Theorem limccnp2lem 12814

Description: Lemma for limccnp2cntop 12815. This is most of the result, expressed in epsilon-delta form, with a large number of hypotheses so that lengthy expressions do not need to be repeated. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
limccnp2.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ 𝑋)
limccnp2.s	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 ∈ 𝑌)
limccnp2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
limccnp2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℂ)
limccnp2cntop.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
limccnp2.j	⊢ 𝐽 = ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌))
limccnp2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) limℂ 𝐵))
limccnp2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑆) limℂ 𝐵))
limccnp2.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩))
limccnp2lem.nf	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
limccnp2lem.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
limccnp2lem.j	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ+)
limccnp2lem.rs	⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝐿) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝐸))
limccnp2lem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℝ+)
limccnp2lem.fj	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝐹) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝐿))
limccnp2lem.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ+)
limccnp2lem.gj	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝐺) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝐿))

Assertion

Ref	Expression
limccnp2lem	⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))) < 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐻   𝑥,𝑋   𝑥,𝐴   𝑥,𝑌   𝐴,𝑑   𝐵,𝑑   𝐶,𝑑,𝑟,𝑠   𝐷,𝑑,𝑟,𝑠   𝐸,𝑑,𝑟,𝑠   𝐹,𝑑,𝑥   𝐺,𝑑,𝑥   𝐻,𝑑,𝑟,𝑠   𝐿,𝑟,𝑠   𝑅,𝑑,𝑟,𝑠   𝑆,𝑑,𝑠   𝑋,𝑟,𝑠   𝑌,𝑟,𝑠

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑠,𝑟,𝑑)   𝐴(𝑠,𝑟)   𝐵(𝑠,𝑟)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑟)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑠,𝑟)   𝐺(𝑠,𝑟)   𝐽(𝑥,𝑠,𝑟,𝑑)   𝐾(𝑥,𝑠,𝑟,𝑑)   𝐿(𝑥,𝑑)   𝑋(𝑑)   𝑌(𝑑)

