Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ssenen GIF version

Theorem ssenen 6753
 Description: Equinumerosity of equinumerous subsets of a set. (Contributed by NM, 30-Sep-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
ssenen (𝐴𝐵 → {𝑥 ∣ (𝑥𝐴𝑥𝐶)} ≈ {𝑥 ∣ (𝑥𝐵𝑥𝐶)})
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝐶

Proof of Theorem ssenen
Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑓 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 bren 6649 . . 3 (𝐴𝐵 ↔ ∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵)
2 f1odm 5379 . . . . . . 7 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → dom 𝑓 = 𝐴)
3 vex 2692 . . . . . . . 8 𝑓 ∈ V
43dmex 4813 . . . . . . 7 dom 𝑓 ∈ V
52, 4eqeltrrdi 2232 . . . . . 6 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐴 ∈ V)
6 pwexg 4112 . . . . . 6 (𝐴 ∈ V → 𝒫 𝐴 ∈ V)
7 inex1g 4072 . . . . . 6 (𝒫 𝐴 ∈ V → (𝒫 𝐴 ∩ {𝑥𝑥𝐶}) ∈ V)
85, 6, 73syl 17 . . . . 5 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝒫 𝐴 ∩ {𝑥𝑥𝐶}) ∈ V)
9 f1ofo 5382 . . . . . . . 8 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐴onto𝐵)
10 forn 5356 . . . . . . . 8 (𝑓:𝐴onto𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
119, 10syl 14 . . . . . . 7 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → ran 𝑓 = 𝐵)
123rnex 4814 . . . . . . 7 ran 𝑓 ∈ V
1311, 12eqeltrrdi 2232 . . . . . 6 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝐵 ∈ V)
14 pwexg 4112 . . . . . 6 (𝐵 ∈ V → 𝒫 𝐵 ∈ V)
15 inex1g 4072 . . . . . 6 (𝒫 𝐵 ∈ V → (𝒫 𝐵 ∩ {𝑥𝑥𝐶}) ∈ V)
1613, 14, 153syl 17 . . . . 5 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝒫 𝐵 ∩ {𝑥𝑥𝐶}) ∈ V)
17 f1of1 5374 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐴1-1𝐵)
1817adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑦𝐴) → 𝑓:𝐴1-1𝐵)
1913adantr 274 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑦𝐴) → 𝐵 ∈ V)
20 simpr 109 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
21 vex 2692 . . . . . . . . . . 11 𝑦 ∈ V
2221a1i 9 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑦𝐴) → 𝑦 ∈ V)
23 f1imaen2g 6695 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:𝐴1-1𝐵𝐵 ∈ V) ∧ (𝑦𝐴𝑦 ∈ V)) → (𝑓𝑦) ≈ 𝑦)
2418, 19, 20, 22, 23syl22anc 1218 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑦𝐴) → (𝑓𝑦) ≈ 𝑦)
25 entr 6686 . . . . . . . . 9 (((𝑓𝑦) ≈ 𝑦𝑦𝐶) → (𝑓𝑦) ≈ 𝐶)
2624, 25sylan 281 . . . . . . . 8 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑦𝐴) ∧ 𝑦𝐶) → (𝑓𝑦) ≈ 𝐶)
2726expl 376 . . . . . . 7 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → ((𝑦𝐴𝑦𝐶) → (𝑓𝑦) ≈ 𝐶))
