Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | f1cocnv1 5472 |
. . . 4
⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → (◡𝐹 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝐴)) |
2 | | coeq2 4769 |
. . . . 5
⊢ (𝐹 = 𝐺 → (◡𝐹 ∘ 𝐹) = (◡𝐹 ∘ 𝐺)) |
3 | 2 | eqeq1d 2179 |
. . . 4
⊢ (𝐹 = 𝐺 → ((◡𝐹 ∘ 𝐹) = ( I ↾ 𝐴) ↔ (◡𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝐴))) |
4 | 1, 3 | syl5ibcom 154 |
. . 3
⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → (𝐹 = 𝐺 → (◡𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝐴))) |
5 | 4 | adantr 274 |
. 2
⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) → (𝐹 = 𝐺 → (◡𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝐴))) |
6 | | f1fn 5405 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐺:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐺 Fn 𝐴) |
7 | 6 | adantl 275 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) → 𝐺 Fn 𝐴) |
8 | 7 | adantr 274 |
. . . . 5
⊢ (((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) ∧ (◡𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝐴)) → 𝐺 Fn 𝐴) |
9 | | f1fn 5405 |
. . . . . . 7
⊢ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 → 𝐹 Fn 𝐴) |
10 | 9 | adantr 274 |
. . . . . 6
⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) → 𝐹 Fn 𝐴) |
11 | 10 | adantr 274 |
. . . . 5
⊢ (((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) ∧ (◡𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝐴)) → 𝐹 Fn 𝐴) |
12 | | equid 1694 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 𝑥 = 𝑥 |
13 | | resieq 4901 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥( I ↾ 𝐴)𝑥 ↔ 𝑥 = 𝑥)) |
14 | 12, 13 | mpbiri 167 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥( I ↾ 𝐴)𝑥) |
15 | 14 | anidms 395 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥( I ↾ 𝐴)𝑥) |
16 | 15 | adantl 275 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) ∧ (◡𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥( I ↾ 𝐴)𝑥) |
17 | | breq 3991 |
. . . . . . . 8
⊢ ((◡𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝐴) → (𝑥(◡𝐹 ∘ 𝐺)𝑥 ↔ 𝑥( I ↾ 𝐴)𝑥)) |
18 | 17 | ad2antlr 486 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) ∧ (◡𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥(◡𝐹 ∘ 𝐺)𝑥 ↔ 𝑥( I ↾ 𝐴)𝑥)) |
19 | 16, 18 | mpbird 166 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) ∧ (◡𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥(◡𝐹 ∘ 𝐺)𝑥) |
20 | | vex 2733 |
. . . . . . . . . 10
⊢ 𝑥 ∈ V |
21 | 20, 20 | brco 4782 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥(◡𝐹 ∘ 𝐺)𝑥 ↔ ∃𝑦(𝑥𝐺𝑦 ∧ 𝑦◡𝐹𝑥)) |
22 | | fnfun 5295 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝐺 Fn 𝐴 → Fun 𝐺) |
23 | 7, 22 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) → Fun 𝐺) |
24 | 23 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Fun 𝐺) |
25 | | fndm 5297 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝐺 Fn 𝐴 → dom 𝐺 = 𝐴) |
26 | 7, 25 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) → dom 𝐺 = 𝐴) |
27 | 26 | eleq2d 2240 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) → (𝑥 ∈ dom 𝐺 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴)) |
28 | 27 | biimpar 295 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ dom 𝐺) |
29 | | funopfvb 5540 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((Fun
𝐺 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → ((𝐺‘𝑥) = 𝑦 ↔ 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺)) |
30 | 24, 28, 29 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝑥) = 𝑦 ↔ 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺)) |
31 | 30 | bicomd 140 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺 ↔ (𝐺‘𝑥) = 𝑦)) |
32 | | df-br 3990 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑥𝐺𝑦 ↔ 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐺) |
33 | | eqcom 2172 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑦 = (𝐺‘𝑥) ↔ (𝐺‘𝑥) = 𝑦) |
34 | 31, 32, 33 | 3bitr4g 222 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥𝐺𝑦 ↔ 𝑦 = (𝐺‘𝑥))) |
35 | 34 | biimpd 143 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥𝐺𝑦 → 𝑦 = (𝐺‘𝑥))) |
