Theorem mgpress 13487

Description: Subgroup commutes with the multiplicative group operator. (Contributed by Mario Carneiro, 10-Jan-2015.) (Proof shortened by AV, 18-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
mgpress.1	⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
mgpress.2	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
mgpress	⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑀 ↾s 𝐴) = (mulGrp‘𝑆))

Proof of Theorem mgpress

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mgpress.2	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
2		eqid 2196	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
3	1, 2	mgpvalg 13479	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
4	3	adantr 276	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → 𝑀 = (𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
5	4	oveq1d 5937	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑀 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩))
6	1	mgpex 13481	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ V)
7		ressvalsets 12742	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑀 ↾s 𝐴) = (𝑀 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑀))⟩))
8	6, 7	sylan 283	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑀 ↾s 𝐴) = (𝑀 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑀))⟩))
9		eqid 2196	. . . . . . . 8 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
10	1, 9	mgpbasg 13482	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀))
11	10	adantr 276	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀))
12	11	ineq2d 3364	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∩ (Base‘𝑅)) = (𝐴 ∩ (Base‘𝑀)))
13	12	opeq2d 3815	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩ = ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑀))⟩)
14	13	oveq2d 5938	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑀 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) = (𝑀 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑀))⟩))
15	8, 14	eqtr4d 2232	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑀 ↾s 𝐴) = (𝑀 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩))
16		mgpress.1	. . . . 5 ⊢ 𝑆 = (𝑅 ↾s 𝐴)
17		ressvalsets 12742	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑅 ↾s 𝐴) = (𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩))
18	16, 17	eqtrid 2241	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → 𝑆 = (𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩))
19	16, 2	ressmulrg 12822	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑊 ∧ 𝑅 ∈ 𝑉) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑆))
20	19	ancoms 268	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (.r‘𝑅) = (.r‘𝑆))
21	20	eqcomd 2202	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (.r‘𝑆) = (.r‘𝑅))
22	21	opeq2d 3815	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑆)⟩ = ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩)
23	18, 22	oveq12d 5940	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑆 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑆)⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
24		ressex 12743	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑅 ↾s 𝐴) ∈ V)
25	16, 24	eqeltrid 2283	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → 𝑆 ∈ V)
26		eqid 2196	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝑆) = (mulGrp‘𝑆)
27		eqid 2196	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝑆) = (.r‘𝑆)
28	26, 27	mgpvalg 13479	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ V → (mulGrp‘𝑆) = (𝑆 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑆)⟩))
29	25, 28	syl 14	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (mulGrp‘𝑆) = (𝑆 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑆)⟩))
30		plusgslid 12790	. . . . . 6 ⊢ (+g = Slot (+g‘ndx) ∧ (+g‘ndx) ∈ ℕ)
31	30	simpri 113	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) ∈ ℕ
32	31	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (+g‘ndx) ∈ ℕ)
33		basendxnn 12734	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) ∈ ℕ
34	33	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (Base‘ndx) ∈ ℕ)
35		simpl 109	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → 𝑅 ∈ 𝑉)
36		basendxnplusgndx 12802	. . . . . 6 ⊢ (Base‘ndx) ≠ (+g‘ndx)
37	36	necomi 2452	. . . . 5 ⊢ (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
38	37	a1i 9	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (+g‘ndx) ≠ (Base‘ndx))
39		mulrslid 12809	. . . . . 6 ⊢ (.r = Slot (.r‘ndx) ∧ (.r‘ndx) ∈ ℕ)
40	39	slotex 12705	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝑉 → (.r‘𝑅) ∈ V)
41	40	adantr 276	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (.r‘𝑅) ∈ V)
42		inex1g 4169	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑊 → (𝐴 ∩ (Base‘𝑅)) ∈ V)
43	42	adantl 277	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝐴 ∩ (Base‘𝑅)) ∈ V)
44	32, 34, 35, 38, 41, 43	setscomd 12719	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → ((𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) = ((𝑅 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩) sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩))
45	23, 29, 44	3eqtr4d 2239	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (mulGrp‘𝑆) = ((𝑅 sSet ⟨(+g‘ndx), (.r‘𝑅)⟩) sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑅))⟩))
46	5, 15, 45	3eqtr4d 2239	1 ⊢ ((𝑅 ∈ 𝑉 ∧ 𝐴 ∈ 𝑊) → (𝑀 ↾s 𝐴) = (mulGrp‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1364   ∈ wcel 2167   ≠ wne 2367  Vcvv 2763   ∩ cin 3156  ⟨cop 3625  ‘cfv 5258  (class class class)co 5922  ℕcn 8990  ndxcnx 12675   sSet csts 12676  Slot cslot 12677  Basecbs 12678   ↾_s cress 12679  +_gcplusg 12755  ._rcmulr 12756  mulGrpcmgp 13476

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1461  ax-7 1462  ax-gen 1463  ax-ie1 1507  ax-ie2 1508  ax-8 1518  ax-10 1519  ax-11 1520  ax-i12 1521  ax-bndl 1523  ax-4 1524  ax-17 1540  ax-i9 1544  ax-ial 1548  ax-i5r 1549  ax-13 2169  ax-14 2170  ax-ext 2178  ax-sep 4151  ax-pow 4207  ax-pr 4242  ax-un 4468  ax-setind 4573  ax-cnex 7970  ax-resscn 7971  ax-1cn 7972  ax-1re 7973  ax-icn 7974  ax-addcl 7975  ax-addrcl 7976  ax-mulcl 7977  ax-addcom 7979  ax-addass 7981  ax-i2m1 7984  ax-0lt1 7985  ax-0id 7987  ax-rnegex 7988  ax-pre-ltirr 7991  ax-pre-lttrn 7993  ax-pre-ltadd 7995

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1475  df-sb 1777  df-eu 2048  df-mo 2049  df-clab 2183  df-cleq 2189  df-clel 2192  df-nfc 2328  df-ne 2368  df-nel 2463  df-ral 2480  df-rex 2481  df-rab 2484  df-v 2765  df-sbc 2990  df-csb 3085  df-dif 3159  df-un 3161  df-in 3163  df-ss 3170  df-nul 3451  df-pw 3607  df-sn 3628  df-pr 3629  df-op 3631  df-uni 3840  df-int 3875  df-br 4034  df-opab 4095  df-mpt 4096  df-id 4328  df-xp 4669  df-rel 4670  df-cnv 4671  df-co 4672  df-dm 4673  df-rn 4674  df-res 4675  df-iota 5219  df-fun 5260  df-fn 5261  df-fv 5266  df-ov 5925  df-oprab 5926  df-mpo 5927  df-pnf 8063  df-mnf 8064  df-ltxr 8066  df-inn 8991  df-2 9049  df-3 9050  df-ndx 12681  df-slot 12682  df-base 12684  df-sets 12685  df-iress 12686  df-plusg 12768  df-mulr 12769  df-mgp 13477

This theorem is referenced by:  rdivmuldivd  13700  subrgcrng  13781  subrgsubm  13790  resrhm  13804  resrhm2b  13805  zringmpg  14162