Theorem f1oeq1 5568

Description: Equality theorem for one-to-one onto functions. (Contributed by NM, 10-Feb-1997.)

Assertion

Ref	Expression
f1oeq1	⊢ (𝐹 = 𝐺 → (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ 𝐺:𝐴–1-1-onto→𝐵))

Proof of Theorem f1oeq1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		f1eq1 5534	. . 3 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ↔ 𝐺:𝐴–1-1→𝐵))
2		foeq1 5552	. . 3 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → (𝐹:𝐴–onto→𝐵 ↔ 𝐺:𝐴–onto→𝐵))
3	1, 2	anbi12d 473	. 2 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → ((𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵) ↔ (𝐺:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–onto→𝐵)))
4		df-f1o 5331	. 2 ⊢ (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝐹:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐹:𝐴–onto→𝐵))
5		df-f1o 5331	. 2 ⊢ (𝐺:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ (𝐺:𝐴–1-1→𝐵 ∧ 𝐺:𝐴–onto→𝐵))
6	3, 4, 5	3bitr4g 223	1 ⊢ (𝐹 = 𝐺 → (𝐹:𝐴–1-1-onto→𝐵 ↔ 𝐺:𝐴–1-1-onto→𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1395  –1-1→wf1 5321  –onto→wfo 5322  –1-1-onto→wf1o 5323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2802  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-br 4087  df-opab 4149  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-fun 5326  df-fn 5327  df-f 5328  df-f1 5329  df-fo 5330  df-f1o 5331

This theorem is referenced by:  f1oeq123d  5574  f1oeq1d  5575  f1ocnvb  5594  f1orescnv  5596  f1ovi  5620  f1osng  5622  f1oresrab  5808  fsn  5815  isoeq1  5937  mapsn  6854  mapsnf1o3  6861  f1oen4g  6920  f1oen3g  6922  ensn1  6965  en2prd  6987  xpcomf1o  7004  xpen  7026  seq3f1olemstep  10766  seq3f1olemp  10767  seqf1oglem2  10772  seqf1og  10773  fihasheqf1oi  11039  fihashf1rn  11040  hashfacen  11090  summodc  11934  fsum3  11938  prodmodc  12129  fprodseq  12134  eulerthlemh  12793  relogf1o  15575  2lgslem1  15810