Theorem isunitd 14396

Description: Property of being a unit of a ring. A unit is an element that left- and right-divides one. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Dec-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isunitd.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
isunitd.2	⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝑅))
isunitd.3	⊢ (𝜑 → ∥ = (∥r‘𝑅))
isunitd.4	⊢ (𝜑 → 𝑆 = (oppr‘𝑅))
isunitd.5	⊢ (𝜑 → 𝐸 = (∥r‘𝑆))
isunitd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)

Assertion

Ref	Expression
isunitd	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∥ 1 ∧ 𝑋𝐸 1 )))

Proof of Theorem isunitd

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isunitd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
2		df-unit 14379	. . . . 5 ⊢ Unit = (𝑟 ∈ V ↦ (◡((∥r‘𝑟) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑟))) “ {(1r‘𝑟)}))
3		fveq2 5693	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (∥r‘𝑟) = (∥r‘𝑅))
4		2fveq3 5698	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (∥r‘(oppr‘𝑟)) = (∥r‘(oppr‘𝑅)))
5	3, 4	ineq12d 3433	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((∥r‘𝑟) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑟))) = ((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))))
6	5	cnveqd 4954	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ◡((∥r‘𝑟) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑟))) = ◡((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))))
7		fveq2 5693	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (1r‘𝑟) = (1r‘𝑅))
8	7	sneqd 3721	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → {(1r‘𝑟)} = {(1r‘𝑅)})
9	6, 8	imaeq12d 5125	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (◡((∥r‘𝑟) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑟))) “ {(1r‘𝑟)}) = (◡((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))) “ {(1r‘𝑅)}))
10		isunitd.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
11	10	elexd 2835	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
12		dvdsrex 14388	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (∥r‘𝑅) ∈ V)
13		inex1g 4267	. . . . . . 7 ⊢ ((∥r‘𝑅) ∈ V → ((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))) ∈ V)
14	10, 12, 13	3syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))) ∈ V)
15		cnvexg 5323	. . . . . 6 ⊢ (((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))) ∈ V → ◡((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))) ∈ V)
16		imaexg 5138	. . . . . 6 ⊢ (◡((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))) ∈ V → (◡((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))) “ {(1r‘𝑅)}) ∈ V)
17	14, 15, 16	3syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))) “ {(1r‘𝑅)}) ∈ V)
18	2, 9, 11, 17	fvmptd3 5796	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝑅) = (◡((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))) “ {(1r‘𝑅)}))
19	1, 18	eqtrd 2271	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (◡((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))) “ {(1r‘𝑅)}))
20	19	eleq2d 2308	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ 𝑋 ∈ (◡((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))) “ {(1r‘𝑅)})))
21		isunitd.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∥ = (∥r‘𝑅))
22		isunitd.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (∥r‘𝑆))
23		isunitd.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (oppr‘𝑅))
24	23	fveq2d 5697	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∥r‘𝑆) = (∥r‘(oppr‘𝑅)))
25	22, 24	eqtrd 2271	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (∥r‘(oppr‘𝑅)))
26	21, 25	ineq12d 3433	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ∥ ∩ 𝐸) = ((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))))
27	26	cnveqd 4954	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡( ∥ ∩ 𝐸) = ◡((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))))
28		isunitd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝑅))
29	28	sneqd 3721	. . . 4 ⊢ (𝜑 → { 1 } = {(1r‘𝑅)})
30	27, 29	imaeq12d 5125	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡( ∥ ∩ 𝐸) “ { 1 }) = (◡((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))) “ {(1r‘𝑅)}))
31	30	eleq2d 2308	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (◡( ∥ ∩ 𝐸) “ { 1 }) ↔ 𝑋 ∈ (◡((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))) “ {(1r‘𝑅)})))
32		reldvdsrsrg 14382	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → Rel (∥r‘𝑅))
33	10, 32	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Rel (∥r‘𝑅))
34	21	releqd 4857	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Rel ∥ ↔ Rel (∥r‘𝑅)))
35	33, 34	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Rel ∥ )
36		relin1 4893	. . . 4 ⊢ (Rel ∥ → Rel ( ∥ ∩ 𝐸))
37		eliniseg2 5165	. . . 4 ⊢ (Rel ( ∥ ∩ 𝐸) → (𝑋 ∈ (◡( ∥ ∩ 𝐸) “ { 1 }) ↔ 𝑋( ∥ ∩ 𝐸) 1 ))
38	35, 36, 37	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (◡( ∥ ∩ 𝐸) “ { 1 }) ↔ 𝑋( ∥ ∩ 𝐸) 1 ))
39		brin 4181	. . 3 ⊢ (𝑋( ∥ ∩ 𝐸) 1 ↔ (𝑋 ∥ 1 ∧ 𝑋𝐸 1 ))
40	38, 39	bitrdi 196	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (◡( ∥ ∩ 𝐸) “ { 1 }) ↔ (𝑋 ∥ 1 ∧ 𝑋𝐸 1 )))
41	20, 31, 40	3bitr2d 216	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∥ 1 ∧ 𝑋𝐸 1 )))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ∩ cin 3219  {csn 3708   class class class wbr 4128  ^◡ccnv 4771   “ cima 4775  Rel wrel 4777  ‘cfv 5375  1_rcur 14245  SRingcsrg 14250  opp_rcoppr 14355  ∥_rcdsr 14375  Unitcui 14376

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-1cn 8266  ax-1re 8267  ax-icn 8268  ax-addcl 8269  ax-addrcl 8270  ax-mulcl 8271  ax-addcom 8273  ax-addass 8275  ax-i2m1 8278  ax-0lt1 8279  ax-0id 8281  ax-rnegex 8282  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-ltadd 8289

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-int 3969  df-br 4129  df-opab 4191  df-mpt 4192  df-id 4436  df-xp 4778  df-rel 4779  df-cnv 4780  df-co 4781  df-dm 4782  df-rn 4783  df-res 4784  df-ima 4785  df-iota 5335  df-fun 5377  df-fn 5378  df-fv 5383  df-riota 6032  df-ov 6082  df-oprab 6083  df-mpo 6084  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-ltxr 8359  df-inn 9288  df-2 9346  df-3 9347  df-ndx 13338  df-slot 13339  df-base 13341  df-sets 13342  df-plusg 13427  df-mulr 13428  df-0g 13595  df-mgm 13659  df-sgrp 13700  df-mnd 13713  df-mgp 14201  df-srg 14251  df-dvdsr 14378  df-unit 14379

This theorem is referenced by:  1unit  14397  unitcld  14398  opprunitd  14400  crngunit  14401  unitmulcl  14403  unitgrp  14406  unitnegcl  14420  unitpropdg  14438  elrhmunit  14467  subrguss  14527  subrgunit  14530