ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  f1eqcocnv GIF version

Theorem f1eqcocnv 5658
Description: Condition for function equality in terms of vanishing of the composition with the inverse. (Contributed by Stefan O'Rear, 12-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
f1eqcocnv ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) → (𝐹 = 𝐺 ↔ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐴)))

Proof of Theorem f1eqcocnv
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 f1cocnv1 5363 . . . 4 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐴))
2 coeq2 4665 . . . . 5 (𝐹 = 𝐺 → (𝐹𝐹) = (𝐹𝐺))
32eqeq1d 2124 . . . 4 (𝐹 = 𝐺 → ((𝐹𝐹) = ( I ↾ 𝐴) ↔ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐴)))
41, 3syl5ibcom 154 . . 3 (𝐹:𝐴1-1𝐵 → (𝐹 = 𝐺 → (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐴)))
54adantr 272 . 2 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) → (𝐹 = 𝐺 → (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐴)))
6 f1fn 5298 . . . . . . 7 (𝐺:𝐴1-1𝐵𝐺 Fn 𝐴)
76adantl 273 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) → 𝐺 Fn 𝐴)
87adantr 272 . . . . 5 (((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐴)) → 𝐺 Fn 𝐴)
9 f1fn 5298 . . . . . . 7 (𝐹:𝐴1-1𝐵𝐹 Fn 𝐴)
109adantr 272 . . . . . 6 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) → 𝐹 Fn 𝐴)
1110adantr 272 . . . . 5 (((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐴)) → 𝐹 Fn 𝐴)
12 equid 1660 . . . . . . . . . 10 𝑥 = 𝑥
13 resieq 4797 . . . . . . . . . 10 ((𝑥𝐴𝑥𝐴) → (𝑥( I ↾ 𝐴)𝑥𝑥 = 𝑥))
1412, 13mpbiri 167 . . . . . . . . 9 ((𝑥𝐴𝑥𝐴) → 𝑥( I ↾ 𝐴)𝑥)
1514anidms 392 . . . . . . . 8 (𝑥𝐴𝑥( I ↾ 𝐴)𝑥)
1615adantl 273 . . . . . . 7 ((((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥( I ↾ 𝐴)𝑥)
17 breq 3899 . . . . . . . 8 ((𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐴) → (𝑥(𝐹𝐺)𝑥𝑥( I ↾ 𝐴)𝑥))
1817ad2antlr 478 . . . . . . 7 ((((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥(𝐹𝐺)𝑥𝑥( I ↾ 𝐴)𝑥))
1916, 18mpbird 166 . . . . . 6 ((((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥(𝐹𝐺)𝑥)
20 vex 2661 . . . . . . . . . 10 𝑥 ∈ V
2120, 20brco 4678 . . . . . . . . 9 (𝑥(𝐹𝐺)𝑥 ↔ ∃𝑦(𝑥𝐺𝑦𝑦𝐹𝑥))
22 fnfun 5188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐺 Fn 𝐴 → Fun 𝐺)
237, 22syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) → Fun 𝐺)
2423adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → Fun 𝐺)
25 fndm 5190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐺 Fn 𝐴 → dom 𝐺 = 𝐴)
267, 25syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) → dom 𝐺 = 𝐴)
2726eleq2d 2185 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) → (𝑥 ∈ dom 𝐺𝑥𝐴))
2827biimpar 293 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ dom 𝐺)
29 funopfvb 5431 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Fun 𝐺𝑥 ∈ dom 𝐺) → ((𝐺𝑥) = 𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺))
3024, 28, 29syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐺𝑥) = 𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺))
3130bicomd 140 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺 ↔ (𝐺𝑥) = 𝑦))
32 df-br 3898 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥𝐺𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐺)
33 eqcom 2117 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝐺𝑥) ↔ (𝐺𝑥) = 𝑦)
3431, 32, 333bitr4g 222 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥𝐺𝑦𝑦 = (𝐺𝑥)))
3534biimpd 143 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥𝐺𝑦𝑦 = (𝐺𝑥)))
36 fnfun 5188 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐹 Fn 𝐴 → Fun 𝐹)
3710, 36syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) → Fun 𝐹)
3837adantr 272 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → Fun 𝐹)
39 fndm 5190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐹 Fn 𝐴 → dom 𝐹 = 𝐴)
4010, 39syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) → dom 𝐹 = 𝐴)
4140eleq2d 2185 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) → (𝑥 ∈ dom 𝐹𝑥𝐴))
4241biimpar 293 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ dom 𝐹)
