Theorem letrid 8436

Description: Tightness of real apartness. (Contributed by Matthew House, 28-Jun-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
letrid.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
letrid.4	⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
letrid	⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Proof of Theorem letrid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		letrid.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		letrid.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ≤ 𝐴)
3		ltd.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		ltd.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
5	3, 4	letri3d 8435	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝐴)))
6	1, 2, 5	mpbir2and 957	1 ⊢ (𝜑 → 𝐴 = 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1402   ∈ wcel 2209   class class class wbr 4128  ℝcr 8172   ≤ cle 8355

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-sep 4247  ax-pow 4309  ax-pr 4344  ax-un 4576  ax-setind 4682  ax-cnex 8264  ax-resscn 8265  ax-pre-ltirr 8285  ax-pre-apti 8288

This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-rab 2537  df-v 2823  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-pw 3690  df-sn 3714  df-pr 3715  df-op 3717  df-uni 3934  df-br 4129  df-opab 4191  df-xp 4778  df-cnv 4780  df-pnf 8356  df-mnf 8357  df-xr 8358  df-ltxr 8359  df-le 8360

This theorem is referenced by:  dichmul0orlem1  16736