ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  subrg1 GIF version

Theorem subrg1 13312
Description: A subring always has the same multiplicative identity. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
subrg1.1 𝑆 = (𝑅 β†Ύs 𝐴)
subrg1.2 1 = (1rβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
subrg1 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 1 = (1rβ€˜π‘†))

Proof of Theorem subrg1
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 subrg1.2 . 2 1 = (1rβ€˜π‘…)
2 eqid 2177 . . . . 5 (1rβ€˜π‘…) = (1rβ€˜π‘…)
32subrg1cl 13310 . . . 4 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ 𝐴)
4 subrg1.1 . . . . 5 𝑆 = (𝑅 β†Ύs 𝐴)
54subrgbas 13311 . . . 4 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝐴 = (Baseβ€˜π‘†))
63, 5eleqtrd 2256 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘†))
7 eqid 2177 . . . . . . . 8 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
87subrgss 13303 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝐴 βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
95, 8eqsstrrd 3192 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (Baseβ€˜π‘†) βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
109sselda 3155 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…))
11 subrgrcl 13307 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
12 eqid 2177 . . . . . . . 8 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
137, 12, 2ringidmlem 13158 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) = π‘₯))
1411, 13sylan 283 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) = π‘₯))
154, 12ressmulrg 12597 . . . . . . . . . . 11 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ 𝑅 ∈ Ring) β†’ (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘†))
1611, 15mpdan 421 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘†))
1716oveqd 5891 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘†)π‘₯))
1817eqeq1d 2186 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = π‘₯ ↔ ((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘†)π‘₯) = π‘₯))
1916oveqd 5891 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) = (π‘₯(.rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘…)))
2019eqeq1d 2186 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ ((π‘₯(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) = π‘₯ ↔ (π‘₯(.rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘…)) = π‘₯))
2118, 20anbi12d 473 . . . . . . 7 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ ((((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) = π‘₯) ↔ (((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘†)π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯(.rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘…)) = π‘₯)))
2221biimpa 296 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ (((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘…)π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯(.rβ€˜π‘…)(1rβ€˜π‘…)) = π‘₯)) β†’ (((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘†)π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯(.rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘…)) = π‘₯))
2314, 22syldan 282 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘…)) β†’ (((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘†)π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯(.rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘…)) = π‘₯))
2410, 23syldan 282 . . . 4 ((𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)) β†’ (((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘†)π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯(.rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘…)) = π‘₯))
2524ralrimiva 2550 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)(((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘†)π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯(.rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘…)) = π‘₯))
264subrgring 13305 . . . 4 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 𝑆 ∈ Ring)
27 eqid 2177 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘†) = (Baseβ€˜π‘†)
28 eqid 2177 . . . . 5 (.rβ€˜π‘†) = (.rβ€˜π‘†)
29 eqid 2177 . . . . 5 (1rβ€˜π‘†) = (1rβ€˜π‘†)
3027, 28, 29isringid 13161 . . . 4 (𝑆 ∈ Ring β†’ (((1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)(((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘†)π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯(.rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘…)) = π‘₯)) ↔ (1rβ€˜π‘†) = (1rβ€˜π‘…)))
3126, 30syl 14 . . 3 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (((1rβ€˜π‘…) ∈ (Baseβ€˜π‘†) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘†)(((1rβ€˜π‘…)(.rβ€˜π‘†)π‘₯) = π‘₯ ∧ (π‘₯(.rβ€˜π‘†)(1rβ€˜π‘…)) = π‘₯)) ↔ (1rβ€˜π‘†) = (1rβ€˜π‘…)))
326, 25, 31mpbi2and 943 . 2 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ (1rβ€˜π‘†) = (1rβ€˜π‘…))
331, 32eqtr4id 2229 1 (𝐴 ∈ (SubRingβ€˜π‘…) β†’ 1 = (1rβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  βˆ€wral 2455  β€˜cfv 5216  (class class class)co 5874  Basecbs 12456   β†Ύs cress 12457  .rcmulr 12531  1rcur 13095  Ringcrg 13132  SubRingcsubrg 13298
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1cn 7903  ax-1re 7904  ax-icn 7905  ax-addcl 7906  ax-addrcl 7907  ax-mulcl 7908  ax-addcom 7910  ax-addass 7912  ax-i2m1 7915  ax-0lt1 7916  ax-0id 7918  ax-rnegex 7919  ax-pre-ltirr 7922  ax-pre-lttrn 7924  ax-pre-ltadd 7926
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-csb 3058  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-ima 4639  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fn 5219  df-fv 5224  df-riota 5830  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-pnf 7992  df-mnf 7993  df-ltxr 7995  df-inn 8918  df-2 8976  df-3 8977  df-ndx 12459  df-slot 12460  df-base 12462  df-sets 12463  df-iress 12464  df-plusg 12543  df-mulr 12544  df-0g 12697  df-mgm 12729  df-sgrp 12762  df-mnd 12772  df-subg 12983  df-mgp 13084  df-ur 13096  df-ring 13134  df-subrg 13300
This theorem is referenced by:  subrguss  13317  subrginv  13318  subrgunit  13320  subrgnzr  13323  subsubrg  13326  zring1  13382
  Copyright terms: Public domain W3C validator