Theorem vtoclg 2883

Description: Implicit substitution of a class expression for a setvar variable. (Contributed by NM, 17-Apr-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtoclg.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
vtoclg.2	⊢ 𝜑

Assertion

Ref	Expression
vtoclg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem vtoclg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2392	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfv 1581	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
3		vtoclg.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4		vtoclg.2	. 2 ⊢ 𝜑
5	1, 2, 3, 4	vtoclgf 2881	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝜓)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823

This theorem is used by:  vtoclbg  2884  ceqex  2953  mo2icl  3005  nelrdva  3033  sbctt  3118  sbcnestgf  3199  csbing  3438  ifmdc  3683  prnzg  3838  sneqrg  3887  unisng  3952  csbopabg  4210  trss  4240  sepg  4253  inex1g  4271  ssexg  4274  pwexg  4319  prexg  4351  opth  4379  ordelord  4528  uniexg  4587  vtoclr  4825  resieq  5075  csbima12g  5151  dmsnsnsng  5268  iotaexab  5359  iota5  5362  csbiotag  5373  funmo  5395  fconstg  5592  funfveu  5711  funbrfv  5742  fnbrfvb  5744  fvelimab  5762  ssimaexg  5768  fvelrn  5842  isoselem  6029  csbriotag  6055  csbov123g  6127  ovg  6231  tfrexlem  6609  rdg0g  6663  ensn1g  7088  fundmeng  7099  xpdom2g  7134  phplem3g  7161  prcdnql  7857  prcunqu  7858  prdisj  7865  shftvalg  11623  shftval4g  11624  climshft  12095  telfsumo  12258  fsumparts  12262  lcmgcdlem  12880  fiinopn  15230  bdsepg  17121  bdinex1g  17132  bdssexg  17135  bj-prexg  17142  bj-uniexg  17149