Theorem ressbasd 13143

Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.) (Proof shortened by AV, 7-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbasd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴))
ressbasd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑊))
ressbasd.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
ressbasd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
ressbasd	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))

Proof of Theorem ressbasd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressbasd.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
2		ressbasd.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		inex1g 4223	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) ∈ V)
4	2, 3	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) ∈ V)
5		baseslid 13133	. . . 4 ⊢ (Base = Slot (Base‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ∈ ℕ)
6	5	setsslid 13126	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) ∈ V) → (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)))
7	1, 4, 6	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)))
8		ressbasd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑊))
9	8	ineq2d 3406	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)))
10		ressbasd.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴))
11		ressvalsets 13140	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑊 ↾s 𝐴) = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩))
12	1, 2, 11	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s 𝐴) = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩))
13	10, 12	eqtrd 2262	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩))
14	13	fveq2d 5639	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)))
15	7, 9, 14	3eqtr4d 2272	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1395   ∈ wcel 2200  Vcvv 2800   ∩ cin 3197  ⟨cop 3670  ‘cfv 5324  (class class class)co 6013  ndxcnx 13072   sSet csts 13073  Basecbs 13075   ↾_s cress 13076

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 617  ax-in2 618  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-13 2202  ax-14 2203  ax-ext 2211  ax-sep 4205  ax-pow 4262  ax-pr 4297  ax-un 4528  ax-setind 4633  ax-cnex 8116  ax-resscn 8117  ax-1re 8119  ax-addrcl 8122

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1004  df-tru 1398  df-fal 1401  df-nf 1507  df-sb 1809  df-eu 2080  df-mo 2081  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-ne 2401  df-ral 2513  df-rex 2514  df-rab 2517  df-v 2802  df-sbc 3030  df-dif 3200  df-un 3202  df-in 3204  df-ss 3211  df-nul 3493  df-pw 3652  df-sn 3673  df-pr 3674  df-op 3676  df-uni 3892  df-int 3927  df-br 4087  df-opab 4149  df-mpt 4150  df-id 4388  df-xp 4729  df-rel 4730  df-cnv 4731  df-co 4732  df-dm 4733  df-rn 4734  df-res 4735  df-iota 5284  df-fun 5326  df-fv 5332  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpo 6018  df-inn 9137  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13081  df-sets 13082  df-iress 13083

This theorem is referenced by:  ressbas2d  13144  ressbasssd  13145  ressbasid  13146  ressressg  13151  grpressid  13637  opprsubgg  14090  subrngpropd  14223  subrgpropd  14260  sralmod  14457  lidlbas  14485