Theorem limccnp2cntop 14913

Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. Binary operation version. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 14-Nov-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
limccnp2.r	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ 𝑋)
limccnp2.s	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 ∈ 𝑌)
limccnp2.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
limccnp2.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℂ)
limccnp2cntop.k	⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
limccnp2.j	⊢ 𝐽 = ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌))
limccnp2.c	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) limℂ 𝐵))
limccnp2.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑆) limℂ 𝐵))
limccnp2.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩))

Assertion

Ref	Expression
limccnp2cntop	⊢ (𝜑 → (𝐶𝐻𝐷) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝑅𝐻𝑆)) limℂ 𝐵))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶   𝑥,𝐷   𝑥,𝐻   𝑥,𝑋   𝑥,𝐴   𝑥,𝑌   𝜑,𝑥

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥)   𝑆(𝑥)   𝐽(𝑥)   𝐾(𝑥)

Proof of Theorem limccnp2cntop

Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 𝑗 𝑟 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limccnp2.j	. . . . 5 ⊢ 𝐽 = ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌))
2		limccnp2cntop.k	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐾 = (MetOpen‘(abs ∘ − ))
3	2	cntoptopon 14768	. . . . . . 7 ⊢ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)
4		txtopon 14498	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ)) → (𝐾 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ)))
5	3, 3, 4	mp2an 426	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ))
6		limccnp2.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
7		limccnp2.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ⊆ ℂ)
8		xpss12 4770	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ⊆ ℂ ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → (𝑋 × 𝑌) ⊆ (ℂ × ℂ))
9	6, 7, 8	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ⊆ (ℂ × ℂ))
10		resttopon 14407	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ×t 𝐾) ∈ (TopOn‘(ℂ × ℂ)) ∧ (𝑋 × 𝑌) ⊆ (ℂ × ℂ)) → ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌)) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
11	5, 9, 10	sylancr 414	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌)) ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
12	1, 11	eqeltrid 2283	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)))
13	3	a1i 9	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ))
14		limccnp2.h	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩))
15		cnpf2 14443	. . . 4 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)) ∧ 𝐾 ∈ (TopOn‘ℂ) ∧ 𝐻 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩)) → 𝐻:(𝑋 × 𝑌)⟶ℂ)
16	12, 13, 14, 15	syl3anc 1249	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻:(𝑋 × 𝑌)⟶ℂ)
17	2	cntoptop 14769	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐾 ∈ Top
18	17	a1i 9	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ Top)
19		txtop 14496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) → (𝐾 ×t 𝐾) ∈ Top)
20	17, 18, 19	sylancr 414	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ×t 𝐾) ∈ Top)
21		cnex 8003	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℂ ∈ V
22	21	a1i 9	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℂ ∈ V)
23	22, 6	ssexd 4173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ V)
24	22, 7	ssexd 4173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ V)
25		xpexg 4777	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V) → (𝑋 × 𝑌) ∈ V)
26	23, 24, 25	syl2anc 411	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) ∈ V)
27		resttop 14406	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ×t 𝐾) ∈ Top ∧ (𝑋 × 𝑌) ∈ V) → ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌)) ∈ Top)
28	20, 26, 27	syl2anc 411	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌)) ∈ Top)
29	1, 28	eqeltrid 2283	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
30		toptopon2 14255	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
31	29, 30	sylib 122	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽))
32		cnprcl2k 14442	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐽 ∈ (TopOn‘∪ 𝐽) ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐻 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩)) → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ ∪ 𝐽)
33	31, 18, 14, 32	syl3anc 1249	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ ∪ 𝐽)
34		toponuni 14251	. . . . . . 7 ⊢ (𝐽 ∈ (TopOn‘(𝑋 × 𝑌)) → (𝑋 × 𝑌) = ∪ 𝐽)
35	12, 34	syl 14	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 × 𝑌) = ∪ 𝐽)
36	33, 35	eleqtrrd 2276	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌))
37		opelxp 4693	. . . . 5 ⊢ (⟨𝐶, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 × 𝑌) ↔ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌))
38	36, 37	sylib 122	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌))
39	38	simpld 112	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ 𝑋)
40	38	simprd 114	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ 𝑌)
41	16, 39, 40	fovcdmd 6068	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶𝐻𝐷) ∈ ℂ)
42		txrest 14512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ 𝑌 ∈ V)) → ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌)) = ((𝐾 ↾t 𝑋) ×t (𝐾 ↾t 𝑌)))
43	18, 18, 23, 24, 42	syl22anc 1250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ×t 𝐾) ↾t (𝑋 × 𝑌)) = ((𝐾 ↾t 𝑋) ×t (𝐾 ↾t 𝑌)))
44	1, 43	eqtrid 2241	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = ((𝐾 ↾t 𝑋) ×t (𝐾 ↾t 𝑌)))
45		cnxmet 14767	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)
46		eqid 2196	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))
47		eqid 2196	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋)))
48	46, 2, 47	metrest 14742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → (𝐾 ↾t 𝑋) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))))
