HomeHome Intuitionistic Logic Explorer
Theorem List (p. 85 of 149)
< Previous  Next >
Bad symbols? Try the
GIF version.

Mirrors  >  Metamath Home Page  >  ILE Home Page  >  Theorem List Contents  >  Recent Proofs       This page: Page List

Theorem List for Intuitionistic Logic Explorer - 8401-8500   *Has distinct variable group(s)
TypeLabelDescription
Statement
 
Theoremlt2add 8401 Adding both sides of two 'less than' relations. Theorem I.25 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 15-Aug-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ท) โ†’ (๐ด + ๐ต) < (๐ถ + ๐ท)))
 
Theoremltleadd 8402 Adding both sides of two orderings. (Contributed by NM, 23-Dec-2007.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ด + ๐ต) < (๐ถ + ๐ท)))
 
Theoremleltadd 8403 Adding both sides of two orderings. (Contributed by NM, 15-Aug-2008.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ด โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ท) โ†’ (๐ด + ๐ต) < (๐ถ + ๐ท)))
 
Theoremaddgt0 8404 The sum of 2 positive numbers is positive. (Contributed by NM, 1-Jun-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 < (๐ด + ๐ต))
 
Theoremaddgegt0 8405 The sum of nonnegative and positive numbers is positive. (Contributed by NM, 28-Dec-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 < ๐ต)) โ†’ 0 < (๐ด + ๐ต))
 
Theoremaddgtge0 8406 The sum of nonnegative and positive numbers is positive. (Contributed by NM, 28-Dec-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 < ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 < (๐ด + ๐ต))
 
Theoremaddge0 8407 The sum of 2 nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by NM, 17-Mar-2005.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด + ๐ต))
 
Theoremltaddpos 8408 Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 < ๐ด โ†” ๐ต < (๐ต + ๐ด)))
 
Theoremltaddpos2 8409 Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by NM, 8-Apr-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 < ๐ด โ†” ๐ต < (๐ด + ๐ต)))
 
Theoremltsubpos 8410 Subtracting a positive number from another number decreases it. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 < ๐ด โ†” (๐ต โˆ’ ๐ด) < ๐ต))
 
Theoremposdif 8411 Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by NM, 17-Nov-2004.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” 0 < (๐ต โˆ’ ๐ด)))
 
Theoremlesub1 8412 Subtraction from both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 13-May-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ด โˆ’ ๐ถ) โ‰ค (๐ต โˆ’ ๐ถ)))
 
Theoremlesub2 8413 Subtraction of both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 29-Sep-2005.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ถ โˆ’ ๐ต) โ‰ค (๐ถ โˆ’ ๐ด)))
 
Theoremltsub1 8414 Subtraction from both sides of 'less than'. (Contributed by FL, 3-Jan-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด โˆ’ ๐ถ) < (๐ต โˆ’ ๐ถ)))
 
Theoremltsub2 8415 Subtraction of both sides of 'less than'. (Contributed by NM, 29-Sep-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ถ โˆ’ ๐ต) < (๐ถ โˆ’ ๐ด)))
 
Theoremlt2sub 8416 Subtracting both sides of two 'less than' relations. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ด < ๐ถ โˆง ๐ท < ๐ต) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) < (๐ถ โˆ’ ๐ท)))
 
Theoremle2sub 8417 Subtracting both sides of two 'less than or equal to' relations. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Apr-2016.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐ด โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ท โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐ด โˆ’ ๐ต) โ‰ค (๐ถ โˆ’ ๐ท)))
 
Theoremltneg 8418 Negative of both sides of 'less than'. Theorem I.23 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 27-Aug-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” -๐ต < -๐ด))
 
Theoremltnegcon1 8419 Contraposition of negative in 'less than'. (Contributed by NM, 8-Nov-2004.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (-๐ด < ๐ต โ†” -๐ต < ๐ด))
 
Theoremltnegcon2 8420 Contraposition of negative in 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Feb-2015.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด < -๐ต โ†” ๐ต < -๐ด))
 
