Theorem pwbdvdseu 12966

Description: A natural number has a unique highest power of a base which divides it. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Nov-2021.) (Revised by Jim Kingdon, 18-Aug-2026.)

Assertion

Ref	Expression
pwbdvdseu	⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ∃!𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐵↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁))

Distinct variable groups:   𝑚,𝑁   𝐵,𝑚

Proof of Theorem pwbdvdseu

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		pwbdvds 12964	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ∃𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐵↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁))
2		simplrl 541	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((𝐵↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((𝐵↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → 𝑚 ∈ ℕ0)
3	2	nn0red 9626	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((𝐵↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((𝐵↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → 𝑚 ∈ ℝ)
4		simplrr 542	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((𝐵↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((𝐵↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → 𝑥 ∈ ℕ0)
5	4	nn0red 9626	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((𝐵↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((𝐵↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → 𝑥 ∈ ℝ)
6		simplll 539	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((𝐵↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((𝐵↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → 𝑁 ∈ ℕ)
7		eluz2nn 9976	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐵 ∈ (ℤ≥‘2) → 𝐵 ∈ ℕ)
8	7	ad3antlr 497	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((𝐵↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((𝐵↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → 𝐵 ∈ ℕ)
9		simprll 543	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((𝐵↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((𝐵↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → (𝐵↑𝑚) ∥ 𝑁)
10		simprrr 546	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((𝐵↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((𝐵↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → ¬ (𝐵↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁)
11	6, 2, 4, 8, 9, 10	pwbdvdseulemle 12965	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((𝐵↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((𝐵↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → 𝑚 ≤ 𝑥)
12		simprrl 545	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((𝐵↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((𝐵↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → (𝐵↑𝑥) ∥ 𝑁)
13		simprlr 544	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((𝐵↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((𝐵↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → ¬ (𝐵↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁)
14	6, 4, 2, 8, 12, 13	pwbdvdseulemle 12965	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((𝐵↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((𝐵↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → 𝑥 ≤ 𝑚)
15	3, 5, 11, 14	letrid 8444	. . . . 5 ⊢ ((((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) ∧ (((𝐵↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((𝐵↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))) → 𝑚 = 𝑥)
16	15	ex 115	. . . 4 ⊢ (((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) ∧ (𝑚 ∈ ℕ0 ∧ 𝑥 ∈ ℕ0)) → ((((𝐵↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((𝐵↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁)) → 𝑚 = 𝑥))
17	16	ralrimivva 2632	. . 3 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ∀𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((((𝐵↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((𝐵↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁)) → 𝑚 = 𝑥))
18		oveq2 6093	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (𝐵↑𝑚) = (𝐵↑𝑥))
19	18	breq1d 4140	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → ((𝐵↑𝑚) ∥ 𝑁 ↔ (𝐵↑𝑥) ∥ 𝑁))
20		oveq1 6092	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (𝑚 + 1) = (𝑥 + 1))
21	20	oveq2d 6101	. . . . . . 7 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (𝐵↑(𝑚 + 1)) = (𝐵↑(𝑥 + 1)))
22	21	breq1d 4140	. . . . . 6 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → ((𝐵↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁 ↔ (𝐵↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))
23	22	notbid 677	. . . . 5 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (¬ (𝐵↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁 ↔ ¬ (𝐵↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁))
24	19, 23	anbi12d 477	. . . 4 ⊢ (𝑚 = 𝑥 → (((𝐵↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ↔ ((𝐵↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁)))
25	24	rmo4 3019	. . 3 ⊢ (∃*𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐵↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ↔ ∀𝑚 ∈ ℕ0 ∀𝑥 ∈ ℕ0 ((((𝐵↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ((𝐵↑𝑥) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑥 + 1)) ∥ 𝑁)) → 𝑚 = 𝑥))
26	17, 25	sylibr 134	. 2 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ∃*𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐵↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁))
27		reu5 2770	. 2 ⊢ (∃!𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐵↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ↔ (∃𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐵↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁) ∧ ∃*𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐵↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁)))
28	1, 26, 27	sylanbrc 421	1 ⊢ ((𝑁 ∈ ℕ ∧ 𝐵 ∈ (ℤ≥‘2)) → ∃!𝑚 ∈ ℕ0 ((𝐵↑𝑚) ∥ 𝑁 ∧ ¬ (𝐵↑(𝑚 + 1)) ∥ 𝑁))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 104   ∈ wcel 2209  ∀wral 2528  ∃wrex 2529  ∃!wreu 2530  ∃*wrmo 2531   class class class wbr 4130  ‘cfv 5377  (class class class)co 6085  1c1 8181   + caddc 8183  ℕcn 9307  2c2 9358  ℕ₀cn0 9568  ℤ_≥cuz 9931  ↑cexp 10990   ∥ cdvds 12573

