ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  limccnp2cntop GIF version

Theorem limccnp2cntop 14417
Description: The image of a convergent sequence under a continuous map is convergent to the image of the original point. Binary operation version. (Contributed by Mario Carneiro, 28-Dec-2016.) (Revised by Jim Kingdon, 14-Nov-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
limccnp2.r ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑅 ∈ 𝑋)
limccnp2.s ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑆 ∈ π‘Œ)
limccnp2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
limccnp2.y (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† β„‚)
limccnp2cntop.k 𝐾 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
limccnp2.j 𝐽 = ((𝐾 Γ—t 𝐾) β†Ύt (𝑋 Γ— π‘Œ))
limccnp2.c (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) limβ„‚ 𝐡))
limccnp2.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑆) limβ„‚ 𝐡))
limccnp2.h (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜βŸ¨πΆ, 𝐷⟩))
Assertion
Ref Expression
limccnp2cntop (πœ‘ β†’ (𝐢𝐻𝐷) ∈ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝑅𝐻𝑆)) limβ„‚ 𝐡))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐡   π‘₯,𝐢   π‘₯,𝐷   π‘₯,𝐻   π‘₯,𝑋   π‘₯,𝐴   π‘₯,π‘Œ   πœ‘,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝑅(π‘₯)   𝑆(π‘₯)   𝐽(π‘₯)   𝐾(π‘₯)

Proof of Theorem limccnp2cntop
Dummy variables 𝑑 𝑒 𝑓 𝑔 𝑗 π‘Ÿ 𝑠 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 limccnp2.j . . . . 5 𝐽 = ((𝐾 Γ—t 𝐾) β†Ύt (𝑋 Γ— π‘Œ))
2 limccnp2cntop.k . . . . . . . 8 𝐾 = (MetOpenβ€˜(abs ∘ βˆ’ ))
32cntoptopon 14303 . . . . . . 7 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)
4 txtopon 14033 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚)) β†’ (𝐾 Γ—t 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(β„‚ Γ— β„‚)))
53, 3, 4mp2an 426 . . . . . 6 (𝐾 Γ—t 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(β„‚ Γ— β„‚))
6 limccnp2.x . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
7 limccnp2.y . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ βŠ† β„‚)
8 xpss12 4745 . . . . . . 7 ((𝑋 βŠ† β„‚ ∧ π‘Œ βŠ† β„‚) β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚))
96, 7, 8syl2anc 411 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚))
10 resttopon 13942 . . . . . 6 (((𝐾 Γ—t 𝐾) ∈ (TopOnβ€˜(β„‚ Γ— β„‚)) ∧ (𝑋 Γ— π‘Œ) βŠ† (β„‚ Γ— β„‚)) β†’ ((𝐾 Γ—t 𝐾) β†Ύt (𝑋 Γ— π‘Œ)) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
115, 9, 10sylancr 414 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝐾 Γ—t 𝐾) β†Ύt (𝑋 Γ— π‘Œ)) ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
121, 11eqeltrid 2274 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)))
133a1i 9 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚))
14 limccnp2.h . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜βŸ¨πΆ, 𝐷⟩))
15 cnpf2 13978 . . . 4 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)) ∧ 𝐾 ∈ (TopOnβ€˜β„‚) ∧ 𝐻 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜βŸ¨πΆ, 𝐷⟩)) β†’ 𝐻:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆβ„‚)
1612, 13, 14, 15syl3anc 1248 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐻:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆβ„‚)
172cntoptop 14304 . . . . . . . . . . 11 𝐾 ∈ Top
1817a1i 9 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ Top)
19 txtop 14031 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) β†’ (𝐾 Γ—t 𝐾) ∈ Top)
2017, 18, 19sylancr 414 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐾 Γ—t 𝐾) ∈ Top)
21 cnex 7948 . . . . . . . . . . . . 13 β„‚ ∈ V
2221a1i 9 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ β„‚ ∈ V)
2322, 6ssexd 4155 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ V)
2422, 7ssexd 4155 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ V)
25 xpexg 4752 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ V ∧ π‘Œ ∈ V) β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) ∈ V)
2623, 24, 25syl2anc 411 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) ∈ V)