49	45, 6, 48	sylancr 414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t 𝑋) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))))
50		eqid 2196	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)) = ((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))
51		eqid 2196	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)))
52	50, 2, 51	metrest 14742	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → (𝐾 ↾t 𝑌) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))))
53	45, 7, 52	sylancr 414	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ↾t 𝑌) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))))
54	49, 53	oveq12d 5940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐾 ↾t 𝑋) ×t (𝐾 ↾t 𝑌)) = ((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))) ×t (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
55	44, 54	eqtrd 2229	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐽 = ((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))) ×t (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)))))
56	55	oveq1d 5937	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐽 CnP 𝐾) = (((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))) ×t (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)))) CnP 𝐾))
57	56	fveq1d 5560	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((𝐽 CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩) = ((((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))) ×t (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)))) CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩))
58	14, 57	eleqtrd 2275	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ ((((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))) ×t (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)))) CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩))
59		xmetres2 14615	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑋 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (∞Met‘𝑋))
60	45, 6, 59	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (∞Met‘𝑋))
61		xmetres2 14615	. . . . . . . . 9 ⊢ (((abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ) ∧ 𝑌 ⊆ ℂ) → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
62	45, 7, 61	sylancr 414	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌))
63	45	a1i 9	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ))
64	47, 51, 2	txmetcnp 14754	. . . . . . . 8 ⊢ (((((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋)) ∈ (∞Met‘𝑋) ∧ ((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)) ∈ (∞Met‘𝑌) ∧ (abs ∘ − ) ∈ (∞Met‘ℂ)) ∧ (𝐶 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ 𝑌)) → (𝐻 ∈ ((((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))) ×t (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)))) CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩) ↔ (𝐻:(𝑋 × 𝑌)⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℝ+ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))))
65	60, 62, 63, 38, 64	syl31anc 1252	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐻 ∈ ((((MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))) ×t (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌)))) CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩) ↔ (𝐻:(𝑋 × 𝑌)⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℝ+ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))))
66	58, 65	mpbid 147	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐻:(𝑋 × 𝑌)⟶ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℝ+ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒)))
67	66	simprd 114	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑗 ∈ ℝ+ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))
68	67	r19.21bi 2585	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑗 ∈ ℝ+ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))
69		simpll 527	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) → 𝜑)
70		simprl 529	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) → 𝑗 ∈ ℝ+)
71		limccnp2.c	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) limℂ 𝐵))
72		eqid 2196	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) = (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)
73		limccnp2.r	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ 𝑋)
74	72, 73	dmmptd 5388	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) = 𝐴)
75		limcrcl 14894	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝐶 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) limℂ 𝐵) → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅):dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)⟶ℂ ∧ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
76	71, 75	syl 14	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅):dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)⟶ℂ ∧ dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ⊆ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ))
77	76	simp2d 1012	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) ⊆ ℂ)
78	74, 77	eqsstrrd 3220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ⊆ ℂ)
79	76	simp3d 1013	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
80	6	adantr 276	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑋 ⊆ ℂ)
81	80, 73	sseldd 3184	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ ℂ)
82	78, 79, 81	limcmpted 14899	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) limℂ 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑗 ∈ ℝ+ ∃𝑓 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗))))
83	71, 82	mpbid 147	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℂ ∧ ∀𝑗 ∈ ℝ+ ∃𝑓 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗)))
84	83	simprd 114	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ ℝ+ ∃𝑓 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗))
85	84	r19.21bi 2585	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ+) → ∃𝑓 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗))
86	69, 70, 85	syl2anc 411	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) → ∃𝑓 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗))
87	69	adantr 276	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗))) → 𝜑)
88		simplrl 535	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗))) → 𝑗 ∈ ℝ+)
89		limccnp2.d	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑆) limℂ 𝐵))
90	7	adantr 276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑌 ⊆ ℂ)
91		limccnp2.s	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 ∈ 𝑌)
92	90, 91	sseldd 3184	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 ∈ ℂ)
93	78, 79, 92	limcmpted 14899	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑆) limℂ 𝐵) ↔ (𝐷 ∈ ℂ ∧ ∀𝑗 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑗))))
94	89, 93	mpbid 147	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℂ ∧ ∀𝑗 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑗)))
95	94	simprd 114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑗 ∈ ℝ+ ∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑗))
96	95	r19.21bi 2585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑗 ∈ ℝ+) → ∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑗))
97	87, 88, 96	syl2anc 411	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗))) → ∃𝑔 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑗))
98		simp-5l 543	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑗))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝜑)
99	98, 73	sylancom 420	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑗))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑅 ∈ 𝑋)
100	98, 91	sylancom 420	. . . . . . 7 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑗))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑆 ∈ 𝑌)
101	6	ad4antr 494	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑗))) → 𝑋 ⊆ ℂ)
102	7	ad4antr 494	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑗))) → 𝑌 ⊆ ℂ)
103	71	ad4antr 494	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑗))) → 𝐶 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) limℂ 𝐵))
104	89	ad4antr 494	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑗))) → 𝐷 ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝑆) limℂ 𝐵))
105	14	ad4antr 494	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑗))) → 𝐻 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)‘⟨𝐶, 𝐷⟩))
106		nfv 1542	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒)))
107		nfv 1542	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑓 ∈ ℝ+
108		nfra1 2528	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗)
109	107, 108	nfan 1579	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗))
110	106, 109	nfan 1579	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗)))
111		nfv 1542	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥 𝑔 ∈ ℝ+
112		nfra1 2528	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑗)
113	111, 112	nfan 1579	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑥(𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑗))
114	110, 113	nfan 1579	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑥((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑗)))
115		simp-4r 542	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑗))) → 𝑒 ∈ ℝ+)
116	70	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑗))) → 𝑗 ∈ ℝ+)
117		simprr 531	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) → ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))
118	117	ad2antrr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑗))) → ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))
119		simplrl 535	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑗))) → 𝑓 ∈ ℝ+)
120		simplrr 536	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑗))) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗))
121		simprl 529	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑗))) → 𝑔 ∈ ℝ+)
122		simprr 531	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑗))) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑗))
123	99, 100, 101, 102, 2, 1, 103, 104, 105, 114, 115, 116, 118, 119, 120, 121, 122	limccnp2lem 14912	. . . . . 6 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑔) → (abs‘(𝑆 − 𝐷)) < 𝑗))) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))) < 𝑒))
124	97, 123	rexlimddv 2619	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑓) → (abs‘(𝑅 − 𝐶)) < 𝑗))) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))) < 𝑒))
125	86, 124	rexlimddv 2619	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑟 ∈ 𝑋 ∀𝑠 ∈ 𝑌 (((𝐶((abs ∘ − ) ↾ (𝑋 × 𝑋))𝑟) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ − ) ↾ (𝑌 × 𝑌))𝑠) < 𝑗) → ((𝐶𝐻𝐷)(abs ∘ − )(𝑟𝐻𝑠)) < 𝑒))) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))) < 𝑒))
126	68, 125	rexlimddv 2619	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) → ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))) < 𝑒))
127	126	ralrimiva 2570	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))) < 𝑒))
128	16	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐻:(𝑋 × 𝑌)⟶ℂ)
129	128, 73, 91	fovcdmd 6068	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑅𝐻𝑆) ∈ ℂ)
130	78, 79, 129	limcmpted 14899	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐶𝐻𝐷) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝑅𝐻𝑆)) limℂ 𝐵) ↔ ((𝐶𝐻𝐷) ∈ ℂ ∧ ∀𝑒 ∈ ℝ+ ∃𝑑 ∈ ℝ+ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ((𝑥 # 𝐵 ∧ (abs‘(𝑥 − 𝐵)) < 𝑑) → (abs‘((𝑅𝐻𝑆) − (𝐶𝐻𝐷))) < 𝑒))))
131	41, 127, 130	mpbir2and 946	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶𝐻𝐷) ∈ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ (𝑅𝐻𝑆)) limℂ 𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 980   = wceq 1364   ∈ wcel 2167  ∀wral 2475  ∃wrex 2476  Vcvv 2763   ⊆ wss 3157  ⟨cop 3625  ∪ cuni 3839   class class class wbr 4033   ↦ cmpt 4094   × cxp 4661  dom cdm 4663   ↾ cres 4665   ∘ ccom 4667  ⟶wf 5254  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  ℂcc 7877   < clt 8061   − cmin 8197   # cap 8608  ℝ⁺crp 9728  abscabs 11162   ↾_t crest 12910  ∞Metcxmet 14092  MetOpencmopn 14097  Topctop 14233  TopOnctopon 14246   CnP ccnp 14422   ×_t ctx 14488   lim_ℂ climc 14890

