Theorem isunitd 13411

Description: Property of being a unit of a ring. A unit is an element that left- and right-divides one. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Dec-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isunitd.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
isunitd.2	⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝑅))
isunitd.3	⊢ (𝜑 → ∥ = (∥r‘𝑅))
isunitd.4	⊢ (𝜑 → 𝑆 = (oppr‘𝑅))
isunitd.5	⊢ (𝜑 → 𝐸 = (∥r‘𝑆))
isunitd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)

Assertion

Ref	Expression
isunitd	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∥ 1 ∧ 𝑋𝐸 1 )))

Proof of Theorem isunitd

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isunitd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
2		df-unit 13395	. . . . 5 ⊢ Unit = (𝑟 ∈ V ↦ (◡((∥r‘𝑟) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑟))) “ {(1r‘𝑟)}))
3		fveq2 5527	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (∥r‘𝑟) = (∥r‘𝑅))
4		2fveq3 5532	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (∥r‘(oppr‘𝑟)) = (∥r‘(oppr‘𝑅)))
5	3, 4	ineq12d 3349	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((∥r‘𝑟) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑟))) = ((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))))
6	5	cnveqd 4815	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ◡((∥r‘𝑟) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑟))) = ◡((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))))
7		fveq2 5527	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (1r‘𝑟) = (1r‘𝑅))
8	7	sneqd 3617	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → {(1r‘𝑟)} = {(1r‘𝑅)})
9	6, 8	imaeq12d 4983	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (◡((∥r‘𝑟) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑟))) “ {(1r‘𝑟)}) = (◡((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))) “ {(1r‘𝑅)}))
10		isunitd.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
11	10	elexd 2762	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
12		dvdsrex 13403	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (∥r‘𝑅) ∈ V)
13		inex1g 4151	. . . . . . 7 ⊢ ((∥r‘𝑅) ∈ V → ((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))) ∈ V)
14	10, 12, 13	3syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))) ∈ V)
15		cnvexg 5178	. . . . . 6 ⊢ (((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))) ∈ V → ◡((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))) ∈ V)
16		imaexg 4994	. . . . . 6 ⊢ (◡((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))) ∈ V → (◡((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))) “ {(1r‘𝑅)}) ∈ V)
17	14, 15, 16	3syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))) “ {(1r‘𝑅)}) ∈ V)
18	2, 9, 11, 17	fvmptd3 5622	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝑅) = (◡((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))) “ {(1r‘𝑅)}))
19	1, 18	eqtrd 2220	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (◡((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))) “ {(1r‘𝑅)}))
20	19	eleq2d 2257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ 𝑋 ∈ (◡((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))) “ {(1r‘𝑅)})))
21		isunitd.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∥ = (∥r‘𝑅))
22		isunitd.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (∥r‘𝑆))
23		isunitd.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (oppr‘𝑅))
24	23	fveq2d 5531	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∥r‘𝑆) = (∥r‘(oppr‘𝑅)))
25	22, 24	eqtrd 2220	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (∥r‘(oppr‘𝑅)))
26	21, 25	ineq12d 3349	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ∥ ∩ 𝐸) = ((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))))
27	26	cnveqd 4815	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡( ∥ ∩ 𝐸) = ◡((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))))
28		isunitd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝑅))
29	28	sneqd 3617	. . . 4 ⊢ (𝜑 → { 1 } = {(1r‘𝑅)})
30	27, 29	imaeq12d 4983	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡( ∥ ∩ 𝐸) “ { 1 }) = (◡((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))) “ {(1r‘𝑅)}))
31	30	eleq2d 2257	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (◡( ∥ ∩ 𝐸) “ { 1 }) ↔ 𝑋 ∈ (◡((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))) “ {(1r‘𝑅)})))
32		reldvdsrsrg 13397	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → Rel (∥r‘𝑅))
33	10, 32	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Rel (∥r‘𝑅))
34	21	releqd 4722	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Rel ∥ ↔ Rel (∥r‘𝑅)))
35	33, 34	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Rel ∥ )
36		relin1 4756	. . . 4 ⊢ (Rel ∥ → Rel ( ∥ ∩ 𝐸))
37		eliniseg2 5020	. . . 4 ⊢ (Rel ( ∥ ∩ 𝐸) → (𝑋 ∈ (◡( ∥ ∩ 𝐸) “ { 1 }) ↔ 𝑋( ∥ ∩ 𝐸) 1 ))
38	35, 36, 37	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (◡( ∥ ∩ 𝐸) “ { 1 }) ↔ 𝑋( ∥ ∩ 𝐸) 1 ))
39		brin 4067	. . 3 ⊢ (𝑋( ∥ ∩ 𝐸) 1 ↔ (𝑋 ∥ 1 ∧ 𝑋𝐸 1 ))
40	38, 39	bitrdi 196	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (◡( ∥ ∩ 𝐸) “ { 1 }) ↔ (𝑋 ∥ 1 ∧ 𝑋𝐸 1 )))
41	20, 31, 40	3bitr2d 216	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∥ 1 ∧ 𝑋𝐸 1 )))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1363   ∈ wcel 2158  Vcvv 2749   ∩ cin 3140  {csn 3604   class class class wbr 4015  ^◡ccnv 4637   “ cima 4641  Rel wrel 4643  ‘cfv 5228  1_rcur 13268  SRingcsrg 13272  opp_rcoppr 13372  ∥_rcdsr 13391  Unitcui 13392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1457  ax-7 1458  ax-gen 1459  ax-ie1 1503  ax-ie2 1504  ax-8 1514  ax-10 1515  ax-11 1516  ax-i12 1517  ax-bndl 1519  ax-4 1520  ax-17 1536  ax-i9 1540  ax-ial 1544  ax-i5r 1545  ax-13 2160  ax-14 2161  ax-ext 2169  ax-sep 4133  ax-pow 4186  ax-pr 4221  ax-un 4445  ax-setind 4548  ax-cnex 7916  ax-resscn 7917  ax-1cn 7918  ax-1re 7919  ax-icn 7920  ax-addcl 7921  ax-addrcl 7922  ax-mulcl 7923  ax-addcom 7925  ax-addass 7927  ax-i2m1 7930  ax-0lt1 7931  ax-0id 7933  ax-rnegex 7934  ax-pre-ltirr 7937  ax-pre-ltadd 7941