Theoremleneg 8421 Negative of both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 12-Sep-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” -๐ต โ‰ค -๐ด))
 
Theoremlenegcon1 8422 Contraposition of negative in 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 10-May-2004.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (-๐ด โ‰ค ๐ต โ†” -๐ต โ‰ค ๐ด))
 
Theoremlenegcon2 8423 Contraposition of negative in 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 8-Oct-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด โ‰ค -๐ต โ†” ๐ต โ‰ค -๐ด))
 
Theoremlt0neg1 8424 Comparison of a number and its negative to zero. Theorem I.23 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)
(๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด < 0 โ†” 0 < -๐ด))
 
Theoremlt0neg2 8425 Comparison of a number and its negative to zero. (Contributed by NM, 10-May-2004.)
(๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (0 < ๐ด โ†” -๐ด < 0))
 
Theoremle0neg1 8426 Comparison of a number and its negative to zero. (Contributed by NM, 10-May-2004.)
(๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (๐ด โ‰ค 0 โ†” 0 โ‰ค -๐ด))
 
Theoremle0neg2 8427 Comparison of a number and its negative to zero. (Contributed by NM, 24-Aug-1999.)
(๐ด โˆˆ โ„ โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โ†” -๐ด โ‰ค 0))
 
Theoremaddge01 8428 A number is less than or equal to itself plus a nonnegative number. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค ๐ต โ†” ๐ด โ‰ค (๐ด + ๐ต)))
 
Theoremaddge02 8429 A number is less than or equal to itself plus a nonnegative number. (Contributed by NM, 27-Jul-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค ๐ต โ†” ๐ด โ‰ค (๐ต + ๐ด)))
 
Theoremadd20 8430 Two nonnegative numbers are zero iff their sum is zero. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ต)) โ†’ ((๐ด + ๐ต) = 0 โ†” (๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0)))
 
Theoremsubge0 8431 Nonnegative subtraction. (Contributed by NM, 14-Mar-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค (๐ด โˆ’ ๐ต) โ†” ๐ต โ‰ค ๐ด))
 
Theoremsuble0 8432 Nonpositive subtraction. (Contributed by NM, 20-Mar-2008.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) โ‰ค 0 โ†” ๐ด โ‰ค ๐ต))
 
Theoremleaddle0 8433 The sum of a real number and a second real number is less then the real number iff the second real number is negative. (Contributed by Alexander van der Vekens, 30-May-2018.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((๐ด + ๐ต) โ‰ค ๐ด โ†” ๐ต โ‰ค 0))
 
Theoremsubge02 8434 Nonnegative subtraction. (Contributed by NM, 27-Jul-2005.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (0 โ‰ค ๐ต โ†” (๐ด โˆ’ ๐ต) โ‰ค ๐ด))
 
Theoremlesub0 8435 Lemma to show a nonnegative number is zero. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ ((0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ต โ‰ค (๐ต โˆ’ ๐ด)) โ†” ๐ด = 0))
 
Theoremmullt0 8436 The product of two negative numbers is positive. (Contributed by Jeff Hankins, 8-Jun-2009.)
(((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ด < 0) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ต < 0)) โ†’ 0 < (๐ด ยท ๐ต))
 
Theorem0le1 8437 0 is less than or equal to 1. (Contributed by Mario Carneiro, 29-Apr-2015.)
0 โ‰ค 1
 
Theoremltordlem 8438* Lemma for eqord1 8439. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
(๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐ด = ๐ต)    &   (๐‘ฅ = ๐ถ โ†’ ๐ด = ๐‘€)    &   (๐‘ฅ = ๐ท โ†’ ๐ด = ๐‘)    &   ๐‘† โŠ† โ„    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ฅ < ๐‘ฆ โ†’ ๐ด < ๐ต))    โ‡’   ((๐œ‘ โˆง (๐ถ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐ถ < ๐ท โ†’ ๐‘€ < ๐‘))
 
