Theorem resseqnbasd 13480

Description: The components of an extensible structure except the base set remain unchanged on a structure restriction. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Nov-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Dec-2014.) (Revised by AV, 19-Oct-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
resseqnbas.r	⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
resseqnbas.e	⊢ 𝐶 = (𝐸‘𝑊)
resseqnbasd.f	⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
resseqnbas.n	⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
resseqnbasd.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
resseqnbasd.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
resseqnbasd	⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐸‘𝑅))

Proof of Theorem resseqnbasd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		resseqnbas.e	. 2 ⊢ 𝐶 = (𝐸‘𝑊)
2		resseqnbas.r	. . . . 5 ⊢ 𝑅 = (𝑊 ↾s 𝐴)
3		resseqnbasd.w	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
4		resseqnbasd.a	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
5		ressvalsets 13470	. . . . . 6 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → (𝑊 ↾s 𝐴) = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩))
6	3, 4, 5	syl2anc 415	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑊 ↾s 𝐴) = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩))
7	2, 6	eqtrid 2283	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩))
8	7	fveq2d 5699	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)))
9		inex1g 4269	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) ∈ V)
10	4, 9	syl 14	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) ∈ V)
11		resseqnbasd.f	. . . . 5 ⊢ (𝐸 = Slot (𝐸‘ndx) ∧ (𝐸‘ndx) ∈ ℕ)
12		resseqnbas.n	. . . . 5 ⊢ (𝐸‘ndx) ≠ (Base‘ndx)
13		basendxnn 13460	. . . . 5 ⊢ (Base‘ndx) ∈ ℕ
14	11, 12, 13	setsslnid 13456	. . . 4 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) ∈ V) → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)))
15	3, 10, 14	syl2anc 415	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑊) = (𝐸‘(𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩)))
16	8, 15	eqtr4d 2274	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐸‘𝑅) = (𝐸‘𝑊))
17	1, 16	eqtr4id 2290	1 ⊢ (𝜑 → 𝐶 = (𝐸‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   ≠ wne 2420  Vcvv 2821   ∩ cin 3219  ⟨cop 3712  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℕcn 9307  ndxcnx 13401   sSet csts 13402  Slot cslot 13403  Basecbs 13404   ↾_s cress 13405

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1re 8274  ax-addrcl 8277

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-inn 9308  df-ndx 13407  df-slot 13408  df-base 13410  df-sets 13411  df-iress 13412

This theorem is used by:  ressplusgd  13536  ressmulrg  13552  ressscag  13590  ressvscag  13591  ressipg  13592