28 imassrn 4900 . . . . . . . . 9 (𝑓𝑦) ⊆ ran 𝑓
2928, 10sseqtrid 3152 . . . . . . . 8 (𝑓:𝐴onto𝐵 → (𝑓𝑦) ⊆ 𝐵)
309, 29syl 14 . . . . . . 7 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝑓𝑦) ⊆ 𝐵)
3127, 30jctild 314 . . . . . 6 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → ((𝑦𝐴𝑦𝐶) → ((𝑓𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ (𝑓𝑦) ≈ 𝐶)))
32 elin 3264 . . . . . . 7 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ {𝑥𝑥𝐶}) ↔ (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴𝑦 ∈ {𝑥𝑥𝐶}))
3321elpw 3521 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ 𝒫 𝐴𝑦𝐴)
34 breq1 3940 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐶𝑦𝐶))
3521, 34elab 2832 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ {𝑥𝑥𝐶} ↔ 𝑦𝐶)
3633, 35anbi12i 456 . . . . . . 7 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝐴𝑦 ∈ {𝑥𝑥𝐶}) ↔ (𝑦𝐴𝑦𝐶))
3732, 36bitri 183 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ {𝑥𝑥𝐶}) ↔ (𝑦𝐴𝑦𝐶))
38 elin 3264 . . . . . . 7 ((𝑓𝑦) ∈ (𝒫 𝐵 ∩ {𝑥𝑥𝐶}) ↔ ((𝑓𝑦) ∈ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑓𝑦) ∈ {𝑥𝑥𝐶}))
393imaex 4902 . . . . . . . . 9 (𝑓𝑦) ∈ V
4039elpw 3521 . . . . . . . 8 ((𝑓𝑦) ∈ 𝒫 𝐵 ↔ (𝑓𝑦) ⊆ 𝐵)
41 breq1 3940 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑓𝑦) → (𝑥𝐶 ↔ (𝑓𝑦) ≈ 𝐶))
4239, 41elab 2832 . . . . . . . 8 ((𝑓𝑦) ∈ {𝑥𝑥𝐶} ↔ (𝑓𝑦) ≈ 𝐶)
4340, 42anbi12i 456 . . . . . . 7 (((𝑓𝑦) ∈ 𝒫 𝐵 ∧ (𝑓𝑦) ∈ {𝑥𝑥𝐶}) ↔ ((𝑓𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ (𝑓𝑦) ≈ 𝐶))
4438, 43bitri 183 . . . . . 6 ((𝑓𝑦) ∈ (𝒫 𝐵 ∩ {𝑥𝑥𝐶}) ↔ ((𝑓𝑦) ⊆ 𝐵 ∧ (𝑓𝑦) ≈ 𝐶))
4531, 37, 443imtr4g 204 . . . . 5 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ {𝑥𝑥𝐶}) → (𝑓𝑦) ∈ (𝒫 𝐵 ∩ {𝑥𝑥𝐶})))
46 f1ocnv 5388 . . . . . . 7 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐵1-1-onto𝐴)
47 f1of1 5374 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑓:𝐵1-1𝐴)
48 f1f1orn 5386 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐵1-1𝐴𝑓:𝐵1-1-onto→ran 𝑓)
49 f1of1 5374 . . . . . . . . . . . 12 (𝑓:𝐵1-1-onto→ran 𝑓𝑓:𝐵1-1→ran 𝑓)
5047, 48, 493syl 17 . . . . . . . . . . 11 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑓:𝐵1-1→ran 𝑓)
51 vex 2692 . . . . . . . . . . . 12 𝑧 ∈ V
5251f1imaen 6696 . . . . . . . . . . 11 ((𝑓:𝐵1-1→ran 𝑓𝑧𝐵) → (𝑓𝑧) ≈ 𝑧)
5350, 52sylan 281 . . . . . . . . . 10 ((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑧𝐵) → (𝑓𝑧) ≈ 𝑧)
54 entr 6686 . . . . . . . . . 10 (((𝑓𝑧) ≈ 𝑧𝑧𝐶) → (𝑓𝑧) ≈ 𝐶)
5553, 54sylan 281 . . . . . . . . 9 (((𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑧𝐵) ∧ 𝑧𝐶) → (𝑓𝑧) ≈ 𝐶)
