Theorem lspsnneg 14399

Description: Negation does not change the span of a singleton. (Contributed by NM, 24-Apr-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnneg.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnneg.m	⊢ 𝑀 = (invg‘𝑊)
lspsnneg.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsnneg	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑀‘𝑋)}) = (𝑁‘{𝑋}))

Proof of Theorem lspsnneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsnneg.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lspsnneg.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (invg‘𝑊)
3		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
5		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
6		eqid 2229	. . . . . 6 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝑊)) = (invg‘(Scalar‘𝑊))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	lmodvneg1 14309	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = (𝑀‘𝑋))
8	7	sneqd 3679	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)} = {(𝑀‘𝑋)})
9	8	fveq2d 5633	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)}) = (𝑁‘{(𝑀‘𝑋)}))
10		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
11	3	lmodfgrp 14275	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
12		eqid 2229	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
13	3, 12, 5	lmod1cl 14294	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
14	12, 6	grpinvcl 13596	. . . . . 6 ⊢ (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
15	11, 13, 14	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
16	15	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
17		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
18		lspsnneg.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
19	3, 12, 1, 4, 18	lspsnvsi 14397	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
20	10, 16, 17, 19	syl3anc 1271	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
21	9, 20	eqsstrrd 3261	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑀‘𝑋)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
22	1, 2	lmodvnegcl 14307	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘𝑋) ∈ 𝑉)
23	1, 2, 3, 4, 5, 6	lmodvneg1 14309	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑀‘𝑋) ∈ 𝑉) → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑀‘𝑋)) = (𝑀‘(𝑀‘𝑋)))
24	22, 23	syldan 282	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑀‘𝑋)) = (𝑀‘(𝑀‘𝑋)))
25		lmodgrp 14273	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
26	1, 2	grpinvinv 13615	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝑀‘𝑋)) = 𝑋)
27	25, 26	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝑀‘𝑋)) = 𝑋)
28	24, 27	eqtrd 2262	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑀‘𝑋)) = 𝑋)
29	28	sneqd 3679	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑀‘𝑋))} = {𝑋})
30	29	fveq2d 5633	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑀‘𝑋))}) = (𝑁‘{𝑋}))
31	3, 12, 1, 4, 18	lspsnvsi 14397	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑀‘𝑋) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑀‘𝑋))}) ⊆ (𝑁‘{(𝑀‘𝑋)}))
32	10, 16, 22, 31	syl3anc 1271	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑀‘𝑋))}) ⊆ (𝑁‘{(𝑀‘𝑋)}))
33	30, 32	eqsstrrd 3261	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{(𝑀‘𝑋)}))
34	21, 33	eqssd 3241	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑀‘𝑋)}) = (𝑁‘{𝑋}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1395   ∈ wcel 2200   ⊆ wss 3197  {csn 3666  ‘cfv 5318  (class class class)co 6007  Basecbs 13047  Scalarcsca 13128   ·_𝑠 cvsca 13129  Grpcgrp 13548  inv_gcminusg 13549  1_rcur 13937  LModclmod 14266  LSpanclspn 14365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-coll 4199  ax-sep 4202  ax-pow 4258  ax-pr 4293  ax-un 4524  ax-setind 4629  ax-cnex 8101  ax-resscn 8102  ax-1cn 8103  ax-1re 8104  ax-icn 8105  ax-addcl 8106  ax-addrcl 8107  ax-mulcl 8108  ax-addcom 8110  ax-addass 8112  ax-i2m1 8115  ax-0lt1 8116  ax-0id 8118  ax-rnegex 8119  ax-pre-ltirr 8122  ax-pre-ltadd 8126

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-nel 2496  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rmo 2516  df-rab 2517  df-v 2801  df-sbc 3029  df-csb 3125  df-dif 3199  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-nul 3492  df-pw 3651  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-uni 3889  df-int 3924  df-iun 3967  df-br 4084  df-opab 4146  df-mpt 4147  df-id 4384  df-xp 4725  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-res 4731  df-ima 4732  df-iota 5278  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325  df-fv 5326  df-riota 5960  df-ov 6010  df-oprab 6011  df-mpo 6012  df-1st 6292  df-2nd 6293  df-pnf 8194  df-mnf 8195  df-ltxr 8197  df-inn 9122  df-2 9180  df-3 9181  df-4 9182  df-5 9183  df-6 9184  df-ndx 13050  df-slot 13051  df-base 13053  df-sets 13054  df-plusg 13138  df-mulr 13139  df-sca 13141  df-vsca 13142  df-0g 13306  df-mgm 13404  df-sgrp 13450  df-mnd 13465  df-grp 13551  df-minusg 13552  df-sbg 13553  df-mgp 13899  df-ur 13938  df-ring 13976  df-lmod 14268  df-lssm 14332  df-lsp 14366

This theorem is referenced by:  lspsnsub  14400  lmodindp1  14407