Proof of Theorem limccnp2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccnp2lem.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℝ+)
2		limccnp2lem.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ+)
3		rpmincl 11009	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ ℝ+ ∧ 𝐺 ∈ ℝ+) → inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 408	. 2 ⊢ (𝜑 → inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
5		limccnp2lem.nf	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
6		limccnp2.j	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐽 = ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌))
7		limccnp2cntop.k	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
8	7	cntoptopon 12701	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
9		txtopon 12431	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐾 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ)))
10	8, 8, 9	mp2an 422	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ))
11		limccnp2.x	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
12		limccnp2.y	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℂ)
13		xpss12 4646	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ⊆ ℂ ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → (𝑋 × 𝑌) ⊆ (ℂ × ℂ))
14	11, 12, 13	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ⊆ (ℂ × ℂ))
15		resttopon 12340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ)) ∧ (𝑋 × 𝑌) ⊆ (ℂ × ℂ)) → ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌)) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
16	10, 14, 15	sylancr 410	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌)) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
17	6, 16	eqeltrid 2226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
18	8	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
19		limccnp2.h	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩))
20		cnpf2 12376	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐻 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩)) → 𝐻:(𝑋 × 𝑌)⟶ℂ)
21	17, 18, 19, 20	syl3anc 1216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(𝑋 × 𝑌)⟶ℂ)
22	21	ad2antrr 479	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝐻:(𝑋 × 𝑌)⟶ℂ)
23	7	cntoptop 12702	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐾 ∈ Top
24	23	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
25		txtop 12429	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → (𝐾 ×t 𝐾) ∈ Top)
26	23, 24, 25	sylancr 410	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ×t 𝐾) ∈ Top)
27		cnex 7744	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ℂ ∈ V
28	27	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
29	28, 11	ssexd 4068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
30	28, 12	ssexd 4068	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ V)
31		xpexg 4653	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝑋 × 𝑌) ∈ V)
32	29, 30, 31	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ∈ V)
33		resttop 12339	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ×t 𝐾) ∈ Top ∧ (𝑋 × 𝑌) ∈ V) → ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌)) ∈ Top)
34	26, 32, 33	syl2anc 408	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌)) ∈ Top)
35	6, 34	eqeltrid 2226	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
36		toptopon2 12186	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
37	35, 36	sylib 121	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
38		cnprcl2k 12375	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐻 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩)) → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ ∪ 𝐽)
39	37, 24, 19, 38	syl3anc 1216	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ ∪ 𝐽)
40		toponuni 12182	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)) → (𝑋 × 𝑌) = ∪ 𝐽)
41	17, 40	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = ∪ 𝐽)
42	39, 41	eleqtrrd 2219	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
43		opelxp 4569	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌) ↔ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌))
44	42, 43	sylib 121	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌))
45	44	simpld 111	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
46	45	ad2antrr 479	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝐶 ∈ 𝑋)
47	44	simprd 113	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
48	47	ad2antrr 479	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝐷 ∈ 𝑌)
49	22, 46, 48	fovrnd 5915	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝐶𝐻𝐷) ∈ ℂ)
50		simpl 108	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
51		limccnp2.r	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ 𝑋)
52	50, 51	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝑅 ∈ 𝑋)
53		limccnp2.s	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 ∈ 𝑌)
54	50, 53	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝑆 ∈ 𝑌)
55	22, 52, 54	fovrnd 5915	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝑅𝐻𝑆) ∈ ℂ)
56		eqid 2139	. . . . . . . 8 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
57	56	cnmetdval 12698	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶𝐻𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝑅𝐻𝑆) ∈ ℂ) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑆)) = (abs‘((𝐶𝐻𝐷) − (𝑅𝐻𝑆))))
58	49, 55, 57	syl2anc 408	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑆)) = (abs‘((𝐶𝐻𝐷) − (𝑅𝐻𝑆))))
59	49, 55	abssubd 10965	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (abs‘((𝐶𝐻𝐷) − (𝑅𝐻𝑆))) = (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))))
60	58, 59	eqtrd 2172	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑆)) = (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))))
61	52, 54	jca 304	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ 𝑌))
62		limccnp2lem.rs	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝐿) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝐸))
63	62	ad2antrr 479	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝐿) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝐸))
64	46, 52	ovresd 5911	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑅) = (𝐶(abs ∘ − )𝑅))
65	11, 45	sseldd 3098	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
66	65	ad2antrr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝐶 ∈ ℂ)
67	11	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝑋 ⊆ ℂ)
68	67, 52	sseldd 3098	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝑅 ∈ ℂ)
69	56	cnmetdval 12698	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (𝐶(abs ∘ − )𝑅) = (abs‘(𝐶 − 𝑅)))
70	66, 68, 69	syl2anc 408	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝐶(abs ∘ − )𝑅) = (abs‘(𝐶 − 𝑅)))
71	66, 68	abssubd 10965	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (abs‘(𝐶 − 𝑅)) = (abs‘(𝑅 − 𝐶)))
72	64, 70, 71	3eqtrd 2176	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑅) = (abs‘(𝑅 − 𝐶)))
73		simprl 520	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝑥 # 𝐵)
74	51	ex 114	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ 𝑋))
75	5, 74	ralrimi 2503	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ∈ 𝑋)
76		dmmptg 5036	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ∈ 𝑋 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) = 𝐴)
77	75, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) = 𝐴)
78		limccnp2.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) limℂ 𝐵))
79		limcrcl 12796	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐶 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) limℂ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅):dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)⟶ℂ ∧ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
80	78, 79	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅):dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)⟶ℂ ∧ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
81	80	simp2d 994	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ⊆ ℂ)
82	77, 81	eqsstrrd 3134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
83	82	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝐴 ⊆ ℂ)
84	50	simprd 113	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝑥 ∈ 𝐴)
85	83, 84	sseldd 3098	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝑥 ∈ ℂ)
