Theorem vtoclg 2861

Description: Implicit substitution of a class expression for a setvar variable. (Contributed by NM, 17-Apr-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtoclg.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
vtoclg.2	⊢ 𝜑

Assertion

Ref	Expression
vtoclg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem vtoclg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2372	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfv 1574	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
3		vtoclg.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4		vtoclg.2	. 2 ⊢ 𝜑
5	1, 2, 3, 4	vtoclgf 2859	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801

This theorem is referenced by:  vtoclbg  2862  ceqex  2930  mo2icl  2982  nelrdva  3010  sbctt  3095  sbcnestgf  3176  csbing  3411  ifmdc  3645  prnzg  3791  sneqrg  3839  unisng  3904  csbopabg  4161  trss  4190  inex1g  4219  ssexg  4222  pwexg  4263  prexg  4294  opth  4322  ordelord  4471  uniexg  4529  vtoclr  4766  resieq  5014  csbima12g  5088  dmsnsnsng  5205  iotaexab  5296  iota5  5299  csbiotag  5310  funmo  5332  fconstg  5521  funfveu  5639  funbrfv  5669  fnbrfvb  5671  fvelimab  5689  ssimaexg  5695  fvelrn  5765  isoselem  5943  csbriotag  5967  csbov123g  6039  ovg  6143  tfrexlem  6478  rdg0g  6532  ensn1g  6947  fundmeng  6958  xpdom2g  6987  phplem3g  7013  prcdnql  7667  prcunqu  7668  prdisj  7675  shftvalg  11342  shftval4g  11343  climshft  11810  telfsumo  11972  fsumparts  11976  lcmgcdlem  12594  fiinopn  14672  bdzfauscl  16211  bdinex1g  16222  bdssexg  16225  bj-prexg  16232  bj-uniexg  16239