Theorem f1oeq1 5450

Description: Equality theorem for one-to-one onto functions. (Contributed by NM, 10-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
f1oeq1	⊢ (𝐹 = 𝐺 → (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ 𝐺:𝐴–1-1-onto→𝐵))

Proof of Theorem f1oeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1eq1 5417	. . 3 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵))
2		foeq1 5435	. . 3 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → (𝐹:𝐴–onto→𝐵 ↔ 𝐺:𝐴–onto→𝐵))
3	1, 2	anbi12d 473	. 2 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) ↔ (𝐺:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–onto→𝐵)))
4		df-f1o 5224	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵))
5		df-f1o 5224	. 2 ⊢ (𝐺:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝐺:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–onto→𝐵))
6	3, 4, 5	3bitr4g 223	1 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ 𝐺:𝐴–1-1-onto→𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353  –1-1→wf1 5214  –onto→wfo 5215  –1-1-onto→wf1o 5216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2740  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-br 4005  df-opab 4066  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-fun 5219  df-fn 5220  df-f 5221  df-f1 5222  df-fo 5223  df-f1o 5224

This theorem is referenced by:  f1oeq123d  5456  f1oeq1d  5457  f1ocnvb  5476  f1orescnv  5478  f1ovi  5501  f1osng  5503  f1oresrab  5682  fsn  5689  isoeq1  5802  mapsn  6690  mapsnf1o3  6697  f1oen3g  6754  ensn1  6796  xpcomf1o  6825  xpen  6845  seq3f1olemstep  10501  seq3f1olemp  10502  fihasheqf1oi  10767  fihashf1rn  10768  hashfacen  10816  summodc  11391  fsum3  11395  prodmodc  11586  fprodseq  11591  eulerthlemh  12231  relogf1o  14285