Theorem eltg3 11909

Description: Membership in a topology generated by a basis. (Contributed by NM, 15-Jul-2006.) (Revised by Jim Kingdon, 4-Mar-2023.)

Assertion

Ref	Expression
eltg3	⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑉

Proof of Theorem eltg3

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-topgen 11825	. . . . . . 7 ⊢ topGen = (𝑥 ∈ V ↦ {𝑦 ∣ 𝑦 ⊆ ∪ (𝑥 ∩ 𝒫 𝑦)})
2	1	funmpt2 5087	. . . . . 6 ⊢ Fun topGen
3		funrel 5066	. . . . . 6 ⊢ (Fun topGen → Rel topGen)
4	2, 3	ax-mp 7	. . . . 5 ⊢ Rel topGen
5		relelfvdm 5371	. . . . 5 ⊢ ((Rel topGen ∧ 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵)) → 𝐵 ∈ dom topGen)
6	4, 5	mpan 416	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐵 ∈ dom topGen)
7		inex1g 3996	. . . 4 ⊢ (𝐵 ∈ dom topGen → (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ∈ V)
8	6, 7	syl 14	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ∈ V)
9		eltg4i 11907	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → 𝐴 = ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴))
10		inss1 3235	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ 𝐵
11		sseq1 3062	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) → (𝑥 ⊆ 𝐵 ↔ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ⊆ 𝐵))
12	10, 11	mpbiri 167	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) → 𝑥 ⊆ 𝐵)
13	12	biantrurd 300	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) → (𝐴 = ∪ 𝑥 ↔ (𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥)))
14		unieq 3684	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) → ∪ 𝑥 = ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴))
15	14	eqeq2d 2106	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) → (𝐴 = ∪ 𝑥 ↔ 𝐴 = ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴)))
16	13, 15	bitr3d 189	. . . 4 ⊢ (𝑥 = (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) → ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥) ↔ 𝐴 = ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴)))
17	16	spcegv 2721	. . 3 ⊢ ((𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) ∈ V → (𝐴 = ∪ (𝐵 ∩ 𝒫 𝐴) → ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥)))
18	8, 9, 17	sylc 62	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) → ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥))
19		eltg3i 11908	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → ∪ 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵))
20		eleq1 2157	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∪ 𝑥 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∪ 𝑥 ∈ (topGen‘𝐵)))
21	19, 20	syl5ibrcom 156	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ 𝑉 ∧ 𝑥 ⊆ 𝐵) → (𝐴 = ∪ 𝑥 → 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵)))
22	21	expimpd 356	. . 3 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → ((𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥) → 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵)))
23	22	exlimdv 1754	. 2 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥) → 𝐴 ∈ (topGen‘𝐵)))
24	18, 23	impbid2 142	1 ⊢ (𝐵 ∈ 𝑉 → (𝐴 ∈ (topGen‘𝐵) ↔ ∃𝑥(𝑥 ⊆ 𝐵 ∧ 𝐴 = ∪ 𝑥)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 103   ↔ wb 104   = wceq 1296  ∃wex 1433   ∈ wcel 1445  {cab 2081  Vcvv 2633   ∩ cin 3012   ⊆ wss 3013  𝒫 cpw 3449  ∪ cuni 3675  dom cdm 4467  Rel wrel 4472  Fun wfun 5043  ‘cfv 5049  topGenctg 11819

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 668  ax-5 1388  ax-7 1389  ax-gen 1390  ax-ie1 1434  ax-ie2 1435  ax-8 1447  ax-10 1448  ax-11 1449  ax-i12 1450  ax-bndl 1451  ax-4 1452  ax-13 1456  ax-14 1457  ax-17 1471  ax-i9 1475  ax-ial 1479  ax-i5r 1480  ax-ext 2077  ax-sep 3978  ax-pow 4030  ax-pr 4060  ax-un 4284

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-3an 929  df-tru 1299  df-nf 1402  df-sb 1700  df-eu 1958  df-mo 1959  df-clab 2082  df-cleq 2088  df-clel 2091  df-nfc 2224  df-ral 2375  df-rex 2376  df-v 2635  df-sbc 2855  df-un 3017  df-in 3019  df-ss 3026  df-pw 3451  df-sn 3472  df-pr 3473  df-op 3475  df-uni 3676  df-br 3868  df-opab 3922  df-mpt 3923  df-id 4144  df-xp 4473  df-rel 4474  df-cnv 4475  df-co 4476  df-dm 4477  df-iota 5014  df-fun 5051  df-fv 5057  df-topgen 11825

This theorem is referenced by:  tgval3  11910  tgtop  11920  eltop3  11923  tgidm  11926  bastop1  11935  tgrest  12021  tgcn  12059