrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sseqtrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem sseqtrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqtrd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		sseqtrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)
3	2	sseq2d 3278	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐶))
4	1, 3	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   ⊆ wss 3220

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-11 1559  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-in 3226  df-ss 3233

This theorem is referenced by:  sseqtrrd  3287  fssdmd  5543  resasplitss  5564  nnaword2  6777  erssxp  6820  phpm  7157  nninfninc  7453  nnnninfeq  7458  ioodisj  10374  subsubm  13767  subsubg  13977  trivsubgd  13980  trivnsgd  13997  subsubrng  14495  subrgugrp  14521  subsubrg  14526  islssmd  14668  lspun  14711  lspssp  14712  lsslsp  14738  tgcl  15088  basgen  15104  bastop1  15107  bastop2  15108  clsss2  15153  topssnei  15186  cnntr  15249  txbasval  15291  neitx  15292  cnmpt1res  15320  cnmpt2res  15321  imasnopn  15323  hmeontr  15337  tgioo  15578  reldvg  15703  dvfvalap  15705  dvbss  15709  dvcnp2cntop  15723  dvaddxxbr  15725  dvmulxxbr  15726  dvcj  15733  vtxdumgrfival  16453