43 funopfvb 5431 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((Fun 𝐹𝑥 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹𝑥) = 𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹))
4438, 42, 43syl2anc 406 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐹𝑥) = 𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹))
45 df-br 3898 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥𝐹𝑦 ↔ ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ 𝐹)
4644, 45syl6rbbr 198 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥𝐹𝑦 ↔ (𝐹𝑥) = 𝑦))
47 vex 2661 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑦 ∈ V
4847, 20brcnv 4690 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦𝐹𝑥𝑥𝐹𝑦)
49 eqcom 2117 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (𝐹𝑥) ↔ (𝐹𝑥) = 𝑦)
5046, 48, 493bitr4g 222 . . . . . . . . . . . 12 (((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦𝐹𝑥𝑦 = (𝐹𝑥)))
5150biimpd 143 . . . . . . . . . . 11 (((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦𝐹𝑥𝑦 = (𝐹𝑥)))
5235, 51anim12d 331 . . . . . . . . . 10 (((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝑥𝐺𝑦𝑦𝐹𝑥) → (𝑦 = (𝐺𝑥) ∧ 𝑦 = (𝐹𝑥))))
5352eximdv 1834 . . . . . . . . 9 (((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (∃𝑦(𝑥𝐺𝑦𝑦𝐹𝑥) → ∃𝑦(𝑦 = (𝐺𝑥) ∧ 𝑦 = (𝐹𝑥))))
5421, 53syl5bi 151 . . . . . . . 8 (((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥(𝐹𝐺)𝑥 → ∃𝑦(𝑦 = (𝐺𝑥) ∧ 𝑦 = (𝐹𝑥))))
556anim1i 336 . . . . . . . . . 10 ((𝐺:𝐴1-1𝐵𝑥𝐴) → (𝐺 Fn 𝐴𝑥𝐴))
5655adantll 465 . . . . . . . . 9 (((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺 Fn 𝐴𝑥𝐴))
57 funfvex 5404 . . . . . . . . . 10 ((Fun 𝐺𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺𝑥) ∈ V)
5857funfni 5191 . . . . . . . . 9 ((𝐺 Fn 𝐴𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) ∈ V)
59 eqvincg 2781 . . . . . . . . 9 ((𝐺𝑥) ∈ V → ((𝐺𝑥) = (𝐹𝑥) ↔ ∃𝑦(𝑦 = (𝐺𝑥) ∧ 𝑦 = (𝐹𝑥))))
6056, 58, 593syl 17 . . . . . . . 8 (((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → ((𝐺𝑥) = (𝐹𝑥) ↔ ∃𝑦(𝑦 = (𝐺𝑥) ∧ 𝑦 = (𝐹𝑥))))
6154, 60sylibrd 168 . . . . . . 7 (((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥(𝐹𝐺)𝑥 → (𝐺𝑥) = (𝐹𝑥)))
6261adantlr 466 . . . . . 6 ((((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝑥(𝐹𝐺)𝑥 → (𝐺𝑥) = (𝐹𝑥)))
6319, 62mpd 13 . . . . 5 ((((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐴)) ∧ 𝑥𝐴) → (𝐺𝑥) = (𝐹𝑥))
648, 11, 63eqfnfvd 5487 . . . 4 (((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐴)) → 𝐺 = 𝐹)
6564eqcomd 2121 . . 3 (((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) ∧ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐴)) → 𝐹 = 𝐺)
6665ex 114 . 2 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) → ((𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐴) → 𝐹 = 𝐺))
675, 66impbid 128 1 ((𝐹:𝐴1-1𝐵𝐺:𝐴1-1𝐵) → (𝐹 = 𝐺 ↔ (𝐹𝐺) = ( I ↾ 𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 103  wb 104   = wceq 1314  wex 1451  wcel 1463  Vcvv 2658  cop 3498   class class class wbr 3897   I cid 4178  ccnv 4506  dom cdm 4507  cres 4509  ccom 4511  Fun wfun 5085   Fn wfn 5086  1-1wf1 5088  cfv 5091
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 681  ax-5 1406  ax-7 1407  ax-gen 1408  ax-ie1 1452  ax-ie2 1453  ax-8 1465  ax-10 1466  ax-11 1467  ax-i12 1468  ax-bndl 1469  ax-4 1470  ax-14 1475  ax-17 1489  ax-i9 1493  ax-ial 1497  ax-i5r 1498  ax-ext 2097  ax-sep 4014  ax-pow 4066  ax-pr 4099
This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 947  df-tru 1317  df-nf 1420  df-sb 1719  df-eu 1978  df-mo 1979  df-clab 2102  df-cleq 2108  df-clel 2111  df-nfc 2245  df-ral 2396  df-rex 2397  df-v 2660  df-sbc 2881  df-csb 2974  df-un 3043  df-in 3045  df-ss 3052  df-pw 3480  df-sn 3501  df-pr 3502  df-op 3504  df-uni 3705  df-br 3898  df-opab 3958  df-mpt 3959  df-id 4183  df-xp 4513  df-rel 4514  df-cnv 4515  df-co 4516  df-dm 4517  df-rn 4518  df-res 4519  df-iota 5056  df-fun 5093  df-fn 5094  df-f 5095  df-f1 5096  df-fo 5097  df-f1o 5098  df-fv 5099
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator