Theorem funfvdm2 5403

Description: The value of a function. Definition of function value in [Enderton] p. 43. (Contributed by Jim Kingdon, 1-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
funfvdm2	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) = ∪ {𝑦 ∣ 𝐴𝐹𝑦})

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴   𝑦,𝐹

Proof of Theorem funfvdm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		funfvdm 5402	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) = ∪ (𝐹 “ {𝐴}))
2		imasng 4830	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝐹 → (𝐹 “ {𝐴}) = {𝑦 ∣ 𝐴𝐹𝑦})
3	2	adantl 272	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹 “ {𝐴}) = {𝑦 ∣ 𝐴𝐹𝑦})
4	3	unieqd 3686	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → ∪ (𝐹 “ {𝐴}) = ∪ {𝑦 ∣ 𝐴𝐹𝑦})
5	1, 4	eqtrd 2127	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐴 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝐴) = ∪ {𝑦 ∣ 𝐴𝐹𝑦})

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   = wceq 1296   ∈ wcel 1445  {cab 2081  {csn 3466  ∪ cuni 3675   class class class wbr 3867  dom cdm 4467   “ cima 4470  Fun wfun 5043  ‘cfv 5049

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-v 2635  df-sbc 2855  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-rn 4478  df-res 4479  df-ima 4480  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fn 5052  df-fv 5057

This theorem is referenced by:  funfvdm2f  5404