Theorem vtoclg 2838

Description: Implicit substitution of a class expression for a setvar variable. (Contributed by NM, 17-Apr-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtoclg.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
vtoclg.2	⊢ 𝜑

Assertion

Ref	Expression
vtoclg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem vtoclg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2350	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfv 1552	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
3		vtoclg.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4		vtoclg.2	. 2 ⊢ 𝜑
5	1, 2, 3, 4	vtoclgf 2836	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1471  ax-7 1472  ax-gen 1473  ax-ie1 1517  ax-ie2 1518  ax-8 1528  ax-10 1529  ax-11 1530  ax-i12 1531  ax-bndl 1533  ax-4 1534  ax-17 1550  ax-i9 1554  ax-ial 1558  ax-i5r 1559  ax-ext 2189

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1485  df-sb 1787  df-clab 2194  df-cleq 2200  df-clel 2203  df-nfc 2339  df-v 2778

This theorem is referenced by:  vtoclbg  2839  ceqex  2907  mo2icl  2959  nelrdva  2987  sbctt  3072  sbcnestgf  3153  csbing  3388  ifmdc  3622  prnzg  3768  sneqrg  3816  unisng  3881  csbopabg  4138  trss  4167  inex1g  4196  ssexg  4199  pwexg  4240  prexg  4271  opth  4299  ordelord  4446  uniexg  4504  vtoclr  4741  resieq  4988  csbima12g  5062  dmsnsnsng  5179  iotaexab  5269  iota5  5272  csbiotag  5283  funmo  5305  fconstg  5494  funfveu  5612  funbrfv  5640  fnbrfvb  5642  fvelimab  5658  ssimaexg  5664  fvelrn  5734  isoselem  5912  csbriotag  5935  csbov123g  6006  ovg  6108  tfrexlem  6443  rdg0g  6497  ensn1g  6912  fundmeng  6923  xpdom2g  6952  phplem3g  6978  prcdnql  7632  prcunqu  7633  prdisj  7640  shftvalg  11262  shftval4g  11263  climshft  11730  telfsumo  11892  fsumparts  11896  lcmgcdlem  12514  fiinopn  14591  bdzfauscl  16025  bdinex1g  16036  bdssexg  16039  bj-prexg  16046  bj-uniexg  16053