Theorem limccnp2lem 14230

Description: Lemma for limccnp2cntop 14231. This is most of the result, expressed in epsilon-delta form, with a large number of hypotheses so that lengthy expressions do not need to be repeated. (Contributed by Jim Kingdon, 9-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
limccnp2.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ 𝑋)
limccnp2.s	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 ∈ 𝑌)
limccnp2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
limccnp2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℂ)
limccnp2cntop.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
limccnp2.j	⊢ 𝐽 = ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌))
limccnp2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) limℂ 𝐵))
limccnp2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑆) limℂ 𝐵))
limccnp2.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩))
limccnp2lem.nf	⊢ Ⅎ𝑥𝜑
limccnp2lem.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℝ+)
limccnp2lem.j	⊢ (𝜑 → 𝐿 ∈ ℝ+)
limccnp2lem.rs	⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝐿) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝐸))
limccnp2lem.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℝ+)
limccnp2lem.fj	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝐹) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝐿))
limccnp2lem.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ+)
limccnp2lem.gj	⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝐺) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝐿))

Assertion

Ref	Expression
limccnp2lem	⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))) < 𝐸))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐻   𝑥,𝑋   𝑥,𝐴   𝑥,𝑌   𝐴,𝑑   𝐵,𝑑   𝐶,𝑑,𝑟,𝑠   𝐷,𝑑,𝑟,𝑠   𝐸,𝑑,𝑟,𝑠   𝐹,𝑑,𝑥   𝐺,𝑑,𝑥   𝐻,𝑑,𝑟,𝑠   𝐿,𝑟,𝑠   𝑅,𝑑,𝑟,𝑠   𝑆,𝑑,𝑠   𝑋,𝑟,𝑠   𝑌,𝑟,𝑠

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑠,𝑟,𝑑)   𝐴(𝑠,𝑟)   𝐵(𝑠,𝑟)   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥,𝑟)   𝐸(𝑥)   𝐹(𝑠,𝑟)   𝐺(𝑠,𝑟)   𝐽(𝑥,𝑠,𝑟,𝑑)   𝐾(𝑥,𝑠,𝑟,𝑑)   𝐿(𝑥,𝑑)   𝑋(𝑑)   𝑌(𝑑)

