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Theorem limccnp2cntop 12689
 Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. Binary operation version. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 14-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
limccnp2.r ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑅𝑋)
limccnp2.s ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑆𝑌)
limccnp2.x (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
limccnp2.y (𝜑𝑌 ⊆ ℂ)
limccnp2cntop.k 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
limccnp2.j 𝐽 = ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌))
limccnp2.c (𝜑𝐶 ∈ ((𝑥𝐴𝑅) lim 𝐵))
limccnp2.d (𝜑𝐷 ∈ ((𝑥𝐴𝑆) lim 𝐵))
limccnp2.h (𝜑𝐻 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩))
Assertion
Ref Expression
limccnp2cntop (𝜑 → (𝐶𝐻𝐷) ∈ ((𝑥𝐴 ↦ (𝑅𝐻𝑆)) lim 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐻   𝑥,𝑋   𝑥,𝐴   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem limccnp2cntop
Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 𝑗 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccnp2.j . . . . 5 𝐽 = ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌))
2 limccnp2cntop.k . . . . . . . 8 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
32cntoptopon 12596 . . . . . . 7 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
4 txtopon 12326 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐾 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ)))
53, 3, 4mp2an 420 . . . . . 6 (𝐾 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ))
6 limccnp2.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
7 limccnp2.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ⊆ ℂ)
8 xpss12 4614 . . . . . . 7 ((𝑋 ⊆ ℂ ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → (𝑋 × 𝑌) ⊆ (ℂ × ℂ))
96, 7, 8syl2anc 406 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ⊆ (ℂ × ℂ))
10 resttopon 12235 . . . . . 6 (((𝐾 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ)) ∧ (𝑋 × 𝑌) ⊆ (ℂ × ℂ)) → ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌)) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
115, 9, 10sylancr 408 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌)) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
121, 11eqeltrid 2202 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
133a1i 9 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
14 limccnp2.h . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩))
15 cnpf2 12271 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐻 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩)) → 𝐻:(𝑋 × 𝑌)⟶ℂ)
1612, 13, 14, 15syl3anc 1199 . . 3 (𝜑𝐻:(𝑋 × 𝑌)⟶ℂ)
172cntoptop 12597 . . . . . . . . . . 11 𝐾 ∈ Top
1817a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ Top)
19 txtop 12324 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → (𝐾 ×t 𝐾) ∈ Top)
2017, 18, 19sylancr 408 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾 ×t 𝐾) ∈ Top)
21 cnex 7708 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ ∈ V
2221a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℂ ∈ V)
2322, 6ssexd 4036 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ V)
2422, 7ssexd 4036 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ∈ V)
25 xpexg 4621 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝑋 × 𝑌) ∈ V)
2623, 24, 25syl2anc 406 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ∈ V)
27 resttop 12234 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ×t 𝐾) ∈ Top ∧ (𝑋 × 𝑌) ∈ V) → ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌)) ∈ Top)
2820, 26, 27syl2anc 406 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌)) ∈ Top)
291, 28eqeltrid 2202 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ Top)
30 toptopon2 12081 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
3129, 30sylib 121 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
32 cnprcl2k 12270 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐻 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩)) → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ 𝐽)
3331, 18, 14, 32syl3anc 1199 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ 𝐽)
34 toponuni 12077 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)) → (𝑋 × 𝑌) = 𝐽)
3512, 34syl 14 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = 𝐽)
3633, 35eleqtrrd 2195 . . . . 5 (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
37 opelxp 4537 . . . . 5 (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌) ↔ (𝐶𝑋𝐷𝑌))
3836, 37sylib 121 . . . 4 (𝜑 → (𝐶𝑋𝐷𝑌))
3938simpld 111 . . 3 (𝜑𝐶𝑋)
4038simprd 113 . . 3 (𝜑𝐷𝑌)
4116, 39, 40fovrnd 5881 . 2 (𝜑 → (𝐶𝐻𝐷) ∈ ℂ)
