Theorem mgpress 13427

Description: Subgroup commutes with the multiplicative group operator. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 18-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpress.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
mgpress.2	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgpress	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑀 ↾s 𝐴) = (mulGrp‘𝑆))

Proof of Theorem mgpress

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpress.2	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2		eqid 2193	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
3	1, 2	mgpvalg 13419	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
4	3	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
5	4	oveq1d 5933	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑀 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩))
6	1	mgpex 13421	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ V)
7		ressvalsets 12682	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑀 ↾s 𝐴) = (𝑀 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑀))⟩))
8	6, 7	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑀 ↾s 𝐴) = (𝑀 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑀))⟩))
9		eqid 2193	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
10	1, 9	mgpbasg 13422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀))
11	10	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀))
12	11	ineq2d 3360	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∩ (Base‘𝑅)) = (𝐴 ∩ (Base‘𝑀)))
13	12	opeq2d 3811	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩ = ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑀))⟩)
14	13	oveq2d 5934	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑀 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) = (𝑀 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑀))⟩))
15	8, 14	eqtr4d 2229	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑀 ↾s 𝐴) = (𝑀 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩))
16		mgpress.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
17		ressvalsets 12682	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑅 ↾s 𝐴) = (𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩))
18	16, 17	eqtrid 2238	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → 𝑆 = (𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩))
19	16, 2	ressmulrg 12762	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑆))
20	19	ancoms 268	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑆))
21	20	eqcomd 2199	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (.r‘𝑆) = (.r‘𝑅))
22	21	opeq2d 3811	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑆)⟩ = ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩)
23	18, 22	oveq12d 5936	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑆 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑆)⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
24		ressex 12683	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ V)
25	16, 24	eqeltrid 2280	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → 𝑆 ∈ V)
26		eqid 2193	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
27		eqid 2193	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
28	26, 27	mgpvalg 13419	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ V → (mulGrp‘𝑆) = (𝑆 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑆)⟩))
29	25, 28	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (mulGrp‘𝑆) = (𝑆 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑆)⟩))
30		plusgslid 12730	. . . . . 6 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
31	30	simpri 113	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) ∈ ℕ
32	31	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (+g‘ndx) ∈ ℕ)
33		basendxnn 12674	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) ∈ ℕ
34	33	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (Base‘ndx) ∈ ℕ)
35		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → 𝑅 ∈ 𝑉)
36		basendxnplusgndx 12742	. . . . . 6 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
37	36	necomi 2449	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
38	37	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx))
39		mulrslid 12749	. . . . . 6 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
40	39	slotex 12645	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (.r‘𝑅) ∈ V)
41	40	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (.r‘𝑅) ∈ V)
42		inex1g 4165	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐴 ∩ (Base‘𝑅)) ∈ V)
43	42	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∩ (Base‘𝑅)) ∈ V)
44	32, 34, 35, 38, 41, 43	setscomd 12659	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → ((𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
45	23, 29, 44	3eqtr4d 2236	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (mulGrp‘𝑆) = ((𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩))
46	5, 15, 45	3eqtr4d 2236	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑀 ↾s 𝐴) = (mulGrp‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2364  Vcvv 2760   ∩ cin 3152  ⟨cop 3621  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  ℕcn 8982  ndxcnx 12615   sSet csts 12616  Slot cslot 12617  Basecbs 12618   ↾_s cress 12619  +_gcplusg 12695  ._rcmulr 12696  mulGrpcmgp 13416

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-lttrn 7986  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-iress 12626  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-mgp 13417

This theorem is referenced by:  rdivmuldivd  13640  subrgcrng  13721  subrgsubm  13730  resrhm  13744  resrhm2b  13745  zringmpg  14094