Theoremeqord1 8439* A strictly increasing real function on a subset of โ„ is one-to-one. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.) (Revised by Jim Kingdon, 20-Dec-2022.)
(๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐ด = ๐ต)    &   (๐‘ฅ = ๐ถ โ†’ ๐ด = ๐‘€)    &   (๐‘ฅ = ๐ท โ†’ ๐ด = ๐‘)    &   ๐‘† โŠ† โ„    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ฅ < ๐‘ฆ โ†’ ๐ด < ๐ต))    โ‡’   ((๐œ‘ โˆง (๐ถ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐ถ = ๐ท โ†” ๐‘€ = ๐‘))
 
Theoremeqord2 8440* A strictly decreasing real function on a subset of โ„ is one-to-one. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Jun-2014.)
(๐‘ฅ = ๐‘ฆ โ†’ ๐ด = ๐ต)    &   (๐‘ฅ = ๐ถ โ†’ ๐ด = ๐‘€)    &   (๐‘ฅ = ๐ท โ†’ ๐ด = ๐‘)    &   ๐‘† โŠ† โ„    &   ((๐œ‘ โˆง ๐‘ฅ โˆˆ ๐‘†) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   ((๐œ‘ โˆง (๐‘ฅ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐‘ฆ โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐‘ฅ < ๐‘ฆ โ†’ ๐ต < ๐ด))    โ‡’   ((๐œ‘ โˆง (๐ถ โˆˆ ๐‘† โˆง ๐ท โˆˆ ๐‘†)) โ†’ (๐ถ = ๐ท โ†” ๐‘€ = ๐‘))
 
Theoremleidi 8441 'Less than or equal to' is reflexive. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    โ‡’   ๐ด โ‰ค ๐ด
 
Theoremgt0ne0i 8442 Positive means nonzero (useful for ordering theorems involving division). (Contributed by NM, 16-Sep-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    โ‡’   (0 < ๐ด โ†’ ๐ด โ‰  0)
 
Theoremgt0ne0ii 8443 Positive implies nonzero. (Contributed by NM, 15-May-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   0 < ๐ด    โ‡’   ๐ด โ‰  0
 
Theoremaddgt0i 8444 Addition of 2 positive numbers is positive. (Contributed by NM, 16-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    โ‡’   ((0 < ๐ด โˆง 0 < ๐ต) โ†’ 0 < (๐ด + ๐ต))
 
Theoremaddge0i 8445 Addition of 2 nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by NM, 28-May-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    โ‡’   ((0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โ†’ 0 โ‰ค (๐ด + ๐ต))
 
Theoremaddgegt0i 8446 Addition of nonnegative and positive numbers is positive. (Contributed by NM, 25-Sep-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    โ‡’   ((0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 < ๐ต) โ†’ 0 < (๐ด + ๐ต))
 
Theoremaddgt0ii 8447 Addition of 2 positive numbers is positive. (Contributed by NM, 18-May-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    &   0 < ๐ด    &   0 < ๐ต    โ‡’   0 < (๐ด + ๐ต)
 
Theoremadd20i 8448 Two nonnegative numbers are zero iff their sum is zero. (Contributed by NM, 28-Jul-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    โ‡’   ((0 โ‰ค ๐ด โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โ†’ ((๐ด + ๐ต) = 0 โ†” (๐ด = 0 โˆง ๐ต = 0)))
 
Theoremltnegi 8449 Negative of both sides of 'less than'. Theorem I.23 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    โ‡’   (๐ด < ๐ต โ†” -๐ต < -๐ด)
 
Theoremlenegi 8450 Negative of both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 1-Aug-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    โ‡’   (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” -๐ต โ‰ค -๐ด)
 
Theoremltnegcon2i 8451 Contraposition of negative in 'less than'. (Contributed by NM, 14-May-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    โ‡’   (๐ด < -๐ต โ†” ๐ต < -๐ด)
 
Theoremlesub0i 8452 Lemma to show a nonnegative number is zero. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    โ‡’   ((0 โ‰ค ๐ด โˆง ๐ต โ‰ค (๐ต โˆ’ ๐ด)) โ†” ๐ด = 0)
 
Theoremltaddposi 8453 Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by NM, 25-Aug-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    โ‡’   (0 < ๐ด โ†” ๐ต < (๐ต + ๐ด))
 
