Theorem fssresd 5463

Description: Restriction of a function with a subclass of its domain, deduction form. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fssresd.1	⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
fssresd.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
fssresd	⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐵)

Proof of Theorem fssresd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fssresd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹:𝐴⟶𝐵)
2		fssresd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
3		fssres 5462	. 2 ⊢ ((𝐹:𝐴⟶𝐵 ∧ 𝐶 ⊆ 𝐴) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 411	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ⊆ wss 3170   ↾ cres 4684  ⟶wf 5275

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4169  ax-pow 4225  ax-pr 4260

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-un 3174  df-in 3176  df-ss 3183  df-pw 3622  df-sn 3643  df-pr 3644  df-op 3646  df-br 4051  df-opab 4113  df-xp 4688  df-rel 4689  df-cnv 4690  df-co 4691  df-dm 4692  df-rn 4693  df-res 4694  df-fun 5281  df-fn 5282  df-f 5283

This theorem is referenced by:  gsumsplit1r  13300  znf1o  14483  cnrest  14777  cnptopresti  14780  cnptoprest  14781  psmetres2  14875  xmetres2  14921  metres2  14923  xmetresbl  14982  rescncf  15123  trilpolemlt1  16115