Theorem subrg1 13357

Description: A subring always has the same multiplicative identity. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrg1.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
subrg1.2	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
subrg1	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 1 = (1r‘𝑆))

Proof of Theorem subrg1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrg1.2	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
2		eqid 2177	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3	2	subrg1cl 13355	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐴)
4		subrg1.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
5	4	subrgbas 13356	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
6	3, 5	eleqtrd 2256	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑆))
7		eqid 2177	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8	7	subrgss 13348	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
9	5, 8	eqsstrrd 3194	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (Base‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑅))
10	9	sselda 3157	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
11		subrgrcl 13352	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
12		eqid 2177	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
13	7, 12, 2	ringidmlem 13210	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑥))
14	11, 13	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑥))
15	4, 12	ressmulrg 12605	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑆))
16	11, 15	mpdan 421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑆))
17	16	oveqd 5894	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = ((1r‘𝑅)(.r‘𝑆)𝑥))
18	17	eqeq1d 2186	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ↔ ((1r‘𝑅)(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥))
19	16	oveqd 5894	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑥(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑥(.r‘𝑆)(1r‘𝑅)))
20	19	eqeq1d 2186	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → ((𝑥(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑥 ↔ (𝑥(.r‘𝑆)(1r‘𝑅)) = 𝑥))
21	18, 20	anbi12d 473	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → ((((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑥) ↔ (((1r‘𝑅)(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)(1r‘𝑅)) = 𝑥)))
22	21	biimpa 296	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑥)) → (((1r‘𝑅)(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)(1r‘𝑅)) = 𝑥))
23	14, 22	syldan 282	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((1r‘𝑅)(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)(1r‘𝑅)) = 𝑥))
24	10, 23	syldan 282	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → (((1r‘𝑅)(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)(1r‘𝑅)) = 𝑥))
25	24	ralrimiva 2550	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)(((1r‘𝑅)(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)(1r‘𝑅)) = 𝑥))
26	4	subrgring 13350	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)
27		eqid 2177	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
28		eqid 2177	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
29		eqid 2177	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
30	27, 28, 29	isringid 13213	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (((1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)(((1r‘𝑅)(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)(1r‘𝑅)) = 𝑥)) ↔ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑅)))
31	26, 30	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (((1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)(((1r‘𝑅)(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)(1r‘𝑅)) = 𝑥)) ↔ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑅)))
32	6, 25, 31	mpbi2and 943	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑆) = (1r‘𝑅))
33	1, 32	eqtr4id 2229	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 1 = (1r‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  ∀wral 2455  ‘cfv 5218  (class class class)co 5877  Basecbs 12464   ↾_s cress 12465  ._rcmulr 12539  1_rcur 13147  Ringcrg 13184  SubRingcsubrg 13343

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7904  ax-resscn 7905  ax-1cn 7906  ax-1re 7907  ax-icn 7908  ax-addcl 7909  ax-addrcl 7910  ax-mulcl 7911  ax-addcom 7913  ax-addass 7915  ax-i2m1 7918  ax-0lt1 7919  ax-0id 7921  ax-rnegex 7922  ax-pre-ltirr 7925  ax-pre-lttrn 7927  ax-pre-ltadd 7929

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-reu 2462  df-rmo 2463  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226  df-riota 5833  df-ov 5880  df-oprab 5881  df-mpo 5882  df-pnf 7996  df-mnf 7997  df-ltxr 7999  df-inn 8922  df-2 8980  df-3 8981  df-ndx 12467  df-slot 12468  df-base 12470  df-sets 12471  df-iress 12472  df-plusg 12551  df-mulr 12552  df-0g 12712  df-mgm 12780  df-sgrp 12813  df-mnd 12823  df-subg 13035  df-mgp 13136  df-ur 13148  df-ring 13186  df-subrg 13345

This theorem is referenced by:  subrguss  13362  subrginv  13363  subrgunit  13365  subrgnzr  13368  subsubrg  13371  zring1  13576