42 txrest 12340 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V)) → ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌)) = ((𝐾t 𝑋) ×t (𝐾t 𝑌)))
4318, 18, 23, 24, 42syl22anc 1200 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌)) = ((𝐾t 𝑋) ×t (𝐾t 𝑌)))
441, 43syl5eq 2160 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 = ((𝐾t 𝑋) ×t (𝐾t 𝑌)))
45 cnxmet 12595 . . . . . . . . . . . . 13 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
46 eqid 2115 . . . . . . . . . . . . . 14 ((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))
47 eqid 2115 . . . . . . . . . . . . . 14 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
4846, 2, 47metrest 12570 . . . . . . . . . . . . 13 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → (𝐾t 𝑋) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))))
4945, 6, 48sylancr 408 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐾t 𝑋) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))))
50 eqid 2115 . . . . . . . . . . . . . 14 ((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))
51 eqid 2115 . . . . . . . . . . . . . 14 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)))
5250, 2, 51metrest 12570 . . . . . . . . . . . . 13 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → (𝐾t 𝑌) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))))
5345, 7, 52sylancr 408 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐾t 𝑌) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))))
5449, 53oveq12d 5758 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐾t 𝑋) ×t (𝐾t 𝑌)) = ((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))) ×t (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
5544, 54eqtrd 2148 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 = ((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))) ×t (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
5655oveq1d 5755 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐽 CnP 𝐾) = (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))) ×t (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)))) CnP 𝐾))
5756fveq1d 5389 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐽 CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩) = ((((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))) ×t (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)))) CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩))
5814, 57eleqtrd 2194 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 ∈ ((((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))) ×t (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)))) CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩))
59 xmetres2 12443 . . . . . . . . 9 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (∞Met‘𝑋))
6045, 6, 59sylancr 408 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (∞Met‘𝑋))
61 xmetres2 12443 . . . . . . . . 9 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
6245, 7, 61sylancr 408 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
6345a1i 9 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
6447, 51, 2txmetcnp 12582 . . . . . . . 8 (((((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) → (𝐻 ∈ ((((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))) ×t (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)))) CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩) ↔ (𝐻:(𝑋 × 𝑌)⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℝ+𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))))
6560, 62, 63, 38, 64syl31anc 1202 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐻 ∈ ((((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))) ×t (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)))) CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩) ↔ (𝐻:(𝑋 × 𝑌)⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℝ+𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))))
6658, 65mpbid 146 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻:(𝑋 × 𝑌)⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℝ+𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒)))
6766simprd 113 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℝ+𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))
6867r19.21bi 2495 . . . 4 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℝ+𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))
69 simpll 501 . . . . . 6 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) → 𝜑)
70 simprl 503 . . . . . 6 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) → 𝑗 ∈ ℝ+)
71 limccnp2.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ((𝑥𝐴𝑅) lim 𝐵))
72 eqid 2115 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐴𝑅) = (𝑥𝐴𝑅)
73 limccnp2.r . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑅𝑋)
