Theorem vtoclg 2861

Description: Implicit substitution of a class expression for a setvar variable. (Contributed by NM, 17-Apr-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtoclg.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
vtoclg.2	⊢ 𝜑

Assertion

Ref	Expression
vtoclg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem vtoclg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2372	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfv 1574	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
3		vtoclg.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4		vtoclg.2	. 2 ⊢ 𝜑
5	1, 2, 3, 4	vtoclgf 2859	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801

This theorem is referenced by:  vtoclbg  2862  ceqex  2930  mo2icl  2982  nelrdva  3010  sbctt  3095  sbcnestgf  3176  csbing  3411  ifmdc  3645  prnzg  3792  sneqrg  3840  unisng  3905  csbopabg  4162  trss  4191  inex1g  4220  ssexg  4223  pwexg  4264  prexg  4295  opth  4323  ordelord  4472  uniexg  4530  vtoclr  4767  resieq  5015  csbima12g  5089  dmsnsnsng  5206  iotaexab  5297  iota5  5300  csbiotag  5311  funmo  5333  fconstg  5524  funfveu  5642  funbrfv  5672  fnbrfvb  5674  fvelimab  5692  ssimaexg  5698  fvelrn  5768  isoselem  5950  csbriotag  5974  csbov123g  6046  ovg  6150  tfrexlem  6486  rdg0g  6540  ensn1g  6957  fundmeng  6968  xpdom2g  6999  phplem3g  7025  prcdnql  7682  prcunqu  7683  prdisj  7690  shftvalg  11362  shftval4g  11363  climshft  11830  telfsumo  11992  fsumparts  11996  lcmgcdlem  12614  fiinopn  14693  bdzfauscl  16308  bdinex1g  16319  bdssexg  16322  bj-prexg  16329  bj-uniexg  16336