Theorem sseqtrd 3266

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseqtrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
sseqtrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sseqtrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem sseqtrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqtrd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		sseqtrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)
3	2	sseq2d 3258	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐶))
4	1, 3	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1398   ⊆ wss 3201

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-11 1555  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-in 3207  df-ss 3214

This theorem is referenced by:  sseqtrrd  3267  fssdmd  5503  resasplitss  5524  nnaword2  6725  erssxp  6768  phpm  7095  nninfninc  7365  nnnninfeq  7370  ioodisj  10272  subsubm  13629  subsubg  13847  trivsubgd  13850  trivnsgd  13867  subsubrng  14292  subrgugrp  14318  subsubrg  14323  islssmd  14438  lspun  14481  lspssp  14482  lsslsp  14508  tgcl  14858  basgen  14874  bastop1  14877  bastop2  14878  clsss2  14923  topssnei  14956  cnntr  15019  txbasval  15061  neitx  15062  cnmpt1res  15090  cnmpt2res  15091  imasnopn  15093  hmeontr  15107  tgioo  15348  reldvg  15473  dvfvalap  15475  dvbss  15479  dvcnp2cntop  15493  dvaddxxbr  15495  dvmulxxbr  15496  dvcj  15503  vtxdumgrfival  16222