ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  isunitd GIF version

Theorem isunitd 13313
Description: Property of being a unit of a ring. A unit is an element that left- and right-divides one. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Dec-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
isunitd.1 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…))
isunitd.2 (πœ‘ β†’ 1 = (1rβ€˜π‘…))
isunitd.3 (πœ‘ β†’ βˆ₯ = (βˆ₯rβ€˜π‘…))
isunitd.4 (πœ‘ β†’ 𝑆 = (opprβ€˜π‘…))
isunitd.5 (πœ‘ β†’ 𝐸 = (βˆ₯rβ€˜π‘†))
isunitd.r (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ SRing)
Assertion
Ref Expression
isunitd (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ ↔ (𝑋 βˆ₯ 1 ∧ 𝑋𝐸 1 )))

Proof of Theorem isunitd
Dummy variable π‘Ÿ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 isunitd.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (Unitβ€˜π‘…))
2 df-unit 13297 . . . . 5 Unit = (π‘Ÿ ∈ V ↦ (β—‘((βˆ₯rβ€˜π‘Ÿ) ∩ (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘Ÿ))) β€œ {(1rβ€˜π‘Ÿ)}))
3 fveq2 5517 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (βˆ₯rβ€˜π‘Ÿ) = (βˆ₯rβ€˜π‘…))
4 2fveq3 5522 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘Ÿ)) = (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…)))
53, 4ineq12d 3339 . . . . . . 7 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ ((βˆ₯rβ€˜π‘Ÿ) ∩ (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘Ÿ))) = ((βˆ₯rβ€˜π‘…) ∩ (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))))
65cnveqd 4805 . . . . . 6 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ β—‘((βˆ₯rβ€˜π‘Ÿ) ∩ (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘Ÿ))) = β—‘((βˆ₯rβ€˜π‘…) ∩ (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))))
7 fveq2 5517 . . . . . . 7 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (1rβ€˜π‘Ÿ) = (1rβ€˜π‘…))
87sneqd 3607 . . . . . 6 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ {(1rβ€˜π‘Ÿ)} = {(1rβ€˜π‘…)})
96, 8imaeq12d 4973 . . . . 5 (π‘Ÿ = 𝑅 β†’ (β—‘((βˆ₯rβ€˜π‘Ÿ) ∩ (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘Ÿ))) β€œ {(1rβ€˜π‘Ÿ)}) = (β—‘((βˆ₯rβ€˜π‘…) ∩ (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))) β€œ {(1rβ€˜π‘…)}))
10 isunitd.r . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ SRing)
1110elexd 2752 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑅 ∈ V)
12 dvdsrex 13305 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ SRing β†’ (βˆ₯rβ€˜π‘…) ∈ V)
13 inex1g 4141 . . . . . . 7 ((βˆ₯rβ€˜π‘…) ∈ V β†’ ((βˆ₯rβ€˜π‘…) ∩ (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))) ∈ V)
1410, 12, 133syl 17 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((βˆ₯rβ€˜π‘…) ∩ (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))) ∈ V)
15 cnvexg 5168 . . . . . 6 (((βˆ₯rβ€˜π‘…) ∩ (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))) ∈ V β†’ β—‘((βˆ₯rβ€˜π‘…) ∩ (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))) ∈ V)
16 imaexg 4984 . . . . . 6 (β—‘((βˆ₯rβ€˜π‘…) ∩ (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))) ∈ V β†’ (β—‘((βˆ₯rβ€˜π‘…) ∩ (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))) β€œ {(1rβ€˜π‘…)}) ∈ V)
1714, 15, 163syl 17 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (β—‘((βˆ₯rβ€˜π‘…) ∩ (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))) β€œ {(1rβ€˜π‘…)}) ∈ V)
182, 9, 11, 17fvmptd3 5612 . . . 4 (πœ‘ β†’ (Unitβ€˜π‘…) = (β—‘((βˆ₯rβ€˜π‘…) ∩ (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))) β€œ {(1rβ€˜π‘…)}))
191, 18eqtrd 2210 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ = (β—‘((βˆ₯rβ€˜π‘…) ∩ (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))) β€œ {(1rβ€˜π‘…)}))
2019eleq2d 2247 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ ↔ 𝑋 ∈ (β—‘((βˆ₯rβ€˜π‘…) ∩ (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))) β€œ {(1rβ€˜π‘…)})))