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-ia1 106  ax-ia2 107  ax-ia3 108  ax-in1 623  ax-in2 624  ax-io 721  ax-5 1500  ax-7 1501  ax-gen 1502  ax-ie1 1546  ax-ie2 1547  ax-8 1557  ax-10 1558  ax-11 1559  ax-i12 1560  ax-bndl 1562  ax-4 1563  ax-17 1579  ax-i9 1583  ax-ial 1587  ax-i5r 1588  ax-14 2212  ax-ext 2220  ax-coll 4246  ax-sep 4249  ax-nul 4259  ax-pow 4311  ax-pr 4346  ax-un 4578  ax-setind 4684  ax-iinf 4735  ax-cnex 8271  ax-resscn 8272  ax-1cn 8273  ax-1re 8274  ax-icn 8275  ax-addcl 8276  ax-addrcl 8277  ax-mulcl 8278  ax-mulrcl 8279  ax-addcom 8280  ax-mulcom 8281  ax-addass 8282  ax-mulass 8283  ax-distr 8284  ax-i2m1 8285  ax-0lt1 8286  ax-1rid 8287  ax-0id 8288  ax-rnegex 8289  ax-precex 8290  ax-cnre 8291  ax-pre-ltirr 8292  ax-pre-ltwlin 8293  ax-pre-lttrn 8294  ax-pre-apti 8295  ax-pre-ltadd 8296  ax-pre-mulgt0 8297  ax-pre-mulext 8298  ax-arch 8299

This proof depends on definitions:  df-bi 117  df-dc 847  df-3or 1010  df-3an 1011  df-tru 1405  df-fal 1408  df-nf 1514  df-sb 1816  df-eu 2089  df-mo 2090  df-clab 2225  df-cleq 2231  df-clel 2234  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2516  df-ral 2533  df-rex 2534  df-reu 2535  df-rmo 2536  df-rab 2537  df-v 2823  df-sbc 3052  df-csb 3148  df-dif 3222  df-un 3224  df-in 3226  df-ss 3233  df-nul 3521  df-if 3639  df-pw 3690  df-sn 3715  df-pr 3716  df-op 3718  df-uni 3936  df-int 3971  df-iun 4014  df-br 4131  df-opab 4193  df-mpt 4194  df-tr 4230  df-id 4438  df-po 4441  df-iso 4442  df-iord 4511  df-on 4513  df-ilim 4514  df-suc 4516  df-iom 4738  df-xp 4780  df-rel 4781  df-cnv 4782  df-co 4783  df-dm 4784  df-rn 4785  df-res 4786  df-ima 4787  df-iota 5337  df-fun 5379  df-fn 5380  df-f 5381  df-f1 5382  df-fo 5383  df-f1o 5384  df-fv 5385  df-riota 6038  df-ov 6088  df-oprab 6089  df-mpo 6090  df-1st 6374  df-2nd 6375  df-recs 6576  df-frec 6662  df-pnf 8363  df-mnf 8364  df-xr 8365  df-ltxr 8366  df-le 8367  df-sub 8501  df-neg 8502  df-reap 8906  df-ap 8913  df-div 9006  df-inn 9308  df-2 9366  df-n0 9569  df-z 9650  df-uz 9932  df-q 10030  df-rp 10066  df-fz 10423  df-fl 10716  df-mod 10775  df-seqfrec 10900  df-exp 10991  df-dvds 12574

This theorem is used by:  nnmaxpwlemxy  12967  nnmaxpwlemdvds  12968  nnmaxpwlemndvds  12969  nnmaxpwlemnfac  12970  nnmaxpwlemparts  12971  nnmaxpw  12972