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Theorem limccnp2cntop 13244
Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. Binary operation version. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 14-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
limccnp2.r ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑅𝑋)
limccnp2.s ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑆𝑌)
limccnp2.x (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
limccnp2.y (𝜑𝑌 ⊆ ℂ)
limccnp2cntop.k 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
limccnp2.j 𝐽 = ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌))
limccnp2.c (𝜑𝐶 ∈ ((𝑥𝐴𝑅) lim 𝐵))
limccnp2.d (𝜑𝐷 ∈ ((𝑥𝐴𝑆) lim 𝐵))
limccnp2.h (𝜑𝐻 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩))
Assertion
Ref Expression
limccnp2cntop (𝜑 → (𝐶𝐻𝐷) ∈ ((𝑥𝐴 ↦ (𝑅𝐻𝑆)) lim 𝐵))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐻   𝑥,𝑋   𝑥,𝐴   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥
Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem limccnp2cntop
Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 𝑗 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccnp2.j . . . . 5 𝐽 = ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌))
2 limccnp2cntop.k . . . . . . . 8 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
32cntoptopon 13130 . . . . . . 7 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
4 txtopon 12860 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐾 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ)))
53, 3, 4mp2an 423 . . . . . 6 (𝐾 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ))
6 limccnp2.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
7 limccnp2.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ⊆ ℂ)
8 xpss12 4708 . . . . . . 7 ((𝑋 ⊆ ℂ ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → (𝑋 × 𝑌) ⊆ (ℂ × ℂ))
96, 7, 8syl2anc 409 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ⊆ (ℂ × ℂ))
10 resttopon 12769 . . . . . 6 (((𝐾 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ)) ∧ (𝑋 × 𝑌) ⊆ (ℂ × ℂ)) → ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌)) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
115, 9, 10sylancr 411 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌)) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
121, 11eqeltrid 2251 . . . 4 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
133a1i 9 . . . 4 (𝜑𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
14 limccnp2.h . . . 4 (𝜑𝐻 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩))
15 cnpf2 12805 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐻 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩)) → 𝐻:(𝑋 × 𝑌)⟶ℂ)
1612, 13, 14, 15syl3anc 1227 . . 3 (𝜑𝐻:(𝑋 × 𝑌)⟶ℂ)
172cntoptop 13131 . . . . . . . . . . 11 𝐾 ∈ Top
1817a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐾 ∈ Top)
19 txtop 12858 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → (𝐾 ×t 𝐾) ∈ Top)
2017, 18, 19sylancr 411 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐾 ×t 𝐾) ∈ Top)
21 cnex 7871 . . . . . . . . . . . . 13 ℂ ∈ V
2221a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℂ ∈ V)
2322, 6ssexd 4119 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ V)
2422, 7ssexd 4119 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ∈ V)
25 xpexg 4715 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝑋 × 𝑌) ∈ V)
2623, 24, 25syl2anc 409 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ∈ V)
27 resttop 12768 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ×t 𝐾) ∈ Top ∧ (𝑋 × 𝑌) ∈ V) → ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌)) ∈ Top)
2820, 26, 27syl2anc 409 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌)) ∈ Top)
291, 28eqeltrid 2251 . . . . . . . 8 (𝜑𝐽 ∈ Top)
30 toptopon2 12615 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
3129, 30sylib 121 . . . . . . 7 (𝜑𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽))
32 cnprcl2k 12804 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOn‘ 𝐽) ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐻 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩)) → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ 𝐽)
3331, 18, 14, 32syl3anc 1227 . . . . . 6 (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ 𝐽)
34 toponuni 12611 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)) → (𝑋 × 𝑌) = 𝐽)
3512, 34syl 14 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = 𝐽)
3633, 35eleqtrrd 2244 . . . . 5 (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
37 opelxp 4631 . . . . 5 (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌) ↔ (𝐶𝑋𝐷𝑌))
3836, 37sylib 121 . . . 4 (𝜑 → (𝐶𝑋𝐷𝑌))
3938simpld 111 . . 3 (𝜑𝐶𝑋)
4038simprd 113 . . 3 (𝜑𝐷𝑌)
4116, 39, 40fovrnd 5980 . 2 (𝜑 → (𝐶𝐻𝐷) ∈ ℂ)
42 txrest 12874 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V)) → ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌)) = ((𝐾t 𝑋) ×t (𝐾t 𝑌)))
