Theorem f1cocnv1 5506

Description: Composition of an injective function with its converse. (Contributed by FL, 11-Nov-2011.)

Assertion

Ref	Expression
f1cocnv1	⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → (◡𝐹 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝐴))

Proof of Theorem f1cocnv1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1f1orn 5487	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐹:𝐴–1-1-onto→ran 𝐹)
2		f1ococnv1 5505	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→ran 𝐹 → (◡𝐹 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝐴))
3	1, 2	syl 14	1 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → (◡𝐹 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   I cid 4303  ^◡ccnv 4640  ran crn 4642   ↾ cres 4643   ∘ ccom 4645  –1-1→wf1 5228  –1-1-onto→wf1o 5230

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-14 2163  ax-ext 2171  ax-sep 4136  ax-pow 4189  ax-pr 4224

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2041  df-mo 2042  df-clab 2176  df-cleq 2182  df-clel 2185  df-nfc 2321  df-ral 2473  df-rex 2474  df-v 2754  df-un 3148  df-in 3150  df-ss 3157  df-pw 3592  df-sn 3613  df-pr 3614  df-op 3616  df-br 4019  df-opab 4080  df-id 4308  df-xp 4647  df-rel 4648  df-cnv 4649  df-co 4650  df-dm 4651  df-rn 4652  df-res 4653  df-fun 5233  df-fn 5234  df-f 5235  df-f1 5236  df-fo 5237  df-f1o 5238

This theorem is referenced by:  f1eqcocnv  5808