Theorem vtoclg 2749

Description: Implicit substitution of a class expression for a setvar variable. (Contributed by NM, 17-Apr-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtoclg.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
vtoclg.2	⊢ 𝜑

Assertion

Ref	Expression
vtoclg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem vtoclg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2282	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfv 1509	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
3		vtoclg.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4		vtoclg.2	. 2 ⊢ 𝜑
5	1, 2, 3, 4	vtoclgf 2747	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 104   = wceq 1332   ∈ wcel 1481

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 105  ax-ia2 106  ax-ia3 107  ax-io 699  ax-5 1424  ax-7 1425  ax-gen 1426  ax-ie1 1470  ax-ie2 1471  ax-8 1483  ax-10 1484  ax-11 1485  ax-i12 1486  ax-bndl 1487  ax-4 1488  ax-17 1507  ax-i9 1511  ax-ial 1515  ax-i5r 1516  ax-ext 2122

This theorem depends on definitions:  df-bi 116  df-tru 1335  df-nf 1438  df-sb 1737  df-clab 2127  df-cleq 2133  df-clel 2136  df-nfc 2271  df-v 2691

This theorem is referenced by:  vtoclbg  2750  ceqex  2816  mo2icl  2867  nelrdva  2895  sbctt  2979  sbcnestgf  3056  csbing  3288  ifmdc  3514  prnzg  3655  sneqrg  3697  unisng  3761  csbopabg  4014  trss  4043  inex1g  4072  ssexg  4075  pwexg  4112  prexg  4141  opth  4167  ordelord  4311  uniexg  4369  vtoclr  4595  resieq  4837  csbima12g  4908  dmsnsnsng  5024  iota5  5116  csbiotag  5124  funmo  5146  fconstg  5327  funfveu  5442  funbrfv  5468  fnbrfvb  5470  fvelimab  5485  ssimaexg  5491  fvelrn  5559  isoselem  5729  csbriotag  5750  csbov123g  5817  ovg  5917  tfrexlem  6239  rdg0g  6293  ensn1g  6699  fundmeng  6709  xpdom2g  6734  phplem3g  6758  prcdnql  7316  prcunqu  7317  prdisj  7324  shftvalg  10640  shftval4g  10641  climshft  11105  telfsumo  11267  fsumparts  11271  lcmgcdlem  11794  fiinopn  12210  bdzfauscl  13259  bdinex1g  13270  bdssexg  13273  bj-prexg  13280  bj-uniexg  13287