Theorem ressex 13419

Description: Existence of structure restriction. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
ressex	⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → (𝑊 ↾s 𝐴) ∈ V)

Proof of Theorem ressex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ressvalsets 13418	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → (𝑊 ↾s 𝐴) = (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩))
2		simpl 109	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → 𝑊 ∈ 𝑋)
3		basendxnn 13408	. . . 4 ⊢ (Base‘ndx) ∈ ℕ
4	3	a1i 9	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → (Base‘ndx) ∈ ℕ)
5		inex1g 4269	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑌 → (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) ∈ V)
6	5	adantl 277	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) ∈ V)
7		setsex 13384	. . 3 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ (Base‘ndx) ∈ ℕ ∧ (𝐴 ∩ (Base‘𝑊)) ∈ V) → (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩) ∈ V)
8	2, 4, 6, 7	syl3anc 1278	. 2 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → (𝑊 sSet ⟨(Base‘ndx), (𝐴 ∩ (Base‘𝑊))⟩) ∈ V)
9	1, 8	eqeltrd 2315	1 ⊢ ((𝑊 ∈ 𝑋 ∧ 𝐴 ∈ 𝑌) → (𝑊 ↾s 𝐴) ∈ V)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209  Vcvv 2821   ∩ cin 3219  ⟨cop 3712  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  ℕcn 9304  ndxcnx 13349   sSet csts 13350  Basecbs 13352   ↾_s cress 13353

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4249  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-cnex 8270  ax-resscn 8271  ax-1re 8273  ax-addrcl 8276

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-id 4438  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fv 5385  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-inn 9305  df-ndx 13355  df-slot 13356  df-base 13358  df-sets 13359  df-iress 13360

This theorem is used by:  ressressg  13429  mgpress  14230  rdivmuldivd  14451  invrpropdg  14456  sraval  14774  sralemg  14775  srascag  14779  sravscag  14780  sraipg  14781  sraex  14783  rnglidlmmgm  14833  rnglidlmsgrp  14834  mplvalcoe  15081  fnmpl  15084