Theoremposdifi 8454 Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by NM, 19-Aug-2001.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    โ‡’   (๐ด < ๐ต โ†” 0 < (๐ต โˆ’ ๐ด))
 
Theoremltnegcon1i 8455 Contraposition of negative in 'less than'. (Contributed by NM, 14-May-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    โ‡’   (-๐ด < ๐ต โ†” -๐ต < ๐ด)
 
Theoremlenegcon1i 8456 Contraposition of negative in 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 6-Apr-2005.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    โ‡’   (-๐ด โ‰ค ๐ต โ†” -๐ต โ‰ค ๐ด)
 
Theoremsubge0i 8457 Nonnegative subtraction. (Contributed by NM, 13-Aug-2000.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    โ‡’   (0 โ‰ค (๐ด โˆ’ ๐ต) โ†” ๐ต โ‰ค ๐ด)
 
Theoremltadd1i 8458 Addition to both sides of 'less than'. Theorem I.18 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    &   ๐ถ โˆˆ โ„    โ‡’   (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด + ๐ถ) < (๐ต + ๐ถ))
 
Theoremleadd1i 8459 Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 11-Aug-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    &   ๐ถ โˆˆ โ„    โ‡’   (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ด + ๐ถ) โ‰ค (๐ต + ๐ถ))
 
Theoremleadd2i 8460 Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by NM, 11-Aug-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    &   ๐ถ โˆˆ โ„    โ‡’   (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ถ + ๐ด) โ‰ค (๐ถ + ๐ต))
 
Theoremltsubaddi 8461 'Less than' relationship between subtraction and addition. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    &   ๐ถ โˆˆ โ„    โ‡’   ((๐ด โˆ’ ๐ต) < ๐ถ โ†” ๐ด < (๐ถ + ๐ต))
 
Theoremlesubaddi 8462 'Less than or equal to' relationship between subtraction and addition. (Contributed by NM, 30-Sep-1999.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 19-Nov-2011.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    &   ๐ถ โˆˆ โ„    โ‡’   ((๐ด โˆ’ ๐ต) โ‰ค ๐ถ โ†” ๐ด โ‰ค (๐ถ + ๐ต))
 
Theoremltsubadd2i 8463 'Less than' relationship between subtraction and addition. (Contributed by NM, 21-Jan-1997.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    &   ๐ถ โˆˆ โ„    โ‡’   ((๐ด โˆ’ ๐ต) < ๐ถ โ†” ๐ด < (๐ต + ๐ถ))
 
Theoremlesubadd2i 8464 'Less than or equal to' relationship between subtraction and addition. (Contributed by NM, 3-Aug-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    &   ๐ถ โˆˆ โ„    โ‡’   ((๐ด โˆ’ ๐ต) โ‰ค ๐ถ โ†” ๐ด โ‰ค (๐ต + ๐ถ))
 
Theoremltaddsubi 8465 'Less than' relationship between subtraction and addition. (Contributed by NM, 14-May-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    &   ๐ถ โˆˆ โ„    โ‡’   ((๐ด + ๐ต) < ๐ถ โ†” ๐ด < (๐ถ โˆ’ ๐ต))
 
Theoremlt2addi 8466 Adding both side of two inequalities. Theorem I.25 of [Apostol] p. 20. (Contributed by NM, 14-May-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    &   ๐ถ โˆˆ โ„    &   ๐ท โˆˆ โ„    โ‡’   ((๐ด < ๐ถ โˆง ๐ต < ๐ท) โ†’ (๐ด + ๐ต) < (๐ถ + ๐ท))
 
Theoremle2addi 8467 Adding both side of two inequalities. (Contributed by NM, 16-Sep-1999.)
๐ด โˆˆ โ„    &   ๐ต โˆˆ โ„    &   ๐ถ โˆˆ โ„    &   ๐ท โˆˆ โ„    โ‡’   ((๐ด โ‰ค ๐ถ โˆง ๐ต โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ด + ๐ต) โ‰ค (๐ถ + ๐ท))
 
