Theorem vtoclg 2864

Description: Implicit substitution of a class expression for a setvar variable. (Contributed by NM, 17-Apr-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtoclg.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
vtoclg.2	⊢ 𝜑

Assertion

Ref	Expression
vtoclg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem vtoclg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2374	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfv 1576	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
3		vtoclg.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4		vtoclg.2	. 2 ⊢ 𝜑
5	1, 2, 3, 4	vtoclgf 2862	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1397   ∈ wcel 2202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 716  ax-5 1495  ax-7 1496  ax-gen 1497  ax-ie1 1541  ax-ie2 1542  ax-8 1552  ax-10 1553  ax-11 1554  ax-i12 1555  ax-bndl 1557  ax-4 1558  ax-17 1574  ax-i9 1578  ax-ial 1582  ax-i5r 1583  ax-ext 2213

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1400  df-nf 1509  df-sb 1811  df-clab 2218  df-cleq 2224  df-clel 2227  df-nfc 2363  df-v 2804

This theorem is referenced by:  vtoclbg  2865  ceqex  2933  mo2icl  2985  nelrdva  3013  sbctt  3098  sbcnestgf  3179  csbing  3414  ifmdc  3648  prnzg  3797  sneqrg  3845  unisng  3910  csbopabg  4167  trss  4196  inex1g  4225  ssexg  4228  pwexg  4270  prexg  4301  opth  4329  ordelord  4478  uniexg  4536  vtoclr  4774  resieq  5023  csbima12g  5097  dmsnsnsng  5214  iotaexab  5305  iota5  5308  csbiotag  5319  funmo  5341  fconstg  5533  funfveu  5652  funbrfv  5682  fnbrfvb  5684  fvelimab  5702  ssimaexg  5708  fvelrn  5778  isoselem  5960  csbriotag  5984  csbov123g  6056  ovg  6160  tfrexlem  6499  rdg0g  6553  ensn1g  6970  fundmeng  6981  xpdom2g  7015  phplem3g  7041  prcdnql  7703  prcunqu  7704  prdisj  7711  shftvalg  11396  shftval4g  11397  climshft  11864  telfsumo  12026  fsumparts  12030  lcmgcdlem  12648  fiinopn  14727  bdzfauscl  16485  bdinex1g  16496  bdssexg  16499  bj-prexg  16506  bj-uniexg  16513