Theorem eltg3 14579

Description: Membership in a topology generated by a basis. (Contributed by NM, 15-Jul-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 4-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
eltg3	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑉

Proof of Theorem eltg3

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-topgen 13142	. . . . . . 7 ⊢ topGen = (𝑥 ∈ V ↦ {𝑦 ∣ 𝑦 ⊆ ∪ (𝑥 ∩ 𝒫 𝑦)})
2	1	funmpt2 5316	. . . . . 6 ⊢ Fun topGen
3		funrel 5294	. . . . . 6 ⊢ (Fun topGen → Rel topGen)
4	2, 3	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ Rel topGen
5		relelfvdm 5618	. . . . 5 ⊢ ((Rel topGen ∧ 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵)) → 𝐵 ∈ dom topGen)
6	4, 5	mpan 424	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐵 ∈ dom topGen)
7		inex1g 4185	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom topGen → (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ∈ V)
8	6, 7	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ∈ V)
9		eltg4i 14577	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐴 = ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴))
10		inss1 3395	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ 𝐵
11		sseq1 3218	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) → (𝑥 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ 𝐵))
12	10, 11	mpbiri 168	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) → 𝑥 ⊆ 𝐵)
13	12	biantrurd 305	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) → (𝐴 = ∪ 𝑥 ↔ (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥)))
14		unieq 3862	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) → ∪ 𝑥 = ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴))
15	14	eqeq2d 2218	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) → (𝐴 = ∪ 𝑥 ↔ 𝐴 = ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴)))
16	13, 15	bitr3d 190	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) → ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥) ↔ 𝐴 = ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴)))
17	16	spcegv 2863	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ∈ V → (𝐴 = ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) → ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥)))
18	8, 9, 17	sylc 62	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥))
19		eltg3i 14578	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → ∪ 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵))
20		eleq1 2269	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∪ 𝑥 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∪ 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵)))
21	19, 20	syl5ibrcom 157	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → (𝐴 = ∪ 𝑥 → 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵)))
22	21	expimpd 363	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥) → 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵)))
23	22	exlimdv 1843	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥) → 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵)))
24	18, 23	impbid2 143	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 104   ↔ wb 105   = wceq 1373  ∃wex 1516   ∈ wcel 2177  {cab 2192  Vcvv 2773   ∩ cin 3167   ⊆ wss 3168  𝒫 cpw 3618  ∪ cuni 3853  dom cdm 4680  Rel wrel 4685  Fun wfun 5271  ‘cfv 5277  topGenctg 13136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-13 2179  ax-14 2180  ax-ext 2188  ax-sep 4167  ax-pow 4223  ax-pr 4258  ax-un 4485

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 983  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-eu 2058  df-mo 2059  df-clab 2193  df-cleq 2199  df-clel 2202  df-nfc 2338  df-ral 2490  df-rex 2491  df-v 2775  df-sbc 3001  df-un 3172  df-in 3174  df-ss 3181  df-pw 3620  df-sn 3641  df-pr 3642  df-op 3644  df-uni 3854  df-br 4049  df-opab 4111  df-mpt 4112  df-id 4345  df-xp 4686  df-rel 4687  df-cnv 4688  df-co 4689  df-dm 4690  df-iota 5238  df-fun 5279  df-fv 5285  df-topgen 13142

This theorem is referenced by:  tgval3  14580  tgtop  14590  eltop3  14593  tgidm  14596  bastop1  14605  tgrest  14691  tgcn  14730  txbasval  14789