Theorem ressbasd 12544

Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.) (Proof shortened by AV, 7-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbasd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴))
ressbasd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑊))
ressbasd.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
ressbasd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
ressbasd	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))

Proof of Theorem ressbasd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressbasd.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
2		ressbasd.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		inex1g 4153	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) ∈ V)
4	2, 3	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) ∈ V)
5		baseslid 12536	. . . 4 ⊢ (Base = Slot (Base‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ∈ ℕ)
6	5	setsslid 12530	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) ∈ V) → (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)))
7	1, 4, 6	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)))
8		ressbasd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑊))
9	8	ineq2d 3350	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)))
10		ressbasd.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴))
11		ressvalsets 12541	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑊 ↾s 𝐴) = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩))
12	1, 2, 11	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s 𝐴) = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩))
13	10, 12	eqtrd 2221	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩))
14	13	fveq2d 5533	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)))
15	7, 9, 14	3eqtr4d 2231	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1363   ∈ wcel 2159  Vcvv 2751   ∩ cin 3142  ⟨cop 3609  ‘cfv 5230  (class class class)co 5890  ndxcnx 12476   sSet csts 12477  Basecbs 12479   ↾_s cress 12480

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2161  ax-14 2162  ax-ext 2170  ax-sep 4135  ax-pow 4188  ax-pr 4223  ax-un 4447  ax-setind 4550  ax-cnex 7919  ax-resscn 7920  ax-1re 7922  ax-addrcl 7925

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2040  df-mo 2041  df-clab 2175  df-cleq 2181  df-clel 2184  df-nfc 2320  df-ne 2360  df-ral 2472  df-rex 2473  df-rab 2476  df-v 2753  df-sbc 2977  df-dif 3145  df-un 3147  df-in 3149  df-ss 3156  df-nul 3437  df-pw 3591  df-sn 3612  df-pr 3613  df-op 3615  df-uni 3824  df-int 3859  df-br 4018  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4307  df-xp 4646  df-rel 4647  df-cnv 4648  df-co 4649  df-dm 4650  df-rn 4651  df-res 4652  df-iota 5192  df-fun 5232  df-fv 5238  df-ov 5893  df-oprab 5894  df-mpo 5895  df-inn 8937  df-ndx 12482  df-slot 12483  df-base 12485  df-sets 12486  df-iress 12487

This theorem is referenced by:  ressbas2d  12545  ressbasssd  12546  ressbasid  12547  ressressg  12552  grpressid  12970  opprsubgg  13394  subrngpropd  13523  subrgpropd  13555  sralmod  13726  lidlbas  13754