ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  metequiv2 GIF version

Theorem metequiv2 13251
Description: If there is a sequence of radii approaching zero for which the balls of both metrics coincide, then the generated topologies are equivalent. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
metequiv.3 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
metequiv.4 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
Assertion
Ref Expression
metequiv2 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → (∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)) → 𝐽 = 𝐾))
Distinct variable groups:   𝑠,𝑟,𝑥,𝐶   𝐽,𝑟,𝑠,𝑥   𝐾,𝑟,𝑠,𝑥   𝐷,𝑟,𝑠,𝑥   𝑋,𝑟,𝑠,𝑥

Proof of Theorem metequiv2
StepHypRef Expression
1 simprrr 535 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑠𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)))) → (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠))
2 simplll 528 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑠𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)))) → 𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋))
3 simplr 525 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑠𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)))) → 𝑥𝑋)
4 simprlr 533 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑠𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)))) → 𝑠 ∈ ℝ+)
54rpxrd 9643 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑠𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)))) → 𝑠 ∈ ℝ*)
6 simprll 532 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑠𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)))) → 𝑟 ∈ ℝ+)
76rpxrd 9643 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑠𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)))) → 𝑟 ∈ ℝ*)
8 simprrl 534 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑠𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)))) → 𝑠𝑟)
9 ssbl 13181 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑟 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠𝑟) → (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟))
102, 3, 5, 7, 8, 9syl221anc 1244 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑠𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)))) → (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟))
111, 10eqsstrrd 3184 . . . . . . . . . 10 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑠𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)))) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟))
12 simpllr 529 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑠𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)))) → 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋))
13 ssbl 13181 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑠 ∈ ℝ*𝑟 ∈ ℝ*) ∧ 𝑠𝑟) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))
1412, 3, 5, 7, 8, 13syl221anc 1244 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑠𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)))) → (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))
151, 14eqsstrd 3183 . . . . . . . . . 10 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑠𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)))) → (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))
1611, 15jca 304 . . . . . . . . 9 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥𝑋) ∧ ((𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+) ∧ (𝑠𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)))) → ((𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟)))
1716expr 373 . . . . . . . 8 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥𝑋) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+)) → ((𝑠𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)) → ((𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))))
1817anassrs 398 . . . . . . 7 (((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) ∧ 𝑠 ∈ ℝ+) → ((𝑠𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)) → ((𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))))
1918reximdva 2572 . . . . . 6 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)) → ∃𝑠 ∈ ℝ+ ((𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))))
20 r19.40 2624 . . . . . 6 (∃𝑠 ∈ ℝ+ ((𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟)) → (∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟)))
