ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  limccnp2lem GIF version

Theorem limccnp2lem 13812
Description: Lemma for limccnp2cntop 13813. This is most of the result, expressed in epsilon-delta form, with a large number of hypotheses so that lengthy expressions do not need to be repeated. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
limccnp2.r ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑅𝑋)
limccnp2.s ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑆𝑌)
limccnp2.x (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
limccnp2.y (𝜑𝑌 ⊆ ℂ)
limccnp2cntop.k 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
limccnp2.j 𝐽 = ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌))
limccnp2.c (𝜑𝐶 ∈ ((𝑥𝐴𝑅) lim 𝐵))
limccnp2.d (𝜑𝐷 ∈ ((𝑥𝐴𝑆) lim 𝐵))
limccnp2.h (𝜑𝐻 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩))
limccnp2lem.nf 𝑥𝜑
limccnp2lem.e (𝜑𝐸 ∈ ℝ+)
limccnp2lem.j (𝜑𝐿 ∈ ℝ+)
limccnp2lem.rs (𝜑 → ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝐿) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝐸))
limccnp2lem.f (𝜑𝐹 ∈ ℝ+)
limccnp2lem.fj (𝜑 → ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝐹) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝐿))
limccnp2lem.g (𝜑𝐺 ∈ ℝ+)
limccnp2lem.gj (𝜑 → ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝐺) → (abs‘(𝑆𝐷)) < 𝐿))
Assertion
Ref Expression
limccnp2lem (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))) < 𝐸))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐻   𝑥,𝑋   𝑥,𝐴   𝑥,𝑌   𝐴,𝑑   𝐵,𝑑   𝐶,𝑑,𝑟,𝑠   𝐷,𝑑,𝑟,𝑠   𝐸,𝑑,𝑟,𝑠   𝐹,𝑑,𝑥   𝐺,𝑑,𝑥   𝐻,𝑑,𝑟,𝑠   𝐿,𝑟,𝑠   𝑅,𝑑,𝑟,𝑠   𝑆,𝑑,𝑠   𝑋,𝑟,𝑠   𝑌,𝑟,𝑠
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑠,𝑟,𝑑)   𝐴(𝑠,𝑟)   𝐵(𝑠,𝑟)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑟)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑠,𝑟)   𝐺(𝑠,𝑟)   𝐽(𝑥,𝑠,𝑟,𝑑)   𝐾(𝑥,𝑠,𝑟,𝑑)   𝐿(𝑥,𝑑)   𝑋(𝑑)   𝑌(𝑑)

Proof of Theorem limccnp2lem
StepHypRef Expression
1 limccnp2lem.f . . 3 (𝜑𝐹 ∈ ℝ+)
2 limccnp2lem.g . . 3 (𝜑𝐺 ∈ ℝ+)
3 rpmincl 11230 . . 3 ((𝐹 ∈ ℝ+𝐺 ∈ ℝ+) → inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
41, 2, 3syl2anc 411 . 2 (𝜑 → inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
5 limccnp2lem.nf . . 3 𝑥𝜑
6 limccnp2.j . . . . . . . . . . 11 𝐽 = ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌))
7 limccnp2cntop.k . . . . . . . . . . . . . 14 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
87cntoptopon 13699 . . . . . . . . . . . . 13 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
9 txtopon 13429 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐾 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ)))
108, 8, 9mp2an 426 . . . . . . . . . . . 12 (𝐾 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ))
11 limccnp2.x . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
12 limccnp2.y . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌 ⊆ ℂ)
13 xpss12 4730 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑋 ⊆ ℂ ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → (𝑋 × 𝑌) ⊆ (ℂ × ℂ))
1411, 12, 13syl2anc 411 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ⊆ (ℂ × ℂ))
15 resttopon 13338 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐾 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ)) ∧ (𝑋 × 𝑌) ⊆ (ℂ × ℂ)) → ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌)) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
1610, 14, 15sylancr 414 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌)) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
176, 16eqeltrid 2264 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
188a1i 9 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
19 limccnp2.h . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐻 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩))
20 cnpf2 13374 . . . . . . . . . 10 ((𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐻 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩)) → 𝐻:(𝑋 × 𝑌)⟶ℂ)
2117, 18, 19, 20syl3anc 1238 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐻:(𝑋 × 𝑌)⟶ℂ)
2221ad2antrr 488 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝐻:(𝑋 × 𝑌)⟶ℂ)
237cntoptop 13700 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝐾 ∈ Top
2423a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝐾 ∈ Top)
25 txtop 13427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → (𝐾 ×t 𝐾) ∈ Top)
2623, 24, 25sylancr 414 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝐾 ×t 𝐾) ∈ Top)
27 cnex 7926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ℂ ∈ V
2827a1i 9 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ℂ ∈ V)
2928, 11ssexd 4140 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑋 ∈ V)
3028, 12ssexd 4140 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑𝑌 ∈ V)
31 xpexg 4737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝑋 × 𝑌) ∈ V)
3229, 30, 31syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ∈ V)
33 resttop 13337 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ×t 𝐾) ∈ Top ∧ (𝑋 × 𝑌) ∈ V) → ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌)) ∈ Top)