86	80	simp3d 995	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
87	86	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝐵 ∈ ℂ)
88	85, 87	subcld 8073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ)
89	88	abscld 10953	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (abs‘(𝑥 − 𝐵)) ∈ ℝ)
90	1	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝐹 ∈ ℝ+)
91	90	rpred 9483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝐹 ∈ ℝ)
92	2	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝐺 ∈ ℝ+)
93	92	rpred 9483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝐺 ∈ ℝ)
94		mincl 11002	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ ℝ ∧ 𝐺 ∈ ℝ) → inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
95	91, 93, 94	syl2anc 408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
96		simprr 521	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))
97		min1inf 11003	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ ℝ ∧ 𝐺 ∈ ℝ) → inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ) ≤ 𝐹)
98	91, 93, 97	syl2anc 408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ) ≤ 𝐹)
99	89, 95, 91, 96, 98	ltletrd 8185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝐹)
100	73, 99	jca 304	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝐹))
101		limccnp2lem.fj	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝐹) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝐿))
102	101	r19.21bi 2520	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝐹) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝐿))
103	50, 100, 102	sylc 62	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝐿)
104	72, 103	eqbrtrd 3950	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑅) < 𝐿)
105	48, 54	ovresd 5911	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑆) = (𝐷(abs ∘ − )𝑆))
106	12, 47	sseldd 3098	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
107	106	ad2antrr 479	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝐷 ∈ ℂ)
108	12	ad2antrr 479	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝑌 ⊆ ℂ)
109	108, 54	sseldd 3098	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝑆 ∈ ℂ)
110	56	cnmetdval 12698	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → (𝐷(abs ∘ − )𝑆) = (abs‘(𝐷 − 𝑆)))
111	107, 109, 110	syl2anc 408	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝐷(abs ∘ − )𝑆) = (abs‘(𝐷 − 𝑆)))
112	107, 109	abssubd 10965	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (abs‘(𝐷 − 𝑆)) = (abs‘(𝑆 − 𝐷)))
113	105, 111, 112	3eqtrd 2176	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑆) = (abs‘(𝑆 − 𝐷)))
114		min2inf 11004	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ ℝ ∧ 𝐺 ∈ ℝ) → inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ) ≤ 𝐺)
115	91, 93, 114	syl2anc 408	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ) ≤ 𝐺)
116	89, 95, 93, 96, 115	ltletrd 8185	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝐺)
117	73, 116	jca 304	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝐺))
118		limccnp2lem.gj	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝐺) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝐿))
119	118	r19.21bi 2520	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝐺) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝐿))
120	50, 117, 119	sylc 62	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝐿)
121	113, 120	eqbrtrd 3950	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑆) < 𝐿)
122	104, 121	jca 304	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑅) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑆) < 𝐿))
123		oveq2 5782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) = (𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑅))
124	123	breq1d 3939	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝐿 ↔ (𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑅) < 𝐿))
125	124	anbi1d 460	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝐿) ↔ ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑅) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝐿)))
126		oveq1 5781	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑟𝐻𝑠) = (𝑅𝐻𝑠))
127	126	oveq2d 5790	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) = ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑠)))
128	127	breq1d 3939	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝐸 ↔ ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑠)) < 𝐸))
129	125, 128	imbi12d 233	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝐿) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝐸) ↔ (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑅) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝐿) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑠)) < 𝐸)))
130		oveq2 5782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) = (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑆))
131	130	breq1d 3939	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ((𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝐿 ↔ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑆) < 𝐿))
132	131	anbi2d 459	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑅) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝐿) ↔ ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑅) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑆) < 𝐿)))
133		oveq2 5782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑅𝐻𝑠) = (𝑅𝐻𝑆))
134	133	oveq2d 5790	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑠)) = ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑆)))
135	134	breq1d 3939	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑠)) < 𝐸 ↔ ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑆)) < 𝐸))
136	132, 135	imbi12d 233	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ((((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑅) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝐿) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑠)) < 𝐸) ↔ (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑅) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑆) < 𝐿) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑆)) < 𝐸)))
137	129, 136	rspc2v 2802	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ 𝑌) → (∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝐿) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝐸) → (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑅) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑆) < 𝐿) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑆)) < 𝐸)))
138	61, 63, 122, 137	syl3c 63	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑆)) < 𝐸)
139	60, 138	eqbrtrrd 3952	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))) < 𝐸)
140	139	exp31 361	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < )) → (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))) < 𝐸)))
141	5, 140	ralrimi 2503	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < )) → (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))) < 𝐸))
142		breq2 3933	. . . 4 ⊢ (𝑑 = inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ) → ((abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < )))
143	142	anbi2d 459	. . 3 ⊢ (𝑑 = inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ) → ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑑) ↔ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))))
144	143	rspceaimv 2797	. 2 ⊢ ((inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < )) → (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))) < 𝐸)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))) < 𝐸))
145	4, 141, 144	syl2anc 408	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))) < 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ∧ w3a 962   = wceq 1331  Ⅎwnf 1436   ∈ wcel 1480  ∀wral 2416  ∃wrex 2417  Vcvv 2686   ⊆ wss 3071  {cpr 3528  ⟨cop 3530  ∪ cuni 3736   class class class wbr 3929   ↦ cmpt 3989   × cxp 4537  dom cdm 4539   ↾ cres 4541   ∘ ccom 4543  ⟶wf 5119  ‘cfv 5123  (class class class)co 5774  infcinf 6870  ℂcc 7618  ℝcr 7619   < clt 7800   ≤ cle 7801   − cmin 7933   # cap 8343  ℝ⁺crp 9441  abscabs 10769   ↾_t crest 12120  MetOpencmopn 12154  Topctop 12164  TopOnctopon 12177   CnP ccnp 12355   ×_t ctx 12421   lim_ℂ climc 12792