5655expl 376 . . . . . . . 8 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → ((𝑧𝐵𝑧𝐶) → (𝑓𝑧) ≈ 𝐶))
57 f1ofo 5382 . . . . . . . . 9 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴𝑓:𝐵onto𝐴)
58 imassrn 4900 . . . . . . . . . 10 (𝑓𝑧) ⊆ ran 𝑓
59 forn 5356 . . . . . . . . . 10 (𝑓:𝐵onto𝐴 → ran 𝑓 = 𝐴)
6058, 59sseqtrid 3152 . . . . . . . . 9 (𝑓:𝐵onto𝐴 → (𝑓𝑧) ⊆ 𝐴)
6157, 60syl 14 . . . . . . . 8 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → (𝑓𝑧) ⊆ 𝐴)
6256, 61jctild 314 . . . . . . 7 (𝑓:𝐵1-1-onto𝐴 → ((𝑧𝐵𝑧𝐶) → ((𝑓𝑧) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑓𝑧) ≈ 𝐶)))
6346, 62syl 14 . . . . . 6 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → ((𝑧𝐵𝑧𝐶) → ((𝑓𝑧) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑓𝑧) ≈ 𝐶)))
64 elin 3264 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ {𝑥𝑥𝐶}) ↔ (𝑧 ∈ 𝒫 𝐵𝑧 ∈ {𝑥𝑥𝐶}))
6551elpw 3521 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ 𝒫 𝐵𝑧𝐵)
66 breq1 3940 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑧 → (𝑥𝐶𝑧𝐶))
6751, 66elab 2832 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ {𝑥𝑥𝐶} ↔ 𝑧𝐶)
6865, 67anbi12i 456 . . . . . . 7 ((𝑧 ∈ 𝒫 𝐵𝑧 ∈ {𝑥𝑥𝐶}) ↔ (𝑧𝐵𝑧𝐶))
6964, 68bitri 183 . . . . . 6 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ {𝑥𝑥𝐶}) ↔ (𝑧𝐵𝑧𝐶))
70 elin 3264 . . . . . . 7 ((𝑓𝑧) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ {𝑥𝑥𝐶}) ↔ ((𝑓𝑧) ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑧) ∈ {𝑥𝑥𝐶}))
713cnvex 5085 . . . . . . . . . 10 𝑓 ∈ V
7271imaex 4902 . . . . . . . . 9 (𝑓𝑧) ∈ V
7372elpw 3521 . . . . . . . 8 ((𝑓𝑧) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ (𝑓𝑧) ⊆ 𝐴)
74 breq1 3940 . . . . . . . . 9 (𝑥 = (𝑓𝑧) → (𝑥𝐶 ↔ (𝑓𝑧) ≈ 𝐶))
7572, 74elab 2832 . . . . . . . 8 ((𝑓𝑧) ∈ {𝑥𝑥𝐶} ↔ (𝑓𝑧) ≈ 𝐶)
7673, 75anbi12i 456 . . . . . . 7 (((𝑓𝑧) ∈ 𝒫 𝐴 ∧ (𝑓𝑧) ∈ {𝑥𝑥𝐶}) ↔ ((𝑓𝑧) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑓𝑧) ≈ 𝐶))
7770, 76bitri 183 . . . . . 6 ((𝑓𝑧) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ {𝑥𝑥𝐶}) ↔ ((𝑓𝑧) ⊆ 𝐴 ∧ (𝑓𝑧) ≈ 𝐶))
7863, 69, 773imtr4g 204 . . . . 5 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ {𝑥𝑥𝐶}) → (𝑓𝑧) ∈ (𝒫 𝐴 ∩ {𝑥𝑥𝐶})))
79 simpl 108 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ 𝒫 𝐵𝑧 ∈ {𝑥𝑥𝐶}) → 𝑧 ∈ 𝒫 𝐵)
8079elpwid 3526 . . . . . . . . . 10 ((𝑧 ∈ 𝒫 𝐵𝑧 ∈ {𝑥𝑥𝐶}) → 𝑧𝐵)
8164, 80sylbi 120 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ {𝑥𝑥𝐶}) → 𝑧𝐵)
82 imaeq2 4885 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (𝑓𝑧) → (𝑓𝑦) = (𝑓 “ (𝑓𝑧)))
