Theorem vtoclg 2862

Description: Implicit substitution of a class expression for a setvar variable. (Contributed by NM, 17-Apr-1995.)

Hypotheses

Ref	Expression
vtoclg.1	⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
vtoclg.2	⊢ 𝜑

Assertion

Ref	Expression
vtoclg	⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝜓)

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝜓,𝑥

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem vtoclg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfcv 2372	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝐴
2		nfv 1574	. 2 ⊢ Ⅎ𝑥𝜓
3		vtoclg.1	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝜑 ↔ 𝜓))
4		vtoclg.2	. 2 ⊢ 𝜑
5	1, 2, 3, 4	vtoclgf 2860	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → 𝜓)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 105   = wceq 1395   ∈ wcel 2200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-io 714  ax-5 1493  ax-7 1494  ax-gen 1495  ax-ie1 1539  ax-ie2 1540  ax-8 1550  ax-10 1551  ax-11 1552  ax-i12 1553  ax-bndl 1555  ax-4 1556  ax-17 1572  ax-i9 1576  ax-ial 1580  ax-i5r 1581  ax-ext 2211

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-tru 1398  df-nf 1507  df-sb 1809  df-clab 2216  df-cleq 2222  df-clel 2225  df-nfc 2361  df-v 2802

This theorem is referenced by:  vtoclbg  2863  ceqex  2931  mo2icl  2983  nelrdva  3011  sbctt  3096  sbcnestgf  3177  csbing  3412  ifmdc  3646  prnzg  3795  sneqrg  3843  unisng  3908  csbopabg  4165  trss  4194  inex1g  4223  ssexg  4226  pwexg  4268  prexg  4299  opth  4327  ordelord  4476  uniexg  4534  vtoclr  4772  resieq  5021  csbima12g  5095  dmsnsnsng  5212  iotaexab  5303  iota5  5306  csbiotag  5317  funmo  5339  fconstg  5530  funfveu  5648  funbrfv  5678  fnbrfvb  5680  fvelimab  5698  ssimaexg  5704  fvelrn  5774  isoselem  5956  csbriotag  5980  csbov123g  6052  ovg  6156  tfrexlem  6495  rdg0g  6549  ensn1g  6966  fundmeng  6977  xpdom2g  7011  phplem3g  7037  prcdnql  7694  prcunqu  7695  prdisj  7702  shftvalg  11387  shftval4g  11388  climshft  11855  telfsumo  12017  fsumparts  12021  lcmgcdlem  12639  fiinopn  14718  bdzfauscl  16421  bdinex1g  16432  bdssexg  16435  bj-prexg  16442  bj-uniexg  16449