3426, 32, 33syl2anc 411 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌)) ∈ Top)
356, 34eqeltrid 2264 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐽 ∈ Top)
36 toptopon2 13184 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
3735, 36sylib 122 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
38 cnprcl2k 13373 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐻 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩)) → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ 𝐽)
3937, 24, 19, 38syl3anc 1238 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ 𝐽)
40 toponuni 13180 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)) → (𝑋 × 𝑌) = 𝐽)
4117, 40syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = 𝐽)
4239, 41eleqtrrd 2257 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
43 opelxp 4653 . . . . . . . . . . 11 (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌) ↔ (𝐶𝑋𝐷𝑌))
4442, 43sylib 122 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐶𝑋𝐷𝑌))
4544simpld 112 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶𝑋)
4645ad2antrr 488 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝐶𝑋)
4744simprd 114 . . . . . . . . 9 (𝜑𝐷𝑌)
4847ad2antrr 488 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝐷𝑌)
4922, 46, 48fovcdmd 6013 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝐶𝐻𝐷) ∈ ℂ)
50 simpl 109 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝜑𝑥𝐴))
51 limccnp2.r . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑅𝑋)
5250, 51syl 14 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝑅𝑋)
53 limccnp2.s . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑆𝑌)
5450, 53syl 14 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝑆𝑌)
5522, 52, 54fovcdmd 6013 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝑅𝐻𝑆) ∈ ℂ)
56 eqid 2177 . . . . . . . 8 (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
5756cnmetdval 13696 . . . . . . 7 (((𝐶𝐻𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝑅𝐻𝑆) ∈ ℂ) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑆)) = (abs‘((𝐶𝐻𝐷) − (𝑅𝐻𝑆))))
5849, 55, 57syl2anc 411 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑆)) = (abs‘((𝐶𝐻𝐷) − (𝑅𝐻𝑆))))
5949, 55abssubd 11186 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (abs‘((𝐶𝐻𝐷) − (𝑅𝐻𝑆))) = (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))))
6058, 59eqtrd 2210 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑆)) = (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))))
6152, 54jca 306 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝑅𝑋𝑆𝑌))
62 limccnp2lem.rs . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝐿) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝐸))
6362ad2antrr 488 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝐿) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝐸))
6446, 52ovresd 6009 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑅) = (𝐶(abs ∘ − )𝑅))
6511, 45sseldd 3156 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐶 ∈ ℂ)
6665ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝐶 ∈ ℂ)
6711ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝑋 ⊆ ℂ)
6867, 52sseldd 3156 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝑅 ∈ ℂ)
6956cnmetdval 13696 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (𝐶(abs ∘ − )𝑅) = (abs‘(𝐶𝑅)))
7066, 68, 69syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝐶(abs ∘ − )𝑅) = (abs‘(𝐶𝑅)))
7166, 68abssubd 11186 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (abs‘(𝐶𝑅)) = (abs‘(𝑅𝐶)))
7264, 70, 713eqtrd 2214 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑅) = (abs‘(𝑅𝐶)))
73 simprl 529 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝑥 # 𝐵)
7451ex 115 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → (𝑥𝐴𝑅𝑋))
755, 74ralrimi 2548 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 𝑅𝑋)
76 dmmptg 5122 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (∀𝑥𝐴 𝑅𝑋 → dom (𝑥𝐴𝑅) = 𝐴)
7775, 76syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝑅) = 𝐴)
78 limccnp2.c . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑𝐶 ∈ ((𝑥𝐴𝑅) lim 𝐵))
79 limcrcl 13794 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐶 ∈ ((𝑥𝐴𝑅) lim 𝐵) → ((𝑥𝐴𝑅):dom (𝑥𝐴𝑅)⟶ℂ ∧ dom (𝑥𝐴𝑅) ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
8078, 79syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝑅):dom (𝑥𝐴𝑅)⟶ℂ ∧ dom (𝑥𝐴𝑅) ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
8180simp2d 1010 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝑅) ⊆ ℂ)
8277, 81eqsstrrd 3192 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
8382ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝐴 ⊆ ℂ)
8450simprd 114 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝑥𝐴)
8583, 84sseldd 3156 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝑥 ∈ ℂ)
8680simp3d 1011 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
8786ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝐵 ∈ ℂ)
8885, 87subcld 8258 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝑥𝐵) ∈ ℂ)
8988abscld 11174 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (abs‘(𝑥𝐵)) ∈ ℝ)
901ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝐹 ∈ ℝ+)
9190rpred 9683 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝐹 ∈ ℝ)
922ad2antrr 488 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝐺 ∈ ℝ+)
9392rpred 9683 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝐺 ∈ ℝ)
94 mincl 11223 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ ℝ ∧ 𝐺 ∈ ℝ) → inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
9591, 93, 94syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
96 simprr 531 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))
97 min1inf 11224 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ ℝ ∧ 𝐺 ∈ ℝ) → inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ) ≤ 𝐹)
9891, 93, 97syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ) ≤ 𝐹)
9989, 95, 91, 96, 98ltletrd 8370 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝐹)
10073, 99jca 306 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝐹))
101 limccnp2lem.fj . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝐹) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝐿))
102101r19.21bi 2565 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝐹) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝐿))
10350, 100, 102sylc 62 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝐿)
10472, 103eqbrtrd 4022 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑅) < 𝐿)
10548, 54ovresd 6009 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑆) = (𝐷(abs ∘ − )𝑆))
10612, 47sseldd 3156 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
107106ad2antrr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝐷 ∈ ℂ)
10812ad2antrr 488 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝑌 ⊆ ℂ)
109108, 54sseldd 3156 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝑆 ∈ ℂ)
11056cnmetdval 13696 . . . . . . . . . 10 ((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → (𝐷(abs ∘ − )𝑆) = (abs‘(𝐷𝑆)))
111107, 109, 110syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝐷(abs ∘ − )𝑆) = (abs‘(𝐷𝑆)))
112107, 109abssubd 11186 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (abs‘(𝐷𝑆)) = (abs‘(𝑆𝐷)))
113105, 111, 1123eqtrd 2214 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑆) = (abs‘(𝑆𝐷)))
114 min2inf 11225 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 ∈ ℝ ∧ 𝐺 ∈ ℝ) → inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ) ≤ 𝐺)
11591, 93, 114syl2anc 411 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ) ≤ 𝐺)
11689, 95, 93, 96, 115ltletrd 8370 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝐺)
11773, 116jca 306 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝐺))
118 limccnp2lem.gj . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝐺) → (abs‘(𝑆𝐷)) < 𝐿))
119118r19.21bi 2565 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝐴) → ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝐺) → (abs‘(𝑆𝐷)) < 𝐿))
12050, 117, 119sylc 62 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (abs‘(𝑆𝐷)) < 𝐿)
121113, 120eqbrtrd 4022 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑆) < 𝐿)
122104, 121jca 306 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑅) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑆) < 𝐿))
123 oveq2 5877 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑅 → (𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) = (𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑅))
124123breq1d 4010 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑅 → ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝐿 ↔ (𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑅) < 𝐿))
125124anbi1d 465 . . . . . . . 8 (𝑟 = 𝑅 → (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝐿) ↔ ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑅) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝐿)))
126 oveq1 5876 . . . . . . . . . 10 (𝑟 = 𝑅 → (𝑟𝐻𝑠) = (𝑅𝐻𝑠))
127126oveq2d 5885 . . . . . . . . 9 (𝑟 = 𝑅 → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) = ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑠)))
128127breq1d 4010 . . . . . . . 8 (𝑟 = 𝑅 → (((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝐸 ↔ ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑠)) < 𝐸))
129125, 128imbi12d 234 . . . . . . 7 (𝑟 = 𝑅 → ((((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝐿) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝐸) ↔ (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑅) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝐿) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑠)) < 𝐸)))
130 oveq2 5877 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑆 → (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) = (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑆))
131130breq1d 4010 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑆 → ((𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝐿 ↔ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑆) < 𝐿))
