Theorem eltg3 14848

Description: Membership in a topology generated by a basis. (Contributed by NM, 15-Jul-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 4-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
eltg3	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑉

Proof of Theorem eltg3

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-topgen 13404	. . . . . . 7 ⊢ topGen = (𝑥 ∈ V ↦ {𝑦 ∣ 𝑦 ⊆ ∪ (𝑥 ∩ 𝒫 𝑦)})
2	1	funmpt2 5372	. . . . . 6 ⊢ Fun topGen
3		funrel 5350	. . . . . 6 ⊢ (Fun topGen → Rel topGen)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Rel topGen
5		relelfvdm 5680	. . . . 5 ⊢ ((Rel topGen ∧ 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵)) → 𝐵 ∈ dom topGen)
6	4, 5	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐵 ∈ dom topGen)
7		inex1g 4230	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom topGen → (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ∈ V)
8	6, 7	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ∈ V)
9		eltg4i 14846	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐴 = ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴))
10		inss1 3429	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ 𝐵
11		sseq1 3251	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) → (𝑥 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ 𝐵))
12	10, 11	mpbiri 168	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) → 𝑥 ⊆ 𝐵)
13	12	biantrurd 305	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) → (𝐴 = ∪ 𝑥 ↔ (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥)))
14		unieq 3907	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) → ∪ 𝑥 = ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴))
15	14	eqeq2d 2243	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) → (𝐴 = ∪ 𝑥 ↔ 𝐴 = ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴)))
16	13, 15	bitr3d 190	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) → ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥) ↔ 𝐴 = ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴)))
17	16	spcegv 2895	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ∈ V → (𝐴 = ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) → ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥)))
18	8, 9, 17	sylc 62	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥))
19		eltg3i 14847	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → ∪ 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵))
20		eleq1 2294	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∪ 𝑥 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∪ 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵)))
21	19, 20	syl5ibrcom 157	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → (𝐴 = ∪ 𝑥 → 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵)))
22	21	expimpd 363	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥) → 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵)))
23	22	exlimdv 1867	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥) → 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵)))
24	18, 23	impbid2 143	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1398  ∃wex 1541   ∈ wcel 2202  {cab 2217  Vcvv 2803   ∩ cin 3200   ⊆ wss 3201  𝒫 cpw 3656  ∪ cuni 3898  dom cdm 4731  Rel wrel 4736  Fun wfun 5327  ‘cfv 5333  topGenctg 13398

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-13 2204  ax-14 2205  ax-ext 2213  ax-sep 4212  ax-pow 4270  ax-pr 4305  ax-un 4536

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1007  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-eu 2082  df-mo 2083  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-ral 2516  df-rex 2517  df-v 2805  df-sbc 3033  df-un 3205  df-in 3207  df-ss 3214  df-pw 3658  df-sn 3679  df-pr 3680  df-op 3682  df-uni 3899  df-br 4094  df-opab 4156  df-mpt 4157  df-id 4396  df-xp 4737  df-rel 4738  df-cnv 4739  df-co 4740  df-dm 4741  df-iota 5293  df-fun 5335  df-fv 5341  df-topgen 13404

This theorem is referenced by:  tgval3  14849  tgtop  14859  eltop3  14862  tgidm  14865  bastop1  14874  tgrest  14960  tgcn  14999  txbasval  15058