Theorem eltg3 12697

Description: Membership in a topology generated by a basis. (Contributed by NM, 15-Jul-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 4-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
eltg3	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑉

Proof of Theorem eltg3

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-topgen 12577	. . . . . . 7 ⊢ topGen = (𝑥 ∈ V ↦ {𝑦 ∣ 𝑦 ⊆ ∪ (𝑥 ∩ 𝒫 𝑦)})
2	1	funmpt2 5227	. . . . . 6 ⊢ Fun topGen
3		funrel 5205	. . . . . 6 ⊢ (Fun topGen → Rel topGen)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Rel topGen
5		relelfvdm 5518	. . . . 5 ⊢ ((Rel topGen ∧ 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵)) → 𝐵 ∈ dom topGen)
6	4, 5	mpan 421	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐵 ∈ dom topGen)
7		inex1g 4118	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom topGen → (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ∈ V)
8	6, 7	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ∈ V)
9		eltg4i 12695	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐴 = ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴))
10		inss1 3342	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ 𝐵
11		sseq1 3165	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) → (𝑥 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ 𝐵))
12	10, 11	mpbiri 167	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) → 𝑥 ⊆ 𝐵)
13	12	biantrurd 303	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) → (𝐴 = ∪ 𝑥 ↔ (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥)))
14		unieq 3798	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) → ∪ 𝑥 = ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴))
15	14	eqeq2d 2177	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) → (𝐴 = ∪ 𝑥 ↔ 𝐴 = ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴)))
16	13, 15	bitr3d 189	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) → ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥) ↔ 𝐴 = ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴)))
17	16	spcegv 2814	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ∈ V → (𝐴 = ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) → ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥)))
18	8, 9, 17	sylc 62	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥))
19		eltg3i 12696	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → ∪ 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵))
20		eleq1 2229	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∪ 𝑥 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∪ 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵)))
21	19, 20	syl5ibrcom 156	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → (𝐴 = ∪ 𝑥 → 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵)))
22	21	expimpd 361	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥) → 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵)))
23	22	exlimdv 1807	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥) → 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵)))
24	18, 23	impbid2 142	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1343  ∃wex 1480   ∈ wcel 2136  {cab 2151  Vcvv 2726   ∩ cin 3115   ⊆ wss 3116  𝒫 cpw 3559  ∪ cuni 3789  dom cdm 4604  Rel wrel 4609  Fun wfun 5182  ‘cfv 5188  topGenctg 12571

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1435  ax-7 1436  ax-gen 1437  ax-ie1 1481  ax-ie2 1482  ax-8 1492  ax-10 1493  ax-11 1494  ax-i12 1495  ax-bndl 1497  ax-4 1498  ax-17 1514  ax-i9 1518  ax-ial 1522  ax-i5r 1523  ax-13 2138  ax-14 2139  ax-ext 2147  ax-sep 4100  ax-pow 4153  ax-pr 4187  ax-un 4411

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 970  df-tru 1346  df-nf 1449  df-sb 1751  df-eu 2017  df-mo 2018  df-clab 2152  df-cleq 2158  df-clel 2161  df-nfc 2297  df-ral 2449  df-rex 2450  df-v 2728  df-sbc 2952  df-un 3120  df-in 3122  df-ss 3129  df-pw 3561  df-sn 3582  df-pr 3583  df-op 3585  df-uni 3790  df-br 3983  df-opab 4044  df-mpt 4045  df-id 4271  df-xp 4610  df-rel 4611  df-cnv 4612  df-co 4613  df-dm 4614  df-iota 5153  df-fun 5190  df-fv 5196  df-topgen 12577

This theorem is referenced by:  tgval3  12698  tgtop  12708  eltop3  12711  tgidm  12714  bastop1  12723  tgrest  12809  tgcn  12848  txbasval  12907