Theorem vtoclg 2865

Description: Implicit substitution of a class expression for a setvar variable. (Contributed by NM, 17-Apr-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtoclg.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
vtoclg.2	⊢ 𝜑

Assertion

Ref	Expression
vtoclg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem vtoclg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2375	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfv 1577	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
3		vtoclg.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4		vtoclg.2	. 2 ⊢ 𝜑
5	1, 2, 3, 4	vtoclgf 2863	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2364  df-v 2805

This theorem is referenced by:  vtoclbg  2866  ceqex  2934  mo2icl  2986  nelrdva  3014  sbctt  3099  sbcnestgf  3180  csbing  3416  ifmdc  3652  prnzg  3801  sneqrg  3850  unisng  3915  csbopabg  4172  trss  4201  inex1g  4230  ssexg  4233  pwexg  4276  prexg  4307  opth  4335  ordelord  4484  uniexg  4542  vtoclr  4780  resieq  5029  csbima12g  5104  dmsnsnsng  5221  iotaexab  5312  iota5  5315  csbiotag  5326  funmo  5348  fconstg  5542  funfveu  5661  funbrfv  5691  fnbrfvb  5693  fvelimab  5711  ssimaexg  5717  fvelrn  5786  isoselem  5971  csbriotag  5995  csbov123g  6067  ovg  6171  tfrexlem  6543  rdg0g  6597  ensn1g  7014  fundmeng  7025  xpdom2g  7059  phplem3g  7085  prcdnql  7747  prcunqu  7748  prdisj  7755  shftvalg  11459  shftval4g  11460  climshft  11927  telfsumo  12090  fsumparts  12094  lcmgcdlem  12712  fiinopn  14798  bdzfauscl  16589  bdinex1g  16600  bdssexg  16603  bj-prexg  16610  bj-uniexg  16617