27 resttop 13941 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 Γ—t 𝐾) ∈ Top ∧ (𝑋 Γ— π‘Œ) ∈ V) β†’ ((𝐾 Γ—t 𝐾) β†Ύt (𝑋 Γ— π‘Œ)) ∈ Top)
2820, 26, 27syl2anc 411 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝐾 Γ—t 𝐾) β†Ύt (𝑋 Γ— π‘Œ)) ∈ Top)
291, 28eqeltrid 2274 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ Top)
30 toptopon2 13790 . . . . . . . 8 (𝐽 ∈ Top ↔ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
3129, 30sylib 122 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽))
32 cnprcl2k 13977 . . . . . . 7 ((𝐽 ∈ (TopOnβ€˜βˆͺ 𝐽) ∧ 𝐾 ∈ Top ∧ 𝐻 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜βŸ¨πΆ, 𝐷⟩)) β†’ ⟨𝐢, 𝐷⟩ ∈ βˆͺ 𝐽)
3331, 18, 14, 32syl3anc 1248 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ⟨𝐢, 𝐷⟩ ∈ βˆͺ 𝐽)
34 toponuni 13786 . . . . . . 7 (𝐽 ∈ (TopOnβ€˜(𝑋 Γ— π‘Œ)) β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ 𝐽)
3512, 34syl 14 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋 Γ— π‘Œ) = βˆͺ 𝐽)
3633, 35eleqtrrd 2267 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ⟨𝐢, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ))
37 opelxp 4668 . . . . 5 (⟨𝐢, 𝐷⟩ ∈ (𝑋 Γ— π‘Œ) ↔ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ π‘Œ))
3836, 37sylib 122 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ π‘Œ))
3938simpld 112 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ 𝑋)
4038simprd 114 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ π‘Œ)
4116, 39, 40fovcdmd 6032 . 2 (πœ‘ β†’ (𝐢𝐻𝐷) ∈ β„‚)
42 txrest 14047 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐾 ∈ Top ∧ 𝐾 ∈ Top) ∧ (𝑋 ∈ V ∧ π‘Œ ∈ V)) β†’ ((𝐾 Γ—t 𝐾) β†Ύt (𝑋 Γ— π‘Œ)) = ((𝐾 β†Ύt 𝑋) Γ—t (𝐾 β†Ύt π‘Œ)))
4318, 18, 23, 24, 42syl22anc 1249 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((𝐾 Γ—t 𝐾) β†Ύt (𝑋 Γ— π‘Œ)) = ((𝐾 β†Ύt 𝑋) Γ—t (𝐾 β†Ύt π‘Œ)))
441, 43eqtrid 2232 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝐽 = ((𝐾 β†Ύt 𝑋) Γ—t (𝐾 β†Ύt π‘Œ)))
45 cnxmet 14302 . . . . . . . . . . . . 13 (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)
46 eqid 2187 . . . . . . . . . . . . . 14 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))
47 eqid 2187 . . . . . . . . . . . . . 14 (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)))
4846, 2, 47metrest 14277 . . . . . . . . . . . . 13 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝑋 βŠ† β„‚) β†’ (𝐾 β†Ύt 𝑋) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))))
4945, 6, 48sylancr 414 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐾 β†Ύt 𝑋) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))))
50 eqid 2187 . . . . . . . . . . . . . 14 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))
51 eqid 2187 . . . . . . . . . . . . . 14 (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))
5250, 2, 51metrest 14277 . . . . . . . . . . . . 13 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ π‘Œ βŠ† β„‚) β†’ (𝐾 β†Ύt π‘Œ) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))
5345, 7, 52sylancr 414 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝐾 β†Ύt π‘Œ) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))))
5449, 53oveq12d 5906 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝐾 β†Ύt 𝑋) Γ—t (𝐾 β†Ύt π‘Œ)) = ((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))) Γ—t (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))))
5544, 54eqtrd 2220 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐽 = ((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))) Γ—t (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))))
5655oveq1d 5903 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐽 CnP 𝐾) = (((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))) Γ—t (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) CnP 𝐾))
5756fveq1d 5529 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜βŸ¨πΆ, 𝐷⟩) = ((((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))) Γ—t (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) CnP 𝐾)β€˜βŸ¨πΆ, 𝐷⟩))
5814, 57eleqtrd 2266 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐻 ∈ ((((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))) Γ—t (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) CnP 𝐾)β€˜βŸ¨πΆ, 𝐷⟩))