7472, 73dmmptd 5221 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝑅) = 𝐴)
75 limcrcl 12670 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶 ∈ ((𝑥𝐴𝑅) lim 𝐵) → ((𝑥𝐴𝑅):dom (𝑥𝐴𝑅)⟶ℂ ∧ dom (𝑥𝐴𝑅) ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
7671, 75syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝑅):dom (𝑥𝐴𝑅)⟶ℂ ∧ dom (𝑥𝐴𝑅) ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
7776simp2d 977 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝑅) ⊆ ℂ)
7874, 77eqsstrrd 3102 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
7976simp3d 978 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
806adantr 272 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑋 ⊆ ℂ)
8180, 73sseldd 3066 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑅 ∈ ℂ)
8278, 79, 81limcmpted 12675 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑥𝐴𝑅) lim 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑗 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗))))
8371, 82mpbid 146 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑗 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗)))
8483simprd 113 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗))
8584r19.21bi 2495 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ ℝ+𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗))
8669, 70, 85syl2anc 406 . . . . 5 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) → ∃𝑓 ∈ ℝ+𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗))
8769adantr 272 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗))) → 𝜑)
88 simplrl 507 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗))) → 𝑗 ∈ ℝ+)
89 limccnp2.d . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ ((𝑥𝐴𝑆) lim 𝐵))
907adantr 272 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑌 ⊆ ℂ)
91 limccnp2.s . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑆𝑌)
9290, 91sseldd 3066 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑆 ∈ ℂ)
9378, 79, 92limcmpted 12675 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷 ∈ ((𝑥𝐴𝑆) lim 𝐵) ↔ (𝐷 ∈ ℂ ∧ ∀𝑗 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ℝ+𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆𝐷)) < 𝑗))))
9489, 93mpbid 146 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ ∀𝑗 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ℝ+𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆𝐷)) < 𝑗)))
9594simprd 113 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ℝ+𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆𝐷)) < 𝑗))
9695r19.21bi 2495 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℝ+) → ∃𝑔 ∈ ℝ+𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆𝐷)) < 𝑗))
9787, 88, 96syl2anc 406 . . . . . 6 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗))) → ∃𝑔 ∈ ℝ+𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆𝐷)) < 𝑗))
98 simp-5l 515 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆𝐷)) < 𝑗))) ∧ 𝑥𝐴) → 𝜑)
9998, 73sylancom 414 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆𝐷)) < 𝑗))) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑅𝑋)
10098, 91sylancom 414 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆𝐷)) < 𝑗))) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑆𝑌)
1016ad4antr 483 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆𝐷)) < 𝑗))) → 𝑋 ⊆ ℂ)
1027ad4antr 483 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆𝐷)) < 𝑗))) → 𝑌 ⊆ ℂ)
10371ad4antr 483 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆𝐷)) < 𝑗))) → 𝐶 ∈ ((𝑥𝐴𝑅) lim 𝐵))
10489ad4antr 483 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆𝐷)) < 𝑗))) → 𝐷 ∈ ((𝑥𝐴𝑆) lim 𝐵))
10514ad4antr 483 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆𝐷)) < 𝑗))) → 𝐻 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩))
106 nfv 1491 . . . . . . . . 9 𝑥((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒)))
107 nfv 1491 . . . . . . . . . 10 𝑥 𝑓 ∈ ℝ+
108 nfra1 2441 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗)
109107, 108nfan 1527 . . . . . . . . 9 𝑥(𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗))
110106, 109nfan 1527 . . . . . . . 8 𝑥(((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗)))
111 nfv 1491 . . . . . . . . 9 𝑥 𝑔 ∈ ℝ+
112 nfra1 2441 . . . . . . . . 9 𝑥𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆𝐷)) < 𝑗)
113111, 112nfan 1527 . . . . . . . 8 𝑥(𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆𝐷)) < 𝑗))
114110, 113nfan 1527 . . . . . . 7 𝑥((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆𝐷)) < 𝑗)))
115 simp-4r 514 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆𝐷)) < 𝑗))) → 𝑒 ∈ ℝ+)
11670ad2antrr 477 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆𝐷)) < 𝑗))) → 𝑗 ∈ ℝ+)