21 isunitd.3 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ₯ = (βˆ₯rβ€˜π‘…))
22 isunitd.5 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐸 = (βˆ₯rβ€˜π‘†))
23 isunitd.4 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑆 = (opprβ€˜π‘…))
2423fveq2d 5521 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βˆ₯rβ€˜π‘†) = (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…)))
2522, 24eqtrd 2210 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝐸 = (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…)))
2621, 25ineq12d 3339 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ( βˆ₯ ∩ 𝐸) = ((βˆ₯rβ€˜π‘…) ∩ (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))))
2726cnveqd 4805 . . . 4 (πœ‘ β†’ β—‘( βˆ₯ ∩ 𝐸) = β—‘((βˆ₯rβ€˜π‘…) ∩ (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))))
28 isunitd.2 . . . . 5 (πœ‘ β†’ 1 = (1rβ€˜π‘…))
2928sneqd 3607 . . . 4 (πœ‘ β†’ { 1 } = {(1rβ€˜π‘…)})
3027, 29imaeq12d 4973 . . 3 (πœ‘ β†’ (β—‘( βˆ₯ ∩ 𝐸) β€œ { 1 }) = (β—‘((βˆ₯rβ€˜π‘…) ∩ (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))) β€œ {(1rβ€˜π‘…)}))
3130eleq2d 2247 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (β—‘( βˆ₯ ∩ 𝐸) β€œ { 1 }) ↔ 𝑋 ∈ (β—‘((βˆ₯rβ€˜π‘…) ∩ (βˆ₯rβ€˜(opprβ€˜π‘…))) β€œ {(1rβ€˜π‘…)})))
32 reldvdsrsrg 13299 . . . . . 6 (𝑅 ∈ SRing β†’ Rel (βˆ₯rβ€˜π‘…))
3310, 32syl 14 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Rel (βˆ₯rβ€˜π‘…))
3421releqd 4712 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (Rel βˆ₯ ↔ Rel (βˆ₯rβ€˜π‘…)))
3533, 34mpbird 167 . . . 4 (πœ‘ β†’ Rel βˆ₯ )
36 relin1 4746 . . . 4 (Rel βˆ₯ β†’ Rel ( βˆ₯ ∩ 𝐸))
37 eliniseg2 5010 . . . 4 (Rel ( βˆ₯ ∩ 𝐸) β†’ (𝑋 ∈ (β—‘( βˆ₯ ∩ 𝐸) β€œ { 1 }) ↔ 𝑋( βˆ₯ ∩ 𝐸) 1 ))
3835, 36, 373syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (β—‘( βˆ₯ ∩ 𝐸) β€œ { 1 }) ↔ 𝑋( βˆ₯ ∩ 𝐸) 1 ))
39 brin 4057 . . 3 (𝑋( βˆ₯ ∩ 𝐸) 1 ↔ (𝑋 βˆ₯ 1 ∧ 𝑋𝐸 1 ))
4038, 39bitrdi 196 . 2 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (β—‘( βˆ₯ ∩ 𝐸) β€œ { 1 }) ↔ (𝑋 βˆ₯ 1 ∧ 𝑋𝐸 1 )))
4120, 31, 403bitr2d 216 1 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ π‘ˆ ↔ (𝑋 βˆ₯ 1 ∧ 𝑋𝐸 1 )))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148  Vcvv 2739   ∩ cin 3130  {csn 3594   class class class wbr 4005  β—‘ccnv 4627   β€œ cima 4631  Rel wrel 4633  β€˜cfv 5218  1rcur 13180  SRingcsrg 13184  opprcoppr 13277  βˆ₯rcdsr 13293  Unitcui 13294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-1cn 7907  ax-1re 7908  ax-icn 7909  ax-addcl 7910  ax-addrcl 7911  ax-mulcl 7912  ax-addcom 7914  ax-addass 7916  ax-i2m1 7919  ax-0lt1 7920  ax-0id 7922  ax-rnegex 7923  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-ltadd 7930
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-sbc 2965  df-csb 3060  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-nul 3425  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-int 3847  df-br 4006  df-opab 4067  df-mpt 4068  df-id 4295  df-xp 4634  df-rel 4635  df-cnv 4636  df-co 4637  df-dm 4638  df-rn 4639  df-res 4640  df-ima 4641  df-iota 5180  df-fun 5220  df-fn 5221  df-fv 5226  df-riota 5834  df-ov 5881  df-oprab 5882  df-mpo 5883  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-ltxr 8000  df-inn 8923  df-2 8981  df-3 8982  df-ndx 12468  df-slot 12469  df-base 12471  df-sets 12472  df-plusg 12552  df-mulr 12553  df-0g 12713  df-mgm 12782  df-sgrp 12815  df-mnd 12826  df-mgp 13147  df-srg 13185  df-dvdsr 13296  df-unit 13297
This theorem is referenced by:  1unit  13314  unitcld  13315  opprunitd  13317  crngunit  13318  unitmulcl  13320  unitgrp  13323  unitnegcl  13337  unitpropdg  13355  subrguss  13395  subrgunit  13398
  Copyright terms: Public domain W3C validator