59 xmetres2 14150 . . . . . . . . 9 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ 𝑋 βŠ† β„‚) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
6045, 6, 59sylancr 414 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) ∈ (∞Metβ€˜π‘‹))
61 xmetres2 14150 . . . . . . . . 9 (((abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚) ∧ π‘Œ βŠ† β„‚) β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
6245, 7, 61sylancr 414 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ))
6345a1i 9 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚))
6447, 51, 2txmetcnp 14289 . . . . . . . 8 (((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋)) ∈ (∞Metβ€˜π‘‹) ∧ ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)) ∈ (∞Metβ€˜π‘Œ) ∧ (abs ∘ βˆ’ ) ∈ (∞Metβ€˜β„‚)) ∧ (𝐢 ∈ 𝑋 ∧ 𝐷 ∈ π‘Œ)) β†’ (𝐻 ∈ ((((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))) Γ—t (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) CnP 𝐾)β€˜βŸ¨πΆ, 𝐷⟩) ↔ (𝐻:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ ℝ+ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑋 βˆ€π‘  ∈ π‘Œ (((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))π‘Ÿ) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑠) < 𝑗) β†’ ((𝐢𝐻𝐷)(abs ∘ βˆ’ )(π‘Ÿπ»π‘ )) < 𝑒))))
6560, 62, 63, 38, 64syl31anc 1251 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐻 ∈ ((((MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))) Γ—t (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ)))) CnP 𝐾)β€˜βŸ¨πΆ, 𝐷⟩) ↔ (𝐻:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ ℝ+ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑋 βˆ€π‘  ∈ π‘Œ (((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))π‘Ÿ) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑠) < 𝑗) β†’ ((𝐢𝐻𝐷)(abs ∘ βˆ’ )(π‘Ÿπ»π‘ )) < 𝑒))))
6658, 65mpbid 147 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝐻:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆβ„‚ ∧ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ ℝ+ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑋 βˆ€π‘  ∈ π‘Œ (((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))π‘Ÿ) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑠) < 𝑗) β†’ ((𝐢𝐻𝐷)(abs ∘ βˆ’ )(π‘Ÿπ»π‘ )) < 𝑒)))
6766simprd 114 . . . . 5 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘— ∈ ℝ+ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑋 βˆ€π‘  ∈ π‘Œ (((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))π‘Ÿ) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑠) < 𝑗) β†’ ((𝐢𝐻𝐷)(abs ∘ βˆ’ )(π‘Ÿπ»π‘ )) < 𝑒))
6867r19.21bi 2575 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘— ∈ ℝ+ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑋 βˆ€π‘  ∈ π‘Œ (((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))π‘Ÿ) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑠) < 𝑗) β†’ ((𝐢𝐻𝐷)(abs ∘ βˆ’ )(π‘Ÿπ»π‘ )) < 𝑒))
69 simpll 527 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑋 βˆ€π‘  ∈ π‘Œ (((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))π‘Ÿ) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑠) < 𝑗) β†’ ((𝐢𝐻𝐷)(abs ∘ βˆ’ )(π‘Ÿπ»π‘ )) < 𝑒))) β†’ πœ‘)
70 simprl 529 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑋 βˆ€π‘  ∈ π‘Œ (((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))π‘Ÿ) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑠) < 𝑗) β†’ ((𝐢𝐻𝐷)(abs ∘ βˆ’ )(π‘Ÿπ»π‘ )) < 𝑒))) β†’ 𝑗 ∈ ℝ+)
71 limccnp2.c . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) limβ„‚ 𝐡))
72 eqid 2187 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) = (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)
73 limccnp2.r . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑅 ∈ 𝑋)
7472, 73dmmptd 5358 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) = 𝐴)
75 limcrcl 14398 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐢 ∈ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) limβ„‚ 𝐡) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅):dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)βŸΆβ„‚ ∧ dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚))
