ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  letri3d GIF version

Theorem letri3d 8076
Description: Tightness of real apartness. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
ltd.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
letri3d (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))

Proof of Theorem letri3d
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltd.2 . 2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
3 letri3 8041 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
41, 2, 3syl2anc 411 1 (𝜑 → (𝐴 = 𝐵 ↔ (𝐴𝐵𝐵𝐴)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4  wa 104  wb 105   = wceq 1353  wcel 2148   class class class wbr 4005  cr 7813  cle 7996
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 614  ax-in2 615  ax-io 709  ax-5 1447  ax-7 1448  ax-gen 1449  ax-ie1 1493  ax-ie2 1494  ax-8 1504  ax-10 1505  ax-11 1506  ax-i12 1507  ax-bndl 1509  ax-4 1510  ax-17 1526  ax-i9 1530  ax-ial 1534  ax-i5r 1535  ax-13 2150  ax-14 2151  ax-ext 2159  ax-sep 4123  ax-pow 4176  ax-pr 4211  ax-un 4435  ax-setind 4538  ax-cnex 7905  ax-resscn 7906  ax-pre-ltirr 7926  ax-pre-apti 7929
This theorem depends on definitions:  df-bi 117  df-3an 980  df-tru 1356  df-fal 1359  df-nf 1461  df-sb 1763  df-eu 2029  df-mo 2030  df-clab 2164  df-cleq 2170  df-clel 2173  df-nfc 2308  df-ne 2348  df-nel 2443  df-ral 2460  df-rex 2461  df-rab 2464  df-v 2741  df-dif 3133  df-un 3135  df-in 3137  df-ss 3144  df-pw 3579  df-sn 3600  df-pr 3601  df-op 3603  df-uni 3812  df-br 4006  df-opab 4067  df-xp 4634  df-cnv 4636  df-pnf 7997  df-mnf 7998  df-xr 7999  df-ltxr 8000  df-le 8001
This theorem is referenced by:  ltntri  8088  add20  8434  msq11  8862  squeeze0  8864  suprzclex  9354  exbtwnz  10254  flid  10287  expcan  10699  dfabsmax  11229  sumsnf  11420  prodsnf  11603  zssinfcl  11952  gcd0id  11983  gcdneg  11986  gcdaddm  11988  gcdzeq  12026  lcmneg  12077  coprmgcdb  12091  qredeq  12099  pw2dvdseu  12171  pcidlem  12325  pcgcd1  12330  zabsle1  14540  refeq  14916
  Copyright terms: Public domain W3C validator