Theorem vtoclg 2797

Description: Implicit substitution of a class expression for a setvar variable. (Contributed by NM, 17-Apr-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtoclg.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
vtoclg.2	⊢ 𝜑

Assertion

Ref	Expression
vtoclg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem vtoclg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2319	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfv 1528	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
3		vtoclg.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4		vtoclg.2	. 2 ⊢ 𝜑
5	1, 2, 3, 4	vtoclgf 2795	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1353   ∈ wcel 2148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-ext 2159

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1356  df-nf 1461  df-sb 1763  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-v 2739

This theorem is referenced by:  vtoclbg  2798  ceqex  2864  mo2icl  2916  nelrdva  2944  sbctt  3029  sbcnestgf  3108  csbing  3342  ifmdc  3574  prnzg  3716  sneqrg  3762  unisng  3826  csbopabg  4081  trss  4110  inex1g  4139  ssexg  4142  pwexg  4180  prexg  4211  opth  4237  ordelord  4381  uniexg  4439  vtoclr  4674  resieq  4917  csbima12g  4989  dmsnsnsng  5106  iota5  5198  csbiotag  5209  funmo  5231  fconstg  5412  funfveu  5528  funbrfv  5554  fnbrfvb  5556  fvelimab  5572  ssimaexg  5578  fvelrn  5647  isoselem  5820  csbriotag  5842  csbov123g  5912  ovg  6012  tfrexlem  6334  rdg0g  6388  ensn1g  6796  fundmeng  6806  xpdom2g  6831  phplem3g  6855  prcdnql  7482  prcunqu  7483  prdisj  7490  shftvalg  10844  shftval4g  10845  climshft  11311  telfsumo  11473  fsumparts  11477  lcmgcdlem  12076  fiinopn  13474  bdzfauscl  14612  bdinex1g  14623  bdssexg  14626  bj-prexg  14633  bj-uniexg  14640