117 simprr 504 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) → ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))
118117ad2antrr 477 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆𝐷)) < 𝑗))) → ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))
119 simplrl 507 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆𝐷)) < 𝑗))) → 𝑓 ∈ ℝ+)
120 simplrr 508 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆𝐷)) < 𝑗))) → ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗))
121 simprl 503 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆𝐷)) < 𝑗))) → 𝑔 ∈ ℝ+)
122 simprr 504 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆𝐷)) < 𝑗))) → ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆𝐷)) < 𝑗))
12399, 100, 101, 102, 2, 1, 103, 104, 105, 114, 115, 116, 118, 119, 120, 121, 122limccnp2lem 12688 . . . . . 6 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆𝐷)) < 𝑗))) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))) < 𝑒))
12497, 123rexlimddv 2529 . . . . 5 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗))) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))) < 𝑒))
12586, 124rexlimddv 2529 . . . 4 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))) < 𝑒))
12668, 125rexlimddv 2529 . . 3 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))) < 𝑒))
127126ralrimiva 2480 . 2 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))) < 𝑒))
12816adantr 272 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐻:(𝑋 × 𝑌)⟶ℂ)
129128, 73, 91fovrnd 5881 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑅𝐻𝑆) ∈ ℂ)
13078, 79, 129limcmpted 12675 . 2 (𝜑 → ((𝐶𝐻𝐷) ∈ ((𝑥𝐴 ↦ (𝑅𝐻𝑆)) lim 𝐵) ↔ ((𝐶𝐻𝐷) ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))) < 𝑒))))
13141, 127, 130mpbir2and 911 1 (𝜑 → (𝐶𝐻𝐷) ∈ ((𝑥𝐴 ↦ (𝑅𝐻𝑆)) lim 𝐵))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   ∧ w3a 945   = wceq 1314   ∈ wcel 1463  ∀wral 2391  ∃wrex 2392  Vcvv 2658   ⊆ wss 3039  ⟨cop 3498  ∪ cuni 3704   class class class wbr 3897   ↦ cmpt 3957   × cxp 4505  dom cdm 4507   ↾ cres 4509   ∘ ccom 4511  ⟶wf 5087  ‘cfv 5091  (class class class)co 5740  ℂcc 7582   < clt 7764   − cmin 7897   # cap 8306  ℝ+crp 9390  abscabs 10709   ↾t crest 12015  ∞Metcxmet 12044  MetOpencmopn 12049  Topctop 12059  TopOnctopon 12072   CnP ccnp 12250   ×t ctx 12316   limℂ climc 12666 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 586  ax-in2 587  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-13 1474  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-coll 4011  ax-sep 4014  ax-nul 4022  ax-pow 4066  ax-pr 4099  ax-un 4323  ax-setind 4420  ax-iinf 4470  ax-cnex 7675  ax-resscn 7676  ax-1cn 7677  ax-1re 7678  ax-icn 7679  ax-addcl 7680  ax-addrcl 7681  ax-mulcl 7682  ax-mulrcl 7683  ax-addcom 7684  ax-mulcom 7685  ax-addass 7686  ax-mulass 7687  ax-distr 7688  ax-i2m1 7689  ax-0lt1 7690  ax-1rid 7691  ax-0id 7692  ax-rnegex 7693  ax-precex 7694  ax-cnre 7695  ax-pre-ltirr 7696  ax-pre-ltwlin 7697  ax-pre-lttrn 7698  ax-pre-apti 7699  ax-pre-ltadd 7700  ax-pre-mulgt0 7701  ax-pre-mulext 7702  ax-arch 7703  ax-caucvg 7704 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 799  df-dc 803  df-3or 946  df-3an 947  df-tru 1317  df-fal 1320  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ne 2284  df-nel 2379  df-ral 2396  df-rex 2397  df-reu 2398  df-rmo 2399  df-rab 2400  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-dif 3041  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-nul 3332  df-if 3443  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-int 3740  df-iun 3783  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-tr 3995  df-id 4183  df-po 4186  df-iso 4187  df-iord 4256  df-on 4258  df-ilim 4259  df-suc 4261  df-iom 4473  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-ima 4520  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099  df-isom 5100  df-riota 5696  df-ov 5743  df-oprab 5744  df-mpo 5745  df-1st 6004  df-2nd 6005  df-recs 6168  df-frec 6254  df-map 6510  df-pm 6511  df-sup 6837  df-inf 6838  df-pnf 7766  df-mnf 7767  df-xr 7768  df-ltxr 7769  df-le 7770  df-sub 7899  df-neg 7900  df-reap 8300  df-ap 8307  df-div 8393  df-inn 8678  df-2 8736  df-3 8737  df-4 8738  df-n0 8929  df-z 9006  df-uz 9276  df-q 9361  df-rp 9391  df-xneg 9499  df-xadd 9500  df-seqfrec 10159  df-exp 10233  df-cj 10554  df-re 10555  df-im 10556  df-rsqrt 10710  df-abs 10711  df-rest 12017  df-topgen 12036  df-psmet 12051  df-xmet 12052  df-met 12053  df-bl 12054  df-mopn 12055  df-top 12060  df-topon 12073  df-bases 12105  df-cnp 12253  df-tx 12317  df-limced 12668 This theorem is referenced by:  dvcnp2cntop  12706  dvaddxxbr  12708  dvmulxxbr  12709  dvcoapbr  12714
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