Proof of Theorem limccnp2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccnp2lem.f	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ ℝ+)
2		limccnp2lem.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ ℝ+)
3		rpmincl 11248	. . 3 ⊢ ((𝐹 ∈ ℝ+ ∧ 𝐺 ∈ ℝ+) → inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ) ∈ ℝ+)
5		limccnp2lem.nf	. . 3 ⊢ Ⅎ𝑥𝜑
6		limccnp2.j	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐽 = ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌))
7		limccnp2cntop.k	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
8	7	cntoptopon 14117	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
9		txtopon 13847	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐾 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ)))
10	8, 8, 9	mp2an 426	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝐾 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ))
11		limccnp2.x	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
12		limccnp2.y	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℂ)
13		xpss12 4735	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑋 ⊆ ℂ ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → (𝑋 × 𝑌) ⊆ (ℂ × ℂ))
14	11, 12, 13	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ⊆ (ℂ × ℂ))
15		resttopon 13756	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐾 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ)) ∧ (𝑋 × 𝑌) ⊆ (ℂ × ℂ)) → ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌)) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
16	10, 14, 15	sylancr 414	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌)) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
17	6, 16	eqeltrid 2264	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
18	8	a1i 9	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
19		limccnp2.h	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩))
20		cnpf2 13792	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐻 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩)) → 𝐻:(𝑋 × 𝑌)⟶ℂ)
21	17, 18, 19, 20	syl3anc 1238	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(𝑋 × 𝑌)⟶ℂ)
22	21	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝐻:(𝑋 × 𝑌)⟶ℂ)
23	7	cntoptop 14118	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ 𝐾 ∈ Top
24	23	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
25		txtop 13845	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → (𝐾 ×t 𝐾) ∈ Top)
26	23, 24, 25	sylancr 414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ×t 𝐾) ∈ Top)
27		cnex 7937	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ℂ ∈ V
28	27	a1i 9	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
29	28, 11	ssexd 4145	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
30	28, 12	ssexd 4145	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ V)
31		xpexg 4742	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝑋 × 𝑌) ∈ V)
32	29, 30, 31	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ∈ V)
33		resttop 13755	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ×t 𝐾) ∈ Top ∧ (𝑋 × 𝑌) ∈ V) → ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌)) ∈ Top)
34	26, 32, 33	syl2anc 411	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌)) ∈ Top)
35	6, 34	eqeltrid 2264	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
36		toptopon2 13604	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
37	35, 36	sylib 122	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
38		cnprcl2k 13791	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐻 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩)) → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ ∪ 𝐽)
39	37, 24, 19, 38	syl3anc 1238	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ ∪ 𝐽)
40		toponuni 13600	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)) → (𝑋 × 𝑌) = ∪ 𝐽)
41	17, 40	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = ∪ 𝐽)
42	39, 41	eleqtrrd 2257	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
43		opelxp 4658	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌) ↔ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌))
44	42, 43	sylib 122	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌))
45	44	simpld 112	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
46	45	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝐶 ∈ 𝑋)
47	44	simprd 114	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
48	47	ad2antrr 488	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝐷 ∈ 𝑌)
49	22, 46, 48	fovcdmd 6021	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝐶𝐻𝐷) ∈ ℂ)
50		simpl 109	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴))
51		limccnp2.r	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ 𝑋)
52	50, 51	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝑅 ∈ 𝑋)
53		limccnp2.s	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 ∈ 𝑌)
54	50, 53	syl 14	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝑆 ∈ 𝑌)
55	22, 52, 54	fovcdmd 6021	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝑅𝐻𝑆) ∈ ℂ)
56		eqid 2177	. . . . . . . 8 ⊢ (abs ∘ − ) = (abs ∘ − )
57	56	cnmetdval 14114	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶𝐻𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝑅𝐻𝑆) ∈ ℂ) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑆)) = (abs‘((𝐶𝐻𝐷) − (𝑅𝐻𝑆))))
58	49, 55, 57	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑆)) = (abs‘((𝐶𝐻𝐷) − (𝑅𝐻𝑆))))
59	49, 55	abssubd 11204	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (abs‘((𝐶𝐻𝐷) − (𝑅𝐻𝑆))) = (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))))
60	58, 59	eqtrd 2210	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑆)) = (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))))
61	52, 54	jca 306	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ 𝑌))
62		limccnp2lem.rs	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝐿) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝐸))
63	62	ad2antrr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝐿) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝐸))
64	46, 52	ovresd 6017	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑅) = (𝐶(abs ∘ − )𝑅))
65	11, 45	sseldd 3158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℂ)
66	65	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝐶 ∈ ℂ)
67	11	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝑋 ⊆ ℂ)
68	67, 52	sseldd 3158	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝑅 ∈ ℂ)
69	56	cnmetdval 14114	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝑅 ∈ ℂ) → (𝐶(abs ∘ − )𝑅) = (abs‘(𝐶 − 𝑅)))
70	66, 68, 69	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝐶(abs ∘ − )𝑅) = (abs‘(𝐶 − 𝑅)))
71	66, 68	abssubd 11204	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (abs‘(𝐶 − 𝑅)) = (abs‘(𝑅 − 𝐶)))
72	64, 70, 71	3eqtrd 2214	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑅) = (abs‘(𝑅 − 𝐶)))
73		simprl 529	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝑥 # 𝐵)
74	51	ex 115	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ 𝑋))
75	5, 74	ralrimi 2548	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ∈ 𝑋)
76		dmmptg 5128	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑅 ∈ 𝑋 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) = 𝐴)
77	75, 76	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) = 𝐴)
78		limccnp2.c	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) limℂ 𝐵))
79		limcrcl 14212	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝐶 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) limℂ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅):dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)⟶ℂ ∧ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
80	78, 79	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅):dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)⟶ℂ ∧ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
81	80	simp2d 1010	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ⊆ ℂ)
82	77, 81	eqsstrrd 3194	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
83	82	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝐴 ⊆ ℂ)
84	50	simprd 114	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝑥 ∈ 𝐴)
85	83, 84	sseldd 3158	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝑥 ∈ ℂ)
86	80	simp3d 1011	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
87	86	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝐵 ∈ ℂ)
88	85, 87	subcld 8270	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝑥 − 𝐵) ∈ ℂ)
89	88	abscld 11192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (abs‘(𝑥 − 𝐵)) ∈ ℝ)
90	1	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝐹 ∈ ℝ+)
91	90	rpred 9698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝐹 ∈ ℝ)
