Theorem isunitd 13602

Description: Property of being a unit of a ring. A unit is an element that left- and right-divides one. (Contributed by Mario Carneiro, 1-Dec-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 8-Dec-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
isunitd.1	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
isunitd.2	⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝑅))
isunitd.3	⊢ (𝜑 → ∥ = (∥r‘𝑅))
isunitd.4	⊢ (𝜑 → 𝑆 = (oppr‘𝑅))
isunitd.5	⊢ (𝜑 → 𝐸 = (∥r‘𝑆))
isunitd.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)

Assertion

Ref	Expression
isunitd	⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∥ 1 ∧ 𝑋𝐸 1 )))

Proof of Theorem isunitd

Dummy variable 𝑟 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isunitd.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (Unit‘𝑅))
2		df-unit 13586	. . . . 5 ⊢ Unit = (𝑟 ∈ V ↦ (◡((∥r‘𝑟) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑟))) “ {(1r‘𝑟)}))
3		fveq2 5554	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (∥r‘𝑟) = (∥r‘𝑅))
4		2fveq3 5559	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (∥r‘(oppr‘𝑟)) = (∥r‘(oppr‘𝑅)))
5	3, 4	ineq12d 3361	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ((∥r‘𝑟) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑟))) = ((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))))
6	5	cnveqd 4838	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → ◡((∥r‘𝑟) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑟))) = ◡((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))))
7		fveq2 5554	. . . . . . 7 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (1r‘𝑟) = (1r‘𝑅))
8	7	sneqd 3631	. . . . . 6 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → {(1r‘𝑟)} = {(1r‘𝑅)})
9	6, 8	imaeq12d 5006	. . . . 5 ⊢ (𝑟 = 𝑅 → (◡((∥r‘𝑟) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑟))) “ {(1r‘𝑟)}) = (◡((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))) “ {(1r‘𝑅)}))
10		isunitd.r	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ SRing)
11	10	elexd 2773	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ V)
12		dvdsrex 13594	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → (∥r‘𝑅) ∈ V)
13		inex1g 4165	. . . . . . 7 ⊢ ((∥r‘𝑅) ∈ V → ((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))) ∈ V)
14	10, 12, 13	3syl 17	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))) ∈ V)
15		cnvexg 5203	. . . . . 6 ⊢ (((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))) ∈ V → ◡((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))) ∈ V)
16		imaexg 5019	. . . . . 6 ⊢ (◡((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))) ∈ V → (◡((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))) “ {(1r‘𝑅)}) ∈ V)
17	14, 15, 16	3syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (◡((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))) “ {(1r‘𝑅)}) ∈ V)
18	2, 9, 11, 17	fvmptd3 5651	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (Unit‘𝑅) = (◡((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))) “ {(1r‘𝑅)}))
19	1, 18	eqtrd 2226	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (◡((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))) “ {(1r‘𝑅)}))
20	19	eleq2d 2263	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ 𝑋 ∈ (◡((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))) “ {(1r‘𝑅)})))
21		isunitd.3	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∥ = (∥r‘𝑅))
22		isunitd.5	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (∥r‘𝑆))
23		isunitd.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑆 = (oppr‘𝑅))
24	23	fveq2d 5558	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∥r‘𝑆) = (∥r‘(oppr‘𝑅)))
25	22, 24	eqtrd 2226	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐸 = (∥r‘(oppr‘𝑅)))
26	21, 25	ineq12d 3361	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ∥ ∩ 𝐸) = ((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))))
27	26	cnveqd 4838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡( ∥ ∩ 𝐸) = ◡((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))))
28		isunitd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 1 = (1r‘𝑅))
29	28	sneqd 3631	. . . 4 ⊢ (𝜑 → { 1 } = {(1r‘𝑅)})
30	27, 29	imaeq12d 5006	. . 3 ⊢ (𝜑 → (◡( ∥ ∩ 𝐸) “ { 1 }) = (◡((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))) “ {(1r‘𝑅)}))
31	30	eleq2d 2263	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (◡( ∥ ∩ 𝐸) “ { 1 }) ↔ 𝑋 ∈ (◡((∥r‘𝑅) ∩ (∥r‘(oppr‘𝑅))) “ {(1r‘𝑅)})))
32		reldvdsrsrg 13588	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ SRing → Rel (∥r‘𝑅))
33	10, 32	syl 14	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Rel (∥r‘𝑅))
34	21	releqd 4743	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (Rel ∥ ↔ Rel (∥r‘𝑅)))
35	33, 34	mpbird 167	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Rel ∥ )
36		relin1 4777	. . . 4 ⊢ (Rel ∥ → Rel ( ∥ ∩ 𝐸))
37		eliniseg2 5045	. . . 4 ⊢ (Rel ( ∥ ∩ 𝐸) → (𝑋 ∈ (◡( ∥ ∩ 𝐸) “ { 1 }) ↔ 𝑋( ∥ ∩ 𝐸) 1 ))
38	35, 36, 37	3syl 17	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (◡( ∥ ∩ 𝐸) “ { 1 }) ↔ 𝑋( ∥ ∩ 𝐸) 1 ))
39		brin 4081	. . 3 ⊢ (𝑋( ∥ ∩ 𝐸) 1 ↔ (𝑋 ∥ 1 ∧ 𝑋𝐸 1 ))
40	38, 39	bitrdi 196	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (◡( ∥ ∩ 𝐸) “ { 1 }) ↔ (𝑋 ∥ 1 ∧ 𝑋𝐸 1 )))
41	20, 31, 40	3bitr2d 216	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ 𝑈 ↔ (𝑋 ∥ 1 ∧ 𝑋𝐸 1 )))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   ∩ cin 3152  {csn 3618   class class class wbr 4029  ^◡ccnv 4658   “ cima 4662  Rel wrel 4664  ‘cfv 5254  1_rcur 13455  SRingcsrg 13459  opp_rcoppr 13563  ∥_rcdsr 13582  Unitcui 13583

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1cn 7965  ax-1re 7966  ax-icn 7967  ax-addcl 7968  ax-addrcl 7969  ax-mulcl 7970  ax-addcom 7972  ax-addass 7974  ax-i2m1 7977  ax-0lt1 7978  ax-0id 7980  ax-rnegex 7981  ax-pre-ltirr 7984  ax-pre-ltadd 7988

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-nel 2460  df-ral 2477  df-rex 2478  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3447  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-fv 5262  df-riota 5873  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-pnf 8056  df-mnf 8057  df-ltxr 8059  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-sets 12625  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-0g 12869  df-mgm 12939  df-sgrp 12985  df-mnd 12998  df-mgp 13417  df-srg 13460  df-dvdsr 13585  df-unit 13586

This theorem is referenced by:  1unit  13603  unitcld  13604  opprunitd  13606  crngunit  13607  unitmulcl  13609  unitgrp  13612  unitnegcl  13626  unitpropdg  13644  elrhmunit  13673  subrguss  13732  subrgunit  13735