Theorem limccnp2lem 14912

Description: Lemma for limccnp2cntop 14913. This is most of the result, expressed in epsilon-delta form, with a large number of hypotheses so that lengthy expressions do not need to be repeated. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
limccnp2.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ 𝑋)
limccnp2.s	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 ∈ 𝑌)
limccnp2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
limccnp2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℂ)
limccnp2cntop.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
limccnp2.j	⊢ 𝐽 = ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌))
limccnp2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) limℂ 𝐵))
limccnp2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑆) limℂ 𝐵))
limccnp2.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩))
limccnp2lem.nf	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
limccnp2lem.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
limccnp2lem.j	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ+)
limccnp2lem.rs	⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝐿) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝐸))
limccnp2lem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℝ+)
limccnp2lem.fj	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝐹) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝐿))
limccnp2lem.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ+)
limccnp2lem.gj	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝐺) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝐿))

Assertion

Ref	Expression
limccnp2lem	⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))) < 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐻   𝑥,𝑋   𝑥,𝐴   𝑥,𝑌   𝐴,𝑑   𝐵,𝑑   𝐶,𝑑,𝑟,𝑠   𝐷,𝑑,𝑟,𝑠   𝐸,𝑑,𝑟,𝑠   𝐹,𝑑,𝑥   𝐺,𝑑,𝑥   𝐻,𝑑,𝑟,𝑠   𝐿,𝑟,𝑠   𝑅,𝑑,𝑟,𝑠   𝑆,𝑑,𝑠   𝑋,𝑟,𝑠   𝑌,𝑟,𝑠

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑠,𝑟,𝑑)   𝐴(𝑠,𝑟)   𝐵(𝑠,𝑟)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑟)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑠,𝑟)   𝐺(𝑠,𝑟)   𝐽(𝑥,𝑠,𝑟,𝑑)   𝐾(𝑥,𝑠,𝑟,𝑑)   𝐿(𝑥,𝑑)   𝑋(𝑑)   𝑌(𝑑)