92	2	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝐺 ∈ ℝ+)
93	92	rpred 9698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝐺 ∈ ℝ)
94		mincl 11241	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ ℝ ∧ 𝐺 ∈ ℝ) → inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
95	91, 93, 94	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ) ∈ ℝ)
96		simprr 531	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))
97		min1inf 11242	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ ℝ ∧ 𝐺 ∈ ℝ) → inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ) ≤ 𝐹)
98	91, 93, 97	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ) ≤ 𝐹)
99	89, 95, 91, 96, 98	ltletrd 8382	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝐹)
100	73, 99	jca 306	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝐹))
101		limccnp2lem.fj	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝐹) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝐿))
102	101	r19.21bi 2565	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝐹) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝐿))
103	50, 100, 102	sylc 62	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝐿)
104	72, 103	eqbrtrd 4027	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑅) < 𝐿)
105	48, 54	ovresd 6017	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑆) = (𝐷(abs ∘ − )𝑆))
106	12, 47	sseldd 3158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
107	106	ad2antrr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝐷 ∈ ℂ)
108	12	ad2antrr 488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝑌 ⊆ ℂ)
109	108, 54	sseldd 3158	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → 𝑆 ∈ ℂ)
110	56	cnmetdval 14114	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝑆 ∈ ℂ) → (𝐷(abs ∘ − )𝑆) = (abs‘(𝐷 − 𝑆)))
111	107, 109, 110	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝐷(abs ∘ − )𝑆) = (abs‘(𝐷 − 𝑆)))
112	107, 109	abssubd 11204	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (abs‘(𝐷 − 𝑆)) = (abs‘(𝑆 − 𝐷)))
113	105, 111, 112	3eqtrd 2214	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑆) = (abs‘(𝑆 − 𝐷)))
114		min2inf 11243	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝐹 ∈ ℝ ∧ 𝐺 ∈ ℝ) → inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ) ≤ 𝐺)
115	91, 93, 114	syl2anc 411	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ) ≤ 𝐺)
116	89, 95, 93, 96, 115	ltletrd 8382	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝐺)
117	73, 116	jca 306	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝐺))
118		limccnp2lem.gj	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝐺) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝐿))
119	118	r19.21bi 2565	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝐺) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝐿))
120	50, 117, 119	sylc 62	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝐿)
121	113, 120	eqbrtrd 4027	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑆) < 𝐿)
122	104, 121	jca 306	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑅) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑆) < 𝐿))
123		oveq2 5885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) = (𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑅))
124	123	breq1d 4015	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝐿 ↔ (𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑅) < 𝐿))
125	124	anbi1d 465	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝐿) ↔ ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑅) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝐿)))
126		oveq1 5884	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (𝑟𝐻𝑠) = (𝑅𝐻𝑠))
127	126	oveq2d 5893	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) = ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑠)))
128	127	breq1d 4015	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝐸 ↔ ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑠)) < 𝐸))
129	125, 128	imbi12d 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝐿) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝐸) ↔ (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑅) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝐿) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑠)) < 𝐸)))
130		oveq2 5885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) = (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑆))
131	130	breq1d 4015	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ((𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝐿 ↔ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑆) < 𝐿))
132	131	anbi2d 464	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑅) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝐿) ↔ ((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑅) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑆) < 𝐿)))
133		oveq2 5885	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (𝑅𝐻𝑠) = (𝑅𝐻𝑆))
134	133	oveq2d 5893	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑠)) = ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑆)))
135	134	breq1d 4015	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → (((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑠)) < 𝐸 ↔ ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑆)) < 𝐸))
136	132, 135	imbi12d 234	. . . . . . 7 ⊢ (𝑠 = 𝑆 → ((((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑅) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝐿) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑠)) < 𝐸) ↔ (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑅) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑆) < 𝐿) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑆)) < 𝐸)))
137	129, 136	rspc2v 2856	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑋 ∧ 𝑆 ∈ 𝑌) → (∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝐿) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝐸) → (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑅) < 𝐿 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑆) < 𝐿) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑆)) < 𝐸)))
138	61, 63, 122, 137	syl3c 63	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑅𝐻𝑆)) < 𝐸)
139	60, 138	eqbrtrrd 4029	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))) → (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))) < 𝐸)
140	139	exp31 364	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < )) → (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))) < 𝐸)))
141	5, 140	ralrimi 2548	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < )) → (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))) < 𝐸))
142		breq2 4009	. . . 4 ⊢ (𝑑 = inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ) → ((abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑑 ↔ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < )))
143	142	anbi2d 464	. . 3 ⊢ (𝑑 = inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ) → ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑑) ↔ (𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ))))
144	143	rspceaimv 2851	. 2 ⊢ ((inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < ) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < inf({𝐹, 𝐺}, ℝ, < )) → (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))) < 𝐸)) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))) < 𝐸))
145	4, 141, 144	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))) < 𝐸))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ∧ w3a 978   = wceq 1353  Ⅎwnf 1460   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ∃wrex 2456  Vcvv 2739   ⊆ wss 3131  {cpr 3595  ⟨cop 3597  ∪ cuni 3811   class class class wbr 4005   ↦ cmpt 4066   × cxp 4626  dom cdm 4628   ↾ cres 4630   ∘ ccom 4632  ⟶wf 5214  ‘cfv 5218  (class class class)co 5877  infcinf 6984  ℂcc 7811  ℝcr 7812   < clt 7994   ≤ cle 7995   − cmin 8130   # cap 8540  ℝ⁺crp 9655  abscabs 11008   ↾_t crest 12693  MetOpencmopn 13530  Topctop 13582  TopOnctopon 13595   CnP ccnp 13771   ×_t ctx 13837   lim_ℂ climc 14208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-coll 4120  ax-sep 4123  ax-nul 4131  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-iinf 4589  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-mulrcl 7912  ax-addcom 7913  ax-mulcom 7914  ax-addass 7915  ax-mulass 7916  ax-distr 7917  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-1rid 7920  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-precex 7923  ax-cnre 7924  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-ltwlin 7926  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-apti 7928  ax-pre-ltadd 7929  ax-pre-mulgt0 7930  ax-pre-mulext 7931  ax-arch 7932  ax-caucvg 7933