83 f1orel 5378 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → Rel 𝑓)
84 dfrel2 4997 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Rel 𝑓𝑓 = 𝑓)
8583, 84sylib 121 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓 = 𝑓)
8685imaeq1d 4888 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝑓 “ (𝑓𝑧)) = (𝑓 “ (𝑓𝑧)))
8786adantr 274 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑧𝐵) → (𝑓 “ (𝑓𝑧)) = (𝑓 “ (𝑓𝑧)))
8846, 47syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑓:𝐵1-1𝐴)
89 f1imacnv 5392 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑓:𝐵1-1𝐴𝑧𝐵) → (𝑓 “ (𝑓𝑧)) = 𝑧)
9088, 89sylan 281 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑧𝐵) → (𝑓 “ (𝑓𝑧)) = 𝑧)
9187, 90eqtr3d 2175 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑧𝐵) → (𝑓 “ (𝑓𝑧)) = 𝑧)
9282, 91sylan9eqr 2195 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑧𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑓𝑧)) → (𝑓𝑦) = 𝑧)
9392eqcomd 2146 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑧𝐵) ∧ 𝑦 = (𝑓𝑧)) → 𝑧 = (𝑓𝑦))
9493ex 114 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑧𝐵) → (𝑦 = (𝑓𝑧) → 𝑧 = (𝑓𝑦)))
9581, 94sylan2 284 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ {𝑥𝑥𝐶})) → (𝑦 = (𝑓𝑧) → 𝑧 = (𝑓𝑦)))
9695adantrl 470 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ {𝑥𝑥𝐶}) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ {𝑥𝑥𝐶}))) → (𝑦 = (𝑓𝑧) → 𝑧 = (𝑓𝑦)))
97 simpl 108 . . . . . . . . . . 11 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝐴𝑦 ∈ {𝑥𝑥𝐶}) → 𝑦 ∈ 𝒫 𝐴)
9897elpwid 3526 . . . . . . . . . 10 ((𝑦 ∈ 𝒫 𝐴𝑦 ∈ {𝑥𝑥𝐶}) → 𝑦𝐴)
9932, 98sylbi 120 . . . . . . . . 9 (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ {𝑥𝑥𝐶}) → 𝑦𝐴)
100 imaeq2 4885 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = (𝑓𝑦) → (𝑓𝑧) = (𝑓 “ (𝑓𝑦)))
101 f1imacnv 5392 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑓:𝐴1-1𝐵𝑦𝐴) → (𝑓 “ (𝑓𝑦)) = 𝑦)
10217, 101sylan 281 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑦𝐴) → (𝑓 “ (𝑓𝑦)) = 𝑦)
103100, 102sylan9eqr 2195 . . . . . . . . . . 11 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑦𝐴) ∧ 𝑧 = (𝑓𝑦)) → (𝑓𝑧) = 𝑦)
104103eqcomd 2146 . . . . . . . . . 10 (((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑦𝐴) ∧ 𝑧 = (𝑓𝑦)) → 𝑦 = (𝑓𝑧))
105104ex 114 . . . . . . . . 9 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑦𝐴) → (𝑧 = (𝑓𝑦) → 𝑦 = (𝑓𝑧)))
10699, 105sylan2 284 . . . . . . . 8 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ {𝑥𝑥𝐶})) → (𝑧 = (𝑓𝑦) → 𝑦 = (𝑓𝑧)))
