Theorem ressbasd 12521

Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.) (Proof shortened by AV, 7-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbasd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴))
ressbasd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑊))
ressbasd.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
ressbasd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
ressbasd	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))

Proof of Theorem ressbasd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressbasd.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
2		ressbasd.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		inex1g 4139	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) ∈ V)
4	2, 3	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) ∈ V)
5		baseslid 12513	. . . 4 ⊢ (Base = Slot (Base‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ∈ ℕ)
6	5	setsslid 12507	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) ∈ V) → (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)))
7	1, 4, 6	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)))
8		ressbasd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑊))
9	8	ineq2d 3336	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)))
10		ressbasd.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴))
11		ressvalsets 12518	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑊 ↾s 𝐴) = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩))
12	1, 2, 11	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s 𝐴) = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩))
13	10, 12	eqtrd 2210	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩))
14	13	fveq2d 5519	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)))
15	7, 9, 14	3eqtr4d 2220	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2737   ∩ cin 3128  ⟨cop 3595  ‘cfv 5216  (class class class)co 5874  ndxcnx 12453   sSet csts 12454  Basecbs 12456   ↾_s cress 12457

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4121  ax-pow 4174  ax-pr 4209  ax-un 4433  ax-setind 4536  ax-cnex 7901  ax-resscn 7902  ax-1re 7904  ax-addrcl 7907

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2739  df-sbc 2963  df-dif 3131  df-un 3133  df-in 3135  df-ss 3142  df-nul 3423  df-pw 3577  df-sn 3598  df-pr 3599  df-op 3601  df-uni 3810  df-int 3845  df-br 4004  df-opab 4065  df-mpt 4066  df-id 4293  df-xp 4632  df-rel 4633  df-cnv 4634  df-co 4635  df-dm 4636  df-rn 4637  df-res 4638  df-iota 5178  df-fun 5218  df-fv 5224  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpo 5879  df-inn 8918  df-ndx 12459  df-slot 12460  df-base 12462  df-sets 12463  df-iress 12464

This theorem is referenced by:  ressbas2d  12522  ressbasssd  12523  ressressg  12528  grpressid  12885  subrgpropd  13329