4318, 18, 23, 24, 42syl22anc 1228 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌)) = ((𝐾t 𝑋) ×t (𝐾t 𝑌)))
441, 43syl5eq 2209 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝐽 = ((𝐾t 𝑋) ×t (𝐾t 𝑌)))
45 cnxmet 13129 . . . . . . . . . . . . 13 (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
46 eqid 2164 . . . . . . . . . . . . . 14 ((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))
47 eqid 2164 . . . . . . . . . . . . . 14 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
4846, 2, 47metrest 13104 . . . . . . . . . . . . 13 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → (𝐾t 𝑋) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))))
4945, 6, 48sylancr 411 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐾t 𝑋) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))))
50 eqid 2164 . . . . . . . . . . . . . 14 ((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))
51 eqid 2164 . . . . . . . . . . . . . 14 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)))
5250, 2, 51metrest 13104 . . . . . . . . . . . . 13 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → (𝐾t 𝑌) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))))
5345, 7, 52sylancr 411 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝐾t 𝑌) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))))
5449, 53oveq12d 5857 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝐾t 𝑋) ×t (𝐾t 𝑌)) = ((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))) ×t (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
5544, 54eqtrd 2197 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐽 = ((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))) ×t (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
5655oveq1d 5854 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐽 CnP 𝐾) = (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))) ×t (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)))) CnP 𝐾))
5756fveq1d 5485 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((𝐽 CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩) = ((((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))) ×t (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)))) CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩))
5814, 57eleqtrd 2243 . . . . . . 7 (𝜑𝐻 ∈ ((((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))) ×t (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)))) CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩))
59 xmetres2 12977 . . . . . . . . 9 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (∞Met‘𝑋))
6045, 6, 59sylancr 411 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (∞Met‘𝑋))
61 xmetres2 12977 . . . . . . . . 9 (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
6245, 7, 61sylancr 411 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
6345a1i 9 . . . . . . . 8 (𝜑 → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
6447, 51, 2txmetcnp 13116 . . . . . . . 8 (((((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)) ∧ (𝐶𝑋𝐷𝑌)) → (𝐻 ∈ ((((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))) ×t (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)))) CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩) ↔ (𝐻:(𝑋 × 𝑌)⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℝ+𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))))
6560, 62, 63, 38, 64syl31anc 1230 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐻 ∈ ((((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))) ×t (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)))) CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩) ↔ (𝐻:(𝑋 × 𝑌)⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℝ+𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))))
6658, 65mpbid 146 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐻:(𝑋 × 𝑌)⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℝ+𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒)))
6766simprd 113 . . . . 5 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑗 ∈ ℝ+𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))
6867r19.21bi 2552 . . . 4 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℝ+𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))
69 simpll 519 . . . . . 6 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) → 𝜑)
70 simprl 521 . . . . . 6 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) → 𝑗 ∈ ℝ+)
71 limccnp2.c . . . . . . . . 9 (𝜑𝐶 ∈ ((𝑥𝐴𝑅) lim 𝐵))
72 eqid 2164 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥𝐴𝑅) = (𝑥𝐴𝑅)
73 limccnp2.r . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑅𝑋)
7472, 73dmmptd 5315 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝑅) = 𝐴)
