Theorem limccnp2cntop 14831

Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. Binary operation version. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 14-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
limccnp2.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ 𝑋)
limccnp2.s	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 ∈ 𝑌)
limccnp2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
limccnp2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℂ)
limccnp2cntop.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
limccnp2.j	⊢ 𝐽 = ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌))
limccnp2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) limℂ 𝐵))
limccnp2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑆) limℂ 𝐵))
limccnp2.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩))

Assertion

Ref	Expression
limccnp2cntop	⊢ (𝜑 → (𝐶𝐻𝐷) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝑅𝐻𝑆)) limℂ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐻   𝑥,𝑋   𝑥,𝐴   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem limccnp2cntop

Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 𝑗 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccnp2.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌))
2		limccnp2cntop.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
3	2	cntoptopon 14700	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
4		txtopon 14430	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐾 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ)))
5	3, 3, 4	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ))
6		limccnp2.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
7		limccnp2.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℂ)
8		xpss12 4766	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ⊆ ℂ ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → (𝑋 × 𝑌) ⊆ (ℂ × ℂ))
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ⊆ (ℂ × ℂ))
10		resttopon 14339	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ)) ∧ (𝑋 × 𝑌) ⊆ (ℂ × ℂ)) → ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌)) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
11	5, 9, 10	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌)) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
12	1, 11	eqeltrid 2280	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
13	3	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
14		limccnp2.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩))
15		cnpf2 14375	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐻 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩)) → 𝐻:(𝑋 × 𝑌)⟶ℂ)
16	12, 13, 14, 15	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(𝑋 × 𝑌)⟶ℂ)
17	2	cntoptop 14701	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 ∈ Top
18	17	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
19		txtop 14428	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → (𝐾 ×t 𝐾) ∈ Top)
20	17, 18, 19	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ×t 𝐾) ∈ Top)
21		cnex 7996	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂ ∈ V
22	21	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
23	22, 6	ssexd 4169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
24	22, 7	ssexd 4169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ V)
25		xpexg 4773	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝑋 × 𝑌) ∈ V)
26	23, 24, 25	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ∈ V)
27		resttop 14338	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ×t 𝐾) ∈ Top ∧ (𝑋 × 𝑌) ∈ V) → ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌)) ∈ Top)
28	20, 26, 27	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌)) ∈ Top)
29	1, 28	eqeltrid 2280	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
30		toptopon2 14187	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
31	29, 30	sylib 122	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
32		cnprcl2k 14374	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐻 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩)) → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ ∪ 𝐽)
33	31, 18, 14, 32	syl3anc 1249	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ ∪ 𝐽)
34		toponuni 14183	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)) → (𝑋 × 𝑌) = ∪ 𝐽)
35	12, 34	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = ∪ 𝐽)
36	33, 35	eleqtrrd 2273	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
37		opelxp 4689	. . . . 5 ⊢ (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌) ↔ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌))
38	36, 37	sylib 122	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌))
39	38	simpld 112	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
40	38	simprd 114	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
41	16, 39, 40	fovcdmd 6063	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶𝐻𝐷) ∈ ℂ)
42		txrest 14444	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V)) → ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌)) = ((𝐾 ↾t 𝑋) ×t (𝐾 ↾t 𝑌)))
43	18, 18, 23, 24, 42	syl22anc 1250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌)) = ((𝐾 ↾t 𝑋) ×t (𝐾 ↾t 𝑌)))
44	1, 43	eqtrid 2238	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = ((𝐾 ↾t 𝑋) ×t (𝐾 ↾t 𝑌)))
45		cnxmet 14699	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
46		eqid 2193	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))
47		eqid 2193	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
48	46, 2, 47	metrest 14674	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → (𝐾 ↾t 𝑋) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))))
49	45, 6, 48	sylancr 414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t 𝑋) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))))
50		eqid 2193	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))
51		eqid 2193	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)))
52	50, 2, 51	metrest 14674	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → (𝐾 ↾t 𝑌) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))))
53	45, 7, 52	sylancr 414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t 𝑌) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))))
54	49, 53	oveq12d 5936	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ↾t 𝑋) ×t (𝐾 ↾t 𝑌)) = ((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))) ×t (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
55	44, 54	eqtrd 2226	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = ((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))) ×t (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
56	55	oveq1d 5933	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐽 CnP 𝐾) = (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))) ×t (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)))) CnP 𝐾))
57	56	fveq1d 5556	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩) = ((((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))) ×t (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)))) CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩))
58	14, 57	eleqtrd 2272	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ((((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))) ×t (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)))) CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩))
59		xmetres2 14547	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (∞Met‘𝑋))
60	45, 6, 59	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (∞Met‘𝑋))
61		xmetres2 14547	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
62	45, 7, 61	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
63	45	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
64	47, 51, 2	txmetcnp 14686	. . . . . . . 8 ⊢ (((((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) → (𝐻 ∈ ((((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))) ×t (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)))) CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩) ↔ (𝐻:(𝑋 × 𝑌)⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℝ+ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))))