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 981  df-tru 1366  df-fal 1369  df-nf 1471  df-sb 1773  df-eu 2039  df-mo 2040  df-clab 2174  df-cleq 2180  df-clel 2183  df-nfc 2318  df-ne 2358  df-nel 2453  df-ral 2470  df-rex 2471  df-rab 2474  df-v 2751  df-sbc 2975  df-csb 3070  df-dif 3143  df-un 3145  df-in 3147  df-ss 3154  df-nul 3435  df-pw 3589  df-sn 3610  df-pr 3611  df-op 3613  df-uni 3822  df-int 3857  df-br 4016  df-opab 4077  df-mpt 4078  df-id 4305  df-xp 4644  df-rel 4645  df-cnv 4646  df-co 4647  df-dm 4648  df-rn 4649  df-res 4650  df-ima 4651  df-iota 5190  df-fun 5230  df-fn 5231  df-fv 5236  df-riota 5844  df-ov 5891  df-oprab 5892  df-mpo 5893  df-pnf 8008  df-mnf 8009  df-ltxr 8011  df-inn 8934  df-2 8992  df-3 8993  df-ndx 12479  df-slot 12480  df-base 12482  df-sets 12483  df-plusg 12564  df-mulr 12565  df-0g 12725  df-mgm 12794  df-sgrp 12827  df-mnd 12840  df-mgp 13230  df-srg 13273  df-dvdsr 13394  df-unit 13395

This theorem is referenced by:  1unit  13412  unitcld  13413  opprunitd  13415  crngunit  13416  unitmulcl  13418  unitgrp  13421  unitnegcl  13435  unitpropdg  13453  subrguss  13513  subrgunit  13516