Proof of Theorem limccnp2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccnp2lem.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℝ+)
2		limccnp2lem.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ+)
3		rpmincl 11403	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ ℝ+ ∧ 𝐺 ∈ ℝ+) → inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
5		limccnp2lem.nf	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
6		limccnp2.j	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐽 = ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌))
7		limccnp2cntop.k	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
8	7	cntoptopon 14768	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
9		txtopon 14498	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐾 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ)))
10	8, 8, 9	mp2an 426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ))
11		limccnp2.x	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
12		limccnp2.y	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℂ)
13		xpss12 4770	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ⊆ ℂ ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → (𝑋 × 𝑌) ⊆ (ℂ × ℂ))
14	11, 12, 13	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ⊆ (ℂ × ℂ))
15		resttopon 14407	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ)) ∧ (𝑋 × 𝑌) ⊆ (ℂ × ℂ)) → ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌)) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
16	10, 14, 15	sylancr 414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌)) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
17	6, 16	eqeltrid 2283	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
18	8	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
19		limccnp2.h	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩))
20		cnpf2 14443	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐻 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩)) → 𝐻:(𝑋 × 𝑌)⟶ℂ)
21	17, 18, 19, 20	syl3anc 1249	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(𝑋 × 𝑌)⟶ℂ)
22	21	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝐻:(𝑋 × 𝑌)⟶ℂ)
23	7	cntoptop 14769	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐾 ∈ Top
24	23	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
25		txtop 14496	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → (𝐾 ×t 𝐾) ∈ Top)
26	23, 24, 25	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ×t 𝐾) ∈ Top)
27		cnex 8003	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ℂ ∈ V
28	27	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
29	28, 11	ssexd 4173	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
30	28, 12	ssexd 4173	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ V)
31		xpexg 4777	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝑋 × 𝑌) ∈ V)
32	29, 30, 31	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ∈ V)
33		resttop 14406	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ×t 𝐾) ∈ Top ∧ (𝑋 × 𝑌) ∈ V) → ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌)) ∈ Top)
34	26, 32, 33	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌)) ∈ Top)
35	6, 34	eqeltrid 2283	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
36		toptopon2 14255	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
37	35, 36	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
38		cnprcl2k 14442	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐻 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩)) → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ ∪ 𝐽)
39	37, 24, 19, 38	syl3anc 1249	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ ∪ 𝐽)
40		toponuni 14251	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)) → (𝑋 × 𝑌) = ∪ 𝐽)
41	17, 40	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = ∪ 𝐽)
42	39, 41	eleqtrrd 2276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
43		opelxp 4693	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌) ↔ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌))
44	42, 43	sylib 122	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌))
45	44	simpld 112	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
46	45	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝐶 ∈ 𝑋)
47	44	simprd 114	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
48	47	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝐷 ∈ 𝑌)
49	22, 46, 48	fovcdmd 6068	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝐶𝐻𝐷) ∈ ℂ)
50		simpl 109	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
51		limccnp2.r	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ 𝑋)
52	50, 51	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝑅 ∈ 𝑋)
53		limccnp2.s	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 ∈ 𝑌)
54	50, 53	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝑆 ∈ 𝑌)
55	22, 52, 54	fovcdmd 6068	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝑅𝐻𝑆) ∈ ℂ)
56		eqid 2196	. . . . . . . 8 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
57	56	cnmetdval 14765	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶𝐻𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝑅𝐻𝑆) ∈ ℂ) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑆)) = (abs‘((𝐶𝐻𝐷) − (𝑅𝐻𝑆))))
58	49, 55, 57	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑆)) = (abs‘((𝐶𝐻𝐷) − (𝑅𝐻𝑆))))
59	49, 55	abssubd 11358	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (abs‘((𝐶𝐻𝐷) − (𝑅𝐻𝑆))) = (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))))
60	58, 59	eqtrd 2229	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑆)) = (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))))
61	52, 54	jca 306	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ 𝑌))
62		limccnp2lem.rs	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝐿) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝐸))
63	62	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝐿) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝐸))
64	46, 52	ovresd 6064	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑅) = (𝐶(abs ∘ − )𝑅))
65	11, 45	sseldd 3184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
66	65	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝐶 ∈ ℂ)
67	11	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝑋 ⊆ ℂ)
68	67, 52	sseldd 3184	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝑅 ∈ ℂ)
69	56	cnmetdval 14765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (𝐶(abs ∘ − )𝑅) = (abs‘(𝐶 − 𝑅)))
70	66, 68, 69	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝐶(abs ∘ − )𝑅) = (abs‘(𝐶 − 𝑅)))
71	66, 68	abssubd 11358	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (abs‘(𝐶 − 𝑅)) = (abs‘(𝑅 − 𝐶)))
72	64, 70, 71	3eqtrd 2233	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑅) = (abs‘(𝑅 − 𝐶)))
73		simprl 529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝑥 # 𝐵)
74	51	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ 𝑋))
75	5, 74	ralrimi 2568	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ∈ 𝑋)
76		dmmptg 5167	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ∈ 𝑋 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) = 𝐴)
77	75, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) = 𝐴)
78		limccnp2.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) limℂ 𝐵))
79		limcrcl 14894	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐶 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) limℂ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅):dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)⟶ℂ ∧ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
80	78, 79	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅):dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)⟶ℂ ∧ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
81	80	simp2d 1012	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ⊆ ℂ)
82	77, 81	eqsstrrd 3220	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
83	82	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝐴 ⊆ ℂ)
84	50	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝑥 ∈ 𝐴)
85	83, 84	sseldd 3184	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝑥 ∈ ℂ)
86	80	simp3d 1013	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
87	86	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝐵 ∈ ℂ)
88	85, 87	subcld 8337	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ)
89	88	abscld 11346	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (abs‘(𝑥 − 𝐵)) ∈ ℝ)