Theoremgt0ne0d 8468 Positive implies nonzero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ด)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  0)
 
Theoremlt0ne0d 8469 Something less than zero is not zero. Deduction form. See also lt0ap0d 8605 which is similar but for apartness. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด < 0)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰  0)
 
Theoremleidd 8470 'Less than or equal to' is reflexive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ด)
 
Theoremlt0neg1d 8471 Comparison of a number and its negative to zero. Theorem I.23 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด < 0 โ†” 0 < -๐ด))
 
Theoremlt0neg2d 8472 Comparison of a number and its negative to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (0 < ๐ด โ†” -๐ด < 0))
 
Theoremle0neg1d 8473 Comparison of a number and its negative to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ‰ค 0 โ†” 0 โ‰ค -๐ด))
 
Theoremle0neg2d 8474 Comparison of a number and its negative to zero. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค ๐ด โ†” -๐ด โ‰ค 0))
 
Theoremaddgegt0d 8475 Addition of nonnegative and positive numbers is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ 0 < (๐ด + ๐ต))
 
Theoremaddgtge0d 8476 Addition of positive and nonnegative numbers is positive. (Contributed by Asger C. Ipsen, 12-May-2021.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ 0 < (๐ด + ๐ต))
 
Theoremaddgt0d 8477 Addition of 2 positive numbers is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ 0 < ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ 0 < (๐ด + ๐ต))
 
Theoremaddge0d 8478 Addition of 2 nonnegative numbers is nonnegative. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)    &   (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค (๐ด + ๐ต))
 
Theoremltnegd 8479 Negative of both sides of 'less than'. Theorem I.23 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” -๐ต < -๐ด))
 
Theoremlenegd 8480 Negative of both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” -๐ต โ‰ค -๐ด))
 
Theoremltnegcon1d 8481 Contraposition of negative in 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ -๐ด < ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ -๐ต < ๐ด)
 
Theoremltnegcon2d 8482 Contraposition of negative in 'less than'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด < -๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ต < -๐ด)
 
Theoremlenegcon1d 8483 Contraposition of negative in 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ -๐ด โ‰ค ๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ -๐ต โ‰ค ๐ด)
 
Theoremlenegcon2d 8484 Contraposition of negative in 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค -๐ต)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โ‰ค -๐ด)
 
Theoremltaddposd 8485 Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (0 < ๐ด โ†” ๐ต < (๐ต + ๐ด)))
 
Theoremltaddpos2d 8486 Adding a positive number to another number increases it. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (0 < ๐ด โ†” ๐ต < (๐ด + ๐ต)))
 
Theoremltsubposd 8487 Subtracting a positive number from another number decreases it. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (0 < ๐ด โ†” (๐ต โˆ’ ๐ด) < ๐ต))
 
Theoremposdifd 8488 Comparison of two numbers whose difference is positive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” 0 < (๐ต โˆ’ ๐ด)))
 
Theoremaddge01d 8489 A number is less than or equal to itself plus a nonnegative number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค ๐ต โ†” ๐ด โ‰ค (๐ด + ๐ต)))
 
Theoremaddge02d 8490 A number is less than or equal to itself plus a nonnegative number. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค ๐ต โ†” ๐ด โ‰ค (๐ต + ๐ด)))
 
Theoremsubge0d 8491 Nonnegative subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค (๐ด โˆ’ ๐ต) โ†” ๐ต โ‰ค ๐ด))
 
Theoremsuble0d 8492 Nonpositive subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) โ‰ค 0 โ†” ๐ด โ‰ค ๐ต))
 
Theoremsubge02d 8493 Nonnegative subtraction. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (0 โ‰ค ๐ต โ†” (๐ด โˆ’ ๐ต) โ‰ค ๐ด))
 
Theoremltadd1d 8494 Addition to both sides of 'less than'. Theorem I.18 of [Apostol] p. 20. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด < ๐ต โ†” (๐ด + ๐ถ) < (๐ต + ๐ถ)))
 
Theoremleadd1d 8495 Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ด + ๐ถ) โ‰ค (๐ต + ๐ถ)))
 
