Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eltg3 GIF version

Theorem eltg3 12240
 Description: Membership in a topology generated by a basis. (Contributed by NM, 15-Jul-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 4-Mar-2023.)
Assertion
Ref Expression
eltg3 (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐵𝐴 = 𝑥)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑉

Proof of Theorem eltg3
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-topgen 12155 . . . . . . 7 topGen = (𝑥 ∈ V ↦ {𝑦𝑦 (𝑥 ∩ 𝒫 𝑦)})
21funmpt2 5162 . . . . . 6 Fun topGen
3 funrel 5140 . . . . . 6 (Fun topGen → Rel topGen)
42, 3ax-mp 5 . . . . 5 Rel topGen
5 relelfvdm 5453 . . . . 5 ((Rel topGen ∧ 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵)) → 𝐵 ∈ dom topGen)
64, 5mpan 420 . . . 4 (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐵 ∈ dom topGen)
7 inex1g 4064 . . . 4 (𝐵 ∈ dom topGen → (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ∈ V)
86, 7syl 14 . . 3 (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ∈ V)
9 eltg4i 12238 . . 3 (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐴 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴))
10 inss1 3296 . . . . . . 7 (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ 𝐵
11 sseq1 3120 . . . . . . 7 (𝑥 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) → (𝑥𝐵 ↔ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ 𝐵))
1210, 11mpbiri 167 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) → 𝑥𝐵)
1312biantrurd 303 . . . . 5 (𝑥 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) → (𝐴 = 𝑥 ↔ (𝑥𝐵𝐴 = 𝑥)))
14 unieq 3745 . . . . . 6 (𝑥 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) → 𝑥 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴))
1514eqeq2d 2151 . . . . 5 (𝑥 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) → (𝐴 = 𝑥𝐴 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴)))
1613, 15bitr3d 189 . . . 4 (𝑥 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) → ((𝑥𝐵𝐴 = 𝑥) ↔ 𝐴 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴)))
1716spcegv 2774 . . 3 ((𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ∈ V → (𝐴 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) → ∃𝑥(𝑥𝐵𝐴 = 𝑥)))
188, 9, 17sylc 62 . 2 (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → ∃𝑥(𝑥𝐵𝐴 = 𝑥))
19 eltg3i 12239 . . . . 5 ((𝐵𝑉𝑥𝐵) → 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵))
20 eleq1 2202 . . . . 5 (𝐴 = 𝑥 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵)))
2119, 20syl5ibrcom 156 . . . 4 ((𝐵𝑉𝑥𝐵) → (𝐴 = 𝑥𝐴 ∈ (topGen‘𝐵)))
2221expimpd 360 . . 3 (𝐵𝑉 → ((𝑥𝐵𝐴 = 𝑥) → 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵)))
2322exlimdv 1791 . 2 (𝐵𝑉 → (∃𝑥(𝑥𝐵𝐴 = 𝑥) → 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵)))
2418, 23impbid2 142 1 (𝐵𝑉 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥𝐵𝐴 = 𝑥)))
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1331  ∃wex 1468   ∈ wcel 1480  {cab 2125  Vcvv 2686   ∩ cin 3070   ⊆ wss 3071  𝒫 cpw 3510  ∪ cuni 3736  dom cdm 4539  Rel wrel 4544  Fun wfun 5117  ‘cfv 5123  topGenctg 12149 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 698  ax-5 1423  ax-7 1424  ax-gen 1425  ax-ie1 1469  ax-ie2 1470  ax-8 1482  ax-10 1483  ax-11 1484  ax-i12 1485  ax-bndl 1486  ax-4 1487  ax-13 1491  ax-14 1492  ax-17 1506  ax-i9 1510  ax-ial 1514  ax-i5r 1515  ax-ext 2121  ax-sep 4046  ax-pow 4098  ax-pr 4131  ax-un 4355 This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 964  df-tru 1334  df-nf 1437  df-sb 1736  df-eu 2002  df-mo 2003  df-clab 2126  df-cleq 2132  df-clel 2135  df-nfc 2270  df-ral 2421  df-rex 2422  df-v 2688  df-sbc 2910  df-un 3075  df-in 3077  df-ss 3084  df-pw 3512  df-sn 3533  df-pr 3534  df-op 3536  df-uni 3737  df-br 3930  df-opab 3990  df-mpt 3991  df-id 4215  df-xp 4545  df-rel 4546  df-cnv 4547  df-co 4548  df-dm 4549  df-iota 5088  df-fun 5125  df-fv 5131  df-topgen 12155 This theorem is referenced by:  tgval3  12241  tgtop  12251  eltop3  12254  tgidm  12257  bastop1  12266  tgrest  12352  tgcn  12391  txbasval  12450
 Copyright terms: Public domain W3C validator