75 limcrcl 13225 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐶 ∈ ((𝑥𝐴𝑅) lim 𝐵) → ((𝑥𝐴𝑅):dom (𝑥𝐴𝑅)⟶ℂ ∧ dom (𝑥𝐴𝑅) ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
7671, 75syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝑅):dom (𝑥𝐴𝑅)⟶ℂ ∧ dom (𝑥𝐴𝑅) ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
7776simp2d 999 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → dom (𝑥𝐴𝑅) ⊆ ℂ)
7874, 77eqsstrrd 3177 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐴 ⊆ ℂ)
7976simp3d 1000 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
806adantr 274 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑋 ⊆ ℂ)
8180, 73sseldd 3141 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑅 ∈ ℂ)
8278, 79, 81limcmpted 13230 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑥𝐴𝑅) lim 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑗 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗))))
8371, 82mpbid 146 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑗 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗)))
8483simprd 113 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ ℝ+𝑓 ∈ ℝ+𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗))
8584r19.21bi 2552 . . . . . 6 ((𝜑𝑗 ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ ℝ+𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗))
8669, 70, 85syl2anc 409 . . . . 5 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) → ∃𝑓 ∈ ℝ+𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗))
8769adantr 274 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗))) → 𝜑)
88 simplrl 525 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗))) → 𝑗 ∈ ℝ+)
89 limccnp2.d . . . . . . . . . 10 (𝜑𝐷 ∈ ((𝑥𝐴𝑆) lim 𝐵))
907adantr 274 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑌 ⊆ ℂ)
91 limccnp2.s . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑆𝑌)
9290, 91sseldd 3141 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝑆 ∈ ℂ)
9378, 79, 92limcmpted 13230 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝐷 ∈ ((𝑥𝐴𝑆) lim 𝐵) ↔ (𝐷 ∈ ℂ ∧ ∀𝑗 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ℝ+𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆𝐷)) < 𝑗))))
9489, 93mpbid 146 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ ∀𝑗 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ℝ+𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆𝐷)) < 𝑗)))
9594simprd 113 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑗 ∈ ℝ+𝑔 ∈ ℝ+𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆𝐷)) < 𝑗))
9695r19.21bi 2552 . . . . . . 7 ((𝜑𝑗 ∈ ℝ+) → ∃𝑔 ∈ ℝ+𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆𝐷)) < 𝑗))
9787, 88, 96syl2anc 409 . . . . . 6 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗))) → ∃𝑔 ∈ ℝ+𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆𝐷)) < 𝑗))
98 simp-5l 533 . . . . . . . 8 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆𝐷)) < 𝑗))) ∧ 𝑥𝐴) → 𝜑)
9998, 73sylancom 417 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆𝐷)) < 𝑗))) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑅𝑋)
10098, 91sylancom 417 . . . . . . 7 ((((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆𝐷)) < 𝑗))) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑆𝑌)
1016ad4antr 486 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆𝐷)) < 𝑗))) → 𝑋 ⊆ ℂ)
1027ad4antr 486 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆𝐷)) < 𝑗))) → 𝑌 ⊆ ℂ)
10371ad4antr 486 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆𝐷)) < 𝑗))) → 𝐶 ∈ ((𝑥𝐴𝑅) lim 𝐵))
10489ad4antr 486 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆𝐷)) < 𝑗))) → 𝐷 ∈ ((𝑥𝐴𝑆) lim 𝐵))
10514ad4antr 486 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆𝐷)) < 𝑗))) → 𝐻 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩))
106 nfv 1515 . . . . . . . . 9 𝑥((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒)))
107 nfv 1515 . . . . . . . . . 10 𝑥 𝑓 ∈ ℝ+
108 nfra1 2495 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗)
109107, 108nfan 1552 . . . . . . . . 9 𝑥(𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗))
110106, 109nfan 1552 . . . . . . . 8 𝑥(((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗)))
111 nfv 1515 . . . . . . . . 9 𝑥 𝑔 ∈ ℝ+
112 nfra1 2495 . . . . . . . . 9 𝑥𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆𝐷)) < 𝑗)
113111, 112nfan 1552 . . . . . . . 8 𝑥(𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆𝐷)) < 𝑗))
114110, 113nfan 1552 . . . . . . 7 𝑥((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆𝐷)) < 𝑗)))
115 simp-4r 532 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆𝐷)) < 𝑗))) → 𝑒 ∈ ℝ+)
11670ad2antrr 480 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆𝐷)) < 𝑗))) → 𝑗 ∈ ℝ+)
117 simprr 522 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) → ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))
118117ad2antrr 480 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆𝐷)) < 𝑗))) → ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))