132131anbi2d 464 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑆 → (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑅) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝐿) ↔ ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑅) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑆) < 𝐿)))
133 oveq2 5877 . . . . . . . . . 10 (𝑠 = 𝑆 → (𝑅𝐻𝑠) = (𝑅𝐻𝑆))
134133oveq2d 5885 . . . . . . . . 9 (𝑠 = 𝑆 → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑠)) = ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑆)))
135134breq1d 4010 . . . . . . . 8 (𝑠 = 𝑆 → (((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑠)) < 𝐸 ↔ ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑆)) < 𝐸))
136132, 135imbi12d 234 . . . . . . 7 (𝑠 = 𝑆 → ((((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑅) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝐿) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑠)) < 𝐸) ↔ (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑅) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑆) < 𝐿) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑆)) < 𝐸)))
137129, 136rspc2v 2854 . . . . . 6 ((𝑅𝑋𝑆𝑌) → (∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝐿) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝐸) → (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑅) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑆) < 𝐿) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑆)) < 𝐸)))
13861, 63, 122, 137syl3c 63 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑆)) < 𝐸)
13960, 138eqbrtrrd 4024 . . . 4 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))) < 𝐸)
140139exp31 364 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 → ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < )) → (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))) < 𝐸)))
1415, 140ralrimi 2548 . 2 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < )) → (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))) < 𝐸))
142 breq2 4004 . . . 4 (𝑑 = inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ) → ((abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < )))
143142anbi2d 464 . . 3 (𝑑 = inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ) → ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑑) ↔ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))))
144143rspceaimv 2849 . 2 ((inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < )) → (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))) < 𝐸)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))) < 𝐸))
1454, 141, 144syl2anc 411 1 (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))) < 𝐸))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  w3a 978   = wceq 1353  wnf 1460  wcel 2148  wral 2455  wrex 2456  Vcvv 2737  wss 3129  {cpr 3592  cop 3594   cuni 3807   class class class wbr 4000  cmpt 4061   × cxp 4621  dom cdm 4623  cres 4625  ccom 4627  wf 5208  cfv 5212  (class class class)co 5869  infcinf 6976  cc 7800  cr 7801   < clt 7982  cle 7983  cmin 8118   # cap 8528  +crp 9640  abscabs 10990  t crest 12636  MetOpencmopn 13152  Topctop 13162  TopOnctopon 13175   CnP ccnp 13353   ×t ctx 13419   lim climc 13790
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4115  ax-sep 4118  ax-nul 4126  ax-pow 4171  ax-pr 4206  ax-un 4430  ax-setind 4533  ax-iinf 4584  ax-cnex 7893  ax-resscn 7894  ax-1cn 7895  ax-1re 7896  ax-icn 7897  ax-addcl 7898  ax-addrcl 7899  ax-mulcl 7900  ax-mulrcl 7901  ax-addcom 7902  ax-mulcom 7903  ax-addass 7904  ax-mulass 7905  ax-distr 7906  ax-i2m1 7907  ax-0lt1 7908  ax-1rid 7909  ax-0id 7910  ax-rnegex 7911  ax-precex 7912  ax-cnre 7913  ax-pre-ltirr 7914  ax-pre-ltwlin 7915  ax-pre-lttrn 7916  ax-pre-apti 7917  ax-pre-ltadd 7918  ax-pre-mulgt0 7919  ax-pre-mulext 7920  ax-arch 7921  ax-caucvg 7922
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-if 3535  df-pw 3576  df-sn 3597  df-pr 3598  df-op 3600  df-uni 3808  df-int 3843  df-iun 3886  df-br 4001  df-opab 4062  df-mpt 4063  df-tr 4099  df-id 4290  df-po 4293  df-iso 4294  df-iord 4363  df-on 4365  df-ilim 4366  df-suc 4368  df-iom 4587  df-xp 4629  df-rel 4630  df-cnv 4631  df-co 4632  df-dm 4633  df-rn 4634  df-res 4635  df-ima 4636  df-iota 5174  df-fun 5214  df-fn 5215  df-f 5216  df-f1 5217  df-fo 5218  df-f1o 5219  df-fv 5220  df-isom 5221  df-riota 5825  df-ov 5872  df-oprab 5873  df-mpo 5874  df-1st 6135  df-2nd 6136  df-recs 6300  df-frec 6386  df-map 6644  df-pm 6645  df-sup 6977  df-inf 6978  df-pnf 7984  df-mnf 7985  df-xr 7986  df-ltxr 7987  df-le 7988  df-sub 8120  df-neg 8121  df-reap 8522  df-ap 8529  df-div 8619  df-inn 8909  df-2 8967  df-3 8968  df-4 8969  df-n0 9166  df-z 9243  df-uz 9518  df-q 9609  df-rp 9641  df-xneg 9759  df-xadd 9760  df-seqfrec 10432  df-exp 10506  df-cj 10835  df-re 10836  df-im 10837  df-rsqrt 10991  df-abs 10992  df-rest 12638  df-topgen 12657  df-psmet 13154  df-xmet 13155  df-met 13156  df-bl 13157  df-mopn 13158  df-top 13163  df-topon 13176  df-bases 13208  df-cnp 13356  df-tx 13420  df-limced 13792
This theorem is referenced by:  limccnp2cntop  13813
  Copyright terms: Public domain W3C validator