Theorem vtoclg 2833

Description: Implicit substitution of a class expression for a setvar variable. (Contributed by NM, 17-Apr-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtoclg.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
vtoclg.2	⊢ 𝜑

Assertion

Ref	Expression
vtoclg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem vtoclg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2348	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfv 1551	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
3		vtoclg.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4		vtoclg.2	. 2 ⊢ 𝜑
5	1, 2, 3, 4	vtoclgf 2831	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1373   ∈ wcel 2176

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 711  ax-5 1470  ax-7 1471  ax-gen 1472  ax-ie1 1516  ax-ie2 1517  ax-8 1527  ax-10 1528  ax-11 1529  ax-i12 1530  ax-bndl 1532  ax-4 1533  ax-17 1549  ax-i9 1553  ax-ial 1557  ax-i5r 1558  ax-ext 2187

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1376  df-nf 1484  df-sb 1786  df-clab 2192  df-cleq 2198  df-clel 2201  df-nfc 2337  df-v 2774

This theorem is referenced by:  vtoclbg  2834  ceqex  2900  mo2icl  2952  nelrdva  2980  sbctt  3065  sbcnestgf  3145  csbing  3380  ifmdc  3612  prnzg  3757  sneqrg  3803  unisng  3867  csbopabg  4122  trss  4151  inex1g  4180  ssexg  4183  pwexg  4224  prexg  4255  opth  4281  ordelord  4428  uniexg  4486  vtoclr  4723  resieq  4969  csbima12g  5043  dmsnsnsng  5160  iotaexab  5250  iota5  5253  csbiotag  5264  funmo  5286  fconstg  5472  funfveu  5589  funbrfv  5617  fnbrfvb  5619  fvelimab  5635  ssimaexg  5641  fvelrn  5711  isoselem  5889  csbriotag  5912  csbov123g  5983  ovg  6085  tfrexlem  6420  rdg0g  6474  ensn1g  6889  fundmeng  6899  xpdom2g  6927  phplem3g  6953  prcdnql  7597  prcunqu  7598  prdisj  7605  shftvalg  11147  shftval4g  11148  climshft  11615  telfsumo  11777  fsumparts  11781  lcmgcdlem  12399  fiinopn  14476  bdzfauscl  15826  bdinex1g  15837  bdssexg  15840  bj-prexg  15847  bj-uniexg  15854