Theorem f1oeq1 5562

Description: Equality theorem for one-to-one onto functions. (Contributed by NM, 10-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
f1oeq1	⊢ (𝐹 = 𝐺 → (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ 𝐺:𝐴–1-1-onto→𝐵))

Proof of Theorem f1oeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1eq1 5528	. . 3 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵))
2		foeq1 5546	. . 3 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → (𝐹:𝐴–onto→𝐵 ↔ 𝐺:𝐴–onto→𝐵))
3	1, 2	anbi12d 473	. 2 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) ↔ (𝐺:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–onto→𝐵)))
4		df-f1o 5325	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵))
5		df-f1o 5325	. 2 ⊢ (𝐺:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝐺:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–onto→𝐵))
6	3, 4, 5	3bitr4g 223	1 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ 𝐺:𝐴–1-1-onto→𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395  –1-1→wf1 5315  –onto→wfo 5316  –1-1-onto→wf1o 5317

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801  df-un 3201  df-in 3203  df-ss 3210  df-sn 3672  df-pr 3673  df-op 3675  df-br 4084  df-opab 4146  df-rel 4726  df-cnv 4727  df-co 4728  df-dm 4729  df-rn 4730  df-fun 5320  df-fn 5321  df-f 5322  df-f1 5323  df-fo 5324  df-f1o 5325

This theorem is referenced by:  f1oeq123d  5568  f1oeq1d  5569  f1ocnvb  5588  f1orescnv  5590  f1ovi  5614  f1osng  5616  f1oresrab  5802  fsn  5809  isoeq1  5931  mapsn  6845  mapsnf1o3  6852  f1oen4g  6911  f1oen3g  6913  ensn1  6956  en2prd  6978  xpcomf1o  6992  xpen  7014  seq3f1olemstep  10748  seq3f1olemp  10749  seqf1oglem2  10754  seqf1og  10755  fihasheqf1oi  11021  fihashf1rn  11022  hashfacen  11071  summodc  11909  fsum3  11913  prodmodc  12104  fprodseq  12109  eulerthlemh  12768  relogf1o  15550  2lgslem1  15785