ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  oaword1 GIF version

Theorem oaword1 6214
Description: An ordinal is less than or equal to its sum with another. Part of Exercise 5 of [TakeutiZaring] p. 62. (Contributed by NM, 6-Dec-2004.)
Assertion
Ref Expression
oaword1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐴 ⊆ (𝐴 +𝑜 𝐵))

Proof of Theorem oaword1
StepHypRef Expression
1 oa0 6200 . . 3 (𝐴 ∈ On → (𝐴 +𝑜 ∅) = 𝐴)
21adantr 270 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +𝑜 ∅) = 𝐴)
3 0ss 3318 . . 3 ∅ ⊆ 𝐵
4 0elon 4210 . . . 4 ∅ ∈ On
5 oawordi 6212 . . . . 5 ((∅ ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ⊆ 𝐵 → (𝐴 +𝑜 ∅) ⊆ (𝐴 +𝑜 𝐵)))
653com13 1148 . . . 4 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On ∧ ∅ ∈ On) → (∅ ⊆ 𝐵 → (𝐴 +𝑜 ∅) ⊆ (𝐴 +𝑜 𝐵)))
74, 6mp3an3 1262 . . 3 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (∅ ⊆ 𝐵 → (𝐴 +𝑜 ∅) ⊆ (𝐴 +𝑜 𝐵)))
83, 7mpi 15 . 2 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → (𝐴 +𝑜 ∅) ⊆ (𝐴 +𝑜 𝐵))
92, 8eqsstr3d 3059 1 ((𝐴 ∈ On ∧ 𝐵 ∈ On) → 𝐴 ⊆ (𝐴 +𝑜 𝐵))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 102   = wceq 1289  wcel 1438  wss 2997  c0 3284  Oncon0 4181  (class class class)co 5634   +𝑜 coa 6160
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 104  ax-ia2 105  ax-ia3 106  ax-in1 579  ax-in2 580  ax-io 665  ax-5 1381  ax-7 1382  ax-gen 1383  ax-ie1 1427  ax-ie2 1428  ax-8 1440  ax-10 1441  ax-11 1442  ax-i12 1443  ax-bndl 1444  ax-4 1445  ax-13 1449  ax-14 1450  ax-17 1464  ax-i9 1468  ax-ial 1472  ax-i5r 1473  ax-ext 2070  ax-coll 3946  ax-sep 3949  ax-nul 3957  ax-pow 4001  ax-pr 4027  ax-un 4251  ax-setind 4343
This theorem depends on definitions:  df-bi 115  df-3an 926  df-tru 1292  df-fal 1295  df-nf 1395  df-sb 1693  df-eu 1951  df-mo 1952  df-clab 2075  df-cleq 2081  df-clel 2084  df-nfc 2217  df-ne 2256  df-ral 2364  df-rex 2365  df-reu 2366  df-rab 2368  df-v 2621  df-sbc 2839  df-csb 2932  df-dif 2999  df-un 3001  df-in 3003  df-ss 3010  df-nul 3285  df-pw 3427  df-sn 3447  df-pr 3448  df-op 3450  df-uni 3649  df-iun 3727  df-br 3838  df-opab 3892  df-mpt 3893  df-tr 3929  df-id 4111  df-iord 4184  df-on 4186  df-suc 4189  df-xp 4434  df-rel 4435  df-cnv 4436  df-co 4437  df-dm 4438  df-rn 4439  df-res 4440  df-ima 4441  df-iota 4967  df-fun 5004  df-fn 5005  df-f 5006  df-f1 5007  df-fo 5008  df-f1o 5009  df-fv 5010  df-ov 5637  df-oprab 5638  df-mpt2 5639  df-recs 6052  df-irdg 6117  df-oadd 6167
This theorem is referenced by:  omsuc  6215  nnaword1  6252
  Copyright terms: Public domain W3C validator