Theorem ressbasd 12685

Description: Base set of a structure restriction. (Contributed by Stefan O'Rear, 26-Nov-2014.) (Proof shortened by AV, 7-Nov-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
ressbasd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴))
ressbasd.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑊))
ressbasd.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
ressbasd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
ressbasd	⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))

Proof of Theorem ressbasd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressbasd.w	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
2		ressbasd.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
3		inex1g 4165	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) ∈ V)
4	2, 3	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) ∈ V)
5		baseslid 12675	. . . 4 ⊢ (Base = Slot (Base‘ndx) ∧ (Base‘ndx) ∈ ℕ)
6	5	setsslid 12669	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) ∈ V) → (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)))
7	1, 4, 6	syl2anc 411	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)))
8		ressbasd.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 = (Base‘𝑊))
9	8	ineq2d 3360	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)))
10		ressbasd.r	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴))
11		ressvalsets 12682	. . . . 5 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑊 ↾s 𝐴) = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩))
12	1, 2, 11	syl2anc 411	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s 𝐴) = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩))
13	10, 12	eqtrd 2226	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩))
14	13	fveq2d 5558	. 2 ⊢ (𝜑 → (Base‘𝑅) = (Base‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)))
15	7, 9, 14	3eqtr4d 2236	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ 𝐵) = (Base‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   ∩ cin 3152  ⟨cop 3621  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  ndxcnx 12615   sSet csts 12616  Basecbs 12618   ↾_s cress 12619

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-inn 8983  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-iress 12626

This theorem is referenced by:  ressbas2d  12686  ressbasssd  12687  ressbasid  12688  ressressg  12693  grpressid  13133  opprsubgg  13580  subrngpropd  13712  subrgpropd  13749  sralmod  13946  lidlbas  13974