7671, 75syl 14 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅):dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅)βŸΆβ„‚ ∧ dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) βŠ† β„‚ ∧ 𝐡 ∈ β„‚))
7776simp2d 1011 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) βŠ† β„‚)
7874, 77eqsstrrd 3204 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐴 βŠ† β„‚)
7976simp3d 1012 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐡 ∈ β„‚)
806adantr 276 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
8180, 73sseldd 3168 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑅 ∈ β„‚)
8278, 79, 81limcmpted 14403 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) limβ„‚ 𝐡) ↔ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘— ∈ ℝ+ βˆƒπ‘“ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑗))))
8371, 82mpbid 147 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐢 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘— ∈ ℝ+ βˆƒπ‘“ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑗)))
8483simprd 114 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ ℝ+ βˆƒπ‘“ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑗))
8584r19.21bi 2575 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑗))
8669, 70, 85syl2anc 411 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑋 βˆ€π‘  ∈ π‘Œ (((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))π‘Ÿ) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑠) < 𝑗) β†’ ((𝐢𝐻𝐷)(abs ∘ βˆ’ )(π‘Ÿπ»π‘ )) < 𝑒))) β†’ βˆƒπ‘“ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑗))
8769adantr 276 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑋 βˆ€π‘  ∈ π‘Œ (((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))π‘Ÿ) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑠) < 𝑗) β†’ ((𝐢𝐻𝐷)(abs ∘ βˆ’ )(π‘Ÿπ»π‘ )) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑗))) β†’ πœ‘)
88 simplrl 535 . . . . . . 7 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑋 βˆ€π‘  ∈ π‘Œ (((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))π‘Ÿ) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑠) < 𝑗) β†’ ((𝐢𝐻𝐷)(abs ∘ βˆ’ )(π‘Ÿπ»π‘ )) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑗))) β†’ 𝑗 ∈ ℝ+)
89 limccnp2.d . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑆) limβ„‚ 𝐡))
907adantr 276 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘Œ βŠ† β„‚)
91 limccnp2.s . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑆 ∈ π‘Œ)
9290, 91sseldd 3168 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑆 ∈ β„‚)
9378, 79, 92limcmpted 14403 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∈ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑆) limβ„‚ 𝐡) ↔ (𝐷 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘— ∈ ℝ+ βˆƒπ‘” ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐷)) < 𝑗))))
9489, 93mpbid 147 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝐷 ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘— ∈ ℝ+ βˆƒπ‘” ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐷)) < 𝑗)))
9594simprd 114 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘— ∈ ℝ+ βˆƒπ‘” ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐷)) < 𝑗))
9695r19.21bi 2575 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑗 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘” ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐷)) < 𝑗))
9787, 88, 96syl2anc 411 . . . . . 6 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑋 βˆ€π‘  ∈ π‘Œ (((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))π‘Ÿ) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑠) < 𝑗) β†’ ((𝐢𝐻𝐷)(abs ∘ βˆ’ )(π‘Ÿπ»π‘ )) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑗))) β†’ βˆƒπ‘” ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐷)) < 𝑗))
98 simp-5l 543 . . . . . . . 8 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑋 βˆ€π‘  ∈ π‘Œ (((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))π‘Ÿ) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑠) < 𝑗) β†’ ((𝐢𝐻𝐷)(abs ∘ βˆ’ )(π‘Ÿπ»π‘ )) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐷)) < 𝑗))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ πœ‘)