65	60, 62, 63, 38, 64	syl31anc 1252	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ ((((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))) ×t (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)))) CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩) ↔ (𝐻:(𝑋 × 𝑌)⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℝ+ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))))
66	58, 65	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐻:(𝑋 × 𝑌)⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℝ+ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒)))
67	66	simprd 114	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℝ+ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))
68	67	r19.21bi 2582	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℝ+ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))
69		simpll 527	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) → 𝜑)
70		simprl 529	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) → 𝑗 ∈ ℝ+)
71		limccnp2.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) limℂ 𝐵))
72		eqid 2193	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)
73		limccnp2.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ 𝑋)
74	72, 73	dmmptd 5384	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) = 𝐴)
75		limcrcl 14812	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) limℂ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅):dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)⟶ℂ ∧ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
76	71, 75	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅):dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)⟶ℂ ∧ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
77	76	simp2d 1012	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ⊆ ℂ)
78	74, 77	eqsstrrd 3216	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
79	76	simp3d 1013	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
80	6	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑋 ⊆ ℂ)
81	80, 73	sseldd 3180	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℂ)
82	78, 79, 81	limcmpted 14817	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) limℂ 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑗 ∈ ℝ+ ∃𝑓 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗))))
83	71, 82	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑗 ∈ ℝ+ ∃𝑓 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗)))
84	83	simprd 114	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ ℝ+ ∃𝑓 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗))
85	84	r19.21bi 2582	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗))
86	69, 70, 85	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) → ∃𝑓 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗))
87	69	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗))) → 𝜑)
88		simplrl 535	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗))) → 𝑗 ∈ ℝ+)
89		limccnp2.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑆) limℂ 𝐵))
90	7	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑌 ⊆ ℂ)
91		limccnp2.s	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 ∈ 𝑌)
92	90, 91	sseldd 3180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 ∈ ℂ)
93	78, 79, 92	limcmpted 14817	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑆) limℂ 𝐵) ↔ (𝐷 ∈ ℂ ∧ ∀𝑗 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑗))))
94	89, 93	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ ∀𝑗 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑗)))
95	94	simprd 114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑗))
96	95	r19.21bi 2582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ+) → ∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑗))
97	87, 88, 96	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗))) → ∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑗))
98		simp-5l 543	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑗))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝜑)
99	98, 73	sylancom 420	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑗))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ 𝑋)
100	98, 91	sylancom 420	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑗))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 ∈ 𝑌)
101	6	ad4antr 494	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑗))) → 𝑋 ⊆ ℂ)
102	7	ad4antr 494	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑗))) → 𝑌 ⊆ ℂ)
103	71	ad4antr 494	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑗))) → 𝐶 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) limℂ 𝐵))
104	89	ad4antr 494	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑗))) → 𝐷 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑆) limℂ 𝐵))
105	14	ad4antr 494	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑗))) → 𝐻 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩))
106		nfv 1539	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒)))
107		nfv 1539	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑓 ∈ ℝ+
108		nfra1 2525	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗)
109	107, 108	nfan 1576	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗))
110	106, 109	nfan 1576	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗)))
111		nfv 1539	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑔 ∈ ℝ+
112		nfra1 2525	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑗)
113	111, 112	nfan 1576	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑗))
114	110, 113	nfan 1576	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑗)))
115		simp-4r 542	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑗))) → 𝑒 ∈ ℝ+)
116	70	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑗))) → 𝑗 ∈ ℝ+)
117		simprr 531	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) → ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))
118	117	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑗))) → ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))
119		simplrl 535	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑗))) → 𝑓 ∈ ℝ+)
120		simplrr 536	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑗))) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗))
121		simprl 529	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑗))) → 𝑔 ∈ ℝ+)
122		simprr 531	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑗))) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑗))
123	99, 100, 101, 102, 2, 1, 103, 104, 105, 114, 115, 116, 118, 119, 120, 121, 122	limccnp2lem 14830	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑗))) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))) < 𝑒))
124	97, 123	rexlimddv 2616	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗))) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))) < 𝑒))
125	86, 124	rexlimddv 2616	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))) < 𝑒))
126	68, 125	rexlimddv 2616	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))) < 𝑒))
127	126	ralrimiva 2567	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))) < 𝑒))
128	16	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻:(𝑋 × 𝑌)⟶ℂ)
129	128, 73, 91	fovcdmd 6063	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑅𝐻𝑆) ∈ ℂ)
130	78, 79, 129	limcmpted 14817	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶𝐻𝐷) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝑅𝐻𝑆)) limℂ 𝐵) ↔ ((𝐶𝐻𝐷) ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))) < 𝑒))))
131	41, 127, 130	mpbir2and 946	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶𝐻𝐷) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝑅𝐻𝑆)) limℂ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  ∀wral 2472  ∃wrex 2473  Vcvv 2760   ⊆ wss 3153  ⟨cop 3621  ∪ cuni 3835   class class class wbr 4029   ↦ cmpt 4090   × cxp 4657  dom cdm 4659   ↾ cres 4661   ∘ ccom 4663  ⟶wf 5250  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  ℂcc 7870   < clt 8054   − cmin 8190   # cap 8600  ℝ⁺crp 9719  abscabs 11141   ↾_t crest 12850  ∞Metcxmet 14032  MetOpencmopn 14037  Topctop 14165  TopOnctopon 14178   CnP ccnp 14354   ×_t ctx 14420   lim_ℂ climc 14808