107106adantrr 471 . . . . . . 7 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ {𝑥𝑥𝐶}) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ {𝑥𝑥𝐶}))) → (𝑧 = (𝑓𝑦) → 𝑦 = (𝑓𝑧)))
10896, 107impbid 128 . . . . . 6 ((𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 ∧ (𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ {𝑥𝑥𝐶}) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ {𝑥𝑥𝐶}))) → (𝑦 = (𝑓𝑧) ↔ 𝑧 = (𝑓𝑦)))
109108ex 114 . . . . 5 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → ((𝑦 ∈ (𝒫 𝐴 ∩ {𝑥𝑥𝐶}) ∧ 𝑧 ∈ (𝒫 𝐵 ∩ {𝑥𝑥𝐶})) → (𝑦 = (𝑓𝑧) ↔ 𝑧 = (𝑓𝑦))))
1108, 16, 45, 78, 109en3d 6671 . . . 4 (𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝒫 𝐴 ∩ {𝑥𝑥𝐶}) ≈ (𝒫 𝐵 ∩ {𝑥𝑥𝐶}))
111110exlimiv 1578 . . 3 (∃𝑓 𝑓:𝐴1-1-onto𝐵 → (𝒫 𝐴 ∩ {𝑥𝑥𝐶}) ≈ (𝒫 𝐵 ∩ {𝑥𝑥𝐶}))
1121, 111sylbi 120 . 2 (𝐴𝐵 → (𝒫 𝐴 ∩ {𝑥𝑥𝐶}) ≈ (𝒫 𝐵 ∩ {𝑥𝑥𝐶}))
113 df-pw 3517 . . . 4 𝒫 𝐴 = {𝑥𝑥𝐴}
114113ineq1i 3278 . . 3 (𝒫 𝐴 ∩ {𝑥𝑥𝐶}) = ({𝑥𝑥𝐴} ∩ {𝑥𝑥𝐶})
115 inab 3349 . . 3 ({𝑥𝑥𝐴} ∩ {𝑥𝑥𝐶}) = {𝑥 ∣ (𝑥𝐴𝑥𝐶)}
116114, 115eqtri 2161 . 2 (𝒫 𝐴 ∩ {𝑥𝑥𝐶}) = {𝑥 ∣ (𝑥𝐴𝑥𝐶)}
117 df-pw 3517 . . . 4 𝒫 𝐵 = {𝑥𝑥𝐵}
118117ineq1i 3278 . . 3 (𝒫 𝐵 ∩ {𝑥𝑥𝐶}) = ({𝑥𝑥𝐵} ∩ {𝑥𝑥𝐶})
119 inab 3349 . . 3 ({𝑥𝑥𝐵} ∩ {𝑥𝑥𝐶}) = {𝑥 ∣ (𝑥𝐵𝑥𝐶)}
120118, 119eqtri 2161 . 2 (𝒫 𝐵 ∩ {𝑥𝑥𝐶}) = {𝑥 ∣ (𝑥𝐵𝑥𝐶)}
121112, 116, 1203brtr3g 3969 1 (𝐴𝐵 → {𝑥 ∣ (𝑥𝐴𝑥𝐶)} ≈ {𝑥 ∣ (𝑥𝐵𝑥𝐶)})
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1332  ∃wex 1469   ∈ wcel 1481  {cab 2126  Vcvv 2689   ∩ cin 3075   ⊆ wss 3076  𝒫 cpw 3515   class class class wbr 3937  ◡ccnv 4546  dom cdm 4547  ran crn 4548   “ cima 4550  Rel wrel 4552  –1-1→wf1 5128  –onto→wfo 5129  –1-1-onto→wf1o 5130   ≈ cen 6640 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-13 1492  ax-14 1493  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122  ax-coll 4051  ax-sep 4054  ax-pow 4106  ax-pr 4139  ax-un 4363 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 965  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-eu 2003  df-mo 2004  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-ral 2422  df-rex 2423  df-reu 2424  df-rab 2426  df-v 2691  df-sbc 2914  df-csb 3008  df-un 3080  df-in 3082  df-ss 3089  df-pw 3517  df-sn 3538  df-pr 3539  df-op 3541  df-uni 3745  df-iun 3823  df-br 3938  df-opab 3998  df-mpt 3999  df-id 4223  df-xp 4553  df-rel 4554  df-cnv 4555  df-co 4556  df-dm 4557  df-rn 4558  df-res 4559  df-ima 4560  df-iota 5096  df-fun 5133  df-fn 5134  df-f 5135  df-f1 5136  df-fo 5137  df-f1o 5138  df-fv 5139  df-er 6437  df-en 6643 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator