Theorem vtoclg 2861

Description: Implicit substitution of a class expression for a setvar variable. (Contributed by NM, 17-Apr-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtoclg.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
vtoclg.2	⊢ 𝜑

Assertion

Ref	Expression
vtoclg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem vtoclg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2372	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfv 1574	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
3		vtoclg.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4		vtoclg.2	. 2 ⊢ 𝜑
5	1, 2, 3, 4	vtoclgf 2859	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2801

This theorem is referenced by:  vtoclbg  2862  ceqex  2930  mo2icl  2982  nelrdva  3010  sbctt  3095  sbcnestgf  3176  csbing  3411  ifmdc  3645  prnzg  3792  sneqrg  3840  unisng  3905  csbopabg  4162  trss  4191  inex1g  4220  ssexg  4223  pwexg  4265  prexg  4296  opth  4324  ordelord  4473  uniexg  4531  vtoclr  4769  resieq  5018  csbima12g  5092  dmsnsnsng  5209  iotaexab  5300  iota5  5303  csbiotag  5314  funmo  5336  fconstg  5527  funfveu  5645  funbrfv  5675  fnbrfvb  5677  fvelimab  5695  ssimaexg  5701  fvelrn  5771  isoselem  5953  csbriotag  5977  csbov123g  6049  ovg  6153  tfrexlem  6491  rdg0g  6545  ensn1g  6962  fundmeng  6973  xpdom2g  7004  phplem3g  7030  prcdnql  7687  prcunqu  7688  prdisj  7695  shftvalg  11368  shftval4g  11369  climshft  11836  telfsumo  11998  fsumparts  12002  lcmgcdlem  12620  fiinopn  14699  bdzfauscl  16362  bdinex1g  16373  bdssexg  16376  bj-prexg  16383  bj-uniexg  16390