ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ressex GIF version

Theorem ressex 12525
Description: Existence of structure restriction. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
ressex ((π‘Š ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ π‘Œ) β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem ressex
StepHypRef Expression
1 ressvalsets 12524 . 2 ((π‘Š ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ π‘Œ) β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐴) = (π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩))
2 simpl 109 . . 3 ((π‘Š ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ π‘Œ) β†’ π‘Š ∈ 𝑋)
3 basendxnn 12518 . . . 4 (Baseβ€˜ndx) ∈ β„•
43a1i 9 . . 3 ((π‘Š ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ π‘Œ) β†’ (Baseβ€˜ndx) ∈ β„•)
5 inex1g 4140 . . . 4 (𝐴 ∈ π‘Œ β†’ (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š)) ∈ V)
65adantl 277 . . 3 ((π‘Š ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ π‘Œ) β†’ (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š)) ∈ V)
7 setsex 12494 . . 3 ((π‘Š ∈ 𝑋 ∧ (Baseβ€˜ndx) ∈ β„• ∧ (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š)) ∈ V) β†’ (π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩) ∈ V)
82, 4, 6, 7syl3anc 1238 . 2 ((π‘Š ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ π‘Œ) β†’ (π‘Š sSet ⟨(Baseβ€˜ndx), (𝐴 ∩ (Baseβ€˜π‘Š))⟩) ∈ V)
91, 8eqeltrd 2254 1 ((π‘Š ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ π‘Œ) β†’ (π‘Š β†Ύs 𝐴) ∈ V)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2148  Vcvv 2738   ∩ cin 3129  βŸ¨cop 3596  β€˜cfv 5217  (class class class)co 5875  β„•cn 8919  ndxcnx 12459   sSet csts 12460  Basecbs 12462   β†Ύs cress 12463
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4122  ax-pow 4175  ax-pr 4210  ax-un 4434  ax-setind 4537  ax-cnex 7902  ax-resscn 7903  ax-1re 7905  ax-addrcl 7908
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2740  df-sbc 2964  df-dif 3132  df-un 3134  df-in 3136  df-ss 3143  df-pw 3578  df-sn 3599  df-pr 3600  df-op 3602  df-uni 3811  df-int 3846  df-br 4005  df-opab 4066  df-mpt 4067  df-id 4294  df-xp 4633  df-rel 4634  df-cnv 4635  df-co 4636  df-dm 4637  df-rn 4638  df-res 4639  df-iota 5179  df-fun 5219  df-fv 5225  df-ov 5878  df-oprab 5879  df-mpo 5880  df-inn 8920  df-ndx 12465  df-slot 12466  df-base 12468  df-sets 12469  df-iress 12470
This theorem is referenced by:  ressressg  12534  mgpress  13141  rdivmuldivd  13313  invrpropdg  13318
  Copyright terms: Public domain W3C validator