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 831  df-dc 835  df-3or 979  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-if 3537  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-iun 3890  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-tr 4104  df-id 4295  df-po 4298  df-iso 4299  df-iord 4368  df-on 4370  df-ilim 4371  df-suc 4373  df-iom 4592  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-f 5222  df-f1 5223  df-fo 5224  df-f1o 5225  df-fv 5226  df-isom 5227  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-1st 6143  df-2nd 6144  df-recs 6308  df-frec 6394  df-map 6652  df-pm 6653  df-sup 6985  df-inf 6986  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-xr 7998  df-ltxr 7999  df-le 8000  df-sub 8132  df-neg 8133  df-reap 8534  df-ap 8541  df-div 8632  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-4 8982  df-n0 9179  df-z 9256  df-uz 9531  df-q 9622  df-rp 9656  df-xneg 9774  df-xadd 9775  df-seqfrec 10448  df-exp 10522  df-cj 10853  df-re 10854  df-im 10855  df-rsqrt 11009  df-abs 11010  df-rest 12695  df-topgen 12714  df-psmet 13532  df-xmet 13533  df-met 13534  df-bl 13535  df-mopn 13536  df-top 13583  df-topon 13596  df-bases 13628  df-cnp 13774  df-tx 13838  df-limced 14210

This theorem is referenced by:  limccnp2cntop  14231