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 603  ax-in2 604  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-coll 4043  ax-sep 4046  ax-nul 4054  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355  ax-setind 4452  ax-iinf 4502  ax-cnex 7711  ax-resscn 7712  ax-1cn 7713  ax-1re 7714  ax-icn 7715  ax-addcl 7716  ax-addrcl 7717  ax-mulcl 7718  ax-mulrcl 7719  ax-addcom 7720  ax-mulcom 7721  ax-addass 7722  ax-mulass 7723  ax-distr 7724  ax-i2m1 7725  ax-0lt1 7726  ax-1rid 7727  ax-0id 7728  ax-rnegex 7729  ax-precex 7730  ax-cnre 7731  ax-pre-ltirr 7732  ax-pre-ltwlin 7733  ax-pre-lttrn 7734  ax-pre-apti 7735  ax-pre-ltadd 7736  ax-pre-mulgt0 7737  ax-pre-mulext 7738  ax-arch 7739  ax-caucvg 7740

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 816  df-dc 820  df-3or 963  df-3an 964  df-tru 1334  df-fal 1337  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ne 2309  df-nel 2404  df-ral 2421  df-rex 2422  df-reu 2423  df-rmo 2424  df-rab 2425  df-v 2688  df-sbc 2910  df-csb 3004  df-dif 3073  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-nul 3364  df-if 3475  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-int 3772  df-iun 3815  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-tr 4027  df-id 4215  df-po 4218  df-iso 4219  df-iord 4288  df-on 4290  df-ilim 4291  df-suc 4293  df-iom 4505  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-rn 4550  df-res 4551  df-ima 4552  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fn 5126  df-f 5127  df-f1 5128  df-fo 5129  df-f1o 5130  df-fv 5131  df-isom 5132  df-riota 5730  df-ov 5777  df-oprab 5778  df-mpo 5779  df-1st 6038  df-2nd 6039  df-recs 6202  df-frec 6288  df-map 6544  df-pm 6545  df-sup 6871  df-inf 6872  df-pnf 7802  df-mnf 7803  df-xr 7804  df-ltxr 7805  df-le 7806  df-sub 7935  df-neg 7936  df-reap 8337  df-ap 8344  df-div 8433  df-inn 8721  df-2 8779  df-3 8780  df-4 8781  df-n0 8978  df-z 9055  df-uz 9327  df-q 9412  df-rp 9442  df-xneg 9559  df-xadd 9560  df-seqfrec 10219  df-exp 10293  df-cj 10614  df-re 10615  df-im 10616  df-rsqrt 10770  df-abs 10771  df-rest 12122  df-topgen 12141  df-psmet 12156  df-xmet 12157  df-met 12158  df-bl 12159  df-mopn 12160  df-top 12165  df-topon 12178  df-bases 12210  df-cnp 12358  df-tx 12422  df-limced 12794

This theorem is referenced by:  limccnp2cntop  12815