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-nul 4155  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-iinf 4620  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-mulrcl 7971  ax-addcom 7972  ax-mulcom 7973  ax-addass 7974  ax-mulass 7975  ax-distr 7976  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-1rid 7979  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-precex 7982  ax-cnre 7983  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltwlin 7985  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-apti 7987  ax-pre-ltadd 7988  ax-pre-mulgt0 7989  ax-pre-mulext 7990  ax-arch 7991  ax-caucvg 7992

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rmo 2480  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-if 3558  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-tr 4128  df-id 4324  df-po 4327  df-iso 4328  df-iord 4397  df-on 4399  df-ilim 4400  df-suc 4402  df-iom 4623  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-isom 5263  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-1st 6193  df-2nd 6194  df-recs 6358  df-frec 6444  df-map 6704  df-pm 6705  df-sup 7043  df-inf 7044  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-xr 8058  df-ltxr 8059  df-le 8060  df-sub 8192  df-neg 8193  df-reap 8594  df-ap 8601  df-div 8692  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-4 9043  df-n0 9241  df-z 9318  df-uz 9593  df-q 9685  df-rp 9720  df-xneg 9838  df-xadd 9839  df-seqfrec 10519  df-exp 10610  df-cj 10986  df-re 10987  df-im 10988  df-rsqrt 11142  df-abs 11143  df-rest 12852  df-topgen 12871  df-psmet 14039  df-xmet 14040  df-met 14041  df-bl 14042  df-mopn 14043  df-top 14166  df-topon 14179  df-bases 14211  df-cnp 14357  df-tx 14421  df-limced 14810

This theorem is referenced by:  dvcnp2cntop  14848  dvaddxxbr  14850  dvmulxxbr  14851  dvcoapbr  14856