Theorem lspsnneg 14100

Description: Negation does not change the span of a singleton. (Contributed by NM, 24-Apr-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnneg.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnneg.m	⊢ 𝑀 = (invg‘𝑊)
lspsnneg.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsnneg	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑀‘𝑋)}) = (𝑁‘{𝑋}))

Proof of Theorem lspsnneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsnneg.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lspsnneg.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (invg‘𝑊)
3		eqid 2204	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4		eqid 2204	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
5		eqid 2204	. . . . . 6 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
6		eqid 2204	. . . . . 6 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝑊)) = (invg‘(Scalar‘𝑊))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	lmodvneg1 14010	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = (𝑀‘𝑋))
8	7	sneqd 3645	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)} = {(𝑀‘𝑋)})
9	8	fveq2d 5574	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)}) = (𝑁‘{(𝑀‘𝑋)}))
10		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
11	3	lmodfgrp 13976	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
12		eqid 2204	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
13	3, 12, 5	lmod1cl 13995	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
14	12, 6	grpinvcl 13298	. . . . . 6 ⊢ (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
15	11, 13, 14	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
16	15	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
17		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
18		lspsnneg.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
19	3, 12, 1, 4, 18	lspsnvsi 14098	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
20	10, 16, 17, 19	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
21	9, 20	eqsstrrd 3229	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑀‘𝑋)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
22	1, 2	lmodvnegcl 14008	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘𝑋) ∈ 𝑉)
23	1, 2, 3, 4, 5, 6	lmodvneg1 14010	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑀‘𝑋) ∈ 𝑉) → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑀‘𝑋)) = (𝑀‘(𝑀‘𝑋)))
24	22, 23	syldan 282	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑀‘𝑋)) = (𝑀‘(𝑀‘𝑋)))
25		lmodgrp 13974	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
26	1, 2	grpinvinv 13317	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝑀‘𝑋)) = 𝑋)
27	25, 26	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝑀‘𝑋)) = 𝑋)
28	24, 27	eqtrd 2237	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑀‘𝑋)) = 𝑋)
29	28	sneqd 3645	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑀‘𝑋))} = {𝑋})
30	29	fveq2d 5574	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑀‘𝑋))}) = (𝑁‘{𝑋}))
31	3, 12, 1, 4, 18	lspsnvsi 14098	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑀‘𝑋) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑀‘𝑋))}) ⊆ (𝑁‘{(𝑀‘𝑋)}))
32	10, 16, 22, 31	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑀‘𝑋))}) ⊆ (𝑁‘{(𝑀‘𝑋)}))
33	30, 32	eqsstrrd 3229	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{(𝑀‘𝑋)}))
34	21, 33	eqssd 3209	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑀‘𝑋)}) = (𝑁‘{𝑋}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1372   ∈ wcel 2175   ⊆ wss 3165  {csn 3632  ‘cfv 5268  (class class class)co 5934  Basecbs 12751  Scalarcsca 12831   ·_𝑠 cvsca 12832  Grpcgrp 13250  inv_gcminusg 13251  1_rcur 13639  LModclmod 13967  LSpanclspn 14066

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1469  ax-7 1470  ax-gen 1471  ax-ie1 1515  ax-ie2 1516  ax-8 1526  ax-10 1527  ax-11 1528  ax-i12 1529  ax-bndl 1531  ax-4 1532  ax-17 1548  ax-i9 1552  ax-ial 1556  ax-i5r 1557  ax-13 2177  ax-14 2178  ax-ext 2186  ax-coll 4158  ax-sep 4161  ax-pow 4217  ax-pr 4252  ax-un 4478  ax-setind 4583  ax-cnex 7998  ax-resscn 7999  ax-1cn 8000  ax-1re 8001  ax-icn 8002  ax-addcl 8003  ax-addrcl 8004  ax-mulcl 8005  ax-addcom 8007  ax-addass 8009  ax-i2m1 8012  ax-0lt1 8013  ax-0id 8015  ax-rnegex 8016  ax-pre-ltirr 8019  ax-pre-ltadd 8023

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1375  df-fal 1378  df-nf 1483  df-sb 1785  df-eu 2056  df-mo 2057  df-clab 2191  df-cleq 2197  df-clel 2200  df-nfc 2336  df-ne 2376  df-nel 2471  df-ral 2488  df-rex 2489  df-reu 2490  df-rmo 2491  df-rab 2492  df-v 2773  df-sbc 2998  df-csb 3093  df-dif 3167  df-un 3169  df-in 3171  df-ss 3178  df-nul 3460  df-pw 3617  df-sn 3638  df-pr 3639  df-op 3641  df-uni 3850  df-int 3885  df-iun 3928  df-br 4044  df-opab 4105  df-mpt 4106  df-id 4338  df-xp 4679  df-rel 4680  df-cnv 4681  df-co 4682  df-dm 4683  df-rn 4684  df-res 4685  df-ima 4686  df-iota 5229  df-fun 5270  df-fn 5271  df-f 5272  df-f1 5273  df-fo 5274  df-f1o 5275  df-fv 5276  df-riota 5889  df-ov 5937  df-oprab 5938  df-mpo 5939  df-1st 6216  df-2nd 6217  df-pnf 8091  df-mnf 8092  df-ltxr 8094  df-inn 9019  df-2 9077  df-3 9078  df-4 9079  df-5 9080  df-6 9081  df-ndx 12754  df-slot 12755  df-base 12757  df-sets 12758  df-plusg 12841  df-mulr 12842  df-sca 12844  df-vsca 12845  df-0g 13008  df-mgm 13106  df-sgrp 13152  df-mnd 13167  df-grp 13253  df-minusg 13254  df-sbg 13255  df-mgp 13601  df-ur 13640  df-ring 13678  df-lmod 13969  df-lssm 14033  df-lsp 14067

This theorem is referenced by:  lspsnsub  14101  lmodindp1  14108