9998, 73sylancom 420 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑋 βˆ€π‘  ∈ π‘Œ (((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))π‘Ÿ) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑠) < 𝑗) β†’ ((𝐢𝐻𝐷)(abs ∘ βˆ’ )(π‘Ÿπ»π‘ )) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐷)) < 𝑗))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑅 ∈ 𝑋)
10098, 91sylancom 420 . . . . . . 7 ((((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑋 βˆ€π‘  ∈ π‘Œ (((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))π‘Ÿ) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑠) < 𝑗) β†’ ((𝐢𝐻𝐷)(abs ∘ βˆ’ )(π‘Ÿπ»π‘ )) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐷)) < 𝑗))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝑆 ∈ π‘Œ)
1016ad4antr 494 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑋 βˆ€π‘  ∈ π‘Œ (((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))π‘Ÿ) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑠) < 𝑗) β†’ ((𝐢𝐻𝐷)(abs ∘ βˆ’ )(π‘Ÿπ»π‘ )) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐷)) < 𝑗))) β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
1027ad4antr 494 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑋 βˆ€π‘  ∈ π‘Œ (((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))π‘Ÿ) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑠) < 𝑗) β†’ ((𝐢𝐻𝐷)(abs ∘ βˆ’ )(π‘Ÿπ»π‘ )) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐷)) < 𝑗))) β†’ π‘Œ βŠ† β„‚)
10371ad4antr 494 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑋 βˆ€π‘  ∈ π‘Œ (((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))π‘Ÿ) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑠) < 𝑗) β†’ ((𝐢𝐻𝐷)(abs ∘ βˆ’ )(π‘Ÿπ»π‘ )) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐷)) < 𝑗))) β†’ 𝐢 ∈ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑅) limβ„‚ 𝐡))
10489ad4antr 494 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑋 βˆ€π‘  ∈ π‘Œ (((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))π‘Ÿ) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑠) < 𝑗) β†’ ((𝐢𝐻𝐷)(abs ∘ βˆ’ )(π‘Ÿπ»π‘ )) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐷)) < 𝑗))) β†’ 𝐷 ∈ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ 𝑆) limβ„‚ 𝐡))
10514ad4antr 494 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑋 βˆ€π‘  ∈ π‘Œ (((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))π‘Ÿ) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑠) < 𝑗) β†’ ((𝐢𝐻𝐷)(abs ∘ βˆ’ )(π‘Ÿπ»π‘ )) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐷)) < 𝑗))) β†’ 𝐻 ∈ ((𝐽 CnP 𝐾)β€˜βŸ¨πΆ, 𝐷⟩))
106 nfv 1538 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑋 βˆ€π‘  ∈ π‘Œ (((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))π‘Ÿ) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑠) < 𝑗) β†’ ((𝐢𝐻𝐷)(abs ∘ βˆ’ )(π‘Ÿπ»π‘ )) < 𝑒)))
107 nfv 1538 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯ 𝑓 ∈ ℝ+
108 nfra1 2518 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑗)
109107, 108nfan 1575 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯(𝑓 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑗))
110106, 109nfan 1575 . . . . . . . 8 β„²π‘₯(((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑋 βˆ€π‘  ∈ π‘Œ (((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))π‘Ÿ) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑠) < 𝑗) β†’ ((𝐢𝐻𝐷)(abs ∘ βˆ’ )(π‘Ÿπ»π‘ )) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑗)))
111 nfv 1538 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯ 𝑔 ∈ ℝ+
112 nfra1 2518 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐷)) < 𝑗)
113111, 112nfan 1575 . . . . . . . 8 β„²π‘₯(𝑔 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐷)) < 𝑗))
114110, 113nfan 1575 . . . . . . 7 β„²π‘₯((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑋 βˆ€π‘  ∈ π‘Œ (((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))π‘Ÿ) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑠) < 𝑗) β†’ ((𝐢𝐻𝐷)(abs ∘ βˆ’ )(π‘Ÿπ»π‘ )) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐷)) < 𝑗)))
