Theorem vtoclg 2875

Description: Implicit substitution of a class expression for a setvar variable. (Contributed by NM, 17-Apr-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtoclg.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
vtoclg.2	⊢ 𝜑

Assertion

Ref	Expression
vtoclg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem vtoclg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2384	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfv 1577	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
3		vtoclg.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4		vtoclg.2	. 2 ⊢ 𝜑
5	1, 2, 3, 4	vtoclgf 2873	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1398   ∈ wcel 2203

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 717  ax-5 1496  ax-7 1497  ax-gen 1498  ax-ie1 1542  ax-ie2 1543  ax-8 1553  ax-10 1554  ax-11 1555  ax-i12 1556  ax-bndl 1558  ax-4 1559  ax-17 1575  ax-i9 1579  ax-ial 1583  ax-i5r 1584  ax-ext 2214

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1401  df-nf 1510  df-sb 1812  df-clab 2219  df-cleq 2225  df-clel 2228  df-nfc 2373  df-v 2815

This theorem is referenced by:  vtoclbg  2876  ceqex  2944  mo2icl  2996  nelrdva  3024  sbctt  3109  sbcnestgf  3190  csbing  3428  ifmdc  3665  prnzg  3817  sneqrg  3866  unisng  3931  csbopabg  4188  trss  4217  inex1g  4246  ssexg  4249  pwexg  4293  prexg  4325  opth  4353  ordelord  4502  uniexg  4560  vtoclr  4798  resieq  5048  csbima12g  5123  dmsnsnsng  5240  iotaexab  5331  iota5  5334  csbiotag  5345  funmo  5367  fconstg  5564  funfveu  5683  funbrfv  5713  fnbrfvb  5715  fvelimab  5733  ssimaexg  5739  fvelrn  5808  isoselem  5993  csbriotag  6017  csbov123g  6089  ovg  6193  tfrexlem  6565  rdg0g  6619  ensn1g  7037  fundmeng  7048  xpdom2g  7083  phplem3g  7110  prcdnql  7799  prcunqu  7800  prdisj  7807  shftvalg  11521  shftval4g  11522  climshft  11989  telfsumo  12152  fsumparts  12156  lcmgcdlem  12774  fiinopn  14869  bdzfauscl  16660  bdinex1g  16671  bdssexg  16674  bj-prexg  16681  bj-uniexg  16688