Theorem vtoclg 2883

Description: Implicit substitution of a class expression for a setvar variable. (Contributed by NM, 17-Apr-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtoclg.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
vtoclg.2	⊢ 𝜑

Assertion

Ref	Expression
vtoclg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem vtoclg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2392	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfv 1581	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
3		vtoclg.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4		vtoclg.2	. 2 ⊢ 𝜑
5	1, 2, 3, 4	vtoclgf 2881	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1402   ∈ wcel 2209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-ext 2220

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1405  df-nf 1514  df-sb 1816  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-v 2823

This theorem is referenced by:  vtoclbg  2884  ceqex  2953  mo2icl  3005  nelrdva  3033  sbctt  3118  sbcnestgf  3199  csbing  3438  ifmdc  3680  prnzg  3833  sneqrg  3882  unisng  3947  csbopabg  4204  trss  4233  sepg  4246  inex1g  4264  ssexg  4267  pwexg  4312  prexg  4344  opth  4372  ordelord  4521  uniexg  4580  vtoclr  4818  resieq  5068  csbima12g  5143  dmsnsnsng  5260  iotaexab  5351  iota5  5354  csbiotag  5365  funmo  5387  fconstg  5584  funfveu  5703  funbrfv  5733  fnbrfvb  5735  fvelimab  5753  ssimaexg  5759  fvelrn  5830  isoselem  6016  csbriotag  6042  csbov123g  6114  ovg  6218  tfrexlem  6595  rdg0g  6649  ensn1g  7074  fundmeng  7085  xpdom2g  7120  phplem3g  7147  prcdnql  7841  prcunqu  7842  prdisj  7849  shftvalg  11579  shftval4g  11580  climshft  12048  telfsumo  12211  fsumparts  12215  lcmgcdlem  12833  fiinopn  15028  bdsepg  16830  bdinex1g  16841  bdssexg  16844  bj-prexg  16851  bj-uniexg  16858