36 | | df-br 3990 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥𝐹𝑦 ↔ 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹) |
37 | | fnfun 5295 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → Fun 𝐹) |
38 | 10, 37 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) → Fun 𝐹) |
39 | 38 | adantr 274 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Fun 𝐹) |
40 | | fndm 5297 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → dom 𝐹 = 𝐴) |
41 | 10, 40 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) → dom 𝐹 = 𝐴) |
42 | 41 | eleq2d 2240 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) → (𝑥 ∈ dom 𝐹 ↔ 𝑥 ∈ 𝐴)) |
43 | 42 | biimpar 295 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ dom 𝐹) |
44 | | funopfvb 5540 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((Fun
𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘𝑥) = 𝑦 ↔ 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹)) |
45 | 39, 43, 44 | syl2anc 409 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) = 𝑦 ↔ 〈𝑥, 𝑦〉 ∈ 𝐹)) |
46 | 36, 45 | bitr4id 198 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥𝐹𝑦 ↔ (𝐹‘𝑥) = 𝑦)) |
47 | | vex 2733 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ 𝑦 ∈ V |
48 | 47, 20 | brcnv 4794 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑦◡𝐹𝑥 ↔ 𝑥𝐹𝑦) |
49 | | eqcom 2172 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑦 = (𝐹‘𝑥) ↔ (𝐹‘𝑥) = 𝑦) |
50 | 46, 48, 49 | 3bitr4g 222 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦◡𝐹𝑥 ↔ 𝑦 = (𝐹‘𝑥))) |
51 | 50 | biimpd 143 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦◡𝐹𝑥 → 𝑦 = (𝐹‘𝑥))) |
52 | 35, 51 | anim12d 333 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑥𝐺𝑦 ∧ 𝑦◡𝐹𝑥) → (𝑦 = (𝐺‘𝑥) ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑥)))) |
53 | 52 | eximdv 1873 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∃𝑦(𝑥𝐺𝑦 ∧ 𝑦◡𝐹𝑥) → ∃𝑦(𝑦 = (𝐺‘𝑥) ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑥)))) |
54 | 21, 53 | syl5bi 151 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥(◡𝐹 ∘ 𝐺)𝑥 → ∃𝑦(𝑦 = (𝐺‘𝑥) ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑥)))) |
55 | 6 | anim1i 338 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝐺:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺 Fn 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) |
56 | 55 | adantll 473 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺 Fn 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) |
57 | | funfvex 5513 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((Fun
𝐺 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐺) → (𝐺‘𝑥) ∈ V) |
58 | 57 | funfni 5298 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐺 Fn 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) ∈ V) |
59 | | eqvincg 2854 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((𝐺‘𝑥) ∈ V → ((𝐺‘𝑥) = (𝐹‘𝑥) ↔ ∃𝑦(𝑦 = (𝐺‘𝑥) ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑥)))) |
60 | 56, 58, 59 | 3syl 17 |
. . . . . . . 8
⊢ (((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐺‘𝑥) = (𝐹‘𝑥) ↔ ∃𝑦(𝑦 = (𝐺‘𝑥) ∧ 𝑦 = (𝐹‘𝑥)))) |
61 | 54, 60 | sylibrd 168 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥(◡𝐹 ∘ 𝐺)𝑥 → (𝐺‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))) |
62 | 61 | adantlr 474 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) ∧ (◡𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑥(◡𝐹 ∘ 𝐺)𝑥 → (𝐺‘𝑥) = (𝐹‘𝑥))) |
63 | 19, 62 | mpd 13 |
. . . . 5
⊢ ((((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) ∧ (◡𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝐴)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑥) = (𝐹‘𝑥)) |
64 | 8, 11, 63 | eqfnfvd 5596 |
. . . 4
⊢ (((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) ∧ (◡𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝐴)) → 𝐺 = 𝐹) |
65 | 64 | eqcomd 2176 |
. . 3
⊢ (((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) ∧ (◡𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝐴)) → 𝐹 = 𝐺) |
66 | 65 | ex 114 |
. 2
⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) → ((◡𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝐴) → 𝐹 = 𝐺)) |
67 | 5, 66 | impbid 128 |
1
⊢ ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵) → (𝐹 = 𝐺 ↔ (◡𝐹 ∘ 𝐺) = ( I ↾ 𝐴))) |