115 simp-4r 542 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑋 βˆ€π‘  ∈ π‘Œ (((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))π‘Ÿ) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑠) < 𝑗) β†’ ((𝐢𝐻𝐷)(abs ∘ βˆ’ )(π‘Ÿπ»π‘ )) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐷)) < 𝑗))) β†’ 𝑒 ∈ ℝ+)
11670ad2antrr 488 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑋 βˆ€π‘  ∈ π‘Œ (((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))π‘Ÿ) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑠) < 𝑗) β†’ ((𝐢𝐻𝐷)(abs ∘ βˆ’ )(π‘Ÿπ»π‘ )) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐷)) < 𝑗))) β†’ 𝑗 ∈ ℝ+)
117 simprr 531 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑋 βˆ€π‘  ∈ π‘Œ (((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))π‘Ÿ) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑠) < 𝑗) β†’ ((𝐢𝐻𝐷)(abs ∘ βˆ’ )(π‘Ÿπ»π‘ )) < 𝑒))) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑋 βˆ€π‘  ∈ π‘Œ (((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))π‘Ÿ) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑠) < 𝑗) β†’ ((𝐢𝐻𝐷)(abs ∘ βˆ’ )(π‘Ÿπ»π‘ )) < 𝑒))
118117ad2antrr 488 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑋 βˆ€π‘  ∈ π‘Œ (((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))π‘Ÿ) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑠) < 𝑗) β†’ ((𝐢𝐻𝐷)(abs ∘ βˆ’ )(π‘Ÿπ»π‘ )) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐷)) < 𝑗))) β†’ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑋 βˆ€π‘  ∈ π‘Œ (((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))π‘Ÿ) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑠) < 𝑗) β†’ ((𝐢𝐻𝐷)(abs ∘ βˆ’ )(π‘Ÿπ»π‘ )) < 𝑒))
119 simplrl 535 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑋 βˆ€π‘  ∈ π‘Œ (((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))π‘Ÿ) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑠) < 𝑗) β†’ ((𝐢𝐻𝐷)(abs ∘ βˆ’ )(π‘Ÿπ»π‘ )) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐷)) < 𝑗))) β†’ 𝑓 ∈ ℝ+)
120 simplrr 536 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑋 βˆ€π‘  ∈ π‘Œ (((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))π‘Ÿ) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑠) < 𝑗) β†’ ((𝐢𝐻𝐷)(abs ∘ βˆ’ )(π‘Ÿπ»π‘ )) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐷)) < 𝑗))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑗))
121 simprl 529 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑋 βˆ€π‘  ∈ π‘Œ (((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))π‘Ÿ) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑠) < 𝑗) β†’ ((𝐢𝐻𝐷)(abs ∘ βˆ’ )(π‘Ÿπ»π‘ )) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐷)) < 𝑗))) β†’ 𝑔 ∈ ℝ+)
122 simprr 531 . . . . . . 7 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑋 βˆ€π‘  ∈ π‘Œ (((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))π‘Ÿ) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑠) < 𝑗) β†’ ((𝐢𝐻𝐷)(abs ∘ βˆ’ )(π‘Ÿπ»π‘ )) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐷)) < 𝑗))) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐷)) < 𝑗))
12399, 100, 101, 102, 2, 1, 103, 104, 105, 114, 115, 116, 118, 119, 120, 121, 122limccnp2lem 14416 . . . . . 6 (((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑋 βˆ€π‘  ∈ π‘Œ (((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))π‘Ÿ) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑠) < 𝑗) β†’ ((𝐢𝐻𝐷)(abs ∘ βˆ’ )(π‘Ÿπ»π‘ )) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑗))) ∧ (𝑔 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑔) β†’ (absβ€˜(𝑆 βˆ’ 𝐷)) < 𝑗))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜((𝑅𝐻𝑆) βˆ’ (𝐢𝐻𝐷))) < 𝑒))
12497, 123rexlimddv 2609 . . . . 5 ((((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑋 βˆ€π‘  ∈ π‘Œ (((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))π‘Ÿ) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑠) < 𝑗) β†’ ((𝐢𝐻𝐷)(abs ∘ βˆ’ )(π‘Ÿπ»π‘ )) < 𝑒))) ∧ (𝑓 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑓) β†’ (absβ€˜(𝑅 βˆ’ 𝐢)) < 𝑗))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜((𝑅𝐻𝑆) βˆ’ (𝐢𝐻𝐷))) < 𝑒))