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-coll 4148  ax-sep 4151  ax-nul 4159  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-iinf 4624  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-mulrcl 7978  ax-addcom 7979  ax-mulcom 7980  ax-addass 7981  ax-mulass 7982  ax-distr 7983  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-1rid 7986  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-precex 7989  ax-cnre 7990  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-ltwlin 7992  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-apti 7994  ax-pre-ltadd 7995  ax-pre-mulgt0 7996  ax-pre-mulext 7997  ax-arch 7998  ax-caucvg 7999

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 981  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-reu 2482  df-rmo 2483  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-if 3562  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-iun 3918  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-tr 4132  df-id 4328  df-po 4331  df-iso 4332  df-iord 4401  df-on 4403  df-ilim 4404  df-suc 4406  df-iom 4627  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-ima 4676  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-f 5262  df-f1 5263  df-fo 5264  df-f1o 5265  df-fv 5266  df-isom 5267  df-riota 5877  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-1st 6198  df-2nd 6199  df-recs 6363  df-frec 6449  df-map 6709  df-pm 6710  df-sup 7050  df-inf 7051  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-xr 8065  df-ltxr 8066  df-le 8067  df-sub 8199  df-neg 8200  df-reap 8602  df-ap 8609  df-div 8700  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-4 9051  df-n0 9250  df-z 9327  df-uz 9602  df-q 9694  df-rp 9729  df-xneg 9847  df-xadd 9848  df-seqfrec 10540  df-exp 10631  df-cj 11007  df-re 11008  df-im 11009  df-rsqrt 11163  df-abs 11164  df-rest 12912  df-topgen 12931  df-psmet 14099  df-xmet 14100  df-met 14101  df-bl 14102  df-mopn 14103  df-top 14234  df-topon 14247  df-bases 14279  df-cnp 14425  df-tx 14489  df-limced 14892

This theorem is referenced by:  dvcnp2cntop  14935  dvaddxxbr  14937  dvmulxxbr  14938  dvcoapbr  14943