Theorem subrg1 13797

Description: A subring always has the same multiplicative identity. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
subrg1.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
subrg1.2	⊢ 1 = (1r‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
subrg1	⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 1 = (1r‘𝑆))

Proof of Theorem subrg1

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subrg1.2	. 2 ⊢ 1 = (1r‘𝑅)
2		eqid 2196	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3	2	subrg1cl 13795	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) ∈ 𝐴)
4		subrg1.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
5	4	subrgbas 13796	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 = (Base‘𝑆))
6	3, 5	eleqtrd 2275	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑆))
7		eqid 2196	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8	7	subrgss 13788	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝐴 ⊆ (Base‘𝑅))
9	5, 8	eqsstrrd 3221	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (Base‘𝑆) ⊆ (Base‘𝑅))
10	9	sselda 3184	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑅))
11		subrgrcl 13792	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑅 ∈ Ring)
12		eqid 2196	. . . . . . . 8 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
13	7, 12, 2	ringidmlem 13588	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑥))
14	11, 13	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑥))
15	4, 12	ressmulrg 12832	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑅 ∈ Ring) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑆))
16	11, 15	mpdan 421	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑆))
17	16	oveqd 5940	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → ((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = ((1r‘𝑅)(.r‘𝑆)𝑥))
18	17	eqeq1d 2205	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ↔ ((1r‘𝑅)(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥))
19	16	oveqd 5940	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (𝑥(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = (𝑥(.r‘𝑆)(1r‘𝑅)))
20	19	eqeq1d 2205	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → ((𝑥(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑥 ↔ (𝑥(.r‘𝑆)(1r‘𝑅)) = 𝑥))
21	18, 20	anbi12d 473	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → ((((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑥) ↔ (((1r‘𝑅)(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)(1r‘𝑅)) = 𝑥)))
22	21	biimpa 296	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ (((1r‘𝑅)(.r‘𝑅)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑅)(1r‘𝑅)) = 𝑥)) → (((1r‘𝑅)(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)(1r‘𝑅)) = 𝑥))
23	14, 22	syldan 282	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑅)) → (((1r‘𝑅)(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)(1r‘𝑅)) = 𝑥))
24	10, 23	syldan 282	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝑆)) → (((1r‘𝑅)(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)(1r‘𝑅)) = 𝑥))
25	24	ralrimiva 2570	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)(((1r‘𝑅)(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)(1r‘𝑅)) = 𝑥))
26	4	subrgring 13790	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 𝑆 ∈ Ring)
27		eqid 2196	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑆) = (Base‘𝑆)
28		eqid 2196	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
29		eqid 2196	. . . . 5 ⊢ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑆)
30	27, 28, 29	isringid 13591	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ Ring → (((1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)(((1r‘𝑅)(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)(1r‘𝑅)) = 𝑥)) ↔ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑅)))
31	26, 30	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (((1r‘𝑅) ∈ (Base‘𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ (Base‘𝑆)(((1r‘𝑅)(.r‘𝑆)𝑥) = 𝑥 ∧ (𝑥(.r‘𝑆)(1r‘𝑅)) = 𝑥)) ↔ (1r‘𝑆) = (1r‘𝑅)))
32	6, 25, 31	mpbi2and 945	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → (1r‘𝑆) = (1r‘𝑅))
33	1, 32	eqtr4id 2248	1 ⊢ (𝐴 ∈ (SubRing‘𝑅) → 1 = (1r‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ‘cfv 5259  (class class class)co 5923  Basecbs 12688   ↾_s cress 12689  ._rcmulr 12766  1_rcur 13525  Ringcrg 13562  SubRingcsubrg 13783

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4152  ax-pow 4208  ax-pr 4243  ax-un 4469  ax-setind 4574  ax-cnex 7972  ax-resscn 7973  ax-1cn 7974  ax-1re 7975  ax-icn 7976  ax-addcl 7977  ax-addrcl 7978  ax-mulcl 7979  ax-addcom 7981  ax-addass 7983  ax-i2m1 7986  ax-0lt1 7987  ax-0id 7989  ax-rnegex 7990  ax-pre-ltirr 7993  ax-pre-lttrn 7995  ax-pre-ltadd 7997

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3452  df-pw 3608  df-sn 3629  df-pr 3630  df-op 3632  df-uni 3841  df-int 3876  df-br 4035  df-opab 4096  df-mpt 4097  df-id 4329  df-xp 4670  df-rel 4671  df-cnv 4672  df-co 4673  df-dm 4674  df-rn 4675  df-res 4676  df-ima 4677  df-iota 5220  df-fun 5261  df-fn 5262  df-fv 5267  df-riota 5878  df-ov 5926  df-oprab 5927  df-mpo 5928  df-pnf 8065  df-mnf 8066  df-ltxr 8068  df-inn 8993  df-2 9051  df-3 9052  df-ndx 12691  df-slot 12692  df-base 12694  df-sets 12695  df-iress 12696  df-plusg 12778  df-mulr 12779  df-0g 12939  df-mgm 13009  df-sgrp 13055  df-mnd 13068  df-subg 13310  df-mgp 13487  df-ur 13526  df-ring 13564  df-subrg 13785

This theorem is referenced by:  subrguss  13802  subrginv  13803  subrgunit  13805  subrgnzr  13808  subsubrg  13811  sralmod  14016  zring1  14167