Theorem isunitd 14358

Description: Property of being a unit of a ring. A unit is an element that left- and right-divides one. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Dec-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isunitd.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
isunitd.2	⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝑅))
isunitd.3	⊢ (𝜑 → ∥ = (∥r‘𝑅))
isunitd.4	⊢ (𝜑 → 𝑆 = (oppr‘𝑅))
isunitd.5	⊢ (𝜑 → 𝐸 = (∥r‘𝑆))
isunitd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)

Assertion

Ref	Expression
isunitd	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∥ 1 ∧ 𝑋𝐸 1 )))

Proof of Theorem isunitd

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isunitd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
2		df-unit 14341	. . . . 5 ⊢ Unit = (𝑟 ∈ V ↦ (◡((∥r‘𝑟) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑟))) “ {(1r‘𝑟)}))
3		fveq2 5677	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (∥r‘𝑟) = (∥r‘𝑅))
4		2fveq3 5682	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (∥r‘(oppr‘𝑟)) = (∥r‘(oppr‘𝑅)))
5	3, 4	ineq12d 3427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((∥r‘𝑟) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑟))) = ((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))))
6	5	cnveqd 4938	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ◡((∥r‘𝑟) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑟))) = ◡((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))))
7		fveq2 5677	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (1r‘𝑟) = (1r‘𝑅))
8	7	sneqd 3708	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → {(1r‘𝑟)} = {(1r‘𝑅)})
9	6, 8	imaeq12d 5109	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (◡((∥r‘𝑟) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑟))) “ {(1r‘𝑟)}) = (◡((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))) “ {(1r‘𝑅)}))
10		isunitd.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
11	10	elexd 2829	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
12		dvdsrex 14350	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (∥r‘𝑅) ∈ V)
13		inex1g 4252	. . . . . . 7 ⊢ ((∥r‘𝑅) ∈ V → ((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))) ∈ V)
14	10, 12, 13	3syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))) ∈ V)
15		cnvexg 5307	. . . . . 6 ⊢ (((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))) ∈ V → ◡((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))) ∈ V)
16		imaexg 5122	. . . . . 6 ⊢ (◡((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))) ∈ V → (◡((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))) “ {(1r‘𝑅)}) ∈ V)
17	14, 15, 16	3syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))) “ {(1r‘𝑅)}) ∈ V)
18	2, 9, 11, 17	fvmptd3 5778	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝑅) = (◡((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))) “ {(1r‘𝑅)}))
19	1, 18	eqtrd 2267	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (◡((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))) “ {(1r‘𝑅)}))
20	19	eleq2d 2304	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ 𝑋 ∈ (◡((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))) “ {(1r‘𝑅)})))
21		isunitd.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∥ = (∥r‘𝑅))
22		isunitd.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (∥r‘𝑆))
23		isunitd.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (oppr‘𝑅))
24	23	fveq2d 5681	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∥r‘𝑆) = (∥r‘(oppr‘𝑅)))
25	22, 24	eqtrd 2267	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (∥r‘(oppr‘𝑅)))
26	21, 25	ineq12d 3427	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ∥ ∩ 𝐸) = ((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))))
27	26	cnveqd 4938	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡( ∥ ∩ 𝐸) = ◡((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))))
28		isunitd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝑅))
29	28	sneqd 3708	. . . 4 ⊢ (𝜑 → { 1 } = {(1r‘𝑅)})
30	27, 29	imaeq12d 5109	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡( ∥ ∩ 𝐸) “ { 1 }) = (◡((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))) “ {(1r‘𝑅)}))
31	30	eleq2d 2304	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (◡( ∥ ∩ 𝐸) “ { 1 }) ↔ 𝑋 ∈ (◡((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))) “ {(1r‘𝑅)})))
32		reldvdsrsrg 14344	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → Rel (∥r‘𝑅))
33	10, 32	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Rel (∥r‘𝑅))
34	21	releqd 4841	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Rel ∥ ↔ Rel (∥r‘𝑅)))
35	33, 34	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Rel ∥ )
36		relin1 4877	. . . 4 ⊢ (Rel ∥ → Rel ( ∥ ∩ 𝐸))
37		eliniseg2 5149	. . . 4 ⊢ (Rel ( ∥ ∩ 𝐸) → (𝑋 ∈ (◡( ∥ ∩ 𝐸) “ { 1 }) ↔ 𝑋( ∥ ∩ 𝐸) 1 ))
38	35, 36, 37	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (◡( ∥ ∩ 𝐸) “ { 1 }) ↔ 𝑋( ∥ ∩ 𝐸) 1 ))
39		brin 4168	. . 3 ⊢ (𝑋( ∥ ∩ 𝐸) 1 ↔ (𝑋 ∥ 1 ∧ 𝑋𝐸 1 ))
40	38, 39	bitrdi 196	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (◡( ∥ ∩ 𝐸) “ { 1 }) ↔ (𝑋 ∥ 1 ∧ 𝑋𝐸 1 )))
41	20, 31, 40	3bitr2d 216	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∥ 1 ∧ 𝑋𝐸 1 )))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2205  Vcvv 2815   ∩ cin 3213  {csn 3695   class class class wbr 4115  ^◡ccnv 4755   “ cima 4759  Rel wrel 4761  ‘cfv 5359  1_rcur 14209  SRingcsrg 14213  opp_rcoppr 14317  ∥_rcdsr 14337  Unitcui 14338

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 619  ax-in2 620  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-14 2208  ax-ext 2216  ax-sep 4234  ax-pow 4293  ax-pr 4328  ax-un 4560  ax-setind 4666  ax-cnex 8236  ax-resscn 8237  ax-1cn 8238  ax-1re 8239  ax-icn 8240  ax-addcl 8241  ax-addrcl 8242  ax-mulcl 8243  ax-addcom 8245  ax-addass 8247  ax-i2m1 8250  ax-0lt1 8251  ax-0id 8253  ax-rnegex 8254  ax-pre-ltirr 8257  ax-pre-ltadd 8261

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-fal 1404  df-nf 1510  df-sb 1812  df-eu 2085  df-mo 2086  df-clab 2221  df-cleq 2227  df-clel 2230  df-nfc 2375  df-ne 2415  df-nel 2510  df-ral 2527  df-rex 2528  df-rab 2531  df-v 2817  df-sbc 3046  df-csb 3142  df-dif 3216  df-un 3218  df-in 3220  df-ss 3227  df-nul 3513  df-pw 3677  df-sn 3701  df-pr 3702  df-op 3704  df-uni 3921  df-int 3956  df-br 4116  df-opab 4178  df-mpt 4179  df-id 4420  df-xp 4762  df-rel 4763  df-cnv 4764  df-co 4765  df-dm 4766  df-rn 4767  df-res 4768  df-ima 4769  df-iota 5319  df-fun 5361  df-fn 5362  df-fv 5367  df-riota 6013  df-ov 6063  df-oprab 6064  df-mpo 6065  df-pnf 8328  df-mnf 8329  df-ltxr 8331  df-inn 9260  df-2 9318  df-3 9319  df-ndx 13305  df-slot 13306  df-base 13308  df-sets 13309  df-plusg 13393  df-mulr 13394  df-0g 13561  df-mgm 13625  df-sgrp 13666  df-mnd 13679  df-mgp 14167  df-srg 14214  df-dvdsr 14340  df-unit 14341

This theorem is referenced by:  1unit  14359  unitcld  14360  opprunitd  14362  crngunit  14363  unitmulcl  14365  unitgrp  14368  unitnegcl  14382  unitpropdg  14400  elrhmunit  14429  subrguss  14489  subrgunit  14492