Theorem ressbasd 13481

Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.) (Proof shortened by AV, 7-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbasd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴))
ressbasd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑊))
ressbasd.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
ressbasd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
ressbasd	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))

Proof of Theorem ressbasd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressbasd.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
2		ressbasd.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		inex1g 4271	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) ∈ V)
4	2, 3	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) ∈ V)
5		baseslid 13469	. . . 4 ⊢ (Base = Slot (Base‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ∈ ℕ)
6	5	setsslid 13462	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) ∈ V) → (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)))
7	1, 4, 6	syl2anc 415	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)))
8		ressbasd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑊))
9	8	ineq2d 3432	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)))
10		ressbasd.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴))
11		ressvalsets 13477	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑊 ↾s 𝐴) = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩))
12	1, 2, 11	syl2anc 415	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s 𝐴) = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩))
13	10, 12	eqtrd 2271	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩))
14	13	fveq2d 5702	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)))
15	7, 9, 14	3eqtr4d 2281	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ∩ cin 3219  ⟨cop 3712  ‘cfv 5380  (class class class)co 6088  ndxcnx 13408   sSet csts 13409  Basecbs 13411   ↾_s cress 13412

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4251  ax-pow 4313  ax-pr 4348  ax-un 4580  ax-setind 4686  ax-cnex 8277  ax-resscn 8278  ax-1re 8280  ax-addrcl 8283

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4132  df-opab 4194  df-mpt 4195  df-id 4440  df-xp 4782  df-rel 4783  df-cnv 4784  df-co 4785  df-dm 4786  df-rn 4787  df-res 4788  df-iota 5340  df-fun 5382  df-fv 5388  df-ov 6091  df-oprab 6092  df-mpo 6093  df-inn 9315  df-ndx 13414  df-slot 13415  df-base 13417  df-sets 13418  df-iress 13419

This theorem is used by:  ressbas2d  13482  ressbasssd  13483  ressbasid  13484  ressressg  13489  grpressid  13926  resscntz  14167  opprsubgg  14500  subrngpropd  14634  subrgpropd  14671  sralmod  14897  lidlbas  14925