Theoremleadd2d 8496 Addition to both sides of 'less than or equal to'. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†” (๐ถ + ๐ด) โ‰ค (๐ถ + ๐ต)))
 
Theoremltsubaddd 8497 'Less than' relationship between subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) < ๐ถ โ†” ๐ด < (๐ถ + ๐ต)))
 
Theoremlesubaddd 8498 'Less than or equal to' relationship between subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) โ‰ค ๐ถ โ†” ๐ด โ‰ค (๐ถ + ๐ต)))
 
Theoremltsubadd2d 8499 'Less than' relationship between subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) < ๐ถ โ†” ๐ด < (๐ต + ๐ถ)))
 
Theoremlesubadd2d 8500 'Less than or equal to' relationship between subtraction and addition. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
(๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)    &   (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)    โ‡’   (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โˆ’ ๐ต) โ‰ค ๐ถ โ†” ๐ด โ‰ค (๐ต + ๐ถ)))
    < Previous  Next >

Page List
Jump to page: Contents  1 1-100 2 101-200 3 201-300 4 301-400 5 401-500 6 501-600 7 601-700 8 701-800 9 801-900 10 901-1000 11 1001-1100 12 1101-1200 13 1201-1300 14 1301-1400 15 1401-1500 16 1501-1600 17 1601-1700 18 1701-1800 19 1801-1900 20 1901-2000 21 2001-2100 22 2101-2200 23 2201-2300 24 2301-2400 25 2401-2500 26 2501-2600 27 2601-2700 28 2701-2800 29 2801-2900 30 2901-3000 31 3001-3100 32 3101-3200 33 3201-3300 34 3301-3400 35 3401-3500 36 3501-3600 37 3601-3700 38 3701-3800 39 3801-3900 40 3901-4000 41 4001-4100 42 4101-4200 43 4201-4300 44 4301-4400 45 4401-4500 46 4501-4600 47 4601-4700 48 4701-4800 49 4801-4900 50 4901-5000 51 5001-5100 52 5101-5200 53 5201-5300 54 5301-5400 55 5401-5500 56 5501-5600 57 5601-5700 58 5701-5800 59 5801-5900 60 5901-6000 61 6001-6100 62 6101-6200 63 6201-6300 64 6301-6400 65 6401-6500 66 6501-6600 67 6601-6700 68 6701-6800 69 6801-6900 70 6901-7000 71 7001-7100 72 7101-7200 73 7201-7300 74 7301-7400 75 7401-7500 76 7501-7600 77 7601-7700 78 7701-7800 79 7801-7900 80 7901-8000 81 8001-8100 82 8101-8200 83 8201-8300 84 8301-8400 85 8401-8500 86 8501-8600 87 8601-8700 88 8701-8800 89 8801-8900 90 8901-9000 91 9001-9100 92 9101-9200 93 9201-9300 94 9301-9400 95 9401-9500 96 9501-9600 97 9601-9700 98 9701-9800 99 9801-9900 100 9901-10000 101 10001-10100 102 10101-10200 103 10201-10300 104 10301-10400 105 10401-10500 106 10501-10600 107 10601-10700 108 10701-10800 109 10801-10900 110 10901-11000 111 11001-11100 112 11101-11200 113 11201-11300 114 11301-11400 115 11401-11500 116 11501-11600 117 11601-11700 118 11701-11800 119 11801-11900 120 11901-12000 121 12001-12100 122 12101-12200 123 12201-12300 124 12301-12400 125 12401-12500 126 12501-12600 127 12601-12700 128 12701-12800 129 12801-12900 130 12901-13000 131 13001-13100 132 13101-13200 133 13201-13300 134 13301-13400 135 13401-13500 136 13501-13600 137 13601-13700 138 13701-13800 139 13801-13900 140 13901-14000 141 14001-14100 142 14101-14200 143 14201-14300 144 14301-14400 145 14401-14500 146 14501-14600 147 14601-14700 148 14701-14800 149 14801-14801
  Copyright terms: Public domain < Previous  Next >