Theorem sseqtrd 3208

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseqtrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
sseqtrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sseqtrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem sseqtrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqtrd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		sseqtrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)
3	2	sseq2d 3200	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐶))
4	1, 3	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ⊆ wss 3144

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-11 1517  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-ext 2171

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1472  df-sb 1774  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-in 3150  df-ss 3157

This theorem is referenced by:  sseqtrrd  3209  fssdmd  5398  resasplitss  5414  nnaword2  6539  erssxp  6582  phpm  6893  nnnninfeq  7156  ioodisj  10023  subsubm  12935  subsubg  13136  trivsubgd  13139  trivnsgd  13156  subsubrng  13561  subrgugrp  13587  subsubrg  13592  islssmd  13675  lspun  13718  lspssp  13719  lsslsp  13745  tgcl  14024  basgen  14040  bastop1  14043  bastop2  14044  clsss2  14089  topssnei  14122  cnntr  14185  txbasval  14227  neitx  14228  cnmpt1res  14256  cnmpt2res  14257  imasnopn  14259  hmeontr  14273  tgioo  14506  reldvg  14608  dvfvalap  14610  dvbss  14614  dvcnp2cntop  14623  dvaddxxbr  14625  dvmulxxbr  14626  dvcj  14633