Theorem lspsnneg 13976

Description: Negation does not change the span of a singleton. (Contributed by NM, 24-Apr-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
lspsnneg.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lspsnneg.m	⊢ 𝑀 = (invg‘𝑊)
lspsnneg.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lspsnneg	⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑀‘𝑋)}) = (𝑁‘{𝑋}))

Proof of Theorem lspsnneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lspsnneg.v	. . . . . 6 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
2		lspsnneg.m	. . . . . 6 ⊢ 𝑀 = (invg‘𝑊)
3		eqid 2196	. . . . . 6 ⊢ (Scalar‘𝑊) = (Scalar‘𝑊)
4		eqid 2196	. . . . . 6 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝑊) = ( ·𝑠 ‘𝑊)
5		eqid 2196	. . . . . 6 ⊢ (1r‘(Scalar‘𝑊)) = (1r‘(Scalar‘𝑊))
6		eqid 2196	. . . . . 6 ⊢ (invg‘(Scalar‘𝑊)) = (invg‘(Scalar‘𝑊))
7	1, 2, 3, 4, 5, 6	lmodvneg1 13886	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋) = (𝑀‘𝑋))
8	7	sneqd 3635	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)} = {(𝑀‘𝑋)})
9	8	fveq2d 5562	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)}) = (𝑁‘{(𝑀‘𝑋)}))
10		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑊 ∈ LMod)
11	3	lmodfgrp 13852	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (Scalar‘𝑊) ∈ Grp)
12		eqid 2196	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑊)) = (Base‘(Scalar‘𝑊))
13	3, 12, 5	lmod1cl 13871	. . . . . 6 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
14	12, 6	grpinvcl 13180	. . . . . 6 ⊢ (((Scalar‘𝑊) ∈ Grp ∧ (1r‘(Scalar‘𝑊)) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊))) → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
15	11, 13, 14	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
16	15	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)))
17		simpr 110	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → 𝑋 ∈ 𝑉)
18		lspsnneg.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
19	3, 12, 1, 4, 18	lspsnvsi 13974	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
20	10, 16, 17, 19	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)𝑋)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
21	9, 20	eqsstrrd 3220	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑀‘𝑋)}) ⊆ (𝑁‘{𝑋}))
22	1, 2	lmodvnegcl 13884	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘𝑋) ∈ 𝑉)
23	1, 2, 3, 4, 5, 6	lmodvneg1 13886	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ (𝑀‘𝑋) ∈ 𝑉) → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑀‘𝑋)) = (𝑀‘(𝑀‘𝑋)))
24	22, 23	syldan 282	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑀‘𝑋)) = (𝑀‘(𝑀‘𝑋)))
25		lmodgrp 13850	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → 𝑊 ∈ Grp)
26	1, 2	grpinvinv 13199	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑊 ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝑀‘𝑋)) = 𝑋)
27	25, 26	sylan 283	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑀‘(𝑀‘𝑋)) = 𝑋)
28	24, 27	eqtrd 2229	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑀‘𝑋)) = 𝑋)
29	28	sneqd 3635	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → {(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑀‘𝑋))} = {𝑋})
30	29	fveq2d 5562	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑀‘𝑋))}) = (𝑁‘{𝑋}))
31	3, 12, 1, 4, 18	lspsnvsi 13974	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ ((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊))) ∈ (Base‘(Scalar‘𝑊)) ∧ (𝑀‘𝑋) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑀‘𝑋))}) ⊆ (𝑁‘{(𝑀‘𝑋)}))
32	10, 16, 22, 31	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(((invg‘(Scalar‘𝑊))‘(1r‘(Scalar‘𝑊)))( ·𝑠 ‘𝑊)(𝑀‘𝑋))}) ⊆ (𝑁‘{(𝑀‘𝑋)}))
33	30, 32	eqsstrrd 3220	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ⊆ (𝑁‘{(𝑀‘𝑋)}))
34	21, 33	eqssd 3200	1 ⊢ ((𝑊 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑀‘𝑋)}) = (𝑁‘{𝑋}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ⊆ wss 3157  {csn 3622  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  Basecbs 12678  Scalarcsca 12758   ·_𝑠 cvsca 12759  Grpcgrp 13132  inv_gcminusg 13133  1_rcur 13515  LModclmod 13843  LSpanclspn 13942

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-5 9052  df-6 9053  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-sca 12771  df-vsca 12772  df-0g 12929  df-mgm 12999  df-sgrp 13045  df-mnd 13058  df-grp 13135  df-minusg 13136  df-sbg 13137  df-mgp 13477  df-ur 13516  df-ring 13554  df-lmod 13845  df-lssm 13909  df-lsp 13943

This theorem is referenced by:  lspsnsub  13977  lmodindp1  13984