2119, 20syl6 33 . . . . 5 ((((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥𝑋) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)) → (∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))))
2221ralimdva 2537 . . . 4 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥𝑋) → (∀𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)) → ∀𝑟 ∈ ℝ+ (∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))))
23 r19.26 2596 . . . 4 (∀𝑟 ∈ ℝ+ (∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∧ ∃𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟)) ↔ (∀𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟)))
2422, 23syl6ib 160 . . 3 (((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) ∧ 𝑥𝑋) → (∀𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)) → (∀𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))))
2524ralimdva 2537 . 2 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → (∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)) → ∀𝑥𝑋 (∀𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))))
26 metequiv.3 . . 3 𝐽 = (MetOpen‘𝐶)
27 metequiv.4 . . 3 𝐾 = (MetOpen‘𝐷)
2826, 27metequiv 13250 . 2 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → (𝐽 = 𝐾 ↔ ∀𝑥𝑋 (∀𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐷)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐶)𝑟) ∧ ∀𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) ⊆ (𝑥(ball‘𝐷)𝑟))))
2925, 28sylibrd 168 1 ((𝐶 ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ 𝐷 ∈ (∞Met‘𝑋)) → (∀𝑥𝑋𝑟 ∈ ℝ+𝑠 ∈ ℝ+ (𝑠𝑟 ∧ (𝑥(ball‘𝐶)𝑠) = (𝑥(ball‘𝐷)𝑠)) → 𝐽 = 𝐾))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103   = wceq 1348  wcel 2141  wral 2448  wrex 2449  wss 3121   class class class wbr 3987  cfv 5196  (class class class)co 5851  *cxr 7942  cle 7944  +crp 9599  ∞Metcxmet 12735  ballcbl 12737  MetOpencmopn 12740
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 609  ax-in2 610  ax-io 704  ax-5 1440  ax-7 1441  ax-gen 1442  ax-ie1 1486  ax-ie2 1487  ax-8 1497  ax-10 1498  ax-11 1499  ax-i12 1500  ax-bndl 1502  ax-4 1503  ax-17 1519  ax-i9 1523  ax-ial 1527  ax-i5r 1528  ax-13 2143  ax-14 2144  ax-ext 2152  ax-coll 4102  ax-sep 4105  ax-nul 4113  ax-pow 4158  ax-pr 4192  ax-un 4416  ax-setind 4519  ax-iinf 4570  ax-cnex 7854  ax-resscn 7855  ax-1cn 7856  ax-1re 7857  ax-icn 7858  ax-addcl 7859  ax-addrcl 7860  ax-mulcl 7861  ax-mulrcl 7862  ax-addcom 7863  ax-mulcom 7864  ax-addass 7865  ax-mulass 7866  ax-distr 7867  ax-i2m1 7868  ax-0lt1 7869  ax-1rid 7870  ax-0id 7871  ax-rnegex 7872  ax-precex 7873  ax-cnre 7874  ax-pre-ltirr 7875  ax-pre-ltwlin 7876  ax-pre-lttrn 7877  ax-pre-apti 7878  ax-pre-ltadd 7879  ax-pre-mulgt0 7880  ax-pre-mulext 7881  ax-arch 7882  ax-caucvg 7883
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 826  df-dc 830  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1351  df-fal 1354  df-nf 1454  df-sb 1756  df-eu 2022  df-mo 2023  df-clab 2157  df-cleq 2163  df-clel 2166  df-nfc 2301  df-ne 2341  df-nel 2436  df-ral 2453  df-rex 2454  df-reu 2455  df-rmo 2456  df-rab 2457  df-v 2732  df-sbc 2956  df-csb 3050  df-dif 3123  df-un 3125  df-in 3127  df-ss 3134  df-nul 3415  df-if 3526  df-pw 3566  df-sn 3587  df-pr 3588  df-op 3590  df-uni 3795  df-int 3830  df-iun 3873  df-br 3988  df-opab 4049  df-mpt 4050  df-tr 4086  df-id 4276  df-po 4279  df-iso 4280  df-iord 4349  df-on 4351  df-ilim 4352  df-suc 4354  df-iom 4573  df-xp 4615  df-rel 4616  df-cnv 4617  df-co 4618  df-dm 4619  df-rn 4620  df-res 4621  df-ima 4622  df-iota 5158  df-fun 5198  df-fn 5199  df-f 5200  df-f1 5201  df-fo 5202  df-f1o 5203  df-fv 5204  df-isom 5205  df-riota 5807  df-ov 5854  df-oprab 5855  df-mpo 5856  df-1st 6117  df-2nd 6118  df-recs 6282  df-frec 6368  df-map 6625  df-sup 6958  df-inf 6959  df-pnf 7945  df-mnf 7946  df-xr 7947  df-ltxr 7948  df-le 7949  df-sub 8081  df-neg 8082  df-reap 8483  df-ap 8490  df-div 8579  df-inn 8868  df-2 8926  df-3 8927  df-4 8928  df-n0 9125  df-z 9202  df-uz 9477  df-q 9568  df-rp 9600  df-xneg 9718  df-xadd 9719  df-seqfrec 10391  df-exp 10465  df-cj 10795  df-re 10796  df-im 10797  df-rsqrt 10951  df-abs 10952  df-topgen 12589  df-psmet 12742  df-xmet 12743  df-bl 12745  df-mopn 12746  df-top 12751  df-bases 12796
This theorem is referenced by:  bdmopn  13259
  Copyright terms: Public domain W3C validator