Theorem sseqtrd 3195

Description: Substitution of equality into a subclass relationship. (Contributed by NM, 25-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
sseqtrd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
sseqtrd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
sseqtrd	⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Proof of Theorem sseqtrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseqtrd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐵)
2		sseqtrd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = 𝐶)
3	2	sseq2d 3187	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ⊆ 𝐵 ↔ 𝐴 ⊆ 𝐶))
4	1, 3	mpbid 147	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ⊆ wss 3131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-11 1506  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-in 3137  df-ss 3144

This theorem is referenced by:  sseqtrrd  3196  fssdmd  5381  resasplitss  5397  nnaword2  6517  erssxp  6560  phpm  6867  nnnninfeq  7128  ioodisj  9995  subsubg  13062  trivsubgd  13065  trivnsgd  13082  subrgugrp  13366  subsubrg  13371  islssmd  13451  tgcl  13603  basgen  13619  bastop1  13622  bastop2  13623  clsss2  13668  topssnei  13701  cnntr  13764  txbasval  13806  neitx  13807  cnmpt1res  13835  cnmpt2res  13836  imasnopn  13838  hmeontr  13852  tgioo  14085  reldvg  14187  dvfvalap  14189  dvbss  14193  dvcnp2cntop  14202  dvaddxxbr  14204  dvmulxxbr  14205  dvcj  14212