Theorem qusin 12909

Description: Restrict the equivalence relation in a quotient structure to the base set. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
qusin.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑅 /s ∼ ))
qusin.v	⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
qusin.e	⊢ (𝜑 → ∼ ∈ 𝑊)
qusin.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
qusin.s	⊢ (𝜑 → ( ∼ “ 𝑉) ⊆ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
qusin	⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑅 /s ( ∼ ∩ (𝑉 × 𝑉))))

Proof of Theorem qusin

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		qusin.s	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ∼ “ 𝑉) ⊆ 𝑉)
2		ecinxp 6664	. . . . 5 ⊢ ((( ∼ “ 𝑉) ⊆ 𝑉 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → [𝑥] ∼ = [𝑥]( ∼ ∩ (𝑉 × 𝑉)))
3	1, 2	sylan 283	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑉) → [𝑥] ∼ = [𝑥]( ∼ ∩ (𝑉 × 𝑉)))
4	3	mpteq2dva 4119	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥] ∼ ) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥]( ∼ ∩ (𝑉 × 𝑉))))
5	4	oveq1d 5933	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥] ∼ ) “s 𝑅) = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥]( ∼ ∩ (𝑉 × 𝑉))) “s 𝑅))
6		qusin.u	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑅 /s ∼ ))
7		qusin.v	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑉 = (Base‘𝑅))
8		eqid 2193	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥] ∼ ) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥] ∼ )
9		qusin.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∼ ∈ 𝑊)
10		qusin.r	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑍)
11	6, 7, 8, 9, 10	qusval 12906	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥] ∼ ) “s 𝑅))
12		eqidd 2194	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑅 /s ( ∼ ∩ (𝑉 × 𝑉))) = (𝑅 /s ( ∼ ∩ (𝑉 × 𝑉))))
13		eqid 2193	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥]( ∼ ∩ (𝑉 × 𝑉))) = (𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥]( ∼ ∩ (𝑉 × 𝑉)))
14		inex1g 4165	. . . 4 ⊢ ( ∼ ∈ 𝑊 → ( ∼ ∩ (𝑉 × 𝑉)) ∈ V)
15	9, 14	syl 14	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ∼ ∩ (𝑉 × 𝑉)) ∈ V)
16	12, 7, 13, 15, 10	qusval 12906	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑅 /s ( ∼ ∩ (𝑉 × 𝑉))) = ((𝑥 ∈ 𝑉 ↦ [𝑥]( ∼ ∩ (𝑉 × 𝑉))) “s 𝑅))
17	5, 11, 16	3eqtr4d 2236	1 ⊢ (𝜑 → 𝑈 = (𝑅 /s ( ∼ ∩ (𝑉 × 𝑉))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1364   ∈ wcel 2164  Vcvv 2760   ∩ cin 3152   ⊆ wss 3153   ↦ cmpt 4090   × cxp 4657   “ cima 4662  ‘cfv 5254  (class class class)co 5918  [cec 6585  Basecbs 12618   “_s cimas 12882   /_s cqus 12883

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 615  ax-in2 616  ax-io 710  ax-5 1458  ax-7 1459  ax-gen 1460  ax-ie1 1504  ax-ie2 1505  ax-8 1515  ax-10 1516  ax-11 1517  ax-i12 1518  ax-bndl 1520  ax-4 1521  ax-17 1537  ax-i9 1541  ax-ial 1545  ax-i5r 1546  ax-13 2166  ax-14 2167  ax-ext 2175  ax-coll 4144  ax-sep 4147  ax-pow 4203  ax-pr 4238  ax-un 4464  ax-setind 4569  ax-cnex 7963  ax-resscn 7964  ax-1re 7966  ax-addrcl 7969

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 982  df-tru 1367  df-fal 1370  df-nf 1472  df-sb 1774  df-eu 2045  df-mo 2046  df-clab 2180  df-cleq 2186  df-clel 2189  df-nfc 2325  df-ne 2365  df-ral 2477  df-rex 2478  df-reu 2479  df-rab 2481  df-v 2762  df-sbc 2986  df-csb 3081  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pw 3603  df-sn 3624  df-pr 3625  df-tp 3626  df-op 3627  df-uni 3836  df-int 3871  df-iun 3914  df-br 4030  df-opab 4091  df-mpt 4092  df-id 4324  df-xp 4665  df-rel 4666  df-cnv 4667  df-co 4668  df-dm 4669  df-rn 4670  df-res 4671  df-ima 4672  df-iota 5215  df-fun 5256  df-fn 5257  df-f 5258  df-f1 5259  df-fo 5260  df-f1o 5261  df-fv 5262  df-ov 5921  df-oprab 5922  df-mpo 5923  df-ec 6589  df-inn 8983  df-2 9041  df-3 9042  df-ndx 12621  df-slot 12622  df-base 12624  df-plusg 12708  df-mulr 12709  df-iimas 12885  df-qus 12886

This theorem is referenced by: (None)