90	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝐹 ∈ ℝ+)
91	90	rpred 9771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝐹 ∈ ℝ)
92	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝐺 ∈ ℝ+)
93	92	rpred 9771	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝐺 ∈ ℝ)
94		mincl 11396	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ ℝ ∧ 𝐺 ∈ ℝ) → inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
95	91, 93, 94	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
96		simprr 531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))
97		min1inf 11397	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ ℝ ∧ 𝐺 ∈ ℝ) → inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ) ≤ 𝐹)
98	91, 93, 97	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ) ≤ 𝐹)
99	89, 95, 91, 96, 98	ltletrd 8450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝐹)
100	73, 99	jca 306	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝐹))
101		limccnp2lem.fj	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝐹) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝐿))
102	101	r19.21bi 2585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝐹) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝐿))
103	50, 100, 102	sylc 62	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝐿)
104	72, 103	eqbrtrd 4055	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑅) < 𝐿)
105	48, 54	ovresd 6064	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑆) = (𝐷(abs ∘ − )𝑆))
106	12, 47	sseldd 3184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
107	106	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝐷 ∈ ℂ)
108	12	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝑌 ⊆ ℂ)
109	108, 54	sseldd 3184	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝑆 ∈ ℂ)
110	56	cnmetdval 14765	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → (𝐷(abs ∘ − )𝑆) = (abs‘(𝐷 − 𝑆)))
111	107, 109, 110	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝐷(abs ∘ − )𝑆) = (abs‘(𝐷 − 𝑆)))
112	107, 109	abssubd 11358	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (abs‘(𝐷 − 𝑆)) = (abs‘(𝑆 − 𝐷)))
113	105, 111, 112	3eqtrd 2233	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑆) = (abs‘(𝑆 − 𝐷)))
114		min2inf 11398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ ℝ ∧ 𝐺 ∈ ℝ) → inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ) ≤ 𝐺)
115	91, 93, 114	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ) ≤ 𝐺)
116	89, 95, 93, 96, 115	ltletrd 8450	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝐺)
117	73, 116	jca 306	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝐺))
118		limccnp2lem.gj	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝐺) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝐿))
119	118	r19.21bi 2585	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝐺) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝐿))
120	50, 117, 119	sylc 62	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝐿)
121	113, 120	eqbrtrd 4055	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑆) < 𝐿)
122	104, 121	jca 306	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑅) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑆) < 𝐿))
123		oveq2 5930	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) = (𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑅))
124	123	breq1d 4043	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝐿 ↔ (𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑅) < 𝐿))
125	124	anbi1d 465	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝐿) ↔ ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑅) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝐿)))
126		oveq1 5929	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑟𝐻𝑠) = (𝑅𝐻𝑠))
127	126	oveq2d 5938	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) = ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑠)))
128	127	breq1d 4043	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝐸 ↔ ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑠)) < 𝐸))
129	125, 128	imbi12d 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝐿) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝐸) ↔ (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑅) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝐿) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑠)) < 𝐸)))
130		oveq2 5930	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) = (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑆))
131	130	breq1d 4043	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ((𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝐿 ↔ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑆) < 𝐿))
132	131	anbi2d 464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑅) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝐿) ↔ ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑅) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑆) < 𝐿)))
133		oveq2 5930	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑅𝐻𝑠) = (𝑅𝐻𝑆))
134	133	oveq2d 5938	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑠)) = ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑆)))
135	134	breq1d 4043	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑠)) < 𝐸 ↔ ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑆)) < 𝐸))
136	132, 135	imbi12d 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ((((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑅) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝐿) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑠)) < 𝐸) ↔ (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑅) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑆) < 𝐿) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑆)) < 𝐸)))
137	129, 136	rspc2v 2881	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ 𝑌) → (∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝐿) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝐸) → (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑅) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑆) < 𝐿) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑆)) < 𝐸)))
138	61, 63, 122, 137	syl3c 63	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑆)) < 𝐸)
139	60, 138	eqbrtrrd 4057	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))) < 𝐸)
140	139	exp31 364	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < )) → (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))) < 𝐸)))
141	5, 140	ralrimi 2568	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < )) → (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))) < 𝐸))
142		breq2 4037	. . . 4 ⊢ (𝑑 = inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ) → ((abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < )))
143	142	anbi2d 464	. . 3 ⊢ (𝑑 = inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ) → ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑑) ↔ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))))
144	143	rspceaimv 2876	. 2 ⊢ ((inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < )) → (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))) < 𝐸)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))) < 𝐸))
145	4, 141, 144	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))) < 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 980   = wceq 1364  Ⅎwnf 1474   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ∃wrex 2476  Vcvv 2763   ⊆ wss 3157  {cpr 3623  ⟨cop 3625  ∪ cuni 3839   class class class wbr 4033   ↦ cmpt 4094   × cxp 4661  dom cdm 4663   ↾ cres 4665   ∘ ccom 4667  ⟶wf 5254  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  infcinf 7049  ℂcc 7877  ℝcr 7878   < clt 8061   ≤ cle 8062   − cmin 8197   # cap 8608  ℝ⁺crp 9728  abscabs 11162   ↾_t crest 12910  MetOpencmopn 14097  Topctop 14233  TopOnctopon 14246   CnP ccnp 14422   ×_t ctx 14488   lim_ℂ climc 14890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-map 6709  df-pm 6710  df-sup 7050  df-inf 7051  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-xneg 9847  df-xadd 9848  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-rest 12912  df-topgen 12931  df-psmet 14099  df-xmet 14100  df-met 14101  df-bl 14102  df-mopn 14103  df-top 14234  df-topon 14247  df-bases 14279  df-cnp 14425  df-tx 14489  df-limced 14892

This theorem is referenced by:  limccnp2cntop  14913