12586, 124rexlimddv 2609 . . . 4 (((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) ∧ (𝑗 ∈ ℝ+ ∧ βˆ€π‘Ÿ ∈ 𝑋 βˆ€π‘  ∈ π‘Œ (((𝐢((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (𝑋 Γ— 𝑋))π‘Ÿ) < 𝑗 ∧ (𝐷((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (π‘Œ Γ— π‘Œ))𝑠) < 𝑗) β†’ ((𝐢𝐻𝐷)(abs ∘ βˆ’ )(π‘Ÿπ»π‘ )) < 𝑒))) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜((𝑅𝐻𝑆) βˆ’ (𝐢𝐻𝐷))) < 𝑒))
12668, 125rexlimddv 2609 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑒 ∈ ℝ+) β†’ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜((𝑅𝐻𝑆) βˆ’ (𝐢𝐻𝐷))) < 𝑒))
127126ralrimiva 2560 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜((𝑅𝐻𝑆) βˆ’ (𝐢𝐻𝐷))) < 𝑒))
12816adantr 276 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝐻:(𝑋 Γ— π‘Œ)βŸΆβ„‚)
129128, 73, 91fovcdmd 6032 . . 3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ (𝑅𝐻𝑆) ∈ β„‚)
13078, 79, 129limcmpted 14403 . 2 (πœ‘ β†’ ((𝐢𝐻𝐷) ∈ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝑅𝐻𝑆)) limβ„‚ 𝐡) ↔ ((𝐢𝐻𝐷) ∈ β„‚ ∧ βˆ€π‘’ ∈ ℝ+ βˆƒπ‘‘ ∈ ℝ+ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 ((π‘₯ # 𝐡 ∧ (absβ€˜(π‘₯ βˆ’ 𝐡)) < 𝑑) β†’ (absβ€˜((𝑅𝐻𝑆) βˆ’ (𝐢𝐻𝐷))) < 𝑒))))
13141, 127, 130mpbir2and 945 1 (πœ‘ β†’ (𝐢𝐻𝐷) ∈ ((π‘₯ ∈ 𝐴 ↦ (𝑅𝐻𝑆)) limβ„‚ 𝐡))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   ∧ w3a 979   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  βˆ€wral 2465  βˆƒwrex 2466  Vcvv 2749   βŠ† wss 3141  βŸ¨cop 3607  βˆͺ cuni 3821   class class class wbr 4015   ↦ cmpt 4076   Γ— cxp 4636  dom cdm 4638   β†Ύ cres 4640   ∘ ccom 4642  βŸΆwf 5224  β€˜cfv 5228  (class class class)co 5888  β„‚cc 7822   < clt 8005   βˆ’ cmin 8141   # cap 8551  β„+crp 9666  abscabs 11019   β†Ύt crest 12705  βˆžMetcxmet 13697  MetOpencmopn 13702  Topctop 13768  TopOnctopon 13781   CnP ccnp 13957   Γ—t ctx 14023   limβ„‚ climc 14394
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-coll 4130  ax-sep 4133  ax-nul 4141  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-iinf 4599  ax-cnex 7915  ax-resscn 7916  ax-1cn 7917  ax-1re 7918  ax-icn 7919  ax-addcl 7920  ax-addrcl 7921  ax-mulcl 7922  ax-mulrcl 7923  ax-addcom 7924  ax-mulcom 7925  ax-addass 7926  ax-mulass 7927  ax-distr 7928  ax-i2m1 7929  ax-0lt1 7930  ax-1rid 7931  ax-0id 7932  ax-rnegex 7933  ax-precex 7934  ax-cnre 7935  ax-pre-ltirr 7936  ax-pre-ltwlin 7937  ax-pre-lttrn 7938  ax-pre-apti 7939  ax-pre-ltadd 7940  ax-pre-mulgt0 7941  ax-pre-mulext 7942  ax-arch 7943  ax-caucvg 7944
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-stab 832  df-dc 836  df-3or 980  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-reu 2472  df-rmo 2473  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-if 3547  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-iun 3900  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-tr 4114  df-id 4305  df-po 4308  df-iso 4309  df-iord 4378  df-on 4380  df-ilim 4381  df-suc 4383  df-iom 4602  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-f 5232  df-f1 5233  df-fo 5234  df-f1o 5235  df-fv 5236  df-isom 5237  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-1st 6154  df-2nd 6155  df-recs 6319  df-frec 6405  df-map 6663  df-pm 6664  df-sup 6996  df-inf 6997  df-pnf 8007  df-mnf 8008  df-xr 8009  df-ltxr 8010  df-le 8011  df-sub 8143  df-neg 8144  df-reap 8545  df-ap 8552  df-div 8643  df-inn 8933  df-2 8991  df-3 8992  df-4 8993  df-n0 9190  df-z 9267  df-uz 9542  df-q 9633  df-rp 9667  df-xneg 9785  df-xadd 9786  df-seqfrec 10459  df-exp 10533  df-cj 10864  df-re 10865  df-im 10866  df-rsqrt 11020  df-abs 11021  df-rest 12707  df-topgen 12726  df-psmet 13704  df-xmet 13705  df-met 13706  df-bl 13707  df-mopn 13708  df-top 13769  df-topon 13782  df-bases 13814  df-cnp 13960  df-tx 14024  df-limced 14396
This theorem is referenced by:  dvcnp2cntop  14434  dvaddxxbr  14436  dvmulxxbr  14437  dvcoapbr  14442
  Copyright terms: Public domain W3C validator