Theorem metequiv2 15734

Description: If there is a sequence of radii approaching zero for which the balls of both metrics coincide, then the generated topologies are equivalent. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
metequiv.3	⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
metequiv.4	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
metequiv2	⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)) → 𝐽 = 𝐾))

Distinct variable groups:   𝑠,𝑟,𝑥,𝐶   𝐽,𝑟,𝑠,𝑥   𝐾,𝑟,𝑠,𝑥   𝐷,𝑟,𝑠,𝑥   𝑋,𝑟,𝑠,𝑥

Proof of Theorem metequiv2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simprrr 546	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)))) → (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠))
2		simplll 539	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)))) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
3		simplr 533	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)))) → 𝑥 ∈ 𝑋)
4		simprlr 544	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)))) → 𝑠 ∈ ℝ+)
5	4	rpxrd 10116	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)))) → 𝑠 ∈ ℝ*)
6		simprll 543	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)))) → 𝑟 ∈ ℝ+)
7	6	rpxrd 10116	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)))) → 𝑟 ∈ ℝ*)
8		simprrl 545	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)))) → 𝑠 ≤ 𝑟)
9		ssbl 15664	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑠 ∈ ℝ* ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 ≤ 𝑟) → (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟))
10	2, 3, 5, 7, 8, 9	syl221anc 1289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)))) → (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟))
11	1, 10	eqsstrrd 3285	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)))) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟))
12		simpllr 540	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
13		ssbl 15664	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑠 ∈ ℝ* ∧ 𝑟 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠 ≤ 𝑟) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))
14	12, 3, 5, 7, 8, 13	syl221anc 1289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)))) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))
15	1, 14	eqsstrd 3284	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)))) → (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))
16	11, 15	jca 306	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)))) → ((𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟)))
17	16	expr 375	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 𝑠 ∈ ℝ+)) → ((𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)) → ((𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))))
18	17	anassrs 404	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → ((𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)) → ((𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))))
19	18	reximdva 2652	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ ((𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))))
20		r19.40 2705	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑠 ∈ ℝ+ ((𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟)) → (∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟)))
21	19, 20	syl6 33	. . . . 5 ⊢ ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)) → (∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))))
22	21	ralimdva 2617	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)) → ∀𝑟 ∈ ℝ+ (∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))))
23		r19.26 2677	. . . 4 ⊢ (∀𝑟 ∈ ℝ+ (∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟)) ↔ (∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟)))
24	22, 23	imbitrdi 161	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)) → (∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))))
25	24	ralimdva 2617	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)) → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))))
26		metequiv.3	. . 3 ⊢ 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
27		metequiv.4	. . 3 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
28	26, 27	metequiv 15733	. 2 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → (𝐽 = 𝐾 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑋 (∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))))
29	25, 28	sylibrd 169	1 ⊢ ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → (∀𝑥 ∈ 𝑋 ∀𝑟 ∈ ℝ+ ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠 ≤ 𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)) → 𝐽 = 𝐾))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529   ⊆ wss 3220   class class class wbr 4131  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ℝ^*cxr 8366   ≤ cle 8368  ℝ⁺crp 10072  ∞Metcxmet 14983  ballcbl 14985  MetOpencmopn 14988

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4248  ax-sep 4251  ax-nul 4261  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-iinf 4737  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1cn 8279  ax-1re 8280  ax-icn 8281  ax-addcl 8282  ax-addrcl 8283  ax-mulcl 8284  ax-mulrcl 8285  ax-addcom 8286  ax-mulcom 8287  ax-addass 8288  ax-mulass 8289  ax-distr 8290  ax-i2m1 8291  ax-0lt1 8292  ax-1rid 8293  ax-0id 8294  ax-rnegex 8295  ax-precex 8296  ax-cnre 8297  ax-pre-ltirr 8298  ax-pre-ltwlin 8299  ax-pre-lttrn 8300  ax-pre-apti 8301  ax-pre-ltadd 8302  ax-pre-mulgt0 8303  ax-pre-mulext 8304  ax-arch 8305  ax-caucvg 8306

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 843  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-tr 4232  df-id 4440  df-po 4443  df-iso 4444  df-iord 4513  df-on 4515  df-ilim 4516  df-suc 4518  df-iom 4740  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-ima 4789  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fn 5383  df-f 5384  df-f1 5385  df-fo 5386  df-f1o 5387  df-fv 5388  df-isom 5389  df-riota 6041  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-recs 6580  df-frec 6666  df-map 6928  df-sup 7331  df-inf 7332  df-pnf 8369  df-mnf 8370  df-xr 8371  df-ltxr 8372  df-le 8373  df-sub 8507  df-neg 8508  df-reap 8912  df-ap 8919  df-div 9012  df-inn 9315  df-2 9373  df-3 9374  df-4 9375  df-n0 9576  df-z 9657  df-uz 9939  df-q 10037  df-rp 10073  df-xneg 10192  df-xadd 10193  df-seqfrec 10907  df-exp 10998  df-cj 11630  df-re 11631  df-im 11632  df-rsqrt 11787  df-abs 11788  df-topgen 13674  df-psmet 14990  df-xmet 14991  df-bl 14993  df-mopn 14994  df-top 15236  df-bases 15281

This theorem is used by:  bdmopn  15742