119 simplrl 525 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆𝐷)) < 𝑗))) → 𝑓 ∈ ℝ+)
120 simplrr 526 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆𝐷)) < 𝑗))) → ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗))
121 simprl 521 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆𝐷)) < 𝑗))) → 𝑔 ∈ ℝ+)
122 simprr 522 . . . . . . 7 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆𝐷)) < 𝑗))) → ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆𝐷)) < 𝑗))
12399, 100, 101, 102, 2, 1, 103, 104, 105, 114, 115, 116, 118, 119, 120, 121, 122limccnp2lem 13243 . . . . . 6 (((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆𝐷)) < 𝑗))) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))) < 𝑒))
12497, 123rexlimddv 2586 . . . . 5 ((((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅𝐶)) < 𝑗))) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))) < 𝑒))
12586, 124rexlimddv 2586 . . . 4 (((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟𝑋𝑠𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))) < 𝑒))
12668, 125rexlimddv 2586 . . 3 ((𝜑𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))) < 𝑒))
127126ralrimiva 2537 . 2 (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))) < 𝑒))
12816adantr 274 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → 𝐻:(𝑋 × 𝑌)⟶ℂ)
129128, 73, 91fovrnd 5980 . . 3 ((𝜑𝑥𝐴) → (𝑅𝐻𝑆) ∈ ℂ)
13078, 79, 129limcmpted 13230 . 2 (𝜑 → ((𝐶𝐻𝐷) ∈ ((𝑥𝐴 ↦ (𝑅𝐻𝑆)) lim 𝐵) ↔ ((𝐶𝐻𝐷) ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+𝑑 ∈ ℝ+𝑥𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))) < 𝑒))))
13141, 127, 130mpbir2and 933 1 (𝜑 → (𝐶𝐻𝐷) ∈ ((𝑥𝐴 ↦ (𝑅𝐻𝑆)) lim 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104  w3a 967   = wceq 1342  wcel 2135  wral 2442  wrex 2443  Vcvv 2724  wss 3114  cop 3576   cuni 3786   class class class wbr 3979  cmpt 4040   × cxp 4599  dom cdm 4601  cres 4603  ccom 4605  wf 5181  cfv 5185  (class class class)co 5839  cc 7745   < clt 7927  cmin 8063   # cap 8473  +crp 9583  abscabs 10933  t crest 12549  ∞Metcxmet 12578  MetOpencmopn 12583  Topctop 12593  TopOnctopon 12606   CnP ccnp 12784   ×t ctx 12850   lim climc 13221
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-in1 604  ax-in2 605  ax-io 699  ax-5 1434  ax-7 1435  ax-gen 1436  ax-ie1 1480  ax-ie2 1481  ax-8 1491  ax-10 1492  ax-11 1493  ax-i12 1494  ax-bndl 1496  ax-4 1497  ax-17 1513  ax-i9 1517  ax-ial 1521  ax-i5r 1522  ax-13 2137  ax-14 2138  ax-ext 2146  ax-coll 4094  ax-sep 4097  ax-nul 4105  ax-pow 4150  ax-pr 4184  ax-un 4408  ax-setind 4511  ax-iinf 4562  ax-cnex 7838  ax-resscn 7839  ax-1cn 7840  ax-1re 7841  ax-icn 7842  ax-addcl 7843  ax-addrcl 7844  ax-mulcl 7845  ax-mulrcl 7846  ax-addcom 7847  ax-mulcom 7848  ax-addass 7849  ax-mulass 7850  ax-distr 7851  ax-i2m1 7852  ax-0lt1 7853  ax-1rid 7854  ax-0id 7855  ax-rnegex 7856  ax-precex 7857  ax-cnre 7858  ax-pre-ltirr 7859  ax-pre-ltwlin 7860  ax-pre-lttrn 7861  ax-pre-apti 7862  ax-pre-ltadd 7863  ax-pre-mulgt0 7864  ax-pre-mulext 7865  ax-arch 7866  ax-caucvg 7867
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-stab 821  df-dc 825  df-3or 968  df-3an 969  df-tru 1345  df-fal 1348  df-nf 1448  df-sb 1750  df-eu 2016  df-mo 2017  df-clab 2151  df-cleq 2157  df-clel 2160  df-nfc 2295  df-ne 2335  df-nel 2430  df-ral 2447  df-rex 2448  df-reu 2449  df-rmo 2450  df-rab 2451  df-v 2726  df-sbc 2950  df-csb 3044  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-nul 3408  df-if 3519  df-pw 3558  df-sn 3579  df-pr 3580  df-op 3582  df-uni 3787  df-int 3822  df-iun 3865  df-br 3980  df-opab 4041  df-mpt 4042  df-tr 4078  df-id 4268  df-po 4271  df-iso 4272  df-iord 4341  df-on 4343  df-ilim 4344  df-suc 4346  df-iom 4565  df-xp 4607  df-rel 4608  df-cnv 4609  df-co 4610  df-dm 4611  df-rn 4612  df-res 4613  df-ima 4614  df-iota 5150  df-fun 5187  df-fn 5188  df-f 5189  df-f1 5190  df-fo 5191  df-f1o 5192  df-fv 5193  df-isom 5194  df-riota 5795  df-ov 5842  df-oprab 5843  df-mpo 5844  df-1st 6103  df-2nd 6104  df-recs 6267  df-frec 6353  df-map 6610  df-pm 6611  df-sup 6943  df-inf 6944  df-pnf 7929  df-mnf 7930  df-xr 7931  df-ltxr 7932  df-le 7933  df-sub 8065  df-neg 8066  df-reap 8467  df-ap 8474  df-div 8563  df-inn 8852  df-2 8910  df-3 8911  df-4 8912  df-n0 9109  df-z 9186  df-uz 9461  df-q 9552  df-rp 9584  df-xneg 9702  df-xadd 9703  df-seqfrec 10375  df-exp 10449  df-cj 10778  df-re 10779  df-im 10780  df-rsqrt 10934  df-abs 10935  df-rest 12551  df-topgen 12570  df-psmet 12585  df-xmet 12586  df-met 12587  df-bl 12588  df-mopn 12589  df-top 12594  df-topon 12607  df-bases 12639  df-cnp 12787  df-tx 12851  df-limced 13223
This theorem is referenced by:  dvcnp2cntop  13261  dvaddxxbr  13263  dvmulxxbr  13264  dvcoapbr  13269
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