ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  lspsnneg GIF version

Theorem lspsnneg 13572
Description: Negation does not change the span of a singleton. (Contributed by NM, 24-Apr-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 19-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
lspsnneg.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lspsnneg.m 𝑀 = (invgβ€˜π‘Š)
lspsnneg.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
Assertion
Ref Expression
lspsnneg ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{(π‘€β€˜π‘‹)}) = (π‘β€˜{𝑋}))

Proof of Theorem lspsnneg
StepHypRef Expression
1 lspsnneg.v . . . . . 6 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
2 lspsnneg.m . . . . . 6 𝑀 = (invgβ€˜π‘Š)
3 eqid 2187 . . . . . 6 (Scalarβ€˜π‘Š) = (Scalarβ€˜π‘Š)
4 eqid 2187 . . . . . 6 ( ·𝑠 β€˜π‘Š) = ( ·𝑠 β€˜π‘Š)
5 eqid 2187 . . . . . 6 (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
6 eqid 2187 . . . . . 6 (invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
71, 2, 3, 4, 5, 6lmodvneg1 13482 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋) = (π‘€β€˜π‘‹))
87sneqd 3617 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ {(((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)} = {(π‘€β€˜π‘‹)})
98fveq2d 5531 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{(((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)}) = (π‘β€˜{(π‘€β€˜π‘‹)}))
10 simpl 109 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ π‘Š ∈ LMod)
113lmodfgrp 13448 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LMod β†’ (Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Grp)
12 eqid 2187 . . . . . . 7 (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) = (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))
133, 12, 5lmod1cl 13467 . . . . . 6 (π‘Š ∈ LMod β†’ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
1412, 6grpinvcl 12942 . . . . . 6 (((Scalarβ€˜π‘Š) ∈ Grp ∧ (1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) β†’ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
1511, 13, 14syl2anc 411 . . . . 5 (π‘Š ∈ LMod β†’ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
1615adantr 276 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))
17 simpr 110 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
18 lspsnneg.n . . . . 5 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
193, 12, 1, 4, 18lspsnvsi 13570 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{(((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋}))
2010, 16, 17, 19syl3anc 1248 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{(((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)𝑋)}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋}))
219, 20eqsstrrd 3204 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{(π‘€β€˜π‘‹)}) βŠ† (π‘β€˜{𝑋}))
221, 2lmodvnegcl 13480 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑉)
231, 2, 3, 4, 5, 6lmodvneg1 13482 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ LMod ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑉) β†’ (((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘€β€˜π‘‹)) = (π‘€β€˜(π‘€β€˜π‘‹)))
2422, 23syldan 282 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘€β€˜π‘‹)) = (π‘€β€˜(π‘€β€˜π‘‹)))
25 lmodgrp 13446 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ π‘Š ∈ Grp)
261, 2grpinvinv 12961 . . . . . . 7 ((π‘Š ∈ Grp ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘€β€˜(π‘€β€˜π‘‹)) = 𝑋)
2725, 26sylan 283 . . . . . 6 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘€β€˜(π‘€β€˜π‘‹)) = 𝑋)
2824, 27eqtrd 2220 . . . . 5 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘€β€˜π‘‹)) = 𝑋)
2928sneqd 3617 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ {(((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘€β€˜π‘‹))} = {𝑋})
3029fveq2d 5531 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{(((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘€β€˜π‘‹))}) = (π‘β€˜{𝑋}))
313, 12, 1, 4, 18lspsnvsi 13570 . . . 4 ((π‘Š ∈ LMod ∧ ((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))) ∈ (Baseβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)) ∧ (π‘€β€˜π‘‹) ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{(((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘€β€˜π‘‹))}) βŠ† (π‘β€˜{(π‘€β€˜π‘‹)}))
3210, 16, 22, 31syl3anc 1248 . . 3 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{(((invgβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š))β€˜(1rβ€˜(Scalarβ€˜π‘Š)))( ·𝑠 β€˜π‘Š)(π‘€β€˜π‘‹))}) βŠ† (π‘β€˜{(π‘€β€˜π‘‹)}))
3330, 32eqsstrrd 3204 . 2 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† (π‘β€˜{(π‘€β€˜π‘‹)}))
3421, 33eqssd 3184 1 ((π‘Š ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) β†’ (π‘β€˜{(π‘€β€˜π‘‹)}) = (π‘β€˜{𝑋}))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1363   ∈ wcel 2158   βŠ† wss 3141  {csn 3604  β€˜cfv 5228  (class class class)co 5888  Basecbs 12475  Scalarcsca 12553   ·𝑠 cvsca 12554  Grpcgrp 12896  invgcminusg 12897  1rcur 13196  LModclmod 13439  LSpanclspn 13538
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-addcom 7924  ax-addass 7926  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltadd 7940
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-ltxr 8010  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-5 8994  df-6 8995  df-ndx 12478  df-slot 12479  df-base 12481  df-sets 12482  df-plusg 12563  df-mulr 12564  df-sca 12566  df-vsca 12567  df-0g 12724  df-mgm 12793  df-sgrp 12826  df-mnd 12837  df-grp 12899  df-minusg 12900  df-sbg 12901  df-mgp 13163  df-ur 13197  df-ring 13235  df-lmod 13441  df-lssm 13505  df-lsp 13539
This theorem is referenced by:  lspsnsub  13573  lmodindp1  13580
  Copyright terms: Public domain W3C validator